高二数学上学期期末试卷a

君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 1 - 高二级上学期期末数学理科试题 一选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1、若 a 、b 是任意实数，且 ba  ，则（ ） A． 22 ba  B． 1 a b C． 0)lg(  ba D． ba )2 1()2 1(  2、设 nml ,, 均为直线,其中 nm, 在平面 ”“”“, nlmlla  且是则内  的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、对于两个命题： ① , 1 sin 1x R x     ， ② 2 2,sin cos 1x R x x    ， 下列判断正确的是（ ）。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真 4、已知 1 2,F F 是椭圆的两个焦点，过 1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与 A , B 两点， 则 2ABF 是正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 2 2 B 1 2 C 3 3 D 1 3 5、过抛物线 2 8y x 的焦点作倾斜角为 045 直线l ，直线l 与抛物线相交与 A ， B 两点， 则弦 AB 的长是（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 6、在同一坐标系中，方程 )0(01 22222  babyaxxbxa 与 的曲线大致是（ ） A． B． C． D． 7、各棱长都等于 1 的正四面体 OABC 中，若点 P 满足 OP       xOA yOB zOC ， （其中 1x+ y + z = ）则| |OP  的最小值为（ ） A. 3 2 B. 6 2 C. 6 3 D. 3 3 8、设二次函数   2f x ax bx c   的导数为  f x ，  0 0f   ，若 x R  ，恒有   0f x  ， 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 2 - 则     2 0 f f   的最小值是（ ） A． 0 B. 2 C. 2 D. 4 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.） 9、已知命题 p ： x R ， sinx x ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则 p 形式的命题是 __ 10、.图中是抛物线形拱桥，水面在 A 处时，拱顶离水面 2 米， 水面宽 4 米，当水面下降 1 米后，水面宽是 11、如图，正方体 1 1 1 1,ABCD A B C D 中， 1BC 与 平面 1 1BB D D 所成角为 12、 已知点 (2,1)M , F 为抛物线 2 2y x 的焦点，点 P 在 抛物线上，且 PM PF 取得最小值，则 P 点的坐标是 13、已知函数 xey  ，过原点作曲线 xey  的切线，则切线的方程是 14、已知函数   lnf x x x  ，下列四个判断 ①在定义域上为增函数； ② 在定义域上为减函数； ③.在定义域上有最小值，没有最大值； ④ 在定义域上有最大值，没有最小值； 正确的判断序号是 三．解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.）解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 15．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， A B C、 、 是三角形的三内角， a b c、 、 是三内角对应的三边， 已知 2 2 2b c a bc   ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 2 2 2sin sin sinA B C  ，求角 B 的大小． 16．（本小题满分 12） 2 A A A1 B CD D1 C1 B1 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 3 - 设命题 P ： 2" , 2 "x R x x a    ，命题Q ： 2" , 2 2 0"x R x ax a      ； 如果“ P 或Q ”为真，“ P 且Q ”为假，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17（本小题满分 14 分） 在数列 na 中， 1 2a  ， 1 4 3 1n na a n    ， n *N ． （Ⅰ）证明数列 na n 是等比数列； （Ⅱ）求数列 na 的前 n 项和 nS ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅲ）证明不等式 1 4n nS S  ，对任意 n *N 皆成立． 18（本小题满分 14 分） 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AD= AA1=1，AB=2。 E 是 CC1 的中点，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）求二面角 D-B1E-B 的余弦值 （Ⅱ）试判断 AC 与面 DB1E 的位置关系，并说明理由。 （Ⅲ）设 M 是棱 AB 上一点，若 M 到面 DB1E 的距离为 21 7 ，试确定点 M 的位置。 19（本小题满分 14 分） E A C B D 1A 1B 1C1D 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 4 - 已知函数 3( )f x ax cx d   ( 0)a  是 R 上的奇函数，当 1x  时， ( )f x 取得极值 2 。 （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间和极大值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）证明：对任意 1 2, ( 1,1)x x   ，不等式 1 2( ) ( ) 4f x f x  恒成立。 20（本小题满分 14 分） 如图，A 、B 分别是椭圆 )0(12 2 2 2  ba b x a y 的上、下两顶点，P 是双曲线 12 2 2 2  b x a y 上在第一象限内的一点，直线 PA 、 PB 分别交椭圆于C 、 D 点，如果 D 恰是 PB 的中点. （Ⅰ）求证：无论常数 a 、b 如何，直线CD 的斜率恒为定值； （Ⅱ）若直线 CD 通过椭圆的焦点，求双曲线的离心率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高二数学上学期期末理科试题答案 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 5 - 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1-8：DABC BDCA 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.） 