9.2.1总体取值规律的估计课时练习高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第九章统计

9.2 用样本估计总体 9.2.1 总体取值规律的估计 知识点一 频率分布直方图的画法 1.调查某校高三年级男生的身高，随机抽取 40 名高三男生，实测身高数据(单 位：cm)如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1)作出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 解 (1)最低身高 151 cm，最高身高 180 cm，它们的差是 180－151＝29 cm， 即极差为 29；确定组距为 4，组数为 8，列表如下： 分组 频数累计 频数 频率 [149.5,153.5) 一 1 0.025 [153.5,157.5) 3 0.075 [157.5,161.5) 6 0.15 [161.5,165.5) 9 0.225 [165.5,169.5) 14 0.35 [169.5,173.5) 3 0.075 [173.5,177.5) 3 0.075 [177.5,181.5] 一 1 0.025 合计 40 1 (2)频率分布直方图如图所示． 知识点二 频率分布直方图的应用 2.如图是某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组 区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中 x 的值为( ) A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018 3．如图是某中学高一学生体重(单位：kg)的频率分布直方图，已知图中从左 到右的前三组的频率之比为 1∶2∶3，则第三小组的频率为( ) A．0.125 B．0.250 C．0.375 D．0.500 4．某班全体学生英语测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据 的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于 60 分的人数是 15， 则该班的学生人数是( ) A．45 B．50 C．55 D．60 5．在样本的频率分布直方图中共有 n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等 于其余(n－1)个小矩形面积的1 7 ，且样本量为 3200，则中间一组的频数为 ________． 6．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了 20000 人，并根 据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包 含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这 20000 人中抽出 200 人进一步调查，则月收入在[1500,2000)(单位：元)内的应抽取 ________人． 7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测 试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形 面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？ (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标 率． 知识点三 统计图表的应用 8.某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响 应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问 题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图 1 是根据这组数据 绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题： (1)该校对多少名学生进行了抽样调查？ (2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是 多少？ (3)若该校九年级共有 200 名学生，图 2 是根据各年级学生人数占全校学生总 人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多 少？ 一、选择题 1．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组， 抽查出的个体在该组内的频率为 m，该组的直方图高为 h，则|a－b|＝( ) A．hm B.m h C.h m D．h＋m 2．为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整 理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( ) A．条形统计图 B．频率分布直方图 C．折线统计图 D．扇形统计图 3．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调 查了某地 10000 位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为 了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要用 比例分配的分层随机抽样从这 10000 位居民中抽出 100 位居民做进一步调查，则 在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是( ) A．25 B．30 C．50 D．75 4．某工厂对一批元件进行抽样检测、经检测，抽出的元件的长度(单位：mm) 全部介于 93 至 105 之间．将抽出的元件的长度以 2 为组距分成 6 组：[93,95)， [95,97)，[97,99)，[99 ,101)，[101, 103)，[103,105]，得到如图所示的频率 分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计 这批元件的合格率是( ) A．80% B．90% C．20% D．85.5% 5．(多选)统计某校 n 名学生的某次数学同步练习成绩(满分 150 分)，根据成 绩依次分成六组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)， [140,150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于 140 分的人数为 110，则下 列说法正确的是( ) A．m＝0.031 B．n＝800 C．100 分以下的人数为 60 D．成绩在区间[120,140)内的人数占大半 二、填空题 6．某地为了了解该地区 10000 户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法 抽取了 500 户家庭的月平均用电量，并根据这 500 户家庭的月平均用电量画出频 率分布直方图如图所示，则该地区 10000 户家庭中月平均用电度数在[70,80)内的 家庭约有________户． 7．已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示(每组 为左开右闭区间)．则这 100 名学生中，该月饮料消费支出超过 150 元的人数是 ________． 8．对某市“四城同创”活动中 800 名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频 率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________； (2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为 ________． 三、解答题 9．下表给出了在某校 500 名 10 岁学生中，用随机抽样得出的 120 人的身高(单 位：cm)． 