10.1.2 事件的关系和运算
知识点一 事件的运算
1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件 E＝{向上的点数为 1}，事件 F＝{向
上的点数为 5}，事件 G＝{向上的点数为 1 或 5}，则有( )
A．E⊆F B．G⊆F
C．E∪F＝G D．E∩F＝G
2．打靶 3 次，事件 Ai＝“击中 i 次”，其中 i＝0,1,2,3.那么 A＝A1∪A2∪A3
表示( )
A．全部击中 B．至少击中 1 次
C．至少击中 2 次 D．全部未击中
3．盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A＝{3 个球中
有 1 个红球，2 个白球}，事件 B＝{3 个球中有 2 个红球，1 个白球}，事件 C＝{3
个球中至少有 1 个红球}，事件 D＝{3 个球中既有红球又有白球}．
(1)事件 D 与 A，B 是什么样的运算关系？
(2)事件 C 与 A 的交事件是什么？
知识点二 事件关系的判断
4.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
5．某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛．判断下
列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有 1 名男生与 2 名全是男生；
(2)至少有 1 名男生与全是男生；
(3)至少有 1 名男生与全是女生；
(4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生．
6．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏．两个转盘各转一次，观察指针所指
区域颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件 A 表示“转盘①指针所指区域
是黄色”，事件 B 表示“转盘②指针所指区域是绿色”，事件 C 表示“两转盘指
针所指区域颜色相同”．
(1)用样本点表示 A∩B，A∪B；
(2)试判断事件 A 与 B，A 与 C，B 与 C 是否为互斥事件．
7．已知 100 件产品中有 5 件次品，从这 100 件产品中任意取出 3 件，设 E
表示事件“3 件产品全不是次品”，F 表示事件“3 件产品全是次品”，G 表示事
件“3 件产品中至少有 1 件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F 与 G 互斥
B．E 与 G 互斥但不对立
C．E，F，G 中任意两个事件均互斥
D．E 与 G 对立
一、选择题
1．给出事件 A 与 B 的关系示意图，如图所示，则( )
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A 与 B 互斥
D．A 与 B 互为对立事件
2．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( )
A．至多有一次为正面 B．两次均为正面
C．只有一次为正面 D．两次均为反面
3．从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A＝“至少有 1 个
白球”，则事件 A 的对立事件是 ( )
A．1 个白球 2 个红球 B．2 个白球 1 个红球
C．3 个都是红球 D．至少有一个红球
4．如果事件 A 与 B 是互斥事件，则( )
A．A∪B 是必然事件
B. A－与 B－一定是互斥事件
C. A－与 B－一定不是互斥事件
D. A－∪ B－是必然事件
5．(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A＝{两
弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有
一弹击中飞机}，下列说法正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
二、填空题
6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件 A 表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件
B 表示“小于 5 的点数出现”，则事件 A∪ B 包含的样本点有________．
7．从一副扑克牌(去掉大、小王，共 52 张)中随机选取一张，给出如下四组
事件：
①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；
③“这张牌牌面是 2,3,4,6,10 之一”与“这张牌是方块”；
④“这张牌牌面是 2,3,4,5,6,7,8,9,10 之一”与“这张牌牌面是 A，K，Q，
J 之一”．
其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．
8．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事
件 A 表示“第二个路口是红灯”，事件 B 表示“第三个路口是红灯”，事件 C 表
示“至少遇到两个绿灯”，则 A∩B 包含的样本点有________个，事件 A∩B 与 C
的关系是________．
三、解答题
9．掷一枚骰子，有下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于 3}，D＝{出现点数
大于 2}，E＝{出现点数是 3 的倍数}．
(1)用样本点表示事件 A∩B，事件 B∩C；
(2)用样本点表示事件 A∪B，事件 B∪C；
(3)用样本点表示事件 D－，事件 A－∩C，事件 B－∪C，事件 D－∪ E－.
