有理数的运算知识点汇总
知识点 1: 有理数的加减法
一、有理数加法法则：
1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2. 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3. 一个数与 0 相加，仍得这个数 .
二、有理数加法运算律：
1. 加法的交换律： a+b=b+a ；
2. 加法的结合律： （ a+b ） +c=a+（ b+c ） .
3. 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
（ 1 ）互为相反数的两个数先相加——“ 相反数 结合法” ；
（ 2 ）符号相同的两个数先相加——“ 同号 结合法” ；
（ 3 ）分母相同的数先相加——“ 同分母 结合法” ；
（ 4 ）几个数相加得到整数，先相加——“
凑整 法” ；
（ 5 ）整数与整数、小数与小数相加——“
同形 结合法” 。
三、 有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+ （-b ） .
知识点 2 ：有理数的乘除法
一、有理数乘法：
1. 有理数乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （“同号得正，异号得负”
专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同 0 相乘，都得 0 ；
法则三：几个不是 0 的数相乘， 负因数的个数是偶数时， 积是正数；
负因数的个数是奇 数时，积是负数；
法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0, 则积等于 0.
2. 有理数乘法的运算律：
（ 1 ）乘法的交换律： ab=ba ；
（ 2）乘法的结合律： （ ab ） c=a（ bc） ；
（ 3 ）乘法的分配律： a（ b+c） =ab+ac .
二、有理数除法法则
1. 除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。
2. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，
都得 0
三 . 有理数的加减乘除混合运算
1. 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
2. 有理数加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照‘先乘除，
后加减’的顺序进行。
知识点 3 ：有理数乘方
一、乘方
1. 乘方的概念
（ 1）求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。乘方中，相同的因
式叫做底数，相同因式的个数叫做指数。
（ 2）记作： a , 在 a 中， a 叫做底数， n 叫做指数。
2. 乘方的性质
（ 1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（ 2）正数的任何次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0。
二、有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
三、科学记数法：
n
把一个大于 10 的数记成 a 10 的形式（其中 a 大于或等于 1 且小于 10, n 是正整
数），这种记数法叫科学记数法 .（强调：a 是整数数位只有一位的数.）
例如:将 106 000 用科学记数法表示为：ax 10：
将 1。6 000 的小数点儿向左移动，小数点儿移到它前面
只有一位有效数字为止，小数点儿移动了
（或者说，这个数总其有 9 位，匕比这个数的数位少 L 即门=0-1=»
名）将刁啜点儿移到只有一位有效数字以后，从左.右，将串后一
个不为。的数字后面的“0”删除，♦下的部分归二项］.
这个“ 0*可不能删哦!
四、近似数
1 .近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位
2 .求近似数：按精确位的要求，用四舍五入法求近似数。
3 .有效数字：从左边第一个不为零的数字起， 到精确的位数止，所有数字， 都叫这个近
似数的有效数字.
本章知识结构图
n=S
相
反
意
义
的
量
绝时值
【巩固提高】
练习 1:有理数的加减混合运算
、选择题
1、绝对值不大于 10 的所有整数的和等于（ ）
A. —10 B.0 C.10 D.20
2、若有两个有理数的和为正数，则下列结论正确的是（ ）
A. 两个数都是正数 B. 两个数都是负数 C. 至少有一个数是正数 D.
以上结论都不对
3、如果 a b 0, b 0,那么 a，b，a，b 的大小关系为（ ）
A. abab B. ba a b
C. a b a b D. a b b a
4、（2006.南京）某地今年 1 月 1 日至 4 日的每天的最高气温与最低气温如下表
日期 1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月 4 日
最高气温 5C 4C 0C 4C
最低气温 0C -2C -4C -3C
其中温差最大的一天是（ ）
A. 1 月 1 日 B. 1 月 2 日 C. 1 月 3 日 D. 1 月 4 日
5、将 6 （ 3） （ 7） （ 2）写成省略加号的和的形式应是（ ）
A. 6 3 7 2 B. 6 3 7 2 C. 6 3 7 2 D. 6 3-7-2
6、a b a b ,则 a、b 的关系为（ ）
A.a、b 的绝对值相等 B. a、b 异号 C. a+b 的和是非负数 D. a、b 同号或其中至少
有一个为零
二、填空题
1、把 3 （ 5） （ 7） （ 8）写成省略括号的和的形式
2、若 a0 并且 a b ,贝 U a+b 0.
3、温度 3c 比 5 c 高
4、若 X3 2y z 5 0,贝(J x+y+z=, x —y—z=
5、绝对值大于 3 而小于 8 的所有整数的和 .
6、已知 m^ 6 的相反数，n 比 m 的相反数小 2,则 m n=
三、应用题
1、计算:
2、出租车司机小李某天下午营运全是东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正,
向西为负，他这天下午车里程(单位： knD ,记录如下：
15, 2, 5, 1, 10, 3, 2, 12, 4, 5, 6
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远？
(2)若汽油耗油量为 a L/km ,这天下午小李营运共耗油多少升?
