1
6.4.1 平面几何中的向量方法
一、选择题
1．在四边形 ABCD中,若
1
2
DC AB= ,且| AD |=|BC |,则这个四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
【答案】C
【解析】
由
1
2
DC AB= 知 DC∥AB,且|DC|=
1
2
|AB|,因此四边形 ABCD是梯形.又因为| AD |=|BC |,所以四边
形 ABCD是等腰梯形.故选 C
2．（2020·全国高一课时练习）已知O是 ABC 所在平面内一点，且满足
2OB OC OB OC OA− = + − ，则 ABC 为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
因为CB OB OC= − ， AB OB OA= − ，
因为 | | | 2 |OB OC OB OC OA− = + − ，所以 | | | |CB AB AC= + ，
因为CB AB AC= − ，所以 | | | |AB AC AB AC− = + ，
由此可得以 ,AB AC 为邻边的平行四边形为矩形，所以
2
BAC
= ，得 ABC 的形状是直角三角
形．故选 B。
3．（2020·全国高一课时练习）设点 M是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外，
2
16,| | | |BC AB AC AB AC= + = − ，则 AM =（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为 2| | 16BC = ，所以 | | 4BC = ，
2
又因为 2 2| | | | | | | | 0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC+ = − + = − = ，
所以 AB AC⊥ ,又因为M 是BC 的中点，
所以
1
| | | | 2
2
AM BC= = ,
故选 C.
4．（2020·全国高一课时练习）O为平面上的定点，A，B，C 是平面上不共线的三点，若
( ) ( 2 ) 0OB OC OB OC OA− + − = ，则 ABC 是（ ）
A．以 AB 为底面的等腰三角形
B．以 BC 为底面的等腰三角形
C．以 AB 为斜边的直角三角形
D．以 BC 为斜边的直角三角形
【答案】B
【解析】根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．
因此可知 2 ( ) ( )OB OC OA OB OA OC OA AB AC+ − = − + − = +
OB OC CB− = ，所以 ( 2 )OB OC OA+ − ( ) 0OB OC− = 可知为
故有 | |AB AC= ，因此可知 b=c，说明了是一个以 BC 为底边的等腰三角形，故选 B.
5.（多选题）设 cba ,, 为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量。且满足 ba与 不共线，
ca ⊥ ， |||| ca = ，则 b c 的值一定等于（ ）
A.以 ba与 为邻边的平行四边形的面积
B.以 cb，为邻边的平行四边形的面积
C.以 ba与 为两边的三角形的面积的 2 倍；
D.以 cb，为两边的三角形面积。
【答案】AC
【解析】设 cb，的夹角为 ， ba与 的夹角为 ，则
sin|||||)90cos(||||||cos||||||| ababcbcb ===
，故选 AC。
3
6.（多选题）点 O 在 ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A.若 0=++ OCOBOA ，则点 O 是 ABC 的重心。
B.若 0)
||||
()
||||
( =−=−
BA
BA
BC
BC
OB
AB
AB
AC
AC
OA ，则点 O 是 ABC 的垂心。
C.若 0)()( =+=+ BCOCOBABOBOA ，则点 O 是 ABC 的外心。
D.若 OAOCOCOBOBOA == ，则点 O 是 ABC 的内心。
【答案】AC
【解析】选项 A，设 D 为 BC 的中点，由于 ODOCOBOA 2)( −=+−= ，所以 O 为 BC 边上中线的
三等分点（靠近点 D），所以点 O 是 ABC 的重心。选项 B，向量
|||| AB
AB
AC
AC
， 分别表示在边 AC 和
AB 上去单位向量 BACA 和 ，记它们的差为向量 CB ，则当 0)
||||
( =−
AB
AB
AC
AC
OA ，即
CBOA ⊥ 时，点 O 在 BAC 的平分线上，同理由 0)
||||
( =−
BA
BA
BC
BC
OB ，知 O 在 ABC 的平
分线上，所以点 O 是 ABC 的内心。选项 C， OBOA+ 是以 OBOA， 为邻边的平行四边形的一条对
角线，而 || AB 是该平行四边形的另一条对角线， 0)( =+ ABOBOA 表示这个平行四边形是菱形，