10．如图，转盘①的三个扇形面积相等，分别标有数字 1,2,3，转盘②的四
个扇形面积相等，分别标有数字 1,2,3,4.转动①，②转盘各一次，当转盘停止转
动时，将指针所落扇形中的两个数字记录下来(不考虑指针落在分界线上的情况)．
事件 A 表示“两数字之积为偶数”，事件 B 表示“两数字之和为偶数”，事
件 C 表示“两数字之差的绝对值等于 3”．
(1)用样本点表示 A∩B，A∪B；
(2)判断事件 A 与 C，B 与 C 的关系．
10.1.2 事件的关系和运算
知识点一 事件的运算
1.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件 E＝{向上的点数为 1}，事件 F＝{向
上的点数为 5}，事件 G＝{向上的点数为 1 或 5}，则有( )
A．E⊆F B．G⊆F
C．E∪F＝G D．E∩F＝G
答案 C
解析 根据事件之间的关系，知 E⊆G，F⊆G，事件 E，F 之间不具有包含关
系，故排除 A，B；因为事件 E 与事件 F 不会同时发生，所以 E∩F＝∅，故排除 D；
事件 G 发生当且仅当事件 E 发生或事件 F 发生，所以 E∪F＝G.故选 C.
2．打靶 3 次，事件 Ai＝“击中 i 次”，其中 i＝0,1,2,3.那么 A＝A1∪A2∪A3
表示( )
A．全部击中 B．至少击中 1 次
C．至少击中 2 次 D．全部未击中
答案 B
解析 A1∪A2∪A3 表示的是 A1，A2，A3 这三个事件中至少有一个发生，即可能
击中 1 次、2 次或 3 次，故选 B.
3．盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A＝{3 个球中
有 1 个红球，2 个白球}，事件 B＝{3 个球中有 2 个红球，1 个白球}，事件 C＝{3
个球中至少有 1 个红球}，事件 D＝{3 个球中既有红球又有白球}．
(1)事件 D 与 A，B 是什么样的运算关系？
(2)事件 C 与 A 的交事件是什么？
解 (1)对于事件 D，可能的结果为“1 个红球，2 个白球，或 2 个红球，1
个白球”，故 D＝A∪B.
(2)对于事件 C，可能的结果为“1 个红球，2 个白球，或 2 个红球，1 个白球，
或 3 个均为红球”，故 C∩A＝A.
知识点二 事件关系的判断
4.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中，为互斥事件的是( )
A．① B．②④ C．③ D．①③
答案 C
解析 “恰有一个是奇数”和“恰有一个是偶数”是相等事件，故①不是互
斥事件；“至少有一个是奇数”包含“两个数都是奇数”的情况，故②不是互斥
事件；“至少有一个是奇数”和“两个数都是偶数”不能同时发生，故③是互斥
事件；“至少有一个是奇数”和“至少有一个是偶数”可以同时发生，故④不是
互斥事件．故选 C.
