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2019-2020 学年度第二学期 5 月月考卷
高二文科数学
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 复数 2 21 ii
(i 为虚数单位)的共轭复数的虚部等于( )
A. 1 B. 1 i C. i D. 1
【答案】D
【解析】
因为 2 2(1 )2 2 1 2 11 2
ii i i i ii
，所以复数 2 21 ii
(i 为虚数单位)的共轭复数
1 i ，则其虚部等于1，应选答案 D．
2. 设 a ， Rb ，i 是虚数单位，则“ 3a ， 1b ”是“ 1 2
2
bi
a i
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当 3a ， 1b 时， 1 2
2
bi
a i
成立，故充分性成立，
但当 1 2
2
bi
a i
时，则不一定有： 3a ， 1b ，故必要性不成立
故选 A.
3. 设 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y ，…， ( , )n nx y 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点
通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）
A. x 和 y 的相关系数在 1 和 0 之间
B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率
- 2 -
C. 当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同
D. 所有样本点 ( , )i ix y （i 1,2，…， n ）都在直线 l 上
【答案】A
【解析】
对于答案 A，由题设中提供的直线的图像可知 x 和 y 是负相关，相关系数在-1 到 0 之间，故
答案正确 A；关于答案 B，虽然 x 和 y 的相关系数和直线的斜率存在一定的关系，但并不是直
线 l 的斜率，故答案 B 不正确；当 n 为偶数时，分布在直线 l 两侧的样本点的个数没有直接
的关系，也可以不相等，故答案 C 也不正确；关于答案 D，样本点应分居在直线的两侧附近，
故答案 D 也不正确，应选答案 A．
4. 执行右边的程序框图，如果输入 5a ，那么输出 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
试题分析： 5a 时，初始条件 10, 1, 1p q n ， p q 成立，执行第一次循环；
第一次循环时： 10 5 15, 1 5 5, 1 1 2p q n ，此时 p q 成立，执行第二次循环；
第二次循环时： 15 5 20, 5 5 25, 1 1 3p q n ，此时 p q 不成立，退出循环，
输出 3n ，故选 B．
考点：程序框图.
5. 若复数 z 满足 3 2 5z i (i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 为( )
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A. 2 i B. 2 i C. 5 i D. 5 i
【答案】D
【解析】
5 3 2 3 5 ,2z i ii
所以 5 .z i
【考点定位】复数除法运算中的分母实数化是必考点，而共轭复数既是运算的帮手，又是考
查的目标.每年高考都将会对基本概念进行考查.
6. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，由此进行了 5 次实验，收
集数据如下：
零件数： 个 10 20 30 40 50
加工时间： 分钟 59 71 75 81 89
由以上数据的线性回归方程估计加工 100 个零件所花费的时间为（ ）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
1 1
2 2 2
1 1
( )( )
,
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b a y bx
x x x nx
A. 124 分钟 B. 150 分钟 C. 162 分钟 D. 178 分钟
【答案】A
【解析】
分析：先求出 ,x y ，再求出 ˆ ˆ,b a 得到回归直线方程，再令 x=100 得到加工 100 个零件所花费的
时间.
详解：由题得 30, 75,x y
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1
2
1
( )( ) ( 20) ( 16) ( 10) ( 4) 700 7
400 100 0 100 400 1000 10( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
，
所以 775ˆ 30 54,10a y bx
所以 7 54,10y x 当 x=100 时，y=124.故答案为 A
点睛：本题主要考查回归分析和回归方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平
和基本的计算能力，考查学生解决实际问题的能力.
7. 已知的取值如下表所示：
x 2 3 4
y 6 4 5
如果 y 与 x 线性相关，且线性回归方程 13( ) 2bg x x ，则b （ ）
A. 1
2
B. 1
2
C. 1
4
D. 5
6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线性回归方程必过中心点 ( , ) (3,5)x y 求得 b .
