平面向量的概念习题课高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册第六章平面向量及其应用

第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 知识点一 平面向量的概念 1.下列说法正确的是( ) A．实数可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但方向相同的向量可以比较大小 C．向量的模是正数 D．向量的模可以比较大小 2．有下列说法： ①位移和速度都是向量； ②若向量AB→，CD→满足|AB→|>|CD→|，且AB→与CD→同向，则AB→>CD→； ③零向量没有方向； ④向量就是有向线段． 其中正确说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 知识点二 向量的几何表示 3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为 1)，用直尺和圆规画出下列 向量： (1)OA→，使|OA→|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°方向上； (2)AB→，使|AB→|＝4，点 B 在点 A 正东方向上； (3)BC→，使|BC→|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°方向上． 4．某船从 A 点出发向西航行了 150 km 到达点 B，然后改变方向向北偏西 30° 方向航行了 200 km 到达点 C，最后又改变方向向东航行了 150 km 到达点 D.作出 向量AB→，BC→，CD→. 知识点三 相等向量与共线向量 5.给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则向量 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； ②对于任意非零向量 a，b，若|a|＝|b|且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； ③非零向量 a 与非零向量 b 满足 a∥b，则向量 a 与 b 方向相同或相反； ④向量AB→与CD→是共线向量，则 A，B，C，D 四点共线； ⑤若 a∥b 且 b∥c，则 a∥c. 其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 6. 如图，在△ABC 中，三边长 AB，BC，AC 均不相等，E，F，D 分别是边 AC， AB，BC 的中点． (1)写出与EF→共线的向量； (2)写出与EF→的模相等的向量； (3)写出与EF→相等的向量． 7．如图，在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→，N，M 分别是边 AD，BC 上的点，且CN→＝ MA→. 求证：DN→＝MB→. 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A.AB→∥CD→就是AB→所在的直线与CD→所在的直线平行或重合 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在一条直线上的向量 2．汽车以 120 km/h 的速度向西走了 2 h，摩托车以 45 km/h 的速度向东北 方向走了 2 h，则下列命题中正确的是( ) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 3．下列说法正确的是( ) A．有向线段AB→与BA→表示同一向量 B．两个有公共终点的向量是平行向量 C．零向量与单位向量是平行向量 D．对任一向量 a， a |a| 是一个单位向量 4．O 是△ABC 内一点，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则 O 是△ABC 的( ) A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 5．(多选)对于向量 a 与 b，下列说法不正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则 a 与 b 是共线向量 B．若|a|CD→； ③零向量没有方向； ④向量就是有向线段． 其中正确说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 对于①，位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量， 故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，零向量有方向， 其方向是不确定的，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是 有向线段，故④错误. 知识点二 向量的几何表示 3.在下图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为 1)，用直尺和圆规画出下列 向量： (1)OA→，使|OA→|＝4 2，点 A 在点 O 北偏东 45°方向上； (2)AB→，使|AB→|＝4，点 B 在点 A 正东方向上； (3)BC→，使|BC→|＝6，点 C 在点 B 北偏东 30°方向上． 解 (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45°方向上，所以在坐标纸上，点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝4 2，小方格的边长为 1，所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵向小方格数都为 4，于是点 A 的位置可以确定，画出 向量OA→，如图所示． (2)由于点 B 在点 A 正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上，点 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 的位置可以确定，画出向量AB→， 如图所示． (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得：在 坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方格数为 3 3≈5.2，于是点 C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示． 4．某船从 A 点出发向西航行了 150 km 到达点 B，然后改变方向向北偏西 30° 方向航行了 200 km 到达点 C，最后又改变方向向东航行了 150 km 到达点 D.作出 向量AB→，BC→，CD→. 解 作出向量AB→，BC→，CD→，如图所示． 知识点三 相等向量与共线向量 5.给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则向量 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； ②对于任意非零向量 a，b，若|a|＝|b|且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； ③非零向量 a 与非零向量 b 满足 a∥b，则向量 a 与 b 方向相同或相反； ④向量AB→与CD→是共线向量，则 A，B，C，D 四点共线； ⑤若 a∥b 且 b∥c，则 a∥c. 其中正确的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C 解析 若|a|＝|b|，则向量 a 与 b 的长度相等而方向可以任意，故①不正确； 根据相等向量的定义可知②正确；根据共线向量的定义可知③正确；向量AB→与CD→是 共线向量，则 A，B，C，D 四点共线或 AB∥CD，故④不正确；若 b＝0，则 a 与 c 不一定共线，故⑤不正确．综上可知，只有②③正确．故选 C. 6. 如图，在△ABC 中，三边长 AB，BC，AC 均不相等，E，F，D 分别是边 AC， AB，BC 的中点． (1)写出与EF→共线的向量； (2)写出与EF→的模相等的向量； (3)写出与EF→相等的向量． 解 (1)∵E，F 分别为边 AC，AB 的中点，∴EF∥BC. 从而与EF→共线的向量包括：FE→，DB→，BD→，DC→，CD→，BC→，CB→. (2)∵E，F，D 分别是边 AC，AB，BC 的中点， ∴EF＝1 2 BC，BD＝DC＝1 2 BC. 又 AB，BC，AC 均不相等，从而与EF→的模相等的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→. (3)与EF→相等的向量有DB→，CD→. 7．如图，在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→，N，M 分别是边 AD，BC 上的点，且CN→＝ MA→. 求证：DN→＝MB→. 证明 ∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|CD→|，且 AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴|DA→|＝|CB→|，且 DA∥CB. 又DA→与CB→的方向相同，∴CB→＝DA→. 同理可证，四边形 CNAM 是平行四边形，∴CM→＝NA→. ∵|CB→|＝|DA→|，|CM→|＝|NA→|，∴|DN→|＝|MB→|. ∵DN∥MB 且DN→与MB→的方向相同，∴DN→＝MB→. 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A.AB→∥CD→就是AB→所在的直线与CD→所在的直线平行或重合 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在一条直线上的向量 答案 C 解析 由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、 长度三个要素，故 C 正确． 2．汽车以 120 km/h 的速度向西走了 2 h，摩托车以 45 km/h 的速度向东北 方向走了 2 h，则下列命题中正确的是( ) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 答案 C 解析 由向量不能比较大小，可知选 C. 3．下列说法正确的是( ) A．有向线段AB→与BA→表示同一向量 B．两个有公共终点的向量是平行向量 C．零向量与单位向量是平行向量 D．对任一向量 a， a |a| 是一个单位向量 答案 C 解析 向量AB→与BA→方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一 定相同或相反；当 a＝0 时， a |a| 无意义，故 A，B，D 错误．零向量与任何向量都 是平行向量，C 正确． 4．O 是△ABC 内一点，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，则 O 是△ABC 的( ) A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 答案 C 解析 ∵|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，∴O 到三角形三个顶点的距离相等，∴点 O 是 △ABC 的外心，故选 C. 5．(多选)对于向量 a 与 b，下列说法不正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则 a 与 b 是共线向量 B．若|a|