即 |||| OBOA = ，同理由 |||| OBOC = ，于是点 O 是 ABC 的外心。选项 D，由 OCOBOBOA =
得 0=− OCOBOBOA ，所以 0=CAOB ，所以 CAOB ⊥ ，同理可证 ABOCCBOA ⊥⊥ , ，
所以 CAOB ⊥ ， ABOCBCOA ⊥⊥ , ，即点 O 是 ABC 的垂心。故选 AC。
二、填空题
7.（2019·全国高一课时练习）已知 P 是 ABC 内一点， 2( )AB PB PC= + ，记 PBC 的面积为 1S ，
ABC 的面积为 2S ，则
1
2
S
S
= __________．
【答案】
1
4
【解析】
设 BC 中点为 M,则 ( )2 4AB PB PC PM= + = ,所以 P 到 BC 的距离为点 A 到 BC 距离的
1
4
，故
4
1
2
1
4
S
S
=
8．（2019·全国高一课时练习）若点M 是 ABC 所在平面内的一点，且满足5 3AM AB AC= + ，
则 ABM 与 ABC 的面积比为__．
【答案】
3
5
【解析】
M 是 ABC 所在平面内的一点，连接 AM BM， ，
延长 AC 至 D 使 3AD AC= ，延长 AM 至E 使 5AE AM= ，
如图示： 5 3 5 3AM AB AC AB AM AC DE= + = − =， ，
连接BE ，则四边形 ABED 是平行四边形（向量 AB 和向量 DE 平行且模相等）
由于 3AD AC= ，所以
1 1
3 5
ABC ABD AMB ABES S S S= =， ，，所以
1
5
AMB ABES S= ，
在平行四边形中，三角形 ABD 面积=三角形 ABE 面积=平行四边形 ABED 面积一半
故 ABM 与 ABC 的面积比
1
35
1 5
3
ABE
ABD
S
S
= = ，
故答案为
3
5
9．已知 为△ 的外心，若 + − =0，则 =_____．
【答案】
【解析】
∵ + − =0，∴ ，
∴ ，
∵ 在圆 上，∴ ，∴ ∙ =0.
所以 .
10．在四边形 ABCD 中， AC ＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则 AC 与 BD的夹角为 ，该四边
5
形的面积为___________.
【答案】 90
【解析】
试题分析：假设对角线的交点为 ， ,AC BD 的夹角为为 ，
则四边形面积为
，
5AC AC= = ， 2 5BD BD= = ，cos 0 sin 1
AC BD
AC BD
= = =
，所以，两向量夹角为 90 ，
四边形面积 .
三．解答题
11.（2020·全国高一课时练习）如图，在正方形 ABCD中， ,E F 分别为 ,AB BC 的中点，求证：
AF DE⊥ （利用向量证明）.
【答案】详见解析.
【解析】证明：设 AB a= ， AD b= ，则
1
2
AF a b= + ，
1
2
ED b a= − .
2 21 1 1 1 3
• • •
2 2 2 2 4
AF ED a b b a b a a b
= + − = − +
.
又 AB AD⊥ ，且 AB AD= ， 2 2a b = ， • 0a b = .
• 0AF ED = ， AF ED ⊥ .
.
12．（2020·全国高一课时练习）如图，已知直角梯形 ABCD中， 2 2AD AB AB AD CD⊥ = =， ，
6
过点C 作CE AB⊥ 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：
（1） DE BC∥ ；
（2）D M B， ， 三点共线.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】以E 为原点， AB 所在直线为 x 轴， EC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图.令
1AD = ，
则 1CD = ， 2AB = .∵CE AB AD DC⊥ =， ，∴四边形 AECD 为正方形.∴各点坐标分别为
( )0 0E ， ， ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 1 1 1 0B C D A− −， ， ，， ，， ， .
（1）∵ ( ) ( ) ( )1 1 0 0 1 1ED = − − = −， ， ， ， ( ) ( ) ( )0 1 1 1 10BC = − = −， ， ， ，
∴ ED BC= ，∴ED BC∥ ，即 DE BC∥ .
（2）∵M 为 EC 的中点，∴
1
0
2
M
， ，∴ ( )
1 1
1 1 0 1
2 2
MD
= − − = −
， ， ， ，
( )
1 1
1 0 0 1
2 2
MB
= − = −
， ， ， .∵MD MB= − ，
∴ MD MB∥ .又∵MD 与MB 有公共点，∴D M B， ， 三点共线.
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