高二数学上学期期末模拟试卷

高二数学上学期期末模拟试卷 命题人：李正洋 审核人：张达连 时间：120 分钟 分值：160 分 使用时间：2008.01 一、填空题 1、样本 a1, a2, a3, …, a10 的平均数为 X ，样本 b1, b2, b3, …, b20 的平均数为Y ,则样本 a1，a2，a3，…， a10, b1，b2，b3，…，b20 的平均数为(用 X ,Y 表示) ________. 2、抛物线 )0(2  aaxy 的焦点坐标是 _____. 3、已知条件 : 1 2p x   ，条件 2:5 6q x x  ，则 p 是 q 的 _______条件. 4、为了解 1200 名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 30 的样本考 虑采取系统抽样，则分段的间隔(抽样距)k 为 _____. 5、以下给出的是计算 1 1 1 1 2 4 6 20     的值的一个流程 图(如图所示)，其中判断框内应填入的条件是_______. 6、写出命题：“至少有一个实数 x , 使 3 2x  =0”的否 定 . 7、经过点 )62,62( M 且与双曲线 134 22  yx 有共同渐 近线的双曲线方程为 ________. 8、口袋内装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球，其 中有 45 个红球，从中摸出 1 个球，摸出白球的概率为 0.23，则摸出黑球的概率为 ． 9、（文科班）已知函数 3 2( ) (2 1) 2f x ax a x    ，若 1x   是 ( )y f x 的一个极值点，则 a  ． （理科班）已知向量 ,3,5 krjibkjima   若 //a b  则实数 m ______， r _______. 10、已知椭圆 2 2 19 1 x y k k    的离心率 2 2e  ，则 k 的值等于________________. 11、记定点 )3 10,3(M 与抛物线 xy 22  上的点 P 之间的距离为 d1，P 到抛物线准线 L 的距 离为 d2，则当 d1+d2 取最小值时，P 点坐标为________________. 12、若双曲线 2 2 14 5 x y  上一点 P 到右焦点的距离为 8，则 P 到左准线的距离为________. 13、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为 m 和 n，则 m n 的概率为 . 14、（文科班）已知函数   3 2f x x ax b   的图象在点  1,0P 处的切线与直线3 0x y  平行， 则 ______, _______a b  . 开始 s←0,n←2,i←1 1s s n   n←n+2 i←i+1 否 结束 是 输出 s （理科班）若 19(0,2, )8A ， 5(1, 1, )8B  ， 5( 2,1, )8C  是平面 内的三点，设平面 的法向 量 ),,( zyxa  ，则 zyx :: ________________. 二、解答题 15、已知条件 p ： 02082  xx ， 012: 22  axxq .若 p 是 q 的充分而不必要条件， 求正实数 a 的取值范围. 16、已知双曲线过点 P )4,23( ，它的渐近线方程为 xy 3 4 （1）求双曲线的标准方程； （2）设 F1 和 F2 是这双曲线的左、右焦点，点 P 在这双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求 ∠F1PF2 的大小. 17、（文科班）同时掷 3 个骰子。求：（1）三个骰子的点数都是 4 的概率； （2）三个骰子的点 数和小于 5 的概率。（3）三个骰子的点数至少有两个相同的概率； （理科班）已知正方形 ABCD ，边长为 2，正方形内任意一点的选取都是等可能的，任选一 点 P ，作 PM AB 于 M ， PN AD 于 N ，矩形 PMAN 的面积为 S 。 （1）请建立适当的坐标系，设 ( , )P x y ，作出满足 1S  的 P 点的区域，并写出 ,x y 满足的条 件； （2） 1S  的概率大于 0.5 吗？试通过计算说明。 18、（文科班）已知曲线 ( ) ( ln )f x x a b x   过点 P（1，3），且在点 P 处的切线恰好与直线 2 3 0x y  垂直. 求(Ⅰ) 常数 ,a b 的值； (Ⅱ) ( )f x 的单调区间. （理科班）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA  底面 ABCD ， 3AB  ， 1BC  ， 2PA  ， E 为 PD 的中点. （Ⅰ）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE  面 PAC ，并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离. A B D C 19、（文科班）设曲线 2:C y x 上的点  0 0 0, , 0P x y x  ，过 P 作曲线C 的切线。 (1) 若 0 2x  ，求过点 P 的切线方程； （2）设曲线 C 焦点为 F ，切线与 y 轴交于 A，求证: AFP△ 是等腰三角形。 （理科班）在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， O 正方形 1 1 1 1A B C D 的中心，点 P 在 棱 1CC 上，且 1 4CC CP . （1）求直线 AP 与平面 1 1BCC B 所成角的余弦值； （2）设点O 在平面 1D AP 上的射影为 H ，求证： 1D H AP ； （3）求点 P 到平面 1ABD 的距离. 20、如图，A 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上的一个动点，弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2，当 AC 垂直于 x 轴时，恰好有 AF1：AF2＝3：1. (Ⅰ) 求椭圆的离心率； (Ⅱ) 设 1 1 1 2 2 2,AF F B AF F C      . ①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时，求 1 2  的值； ②当 A 点为该椭圆上的一个动点时，试判断 1 2  是否 为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由. A B C x y F1 F2 东沟中学高二数学期末模拟试卷参考答案 一、填空题(14*5=70 分) 1、 2 3 x y 2、 1(0, )4a 3、充分不必要 4、40 5、 10i  6、 3, 2 0x R x    7、 2 2 16 8 y x  8、0.32 9、（文）2；（理） 115, 5  10、 11 19 3 3 或 11、 (2 2)， 12、 8 83 或 13、 3 5 14、（文） 3 