9、 x R ， sinx x ；10、 62 ；11、 6  ；12、 1( ,1)2 ；13、 .exy  ；14、③ 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.） 15、解：（Ⅰ）在△ABC 中， 2 2 2 2 cosb c a bc A   ………2 分 ∵ 2 2 2b c a bc   1cos ,2A  …………4 分 又 (0, )A  ∴ 3A  …………6 分 （Ⅱ）∵ 2 2 2sin sin sinA B C  由正弦定理,得 2 2 2 2 2 24 4 4 a b c R R R   ………8 分 即: 2 2 2a b c  故△ABC 是以角 C 为直角的直角三角形， ………10 分 又 ,3 6A B    ………12 分 16、解：命题 P ： 2" , 2 "x R x x a    即 2 22 ( 1) 1x x x a     恒成立 1a   ………3 分 命题Q ： 2" , 2 2 0"x R x ax a      即方程 2 2 2 0x ax a    有实数根 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∴ 2(2 ) 4(2 ) 0a a     2a   或 1a  ………6 分 ∵“ P 或Q ”为真，“ P 且Q ”为假，∴ P 与Q 一真一假 ……8 分 当 P 真Q 假时， 2 1a    ；当 P 假Q 真时， 1a  ………10 ∴ a 的取值范围是 ( 2, 1) [1, )   ………12 17、（Ⅰ）证明：由题设 1 4 3 1n na a n    ， 得 1 ( 1) 4( )n na n a n     ， n *N ． ……3 分 又 1 1 1a   ，所以数列 na n 是首项为1，且公比为 4 的等比数列．……5 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 14n na n   ， 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 6 - 于是数列 na 的通项公式为 14n na n  ……7 分 所以数列 na 的前 n 项和 4 1 ( 1) 3 2 n n n nS    ． ……….10 分 （Ⅲ）证明：对任意的 n *N ， 1 1 4 1 ( 1)( 2) 4 1 ( 1)4 43 2 3 2 n n n n n n n nS S               21 (3 4)2 n n    ． …….12 分 ∵对任意 n *N 23 4n n  ∴ 21 (3 4) 02 n n    …….13 分 所以不等式 1 4n nS S  ，对任意 n *N 皆成立． …….14 分 18、解：以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 分别 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图， 则 D（0，0，0），A（1，0，0）， C（0，2，0），B（1，2，0） A1（1，0，1），D1（0，0，1）， C1（0，2，1），有中点坐标公式， 10 2E（ ，2，） ……2 分 （Ⅰ） 1 (1,2,1)DB  ， 1(0,2, )2DE  ， 设面 DB1E 的法向量 n x （ ，y，z）， 由 1 2 2 00{ { 12 00 2 x y zn DB y zn DE             令 1y  得 (2,1, 4)n   ………………4 分 而 (0,2,0)DC  为面 BB1E 的法向量。设二面角 D-B1E-B 为 ， (0, )2   21cos | cos , | 21n DC      ………………………………… 6 分 （Ⅱ） ( 1,2,0)AC   ， 从而 0AC n AC n       又 AC  面 1DB E ………8 分 //AC 面 1DB E ………………………………………10 分 （Ⅲ）设点 M (1, ,0)(0 2)a a  ，M 到面 DB1E 的距离为 d , 且 (1, ,0)DM a 则 | | 21 2 21 17 7| | 21 DM n ad a n           …………13 分 即 M (1,1,0) ，M 为 AB 的中点… …………………………………………………14 分 E A C B D 1A 1B 1C1D z x y 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 7 - 19（Ⅰ）解：由 ( )f x 是 R 上的奇函数， ∴ (0) 0f  即 0d  ，   23f x ax c   …….1 分 ∵  1 2f   是函数的极值 ∴ ' (1) 3 0 (1) 2 f a c f a c          解得 1 3 a c     …….3 分 ∴ 3( ) 3f x x x  ，   23 3f x x   令   0f x  解得 1x   ， …….4 分 当 ( , 1)x   时，   0f x  ； 当 ( 1,1)x  时，   0f x  ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 (1, )x  时，   0f x  。 …….6 分 故 ( )f x 在 ( , 1)  和 (1, ) 上为增函数，在 ( 1,1) 上为减函数。 …….8 分 所以 ( )f x 在 1x   处取得极大值 2 …….10 分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知， 在[ 1,1] 上 ( )f x 有最大值 ( 1) 2M f   ，最小值 (1) 2m f   …….12 分 所以，对任意 1 2, ( 1,1)x x   ， 1 2( ) ( ) 2 ( 2) 4f x f x M m       即不等式成立 …….14 分。 20、解：（Ⅰ）设 P 点坐标为 ),( 00 yx ，又 A、B 坐标分别是 ),0( a 、 ),0( a 而 D 是 PB 的中点，∴D 点坐标为 )2,2( 00 ayx  ， ……2 分 把 D 点坐标代入椭圆方程， 得： 4)( 2 2 0 2 2 0  b x a ay ① 又 12 2 0 2 2 0  b x a y ② ……4 分 由①②解得， ayay  00 (2 舍去） Pbx  ,30 点坐标为 君滢文化 DONWIN 一对一个性化教育机构 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网- 8 - )2,3( ab …6 分 故 b a x ayk PA 30 0  ， ……7 分 直线 PA 的方程是 1 3 2 2 2 2  b x a yax b ay 与 联立，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得 C 点坐标为 )2,2 3( ab ，又 D 点坐标为 )2,2 3( ab …………9 分 ∴C、D 两点关于 y 轴对称，故无论 a、b 如何变化，都有 CD//x 轴， 直线 CD 的斜率恒为常数 0. ……………………10 分 （Ⅱ）当直线 CD 过椭圆焦点 ),0( 22 ba  时， 则 222 4 3,2 ababa  ， ……12 分