安徽省定远县育才学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案
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安徽省定远县育才学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

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资料简介
育才学校 2020-2021 学年上学期第二次月考 高二文科数学 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 AC,且四边形 ABCD 是矩形,则该四棱锥的四个侧面 中是直角三角形的有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2.由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的复合命题中,“p∨q”为真,“p∧q”为假,“¬p”为真 的是( ) A.p:3 为偶数;q:4 是奇数 B.p:3+2=6;q:5>3 C.p:a∈{a,b};q:{a} {a,b} D.p:Q R;q:N=N 3.已知圆 x2+y2-2x-4y+a=0 上有且仅有一个点到直线 3x-4y-15=0 的距离为 1,则实数 a 的 取值情况为( ) A. B. -4 C. -4 或-20 D. -11 4.已知某正三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为( ) A. 9 B. 9 + C. 12 D. 12 5.已知命题 p:2 是偶数,命题 q:2 是 3 的约数,则下列命题为真的是( ) A.p∧q B.p∨q C. ¬p D. (¬p)∧(¬q) 6.直线 x+2ay-1=0 与(a-1)x-ay+1=0 平行,则 a 的值为( ) A. B. 或 0 C. 0 D. -2 或 0 7.直线 2x+3y+6=0 关于直线 y=x 对称的直线方程是( ) A. 3x+2y+6=0 B. 2x-3y+6=0 C. 3x+2y-6=0 D. 3x-2y-6=0 8.如图所示,PO⊥平面 ABC,BO⊥AC,在图中与 AC 垂直的线段有( ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 9.若直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点为 A、B,则以 AB 为直径的圆的方程是( ) A.x2+y2+4x-3y=0 B.x2+y2-4x-3y=0 C.x2+y2+4x-3y-4=0 D.x2+y2-4x-3y+8=0 10.用平面去截一个正方体,截面的形状可以是( ) A. 三角形、正方形、长方形、梯形 B. 三角形、四边形、五边形 C. 三角形、四边形、五边形、六边形 D. 三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 11.要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头 的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确的是( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.正方体中,连接相邻两个面的中心可以构成一个美丽的几何体.若正方体的边长为 1,则这个 美丽的几何体的体积为________. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 x= 与直线 x=m 有且只有一个公共点,则实数 m= ______. 15.已知直线 y= x+b 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B,如果 △ AOB 的面积(O 为坐标原点)不大于 1,那么 b 的取值范围是________. 16.如图,圆锥的底面圆直径 AB 为 2,母线长 SA 为 4,若小虫 P 从点 A 开始绕着圆锥表面爬行一 圈到 SA 的中点 C,则小虫爬行的最短距离为________. 三、解答题(本大题共 6 小题分,共 70 分) 17.(10 分)已知 p:实数 x 满足(x+1)(x-1)≤0;q:实数 x 满足(x+1)[x-(3m-1)]≤0(m>0).若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 18.(12 分)一个空间几何的三视图及部分数据如图(1)所示,直观图如图(2)所示. (1)求它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点,在棱 AB 上取中点 E,判断 DE 是否平行于平面 AB1C1,并证明你的结论. 图(1) 图(2) 19.(12 分)如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,且 AB= 2CD,在棱 AB 上是否存在一点 F,使平面 C1CF∥ADD1A1?若存在,求点 F 的位置,若不存在, 请说明理由. 20.(12 分)如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC= 60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE. 如图,在四棱锥 C-ABED 中,四边形 ABED 是正方形,G,F 分别是线段 EC,BD 的中点. (1)求证:GF∥平面 ABC; (2)若点 P 为线段 CD 的中点,平面 GFP 与平面 ABC 有怎样的位置关系?并证明. 22.(12 分)已知以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其 中 O 为原点. (1)求证: △ OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程. 答案解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B D B B A D A C B D 1.D 【解析】∵PA⊥平面 AC, ∴PA⊥AD,PA⊥AB, ∴△PAD, △ PAB 为直角三角形. 又∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB⊥BC,结合 PA⊥BC,PA∩AB=A, ∴BC⊥平面 PAB, 又∵PB ⊂ 平面 PAB, ∴BC⊥PB, ∴△PBC 为直角三角形, 同理, △ PCD 也为直角三角形.故选 D. 2.B 【解析】可用排除法,因为“¬p”为真,故 C,D 错;因为“p∨q”为真,故 A 错. 3.B 【解析】化圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5-a,由题易知直线与圆相离,则有 - =1,解得 a=-4,故选 B. 4.D 【解析】由侧视图可知三棱锥的高为 2 , 底面三角形的高为 3,设底面正三角形的边长为 a, 由 a=3,解得 a=2 . 所以侧棱长为 =2 , 所以正三棱锥是正四面体, 所以该三棱锥的表面积为 4× ×(2 )2=12 . 