【详解】由题 2 3 4 33x ， 6 4 5 53y ，则 13( ) 2bg x x 过点 (3,5) ，得 1
2b .
故选：A
【点睛】本题考查了线性回归方程必过中心点 ( ),x y ，属于容易题.
8. 实部为﹣2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面内的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
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试题分析：实部为-2，虚部为 1 的复数在复平面对应的点坐标为 -2 1， ，位于第二象限，
故选 B.
考点：复平面.
9. 运行下面的程序，当输入 n＝840 和 m＝1764 时，输出结果是( )
A. 84 B. 12 C. 168 D. 252
【答案】A
【解析】
根据程序得 m=1764,n=840,因为 1764=840×2+84，所以 r=84,m=840,n=84,因为 840=84×10，
所以 r=0，所以 1764 与 840 的最大公约数为 84.
故选 A
10. 观察按下列顺序排列的等式：9 0 1 1 ，9 1 2 11 ，9 2 3 21 ，
9 3 4 31,... ，猜想第 Nn n 个等式应为（ ）
A. 9( +1)+ =10 +9n n n B. 9( 1)+ =10 9n n n
C. 9 +( 1)=10 1n n n D. 9( 1)+ 1 =10 10n n n
【答案】B
【解析】
解：因为：9 0 1 1 ，9 1 2 11 ，9 2 3 21 ，9 3 4 31 ， 则可以归纳猜想
第 ( )n n N 个等式应为9( 1) 10 9n n n ，故选 B
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11. 2 2
1 3z m m m i ， 2 4 5 6z m i ，m 为实数，若 1 2 0z z ，则 m 的值为（ ）
A. 4 B. 1 C. 6 D. 0
【答案】B
【解析】
由题意，
2
2
3 4
5 6
m m
m m
，解得 1m ，故选 B．
12. 我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 3
2 a ，类比上述结
论，在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值
A. 6
3 a B. 6
4 a C. 3
3 a D. 3
4 a
【答案】A
【解析】
试题分析：此四棱锥的高为
2
2 2 3 6
3 2 3a a a
,
所以此棱锥的体积为 2 31 1 6 2sin 603 2 3 12V a a a
,
棱锥内任意一点到四个面的距离之和为 h ,可将此棱锥分成 4 个同底的小棱锥根据体积相等可
得 2 31 1 2sin 603 2 12V a h a
,
解得 6
3h a ．故 A 正确．
考点：1 棱锥的体积；2 类比推理．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 观察下列等式：
- 7 -
1 11 2 2
1 1 1 1 11 2 3 4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 4 5 6
据此规律，第 n 个等式可写为 ________．
【答案】 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n
【解析】
试题分析：由已知得，第 n 个等式含有 2n 项，其中奇数项为 1
2 1n
，偶数项为 1
2n
，其等
式 右 边 为 后 n 项 的 绝 对 值 之 和 ， 所 以 第 n 个 等 式 为
1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n
．
考点：归纳推理．
14. 复数
41 i 2i1 iz
的共轭复数 z __________．
【答案】1 2i
【解析】
由题意得，
41 i 2i1 iz
1 2i ，则 1 2z i
15. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a 值为_______.
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【答案】81
【解析】
模拟程序的运行，可得 1 2k a， 满足条件 3k ，执行循环体， 6 2 1 13 3a k ．
满足条件 3k ，，执行循环体， 13 6 3 81 5a k ． 此时，不满足条件 3k ，退出循环，
输出 a 的值为 81．
故答案为 81．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正
确的结论.
16. 设 1z i （i 是虚数单位），则在复平面内， 2 2z z
对应的点位于第__________象限．
【答案】一
【解析】
2 2 2 2(1 )1 , 1 , 2 , 11 (1 )(1 )
iz i z i z i iz i i i
, 2 2 2 1 1z i i iz
,
2 2z z
对应的点位于第一象限．
三、简答题（17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）
17. 已知 (1,2)A ， ( ,1)B a ， (2,3)C ， ( 1, )D b ，( ),a bR 是复平面上的四个点，且向量 AB
，
- 9 -
CD
对应的复数分别为 1z ， 2z .
