2020-2021学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题 word版

1 2020-2021 学年高二上学期第二次阶段 性考试数学试题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．若 ( )0,2A ， 0( )1,B  ， ( ), 2C m  三点共线，则实数 m 的值是（ ） A．6 B． 2 C． 6 D．2 2. 点 ( , , )P a b c 到坐标平面 zOx 的距离为( ) A． 2 2a c B． a C． b D． c 3.下列命题正确的是（ ） A.空间任意三点确定一个平面； B.两条垂直直线确定一个平面； C.一条直线和一点确定一个平面； D.两条平行线确定一个平面 4．已知梯形 ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图(如图所示)，其中 2AD   ， 4B C   ， 1A B   ，则直角梯形 DC 边的长度是( ) A． 5 B． 2 2 C． 3 D． 2 5 5.圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A． 2 2( 2) 1x y   B． 2 2( 2) 1x y   C． 2 2( 1) ( 3) 1x y    D． 2 2( 3) 1x y   6.直线过点 P（0，2），且截圆 2 2 4x y  所得的弦长为 2，则直线的斜率为( ) A． 3 2  B． 2 C． 3 3  D． 3 7.已知    2,2,5 , 6, 4,4 , ,          分别是平面 ,  的法向量,则平面 ，  的位 置关系式（ ） A． 平行 B． 垂直 C． 所成的二面角为锐角 D． 所成的二面角为钝角 8.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10 3 ，则 h （ ） A. 3 B.3 3 C. 3 2 D. 5 3 2 9.圆 1622  yx 上的点到直线 03  yx 的距离的最大( ) A． 2 23 B． 2 234  C． 2 234  D．0 10.若圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4，直线 l 的方程为 x－y＋1＝0，则圆 C 关于直线 l 对称的圆的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y＋4)2＝4 B．(x－1)2＋(y－4)2＝4 C．(x－4)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋4)2＋(y＋1)2＝4 11．在三棱锥 A－BCD 中，△ABC 和△BCD 都是边长为 2 3的等边三角形，且平面 ABC⊥平 面 BCD，则三棱锥 A－BCD 外接球的表面积为( ) A．8π B．12π C．16π D．20π 12．已知实数 x 、 y 满足 2 2( 2) 1x y   ， 2 2 3x y x y    的取值范围是（ ） A． ( 3,2] B．[1,2] C． (0,2] D． 3( ,1]2 二．填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．已知空间两点 (2,1,7)A 、 ( 1,1,3)B  ，则 A 、 B 两点间的距离为 . 14. 如 图 ， 已 知 , ,A B C 三 点 都 在 球 面 上 ， 球 心 O 到 平 面 ABC 的 距 离 为 1 ， 且 , , 32 3ABC CAB BC      ，则球O 的表面积为 . 15.已知正四棱锥 S ABCD 的所有棱长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE ， SD 所成角的 正弦值为 16．若⊙ 2 2 1 : 5O x y  与⊙ 2 2 2 :( ) 20( )O x m y m R    相交于 A、B 两点，且两圆在 点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是 w 3 三．解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17.（10 分）已知直线 1 : 2 3 4 0l x y   与直线 2 : 3 0l x y   的交点为 M ． （1）求过点 M 且与直线 1l 垂直的直线l 的方程； （2）求过点 M 且与直线 3 : 2 5 0l x y   平行的直线 l 的方程． 18. （ 12 分 ） 如 图 , 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 正 方 形 ， ABCDPD  面 , PD DC , E 是 PC 的中点． （1）证明： / /PA 平面 BDE ； （2）证明：平面 BDE  平面 PBC . 19. （ 12 分 ） 如 图 所 示 的 多 面 体 中 ， ABCD 是 菱 形 ， BDEF 是 矩 形 ， ED  面 ABCD , 3BAD   ． （1）求证: / /BCF AED平面 平面 . （2）若 ,BF BD a A BDEF  求四棱锥 的体积。 4 20.（12 分）已知以点 C 为圆心的圆经过点 A(－1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 C 于点 M 和 N，且|MN|＝4 10. （1）求直线 MN 的方程； （2）求圆 C 的方程． 21．（12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且 60DAB   ．点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F ． （1） 求证： AB ∥ EF ； （2）若 PA PD AD  ，且平面 PAD  平面 ABCD ，求平面 PAF 与平面 AFE 所成 的锐二面角的余弦值． 22．（12 分）已知圆 2 2:( 3) 4C x y   ，直线 :( 1) (3 1) 3 0l m x m y m      ． （1）求直线l 所过定点 A 的坐标及当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时 m 的值； （2）已知点 (3,3)M ，在直线 MC 上存在定点 N （异于点 M ），满足对圆 C 上任一点 P 都 有 PM PN 为常数，试求所有满足条件的点 N 坐标及该常数． 