5.B 【解析】∵p 真 q 假,∴p∨q 真. 6.B 【解析】当 a=0 时,两直线平行; 当 a≠0 时,由 , 得 a= ,综合可得,a= 或 0, 故选 B. 7.A 【解析】把直线方程 2x+3y+6=0 中的 x 换成 y,同时把直线方程 2x+3y+6=0 中的 y 换成 x,即 可得到直线 2x+3y+6=0 关于直线 y=x 对称的直线方程. 故直线 2x+3y+6=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为 3x+2y+6=0.故选 A. 8.D 【解析】∵PO⊥平面 ABC,AC ⊂ 平面 ABC, ∴PO⊥AC, 又∵AC⊥BO,PO∩BO=O, ∴AC⊥平面 PBD, 因此,平面 PBD 中的 4 条线段 PB、PD、PO、BD 都与 AC 垂直.故选 D. 9.A 【解析】由 x=0,得 y=3,由 y=0,得 x=-4, ∴A(-4,0),B(0,3), ∴以 AB 为直径的圆的圆心是(-2, ),半径是 r= = , ∴以 AB 为直径的圆的方程是(x+2)2+(y- )2= , 即 x2+y2+4x-3y=0,故选 A. 10.C 【解析】用一个平面去截一正方体,截面可能为三角形、四边形(梯形,矩形,正方形)、五边形、 六边形,只有 C 选项,符合题意.故选 C. 11.B 【解析】因为龙头的喷洒面积为 36π≈113, 正方形面积为 256,故至少三个龙头.由于 2R<16, 故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水. 当用四个龙头时,可将正方形均分四个小正方形,同时将四个龙头分别放在它们的中心, 由于 2R=12>8 ,故可以保证整个草坪能喷洒到水.故选 B. 12.D 【解析】∵SD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形, ∴连接 BD,则 BD⊥AC, 根据线面垂直的定义,可得 AC⊥SB,故 A 正确; ∵AB∥CD,AB ⊄ 平面 SCD,CD ⊂ 平面 SCD, ∴AB∥平面 SCD,故 B 正确; 设 AC 与 BD 的交点为 O,则 AC⊥平面 BSD. 则∠ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角, ∠CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角, 而 △ SAD≌△SCD, ∴SA=SC, ∴SO 为∠ASC 的角平分线, 即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角,故 C 正确; ∵AB∥CD,∴AB 与 SC 所成的角是∠SCD,DC 与 SA 所成的角是∠SAB, 而这两个角显然不相等,故 D 不正确.故选 D. 13. 【解析】∵正方体的棱长是 1, 构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例, 它的高等于正方体棱长的 , 正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 , ∴这个正四棱锥的体积是 × × × = , ∴构成的八面体的体积是 2× = ,故答案为 . 14.2 【解析】由题意,曲线 x= 为以原点 O(0,0)为圆心,2 为半径的半圆(y 轴右侧)与直线 L:x =m(L∥y 轴)有且只有一个公共点,∴m=2. 15.[-1,0)∪(0,1] 【解析】令 x=0,得 y=b, 令 y=0,得 x=-2b, ∵△AOB 的面积(O 为坐标原点)不大于 1, ∴△AOB 的面积 S= |b|×|-2b|=|b|2≤1, ∵b=0 时,A、O、B 三点重合,构不成三角形, ∴b≠0, ∴-1≤b<0 或 0<b≤1. 16.2 【解析】由题意知底面圆的直径 AB=2, 故底面周长等于 2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n°, 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2π= , 解得 n=90, 所以展开图中∠PSC=90°, 根据勾股定理求得 PC=2 , 所以小虫爬行的最短距离为 2 . 17.由(x+1)(x-1)≤0,得-1≤x≤1, 即 p:-1≤x≤1, 由(x+1)[x-(3m-1)]≤0(m>0), 得-1≤x≤3m-1(m>0), 即 q:-1≤x≤3m-1(m>0), 由 p 是 q 的充分不必要条件, 得 即 m> , 所以实数 m 的取值范围为 . 20.证明 (1)在四棱锥 P—ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD ⊂ 平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,PA,AC ⊂ 平面 PAC, ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE ⊂ 平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得 AC=PA. ∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥CD,且 PC∩CD=C,PC,CD ⊂ 平面 PCD, ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD ⊂ 平面 PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A,PA,AD ⊂ 平面 PAD, ∴AB⊥平面 PAD,而 PD ⊂ 平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,AB,AE ⊂ 平面 ABE, ∴PD⊥平面 ABE. 22.(1)证明 ∵圆 C 过原点 O,且|OC|2=t2+ . ∴圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ , 令 x=0,得 y1=0,y2= ; 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, ∴S △ OAB= |OA|·|OB|= ×| |×|2t|=4, 即 △ OAB 的面积为定值. (2)解 ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|, ∴OC 垂直平分线段 MN. ∵kMN=-2,∴kOC= . ∴ = t,解得 t=2 或 t=-2. 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),|OC|= , 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= < , 圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),|OC|= , 此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d= > . 圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, ∴t=-2 不符合题意,舍去. ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

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