安徽省合肥第六高中2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题 PDF版含答案

高二年级数学（理科）试卷 第 1页 共 4页 高二年级数学（理科）试卷 第 2页 共 4页 2019 级高二上学期理科数学期中考试 数学试题（理科） （分值：150 分 时长：120 分钟） 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.下列关于棱柱说法正确的是（ ） A.棱柱的所有面都是四边形 B.棱柱中只有两个面互相平行 C.一个棱柱至少有六个顶点、九条棱、五个面 D.棱柱的侧棱长不都相等 2.直线 3 1 0x y   的倾斜角的大小为（ ） A.30 B. 60 C.120 D.150 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.8 B. 8 3 C. 16 3 D.16 4.过点  1,3 且垂直于直线 2 3 0x y   的直线方程为（ ） A. 2 1 0x y   B. 2 5 0x y   C. 2 5 0x y   D. 2 7 0x y   5.圆锥和圆柱的底面半径､高都是 R，则圆锥的表面积．．．和圆柱的表面积．．．之比为（ ） A. ( 2 1) : 4 B. 2 : 2 C.1: 2 D. ( 2 1) : 2 6.已知直线 1 : 2 2 0l x ay   与直线 2 : ( 1) 3 2 0l a x y    平行，则 a  （ ） A.3 B. 2 C. 2 或3 D.5 7.设 l为直线， ,  是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若 / /l ， / /l  ，则 / /  B.若  ， / /l ，则 l  C.若 l  ， / /l  ，则 / /  D.若 l  ， l  ，则 / /  8.点 P在直线 3 5 0x y   上，且点 P到直线 1 0x y   的距离为 2，则 P点坐标为（ ） A. (1,2) B. (2, 1) C. (1,2)或 ( 2,1) D. (1,2)或 (2, 1) 9.如图，在四棱锥 E ABCD 中，底面 ABCD为梯形， / /AB CD， 2 3AB CD ，M 为 AE的中点， 若三棱锥 E MBC 的体积为 6，那么四棱锥 E ABCD 的体积为（ ） A.15 B.18 C. 20 D.30 10.如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2的正三角形，侧棱长为 3， 则 1BB 与平面 1 1ABC 所成角的大小为 （ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 11.在平面直角坐标系 xOy中，直线 : 4 0l kx y k   与曲线 29y x  交于 A， B两点，且 2AB  ， 则 k （ ） A. 3 3 B. 2 2 C.1 D. 3 12.棱长为 6的正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，点 E是线段 1 1C D 的中点，点 F在线段 1BB 上， 4BF  ， 则正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 被平面 AEF 所截得的截面面积为（ ） A. 27 17 2 B. 21 17 2 C. 15 17 2 D. 13 17 2 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 高二年级数学（理科）试卷 第 3页 共 4页 高二年级数学（理科）试卷 第 4页 共 4页 13.若 x，y满足约束条件 3 5 0 3 0 3 0 x y x y x y            ，则 2y x 的最大值为 . 14.在空间直角坐标系O xyz 中，若点  1,2,3A ，  1, 1,4B  ，点C是点 A关于平面 yOz的对称点， 则点 B与C的距离为______. 15.设圆 2 2 2: ( )0O x y r r   ，定点 ( 3,4)A  ，若圆 O上存在两点到 A的距离为 2，则 r的取值 范围是________. 16.如图，四棱锥 P ABCD ， PA 底面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，且 3PA  ， 4AB  ， 设该四棱锥的外接球半径为 R，内切球半径为 r ，则 R r  . 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 10分） 如图，四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D ，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形， 且 50AB cm ， 1 1 40A B cm ， 1 10AA cm . （1）求四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D 的侧面积； （2）求四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D 的体积. （台体体积公式 1 ( ) 3 V S S S S h   下 下上 上 ） 18. （本小题满分 12分） 已知 ABC 的顶点  3,1A ， AB边上的中线CM 所在直线方程为 2 1 0x y   ， B 的角平分线 BN 所在直线方程为 2 0x y  . （1）求顶点 B的坐标； （2）求直线 BC的方程. 19. （本小题满分 12分） 如图，四棱锥 P ABCD ，M 、 N分别是 AB、 PC的中点，底面 ABCD为平行四边形. （1）求证： / /MN 平面 PAD； （2）若 4MN BC  ， 4 3PA  ，求异面直线 PA与MN 所成的角的大小. 20. （本小题满分 12分） 圆心为C的圆经过点 ( 4,1)A  和 ( 3,2)B  ，且圆心C在直线 : 2 0l x y   上. （1）求圆心为C的圆的方程； （2）过点 (5,8)P 作圆C的切线，求切线的方程. 21. （本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 E ABCD 中，平面CDE 平面 ABCD， 90ABC DAB     , 2EC AD  ， 1AB BC  ， 2DE  . （1）证明： AB 平面 ADE ； （2）求二面角C AE D  的大小． 