（1）若 1 2 1z z i ，求 1z ， 2z ；
（2）若 1 2 2z z ， 1 2z z 为实数，求 a ，b 的值.
【答案】（1） 1 4z i ， 2 3 2z i （2） 4
2
a
b
【解析】
【分析】
（1）求出 1 ( 1)z a i ， 2 3 ( 3)z b i ，由题得 4 1
4 1
a
b
，解方程组即得解；
（2）由题得
2 2( 4) ( 4) 4
2 0
a b
b
，解方程组即得解.
【详解】（1）∵ ( ,1) (1,2) ( 1, 1)AB a a ， ( 1, ) (2,3) ( 3, 3)CD b b ，
所以 1 ( 1)z a i ， 2 3 ( 3)z b i ，
所以 1 2 ( 4) ( 4)z z a b i ，
又 1 2 1z z i ，
∴ 4 1
4 1
a
b
，∴ 5
5
a
b
，
∴ 1 4z i ， 2 3 2z i .
（2）由（1）得 1 2 ( 4) ( 4)z z a b i ， 1 2 ( 2) (2 )z z a b i ，
∵ 1 2 2z z ， 1 2z z 为实数，
∴
2 2( 4) ( 4) 4
2 0
a b
b
，∴ 4
2
a
b
.
【点睛】本题主要考查复数的概念和计算，考查复数的模的计算，考查向量对应的复数的计
算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
- 10 -
18. 已知 0m ， 0n ，且 1m n ，试用分析法证明不等式 1 1 25
4m nm n
成立.
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】
利用分析法从要证的结论入手，逐步寻找不等式成立的充分条件，直到该条件显然成立，从
而知原结论成立.
【详解】要证 1 1 25
4m nm n
，
只需证
2 2 21 ( ) 2 1 25= 4
m n m n mnmn mnmn mn
，
只需证 2 252 4mn mn
，
只需证 24( ) 33 8 0mn mn ，即证 8mn 或 1
4mn ，
而由1 2m n mn ，可得 1
4mn 显然成立，
所以不等式 1 1 25
4m nm n
成立.
【点睛】本题考查分析法证明不等式、基本不等式，属于基础题.
19. 冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间有关系，某农科所对此关系进行
了调查分析，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗
种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方
程，再对被选取的 2 组数据进行检验．
（1）求选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率；
（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，
- 11 -
求出 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a ；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 颗，则认为得到
的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：
1
2
1
ˆ
n
i i i
n
i i
x x y yb
x x
， ˆˆa y bx ．）
【答案】(1) 3
5
(2) 2. -3ˆ 5xy （3）（2）中所得的线性回归方程可靠
【解析】
分析：第一问用列举法求基本事件数，计算所求的概率值；第二问由数据计算 ,x y ，求出回
归直线方程的系数，写出回归直线方程；第三问计算 10x 时 ^
y 的值和 8x 时 ^
y 的值，再比
较得出结论.
详解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件 A，从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
其中数据为 12 月份的日期数，每种情况都是可能出现的，事件 A 包括的基本事件有 6 种；
∴P（A）= = ；∴选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是 ；
（2）由数据，求得 = ×（11+13+12）=12， = ×（25+30+26）=27，
由公式，求得 = = =2.5，
= ﹣ =27﹣2.5×12=﹣3，∴y 关于 x 的线性回归方程为 =2.5x﹣3；.
（3）当 x=10 时， =2.5×10﹣3=22，|22﹣23|＜2；
同样当 x=8 时， =2.5×8﹣3=17，|17﹣16|＜2；
∴（2）中所得的线性回归方程可靠．
点睛：第一问也可以先求对立事件发生的概率，利用减法运算得结果，第二问关键是把回归
直线方程中系数公式用对，第三问比较差值大小可以得到所得回归直线是否可靠.
