2022高考数学满分突破之解析几何篇 03 中点弦问题（原卷版）

专题02中点弦问题（设而不求与点差法）【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，第二步：两式相减得，第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值【考点精选例题精析】：例1.已知双曲线为该双曲线的右焦点，过的直线交该双曲线于两点，且的中点，则该双曲线的方程为.例2.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（）A.B.C.D. 例3.已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．例4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,线段的中点为.（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点,延长线段与交于点,四边形能否平行四边行？若能,求此时的斜率,若不能,说明理由. 【达标检测】：1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为()A.B.C.D.2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,且的中点为,则的方程为()A.B.C.D.4.已知抛物线,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点,若线段的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.B.C.D.5.设为抛物线:的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于．6.已知倾斜角为的直线过点和点,在第一象限,.（1）求点的坐标;（2）若直线与双曲线相交于、两点,且线段的中点坐标为,求的值. 7．已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．