2 ，；（理） 2 3 ( 4)：： 二、解答题 15、 0 3a  16、解（1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为 23 的点 P 的纵坐 标绝对值为 24 ， 424  ∴双曲线的焦点在 x 轴上，设方程 12 2 2 2  b y a x ∵双曲线过点 11618)4,23( 22  ba P ① 又 3 4 a b ② 由①②得 16,9 22  ba ，∴所求的双曲线方程为 1169 22  yx …………6 分 （2）证|PF1|=d1，|PF2|=d2，则 d1·d2=32 又由双曲线的几何性质知|d1－d2|=2a=6…………8 分 362 21 2 2 2 1  dddd 即有 100236 21 2 2 2 1  dddd ………………10 分 又|F1F2|=2c=10 2 2 2 1 2 2 2 1 2 21 ||||100|| PFPFddFF  △PF1F2 是直角三角形，  9021PFF ………………………………12 分 17、解：（文）（1） 1 1 6 6 6 216   ；（2） 1 3 1 6 6 6 54    ；（3） 6 5 4 41 6 6 6 9     （理）（1）以 AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， A 为坐标原点建立直角坐标系。  ,x y 满足： 0 2,0 2, 1x y xy     所围成的区域。 （2）阴影部分面积 2 2 11 12 1 1 2ln 1 2ln 2 1 ln 4 1dx xx          使得 1S  的概率 ln 4 1 1 1 1 4 4 2     18、解（文）(Ⅰ)据题意 (1) 3f  ，所以 3a  （1） 1( ) ( ln ) lnf x a b x x b a b b xx          ， 又曲线在点 P 处的切线的斜率为 3 2 ， ∴ (1) 3f   ，即 3 2a b  （2）由（1）（2）解得 33, 2a b   . （Ⅱ） 3 3 3( ) ln (1 ln )2 2 2f x x x     . ∴当 (0, )x e 时， ( ) 0f x  ；当 ( , )x e  时， ( ) 0f x  .∴ ( )f x 的单调区间为 (0, ) , ( , )e e  ，在区间 (0, )e 上是增函数，在区间 ( , )e  上是减函数. （理）（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , , , , ,A B C D P E 的坐标为 (0,0,0)A 、 ( 3,0,0)B 、 ( 3,1,0)C 、 (0,1,0)D 、 (0,0,2)P 、 1(0, ,1)2E ， 从而 ).2,0,3(),0,1,3(  PBAC 设 PBAC与 的夹角为 ，则 ,14 73 72 3 |||| cos    PBAC PBAC ∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为 14 73 . （Ⅱ）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为 ( ,0, )x z ，则 )1,2 1,( zxNE  ，由 NE  面 PAC 可得，                  .02 13 ,01 .0)0,1,3()1,2 1,( ,0)2,0,0()1,2 1,( .0 ,0 x z zx zx ACNE APNE 化简得即 ∴      1 6 3 z x 即 N 点的坐标为 )1,0,6 3( ，从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 31, 6 . 19、解：（文）（1） ' 2y x ，切线方程为  4 4 2y x   ，即 4 4y x  （2） 0 0,x y 处切线方程：  0 0 02y y x x x   ，将 0x  代入， 得  2 0 0 0 0 0 02 2 0Ay y x y y y y       ，焦点 F 坐标 10, 4      ， 0 1 4AF y   ，又 0 0 1 2 4 pPF y y    ， AF PF  ，即 AFP 是等腰三角形。 （理） 102 103P  复习题第 13 题 20、解（Ⅰ）设 2| |AF m ，则 1| | 3AF m .由题设及椭圆定义得 2 2 2(3 ) (2 ) 3 2 m m c m m a      ， 消去 m 得 2 22a c ，所以离心率 2 2e  . (Ⅱ) 由(1)知， 2 2 21 2b c a  ，所以椭圆方程可化为 2 2 22 2x y c  . ①当 A 点恰为椭圆短轴的一个端点时， 1 2  ，直线 1AF 的方程为 y x c  . 由 2 2 22 y x c x y a     得 23 4 0x cx  ，解得 1 2 40 , 3x x c   ， ∴ 点 B 的坐标为 4 1( , )3 3c a  . 又 1( ,0)F c ，所以 1 2| | 3F B c ， 1| | 2AF c ，所以 1 3  ， 1 2 6   . ②当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 1 2  为定值 6. 证明 设 0 0( , )A x y ， 1 1 2 2( , ) , ( , )B x y C x y ，则 2 2 2 0 02x y a  . 若 A为椭圆的长轴端点，则 1 2, ,a c a c a c a c      或 1 2,a c a c a c a c      ， 所以 2 2 1 2 2 2 2( ) 6a c a c      . 若 A为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由 1 1 1 2 2 2,AF F B AF F C   得， 0 0 1 2 1 2 ,y y y y      ，所以 1 2 0 1 2 1 1( )y y y      . 又直线 1AF 的方程为 0 0 x cx c yy   ，所以由 0 0 2 2 22 2 x cx c yy x y c       得 2 2 2 2 0 0 0 0 0[2 ( )] 2 ( ) 0y x c y cy x c y c y      . 2 2 2 0 02 2x y c  ， ∴ 2 2 0 0 0 0(3 2 ) 2 ( ) 0c x y y x c y cy     . 由韦达定理得 2 0 0 1 03 2 cyy y c x    ，所以 0 1 03 2 cyy c x    . 同理 0 1 03 2 cyy c x    . ∴ 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 2 3 21 1( ) ( ) 6c x c xy yy y cy cy              . 综上证得，当 A 点为该椭圆上的一个动点时， 1 2  为定值 6.