5．某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学参加演讲比赛．判断下
列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有 1 名男生与 2 名全是男生；
(2)至少有 1 名男生与全是男生；
(3)至少有 1 名男生与全是女生；
(4)至少有 1 名男生与至少有 1 名女生．
解 (1)因为“恰有 1 名男生”与“2 名全是男生”不可能同时发生，所以它
们是互斥事件；当 2 名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“2 名全是男生”发生时“至少有 1 名男生”也同时发生，所以它们
不是互斥事件．
(3)因为“至少有 1 名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互
斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是“1 名男生和 1 名女生”时，“至少有 1 名男生”与“至少有
1 名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
6．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏．两个转盘各转一次，观察指针所指
区域颜色(不考虑指针落在分界线上的情况)．事件 A 表示“转盘①指针所指区域
是黄色”，事件 B 表示“转盘②指针所指区域是绿色”，事件 C 表示“两转盘指
针所指区域颜色相同”．
(1)用样本点表示 A∩B，A∪B；
(2)试判断事件 A 与 B，A 与 C，B 与 C 是否为互斥事件．
解 列表如下：
由上表可知，共有 15 种等可能的结果．
(1)由上表可知 A＝{(黄，蓝)，(黄，黄)，(黄，红)，(黄，绿)，(黄，紫)}，
B＝{(红，绿)，(黄，绿)，(蓝，绿)}，A∩B＝{(黄，绿)}，A∪B＝{(黄，绿)，(黄，
黄)，(黄，红)，(黄，蓝)，(黄，紫)，(红，绿)，(蓝，绿)}．
(2)C＝{(蓝，蓝)，(黄，黄)，(红，红)}，因为 A∩B＝{(黄，绿)}≠∅ ，A∩C
＝{(黄，黄)}≠∅ ，B∩C＝∅ ，所以事件 A 与 B，A 与 C 不是互斥事件，B 与 C 是
互斥事件．
课时易错点
易错点 分不清“互斥事件”与“对立事件”致误
7．已知 100 件产品中有 5 件次品，从这 100 件产品中任意取出 3 件，设 E
表示事件“3 件产品全不是次品”，F 表示事件“3 件产品全是次品”，G 表示事
件“3 件产品中至少有 1 件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F 与 G 互斥
B．E 与 G 互斥但不对立
C．E，F，G 中任意两个事件均互斥
D．E 与 G 对立
易错分析 解答本题易出现两个错误．一是对互斥事件与对立事件的概念模
糊不清，理解不透；二是对“全是、全不是、至多、至少”搞不清楚，从而导致
错误．
答案 D
正解 由题意得事件 E 与事件 F 不可能同时发生，是互斥事件；事件 E 与事
件 G 不可能同时发生，是互斥事件；当事件 F 发生时，事件 G 一定发生，所以事
件 F 与事件 G 不是互斥事件，故 A，C 不正确．事件 E 与事件 G 中必有一个发生，
所以事件 E 与事件 G 对立，所以 B 不正确，D 正确．故选 D.
一、选择题
1．给出事件 A 与 B 的关系示意图，如图所示，则( )
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A 与 B 互斥
D．A 与 B 互为对立事件
答案 C
解析 由互斥事件的定义知 C 正确．
2．一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( )
A．至多有一次为正面 B．两次均为正面
C．只有一次为正面 D．两次均为反面
答案 D
解析 对于 A，“至多有一次为正面”与“至少有一次为正面”，能够同时
发生，不是互斥事件；对于 B，“两次均为正面”与“至少有一次为正面”，能
够同时发生，不是互斥事件；对于 C，“只有一次为正面”与“至少有一次为正
面”，能够同时发生，不是互斥事件；对于 D，“两次均为反面”与“至少有一
次为正面”，不能够同时发生，是互斥事件．故选 D.
3．从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A＝“至少有 1 个
白球”，则事件 A 的对立事件是 ( )
A．1 个白球 2 个红球 B．2 个白球 1 个红球
C．3 个都是红球 D．至少有一个红球
答案 C
解析 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A＝“至少有 1
个白球”，则事件 A 的对立事件是所取的 3 个球中没有白球，故事件 A 的对立事
件是 3 个都是红球．故选 C.
4．如果事件 A 与 B 是互斥事件，则( )
A．A∪B 是必然事件
B. A－与 B－一定是互斥事件
C. A－与 B－一定不是互斥事件
D. A－∪ B－是必然事件
答案 D
解析 由互斥事件的意义可知，互斥事件是不能同时发生的事件，它与对立
事件不同，它们的补集的和事件一定是必然事件，故选 D.
5．(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A＝{两
弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有
一弹击中飞机}，下列说法正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
答案 ABC
解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹
击中飞机，故有 A⊆D，故 A 正确．由于事件 B，D 是互斥事件，故 B∩D＝∅ ，故
B 正确．再由 A∪C＝D 成立可得 C 正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是
必然事件，而 B∪D 为必然事件，故 D 不正确．故选 ABC.
