2022高考数学一轮复习高考大题专项练三数列文含解析北师大版

高考大题专项(三) 数列 1.(2020 某某天河区模拟)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 a10,6Sn= 2 +3an+2,n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若任意 n∈N+,bn=(-1)n 2 ,求数列{bn}的前 2n 项和 T2n. 2.(2020 某某某某二模,文 17)设等差数列{an}的公差为 d(d>1),前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的公比 为 q.已知 b1=a1,b2=3,2q=3d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记=an·bn,求数列{}的前 n 项和 Tn. 3.(2020 某某某某 4 月质检二,理 17)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2=1,S7=14,数列{bn}满足 b1·b2·b3·…·bn= 2 2+ 2 . (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{}满足=bncos(anπ),求数列{}的前 2n 项和 T2n. 4.(2020 某某某某二模)Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 a4=9a2,S3=13,且公比 q>0. (1)求 an 及 Sn. (2)是否存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 5.(2020 某某,19)已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3). (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,求证:SnSn+2< +1 2 (n∈N+); (3)对任意的正整数 n,设= (3-2) +2 , 为奇数 , -1 +1 , 为偶数 . 求数列{}的前 2n 项和. 参考答案 高考大题专项(三) 数列 1.解(1)当 n=1 时,6a1= 1 2 +3a1+2,且 a10,所以 an-an-1=3, 所以数列{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列,所以 an=1+3(n-1)=3n-2. (2)bn=(-1)n 2 =(-1)n(3n-2)2. 所以 b2n-1+b2n=-(6n-5)2+(6n-2)2=36n-21. 所以数列{bn}的前 2n 项的和 T2n=36×(1+2+…+n)-21n=36× (+1) 2 -21n=18n2-3n. 2.解(1)由题意,得 10 = 101 + 45 = 100, 2 = 1 = 3, 将 b1=a1,q= 3 2 d 代入上式, 可得 21 + 9 = 20, 1 = 2, 解得 1 = 9, = 2 9 (舍去),或 1 = 1, = 2. ∴数列{an}的通项公式为 an=1+2(n-1)=2n-1,n∈N+. ∴b1=a1=1,q= 3 2 d= 3 2 ×2=3, ∴数列{bn}的通项公式为 bn=1×3n-1=3n-1,n∈N+. (2)由(1)知,=an·bn=(2n-1)·3n-1, ∴Tn=c1+c2+c3+…+=1×1+3×3+5×32+…+(2n-1)·3n-1, ① 3Tn=1×3+3×32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n, ② ①-②,得-2Tn=1+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n-1)·3n=1+2×(3+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=1+2× 3-3 1-3 -(2n-1)·3n=-(2n-2)·3n-2, ∴Tn=(n-1)·3n+1. 3.解(1)设数列{an}的公差为 d,由 a2=1,S7=14,得 1 + = 1, 71 + 21 = 14. 解得 1 = 1 2 , = 1 2 , 所以 an= 2 .∵b1·b2·b3·…·bn= 2 2+ 2 = 2 (+1) 2 ,∴b1·b2·b3·…·bn-1= 2 (-1) 2 (n≥2), 两式相除,得 bn=2n(n≥2). 当 n=1 时,b1=2 适合上式.∴bn=2n. (2)∵=bncos(anπ)=2ncos 2 π , ∴T2n=2cosπ 2 +22cosπ+23cos 3 π 2 +24cos(2π)+…+22n-1cos (2-1) π 2 +22ncos(nπ) 则 T2n=22cosπ+24cos(2π)+26cos(3π)+…+22ncos(nπ)=-22+24-26+…+(- 1)n·22n= -4 × [1-(-4) ] 1+4 =- 4+(-4) +1 5 . 4.解(1)由题意可得 1 3 = 91,1(1- 3 ) 1- = 13, > 0, 解得 1 = 1, = 3, 所以 an=3n-1,Sn= 1-3 1-3 = 3 -1 2 . (2)假设存在常数λ,使得数列{Sn+λ}是等比数列,因为 S1+λ=λ+1,S2+λ=λ+4,S3+λ=λ+13,所以 (λ+4)2=(λ+1)(λ+13),解得λ= 1 2 ,此时 Sn+ 1 2 = 1 2 ×3n,则 +1+ 1 2 + 1 2 =3,故存在常数λ= 1 2 ,使得数列 + 1 2 是等 比数列. 5.(1)解设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.由 a1=1,a5=5(a4-a3),可得 d=1,从而{an} 的通项公式为 an=n.由 b1=1,b5=4(b4-b3),又 q≠0,可得 q2-4q+4=0,解得 q=2,从而{bn}的通项公式 为 bn=2n-1. (2)证明由(1)可得 Sn= (+1) 2 ,故 SnSn+2= 1 4 n(n+1)(n+2)(n+3), +1 2 = 1 4 (n+1)2(n+2)2,从而 SnSn+2- +1 2 =- 1 2 (n+1)(n+2)