区间 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人数 5 8 10 22 33 区间 界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158] 人数 20 11 6 5 (1)列出样本频率分布表(频率精确到 0.01)； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的百分比． 10．某购物广场某营销部门随机抽查了 100 名市民在 2020 年国庆长假期间在 购物广场的消费金额，所得数据如表所示，已知消费金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 3∶2. 消费金额/千元 人数 频率 (0,1] 8 0.08 (1,2] 12 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 8 0.08 (5,6] 7 0.07 合计 100 1.00 (1)试确定 x，y，p，q 的值； (2)补全频率分布直方图； (3)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0,1]，(1,2]和(4,5]的三个群体中 共抽取 7 人进行问卷调查，则各小组应抽取几人？ 9.2 用样本估计总体 9.2.1 总体取值规律的估计 知识点一 频率分布直方图的画法 1.调查某校高三年级男生的身高，随机抽取 40 名高三男生，实测身高数据(单 位：cm)如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 168 160 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 (1)作出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 解 (1)最低身高 151 cm，最高身高 180 cm，它们的差是 180－151＝29 cm， 即极差为 29；确定组距为 4，组数为 8，列表如下： 分组 频数累计 频数 频率 [149.5,153.5) 一 1 0.025 [153.5,157.5) 3 0.075 [157.5,161.5) 6 0.15 [161.5,165.5) 9 0.225 [165.5,169.5) 14 0.35 [169.5,173.5) 3 0.075 [173.5,177.5) 3 0.075 [177.5,181.5] 一 1 0.025 合计 40 1 (2)频率分布直方图如图所示． 知识点二 频率分布直方图的应用 2.如图是某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组 区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中 x 的值为( ) A．0.120 B．0.180 C．0.012 D．0.018 答案 D 解析 由图可知纵坐标表示频率 组距 .故 x＝0.1－0.054－0.010－0.006－0.006 －0.006＝0.018. 3．如图是某中学高一学生体重(单位：kg)的频率分布直方图，已知图中从左 到右的前三组的频率之比为 1∶2∶3，则第三小组的频率为( ) A．0.125 B．0.250 C．0.375 D．0.500 答案 C 解析 由频率分布直方图，知前三组的频率之和为 1－(0.0125＋0.0375)×5 ＝0.750，所以第三小组的频率为 0.750× 3 1＋2＋3 ＝0.375，故选 C. 4．某班全体学生英语测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，数据 的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于 60 分的人数是 15， 则该班的学生人数是( ) A．45 B．50 C．55 D．60 答案 B 解析 根据频率分布直方图，可知低于 60 分的人数的频率是(0.005＋ 0.010)×20＝0.3，所以该班的学生人数是 15 0.3 ＝50. 5．在样本的频率分布直方图中共有 n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等 于其余(n－1)个小矩形面积的1 7 ，且样本量为 3200，则中间一组的频数为 ________． 答案 400 解析 因为中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积的1 7 ，所以中 间一个小矩形的面积为所有矩形面积和的1 8 ，因此中间一组的频数为 3200×1 8 ＝ 400. 6．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了 20000 人，并根 据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包 含最小值，不包含最大值)．现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这 20000 人中抽出 200 人进一步调查，则月收入在[1500,2000)(单位：元)内的应抽取 ________人． 答案 40 解析 月收入在[1500,2000)的频率为 1－(0.0002＋0.0005×2＋0.0003＋ 0.0001)×500＝0.2，故应抽取 200×0.2＝40 人． 7．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测 试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形 面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为 12. (1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？ (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标 率． 解 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率 大小，因此第二小组的频率为 4 2＋4＋17＋15＋9＋3 ＝0.08. 又第二小组的频率＝第二小组的频数 样本量 ， 所以样本量＝第二小组的频数 第二小组的频率 ＝ 12 0.08 ＝150. (2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为 17＋15＋9＋3 2＋4＋17＋15＋9＋3 ×100%＝88%. 知识点三 统计图表的应用 8.某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响 应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问 题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图 1 是根据这组数据 绘制的柱形图．请结合柱形图回答下列问题： (1)该校对多少名学生进行了抽样调查？ (2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是 多少？ (3)若该校九年级共有 200 名学生，图 2 是根据各年级学生人数占全校学生总 人数的百分比绘制的扇形图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多 少？ 解 (1)由图 1 知 4＋8＋10＋18＋10＝50(名)，所以该校对 50 名学生进行了 抽样调查． (2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有 18 人，占被调查人数的18 50 ×100%＝36%. (3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%,200÷20%＝1000(人)， 8 50 ×100%×1000＝ 160(人)， 所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为 160. 一、选择题 1．在抽查产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组， 抽查出的个体在该组内的频率为 m，该组的直方图高为 h，则|a－b|＝( ) A．