二、填空题
6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件 A 表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件
B 表示“小于 5 的点数出现”，则事件 A∪ B 包含的样本点有________．
答案 2,4,5,6
解析 A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}， B ＝{5,6}，A∪ B ＝{2,4,5,6}．
7．从一副扑克牌(去掉大、小王，共 52 张)中随机选取一张，给出如下四组
事件：
①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；
②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；
③“这张牌牌面是 2,3,4,6,10 之一”与“这张牌是方块”；
④“这张牌牌面是 2,3,4,5,6,7,8,9,10 之一”与“这张牌牌面是 A，K，Q，
J 之一”．
其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)．
答案 ②④
解析 从一副扑克牌(去掉大、小王，共 52 张)中随机选取一张，①“这张牌
是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；②“这张牌是红色
牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；③“这张牌牌面是
2,3,4,6,10 之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件；④
“这张牌牌面是 2,3,4,5,6,7,8,9,10 之一”与“这张牌牌面是 A，K，Q，J 之一”
是对立事件．故答案为②④.
8．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事
件 A 表示“第二个路口是红灯”，事件 B 表示“第三个路口是红灯”，事件 C 表
示“至少遇到两个绿灯”，则 A∩B 包含的样本点有________个，事件 A∩B 与 C
的关系是________．
答案 2 互斥但不对立
解析 根据题意，画出如图所示的树状图．
由图可得 A∩B＝{红红红，绿红红}，包含 2 个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，
绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝∅ ，故事件 A∩B 与 C 互斥，又(A∩B)∪C≠Ω，
故事件 A∩B 与 C 的关系是互斥但不对立．
三、解答题
9．掷一枚骰子，有下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于 3}，D＝{出现点数
大于 2}，E＝{出现点数是 3 的倍数}．
(1)用样本点表示事件 A∩B，事件 B∩C；
(2)用样本点表示事件 A∪B，事件 B∪C；
(3)用样本点表示事件 D－，事件 A－∩C，事件 B－∪C，事件 D－∪ E－.
解 由题意可得 A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，
C＝{1,2}，D＝{3,4,5,6}，E＝{3,6}．
(1)A∩B＝{1,3,5}∩{2,4,6}＝∅ .
B∩C＝{2,4,6}∩{1,2}＝{2}．
(2)A∪B＝{1,3,5}∪{2,4,6}＝{1,2,3,4,5,6}，
B∪C＝{2,4,6}∪{1,2}＝{1,2,4,6}．
(3) D－＝{1,2}，A－＝{2,4,6}，A－∩C＝{2,4,6}∩{1,2}＝{2}，B－＝{1,3,5}，
B－∪C＝{1,3,5}∪{1,2}＝{1,2,3,5}，E－＝{1,2,4,5}，D－∪ E－＝{1，2}∪{1,2,4,5}
＝{1,2,4,5}．
10．如图，转盘①的三个扇形面积相等，分别标有数字 1,2,3，转盘②的四
个扇形面积相等，分别标有数字 1,2,3,4.转动①，②转盘各一次，当转盘停止转
动时，将指针所落扇形中的两个数字记录下来(不考虑指针落在分界线上的情况)．
事件 A 表示“两数字之积为偶数”，事件 B 表示“两数字之和为偶数”，事
件 C 表示“两数字之差的绝对值等于 3”．
(1)用样本点表示 A∩B，A∪B；
(2)判断事件 A 与 C，B 与 C 的关系．
解 由题意列表如下：
转盘②
转盘①
1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
由上表可知：
(1)A＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)}，
B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)}，
A∩B＝{(2,2)，(2,4)}，
A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，
(3,2)，(3,3)，(3,4)}．
(2)C＝{(1,4)}，A∩C＝{(1,4)}，故 A 与 C 能同时发生，不互斥也不对立．
B∩C＝∅ ，B∪C≠Ω，故 B 与 C 互斥但不对立．
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