(1)
一 15 (一)
3 3
6
(12)(-)
⑵ 5
(8)
7
10
⑶ 1.8 (1.2) ( 2.1) 0.2 ( 1.5)
1
(0.5) ( -) ( 2.75) ( 5.5)
(4) 4
练习 2:有理数的乘法
计算：(1)( +4)X( — 5); (2)(
1(4)0 X — 7 ; (5)
练习 3:有理数的乘法运算律
计算：(1)( —8) X9X( —1.25) X -9 ； 9
8)；
117 5
(5) --9- 18X36—6X1.43+3.93 X6.
练习 4:与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算
1 .已知 a 与 b 互为倒数，c 与 d 互为相反数， m 的绝对值是 4,求 m< (c + d)+axb— 3xm 的值.
-0.75) X(-1.2) ; (3)
-"9x0.3；
-11 X 11X
2 3
1
T4X
1
T5
1 X16.
(2)
1 5 1
匕―6+2 *( — 12)；
—5.372 X( — 3)+5.372 X(— 17) +5.372 X 4; (4)
34
-2435 X2.5 X(-
练习 5:有理数的除法法则
1.下面的计算中，正确的有 （）
①(―800) + ( — 20) = — (800 + 20):=—40;
练习 6:乘法对加法的分配律在除法中的应用
练习 7:有理数的乘方
1.填空:
⑴ 式子（—1.2）：其中底数是 ,指数是
② 0+(— 2 013) =0;
③( + 18)+(— 6) = + (18-6)= 3;
=-0.8.
A.①②③
2.计算：(1)
B.①③④
28 d 1
29 丁 —129 ；
@ ( —0.72) +0.9 = — (0.72
C.①②④ D.②④
(2)( -1)+(- 2.25).
0.9)
计算:
1 1 1」 工
3―4+9—12 +36.
1 1 1
计算：5。+ 丁 3-石.
11 1
1 474 4 472 4 4 4 43人 1 2013 个一
(2) 7
2.下列说法不正确的是().
A. (-2)2 013 是负数
写成乘方的形式是.
B . — 4200 是正数
C. 0 的任何次哥（指数不为 0）都等于它本身 —1 的 38 次哥等于它的相反数
3 .计算:
4 .下列说法正确的有（.）.
①负数的平方是负数；②正数的平方是正数；③平方是它本身的数是 0 和 1;④1 的立方等
于它本身；⑤一 1 的平方等于它的倒数；⑥任何一个有理数的平方都是非负数.
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 2 个
2013
x
5 .若 x, y 为有理数，且（5—x）4+|y+5|=0,则 y 的值为（）.
A. 1 B. - 1 C. 2 D. - 2
练习 8:科学记数法
1 .用科学记数法表示下列各数：
（1）3 400 000 ; （2） —98 120 Q00 ; ⑶23 458.2 ; （4）960 万.
2 .若 97 000 000 用科学记数法表示为 ax10n,则 a=, n=.
3 .若一个数用科学记数法表示为 1.754 X 10 5,则原数为 .
4 .下面用科学记数法表示的数 原来是什么数？
（1）赤道长约 4X104 千米； （2） 按 365 天计算一年有 3.153 6 X 107 秒.
5 .“天上星星有几颗，7 后跟上 22 个 0"，这是国际天文学联合大会上宣布的消息， 用科学
记数法表示宇宙空间星星颗数为 （）.
A. 700X 1020 B, 7X 1023 C. 0.7 X 1023 D. 7X1022
4 4 4 3 2 2
⑴(―2)；(2) ―3；(3) 5； (4) T3 ；⑸ 72 ； (6)( -1)2 014
练习 9:有理数的混合运算
c 1。
计算：(1)— 0.25 2+ —2 3X( — 1) 2 +( —2) 2X(— 3)2;
1 2 1 2 013 1c 2 1(2) —2 -22+( - 1) - 12x 0.5 —3+ig.
练习 10:混合运算中的简便运算技巧
1 .计算：
7. 7—1 -7 + _8
4 8 12 8 3 .
2 .某个家庭为了估计自己家 6 月份的用电量，对月初的一周每天电表的读数进行了记录， 上
周日电表的读数是 115 度.以后每日的读数如下表（表中单位：度），请你估计 6 月份大约用 多少度
电.
星期 一 二 三 四 五 六 日
电表的读数 118 122 127 133 136 140 143
J 5 5.1 1 5
|— — — 2—
2 7 7 2 2 7
3 .观察下列解题过程：
计算：1 + 5+ 52+ 53+…+ 524+ 525 的值.
解：设 S= 1 + 5 + 52 + 53+…+ 524+ 525, ( 1 )
贝 U 5S= 5 + 52+ 53+…+ 525+526 ( 2)
(2) - ( 1),得 4S= 526-1
26
5 1
S = 4
通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：
(1 ) 1 + 3+ 32+ 33+…+ 39+31O (2) 1 + x+x2+x3+…+ x99+x100
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