hm B.m h C.h m D．h＋m 答案 B 解析 根据频率分布直方图中每组的高为频率 组距 ，可知 m |a－b| ＝h，所以|a－b| ＝m h .故选 B. 2．为配合全科大阅读活动，学校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整 理．欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是( ) A．条形统计图 B．频率分布直方图 C．折线统计图 D．扇形统计图 答案 D 解析 欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统 计图，故选 D. 3．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调 查了某地 10000 位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为 了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要用 比例分配的分层随机抽样从这 10000 位居民中抽出 100 位居民做进一步调查，则 在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是( ) A．25 B．30 C．50 D．75 答案 A 解析 抽出的 100 位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)内的 频率为 0.5×0.5＝0.25，所以这 10000 位居民中平均每天看电视的时间在 [2.5,3.0)(小时)内的人数是 10000×0.25＝2500.依题意知抽样比是 100 10000＝ 1 100 ，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是 2500× 1 100 ＝25. 4．某工厂对一批元件进行抽样检测、经检测，抽出的元件的长度(单位：mm) 全部介于 93 至 105 之间．将抽出的元件的长度以 2 为组距分成 6 组：[93,95)， [95,97)，[97,99)，[99 ,101)，[101, 103)，[103,105]，得到如图所示的频率 分布直方图．若长度在[97,103)内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计 这批元件的合格率是( ) A．80% B．90% C．20% D．85.5% 答案 A 解析 由频率分布直方图可知元件长度在[97,103)内的频率为 1－(0.0275 ＋0.0275＋0.0450)×2＝0.8，故这批元件的合格率为 80%. 5．(多选)统计某校 n 名学生的某次数学同步练习成绩(满分 150 分)，根据成 绩依次分成六组：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)， [140,150]，得到频率分布直方图如图所示，若不低于 140 分的人数为 110，则下 列说法正确的是( ) A．m＝0.031 B．n＝800 C．100 分以下的人数为 60 D．成绩在区间[120,140)内的人数占大半 答案 AC 解析 分析可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得 m＝0.031，故 A 说法正确；因为不低于 140 分的频率为 0.011×10＝0.11，所以 n ＝ 110 0.11 ＝1000，故 B 说法错误；因为 100 分以下的频率为 0.006×10＝0.06，所 以 100 分以下的人数为 1000×0.06＝60，故 C 说法正确；成绩在区间[120,140) 内的频率为 0.031×10＋0.016×10＝0.47＜0.5，人数占小半，故 D 说法错误． 二、填空题 6．某地为了了解该地区 10000 户家庭的用电情况，采用分层随机抽样的方法 抽取了 500 户家庭的月平均用电量，并根据这 500 户家庭的月平均用电量画出频 率分布直方图如图所示，则该地区 10000 户家庭中月平均用电度数在[70,80)内的 家庭约有________户． 答案 1200 解析 根据频率分布直方图得该地区 10000 户家庭中月平均用电度数在[70, 80)内的家庭约有 10000×0.012×10＝1200(户)． 7．已知 100 名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示(每组 为左开右闭区间)．则这 100 名学生中，该月饮料消费支出超过 150 元的人数是 ________． 答案 30 解析 根据频率分布直方图，得消费支出超过 150 元的频率为(0.004＋ 0.002)×50＝0.3，故消费支出超过 150 元的人数是 100×0.3＝30. 8．对某市“四城同创”活动中 800 名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频 率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： (1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________； (2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为 ________． 答案 (1)0.04 (2)440 解析 (1)设年龄组[25,30)对应小矩形的高度为 h，则 5×(0.01＋h＋0.07 ＋0.06＋0.02)＝1，解得 h＝0.04. (2)由(1)得志愿者年龄在[25,35)内的频率为 5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志 愿者年龄在[25,35)内的人数约为 0.55×800＝440. 三、解答题 9．下表给出了在某校 500 名 10 岁学生中，用随机抽样得出的 120 人的身高(单 位：cm)． 区间 界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人数 5 8 10 22 33 区间 界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158] 人数 20 11 6 5 (1)列出样本频率分布表(频率精确到 0.01)； (2)画出频率分布直方图； (3)估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的百分比． 解 (1)样本频率分布表如下： 分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计 120 1 (2)其频率分布直方图如下： (3)由样本频率分布表可知，身高小于 134 cm 的学生出现的频率为 0.04＋ 0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于 134 cm 的人数占总人数的 19%. 10．某购物广场某营销部门随机抽查了 100 名市民在 2020 年国庆长假期间在 购物广场的消费金额，所得数据如表所示，已知消费金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 3∶2. 消费金额/千元 人数 频率 (0,1] 8 0.08 (1,2] 12 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 8 0.08 (5,6] 7 0.07 合计 100 1.00 (1)试确定 x，y，p，q 的值； (2)补全频率分布直方图； (3)用分层随机抽样的方法从消费金额在(0,1]，(1,2]和(4,5]的三个群体中 共抽取 7 人进行问卷调查，则各小组应抽取几人？ 解 (1)根据题意，有 8＋12＋x＋y＋8＋7＝100， 8＋12＋x y＋8＋7 ＝3 2 ， 解得 x＝40， y＝25， 所以 p＝ 40 100＝0.40，q＝ 25 100＝0.25. (2)补全频率分布直方图如图所示： (3)根据题意，消费金额在(0,1]的群体中应抽取的人数为 8 8＋12＋8 ×7＝2； 消费金额在(1,2]的群体中应抽取的人数为 12 8＋12＋8 ×7＝3；消费金额在(4,5]的 群体中应抽取的人数为 8 8＋12＋8 ×7＝2.