第7章 第5节　空间向量及其运算-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

第五节 空间向量及其运算 一、教材概念·结论·性质重现 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 长度(模)为 0 的向量 0 单位向量 长度(模)为 1 的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量 的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进 行学习，将达到事半功倍的效果． 2．空间向量中的有关定理 语言描述 共线向 量定理 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使 a ＝λb 共面向 量定理 如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面 ⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p， 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc (1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础． (2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量 a，b 的数量积： a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起点．②向量 的方向． (2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即 a·b＝b·a，a·(b ＋c)＝a·b＋a·c 成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． 4．空间向量的坐标表示 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| a21＋a22＋a23 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点 间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为 向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要 注意两种角的范围不同，最后应进行转化． 5．常用结论 (1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ①PA→＝λPB→(λ∈R)； ②对空间任一点 O，OP→ ＝OA→ ＋tAB→(t∈R)； ③对空间任一点 O，OP→ ＝xOA→ ＋yOB→ (x＋y＝1)． (2)证明空间四点共面的方法 对空间四点 P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论 成立来证明共面： ①MP→ ＝xMA→ ＋yMB→ ； ②对空间任一点 O，OP→ ＝OM→ ＋xMA→ ＋yMB→ ； ③PM→ ∥AB→(或PA→∥MB→ 或PB→∥AM→ )． 二、基本技能·思想·活动体验 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面． (√) (2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)． (×) (3)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c． (×) (4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反． (×) (5)若 a·b