20. 已知复数 1Z ， 2Z 在复平面内对应的点分别为 ( 2,1)A ， ( ,3)B a .
（1）若 1 2 5Z Z ，求 a 的值；
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（2）复数 1 2z Z Z 对应的点在二、四象限的角平分线上，求 a 的值.
【答案】（1） 3a 或 1a （2） 9a
【解析】
【分析】
（1）利用复数的几何意义和模的计算公式即可得解；（2）利用复数的运算法则和几何意义即
可得出.
【详解】（1）由复数的几何意义可知：
1 2z i ， 2 3z a i ，
2 2
1 2 | 2 2 | ( 2) ( 2) 5z z a i a .
3a 或 1a .
（2） 1 2 ( 2 i) ( 3i) ( 2 3) ( 6)iz z z a a a ，
依题意可知点 ( 2 3, 6)a a 在直线 y x 上，
∴ 6 ( 2 3) 9a a a .
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的计算公式、复数的运算法则，属于基础题.
21. 某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了 20 名用户的评分，得到图所示
茎叶图，对不低于 75 的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意，
（1）根据以上资料完成下面的 2 2 列联表，若据此数据算得 2 3.7781K ，则在犯错的概率
不超过5%的前提下，你是否认为“满意与否”与“性别”有关？
不满意 满意 合计
男 4 7
女
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合计
附：
2( )P K k
0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
（2）估计用户对该公司的产品“满意”的概率；
（3）该公司为对客户做进一步的调查，从上述对其产品满意的用户中再随机选取 2 人，求这
两人都是男用户或都是女用户的概率.
【答案】（1）填表见解析；犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别’
有关（2） 0.3（3） 7
15
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图，填写 2 2 列联表，计算出 2K 的值，对照数表得出结论；
（2）利用频率值估计概率即可；
（3）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率即可．
【详解】 7( ) 15P A 解：（1）根据茎叶图，填写 2 2 列联表，如下；
不满意 满意 合计
男 3 4 7
女 11 2 13
合计 14 6 20
计算
2
2 20 (3 2 4 11) 3.77817 13 6 14K
， 2 3.7781 3.84K 1，
在犯错的概率不超过5%的前提下，不能认为“满意与否”与“性别”有关；
（2）因样本 20 人中，对该公司产品满意的有 6 人，
- 14 -
故估计用户对该公司的产品“满意”的概率为 6 0.320
，
（3）由（1）知，对该公司产品满意的用户有 6 人，其中男用户 4 人，女用户 2 人，
设男用户分别为 a ，b ， c ， d ；女用户分别为 e ， f ，
从中任选两人，记事件 A 为“选取的两个人都是男用户或都是女用户”，则
总的基本事件为 ( , )a b ， ( , )a c ， ( , )a d ， ( , )a e ， ( , )a f ，
( , )b c ， ( , )b d ， ( , )b e ， ( , )b f ，
( , )c d ， ( , )c e ， ( , )c f ， ( , )d e ， ( , )d f ， ( , )e f 共 15 个，
而事件 A 包含的基本事件为 ( , )a b ， ( , )a c ， ( , )a d ，
( , )b c ， ( , )b d ， ( , )c d ， ( , )e f 共 7 个，
故 7( ) 15P A ．
【点睛】本题主要考查茎叶图与对立性检验的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概
率问题，属于基础题．
22. 已知数列{ }na 的递推公式 1
1
1
n n
n
a aa
，且 1 1a ，请画出求其前 5 项的流程图.
【答案】见解析
【解析】
【详解】
【分析】
试题分析：
由题意结合数列的递推公式首先确定求解数列各项的过程，然后利用累加过程设计出流程
图即可.
试题解析：
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