5 江津中学高 2022 级高二上期第二次阶段性考试 数学试题（答案） 二、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1 .B 2. C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A 9.C 10.B 11.D 12.B 二．填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.5 14.8 15. 6 3 16. 4 三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17． （1）由 2 3 4 0 3 0 x y x y        ，解得 1 2 x y    ， ∴ 1l ， 2l 交点 M 坐标为 (1,2) ， ∵ 1l l ，∴直线l 的斜率 3 2k   ， 直线l 的方程为 32 ( 1)2y x    ，即 3 2 7 0x y   ． （2）∵ 3l l∥ ，∴直线l 的斜率 1 2k  ， 又l 经过点 (1,2)M ，∴直线l 的方程为 12 ( 1)2y x   ，即 2 3 0x y   ． 18． 解:（Ⅰ）证明：连结 ,AC BD 交于点 0 ，连结OE ABCD四边形 为正方形 为的中点 又为中点 PC 为 PAC 的中位线……4  / /PC OE 又 , ,OE BDE PA BDE  面 / /PA 面 BDE ………………6 （Ⅱ） ABCD四边形 为正方形  BC CD ， PD BC  BC  面 PCD ………………………8  DE  BC ，又 PD DC ， E 为 PC 中点  DE  PC  DE  面 PBC ，又 DE  面 BDE ………………………10 面 BDE  面 PBC ………………………12 6 19. 证明：（1）由 ABCD是菱形 / /BC AD ,BC ADE AD ADE  面 面 / /BC ADE 面 3 分 由 BDEF 是矩形 / /BF DE ,BF ADE DE ADE  面 面 / /BF ADE 面 , ,BC BCF BF BCF BC BF B   面 面 ∴ / /BCF AED平面 平面 . 6 分 （2）连接 AC ， AC BD O 由 ABCD是菱形， AC BD  由 ED  面 ABCD , AC ABCD 面 ED AC  , ,ED BD BDEF ED BD D  面 AO BDEF  面 ， 9 分 则 AO 为四棱锥 A BDEF 的高 由 ABCD是菱形， 3BAD   ，则 ABD 为等边三角形， 由 BF BD a  ；则 3, 2AD a AO a  ， 2 BDEFS a ， 2 31 3 3 3 2 6A BDEFV a a a     12 分 20．解：（1）∵直线 AB 的 斜 率 k＝1，AB 的 中 点 坐 标 为 (1,2)， ∴直线 MN 的 方 程为 y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0. （2）设圆心 C(a，b)，则 由 P 在 MN 上 得 a＋b－3＝0.① 又∵直径|MN|＝4 10， ∴|CA|＝2 10.∴(a＋1)2＋b2＝40.② 由①②解得 a＝－3， b＝6 或 a＝5， b＝－2. ∴圆 心 C(－3,6)或 C(5，－2)． ∴圆 C 的 方 程为 (x＋3)2＋(y－6)2＝40 或 (x－5)2＋(y＋2)2＝40. 7 21．（12 分） （Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 AB ∥CD ． 又因为 AB  面 PCD， CD  面 PCD，所以 AB ∥面 PCD．又因为 , , ,A B E F 四点 共面，且平面 ABEF  平面 PCD EF ， 所以 AB ∥ EF ． ………………5 分 （Ⅱ）取 AD 中点G ，连接 ,PG GB ． 因为 PA PD ，所以 PG AD ． 又因为平面 PAD  平面 ABCD ， 且平面 PAD  平面 ABCD AD ， 所以 PG 平面 ABCD ．所以 PG GB ． 在菱形 ABCD 中，因为 AB AD ， 60DAB   ，G 是 AD 中点， 所以 AD GB ． 如图，建立空间直角坐标系G xyz ．设 2PA PD AD a   ， 则 (0,0,0), ( ,0,0)G A a ， (0, 3 ,0), ( 2 , 3 ,0), ( ,0,0), (0,0, 3 )B a C a a D a P a  ． 又 因 为 AB ∥ EF ， 点 E 是 棱 PC 中 点 ， 所 以 点 F 是 棱 PD 中 点 ． 所 以 3 3( , , )2 2 a aE a ， 3( ,0, )2 2 a aF  ．所以 3 3( ,0, )2 2 a aAF   ， 3( , ,0)2 2 a aEF   ． 设平面 AFE 的法向量为 ( , , )x y zn ，则有 0, 0. AF EF      n n   所以 3 , 3 .3 z x y x    令 3x  ，则平面 AFE的一个法向量为 (3, 3,3 3)n ． 因为 BG 平面 PAD ，所以 (0, 3 ,0)GB a 是平面 PAF 的一个法向量． 因为 3 13cos , 1339 3 GB a< GB > aGB     nn n   ， 所以平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为 13 13 ． …………12 8 22．（12 分） （1） ( 1) (3 1) 3 0 ( 3 1) 3 0m x m y m x y m x y             ， 令 3 1 0 3 0 x y x y        ，得 2 1 x y    ， ∴直线 l 过定点 (2,1)A ， 当 AC l 时，直线l 被圆 C 所截弦长最短， ∵ (3,0)C ，∴ 1 0 12 3ACk    ，∴ 1 13 1l mk m   ，解得 1m  ． （2）由题知，直线 MC 方程为 3x  ， 设 ( , )P x y ， ( 0)PM PN    ， 假设存在定点 (3, )N t 满足题意，则有 2 2 2PM PN ， ∴ 2 2 2 2 2( 3) ( 3) [( 3) ( )]x y x y t       ， 又∵ 2 2( 3) 4x y   ，∴ 2 2 2 2 24 ( 3) [4 ( ) ]y y y y t       ， 化简得 2 2 2 2(2 6) ( 4 13) 0t y t       ， 根据题意，可得 2 2 2 2 2 6 0 4 13 0 t t          ，解得 1 3t     或 3 2 4 3t     ， 当 1  ， 3t  时，点 N 与点 M 重合，不符合题意， ∴在直线 MC 上存在定点 4(3, )3N ，使得 PM PN 为常数，且常数为 3 2 ．