22. （本小题满分 12分） 已知动点 P与两个定点 (0,0)O ， (3,0)A 的距离的比值为 2，点 P的轨迹为曲线C . （1）求曲线C的轨迹方程； （2）过点 (0, 3)A  且斜率为 k的直线 l，交曲线C于M 、 N两点，若 9OM ON    ，求斜率 k . 第 1页 共 3页 2019级高二上学期理科数学期中考试 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B A A B D D C A C B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.【答案】 3 14.【答案】 14 15.【答案】  3,7 16.【答案】 41 2 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解： （1）因为侧面是全等的等腰梯形， 50AB cm ， 1 1 40A B cm ， 1 10AA cm . 所以侧高为 2 250 4010 ( ) 5 3 2 cm   四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D 的侧面积为 214 (40 50) 5 3 900 3 2 cm     （2）因为侧面是全等的等腰梯形， 50AB cm ， 1 1 40A B cm ， 1 10AA cm . 所以四棱台的高为 2 210 (5 2) 5 2cm  四棱台 1 1 1 1ABCD A BC D 的体积为 2 2 2 2 31 30500 2(40 40 50 50 ) 5 2 3 3 cm     18. 解： （1）设顶点 B的坐标为 ( , )m n ，因为顶点 B在直线 BN 上，所以 2 0m n  由题意知M 的坐标为 3 1( , ) 2 2 m n  因为中点M 在直线CM 上，所以 3 12 1 0 2 2 m n      ，即 2 3 0m n   联立方程组 2 0 2 +3 0 m n m n      ，解得顶点 B的坐标为  2, 1  （2）设顶点关于直线 BN 的对称点为 ( , )A s t 由于线段 AA的中点在在直线 BN 上，得方程 3 12 0 2 2 s t     ，即 2 1 0s t   由直线 AA与直线 BN 垂直，得方程 1 1 1 2 3 t s      ，即 2 + 7 0s t   联立方程组 2 1 0 2 + 7 0 s t s t       ，得 13 9, 5 5 A（ ） 显然 13 9, 5 5 A（ ）在直线 BC上，且顶点 B的坐标为  2, 1  所以直线 BC的方程为 1 2 9 131 2 5 5 y x     ，整理得14 23 5 0x y   第 2页 共 3页 19. 解： （1）取 PD的中点H ，连接 AH 因为H 、 N分别是 PD、 PC的中点，所以 / /NH CD且 1 2 NH CD 因为M 是 AB的中点，所以 / /NH AM 且 NH AM ，即 AMNH 为平行四边形，所以 / /MN AH 又因为MN 平面 PAD， AH 平面 PAD，所以 / /MN 平面 PAD （2）因为 / /MN AH ，所以 PAH 就是直线 PA与MN 所成的角 因为 4MN BC  ， 4 3PA  ，所以 4AH  ，设 2PD x 因为 cos cos 0PHA AHD    ，根据余弦定可知， 2 216 48 16 16 0 2 4 2 4 x x x x           解得 4x  在 PAH 中， 48 16 16 3cos 22 4 4 3 PAH        ，所以 30PAH   所以，异面直线 PA与MN 所成的角为 30 20. 解： （1）根据题意可得： 2 1 1 3 ( 4)ABk       ，点 A和 B的中垂线为 7 3( ) 2 2 y x    联立方程 2 0 7 3( ) 2 2 x y y x          可得圆心坐标 (0, 2) ，且 2 2 2(0 ( 3)) ( 2 2) 25r        圆C的方程为 2 2( 2) 25x y   （2）①过点 P斜率不存在的直线为 5x  ，与圆C相切； ②过点 P斜率存在的直线设斜率为 k，则 ( 5) 8y k x   ，即 5 8 0kx y k    圆心 (0, 2) 到切线的距离为 2 | 0 ( 2) 5 8 |5 1 k k k        ，解得 3 4 k  综上，切线的方程为 5x  或 3 4 17 0x y   21. 解： （1）证明：在直角梯形 ABCD中，由 1AB BC  ， 2AD  ，得 2AC CD  因为 2DE  ， 2CE  ，所以 2 2 2CE CD DE  ，所以DE CD 因为平面CDE 平面 ABCD，平面CDE 平面 ABCD CD ， DE 平面CDE 所以DE 平面 ABCD 因为 AB 平面 ABCD，所以 AB DE 因为 AB AD ， AD DE D ， AD 平面 ADE， DE 平面 ADE 所以 AB 平面 ADE 第 3页 共 3页 （2）取 AD中点 F ，过点 F 作 FO AE ，与 AE交于点O，连接OC，CF 因为 / /CF AB， AB 平面 ADE，所以CF 平面 ADE 所以 COF 是二面角C AE D  的平面角 在 RtADE中，由 2 2AD AF  ， 2DE  ，所以 3 3 OF  在 RtCOF 中，由 1CF  ， 3 3 OF  ，所以 60COF   二面角C AE D  的大小是 60 22. 解： （1）设点  ,P x y ， 2 PO PA  ，即 2PO PA ，   22 2 24 3x y x y       ，即  2 24 4x y   ， 曲线C的方程为  2 24 4x y   . （2）过点 (0, 3)A  且斜率为 k的直线 l即 3y kx  ，设M 、 N两点分别为 1 1( , )x y 和 2 2( , )x y 联立  2 2 3 4 4 y kx x y       得 2 2( 1) (6 8) 21 0k x k x     则 1 2 2 6 8 1 kx x k     ， 1 2 2 21 1 x x k   因为 9OM ON    ，所以 1 2 1 2 9x x y y  ，则 1 2 1 2( 3)( 3) 9x x kx kx    ，即 2 1 2 1 2( 1) 3 ( ) 0k x x k x x    所以 2 2 2 21 6 8( 1) ( ) 3 ( ) 0 1 1 kk k k k         ，解得 1k  或 7k  检验：①当 1k  时，方程 22 14 21 0x x   有解；②当 7k  时，方程 250 50 21 0x x   无解； 综上， 1k 