5.1.1变化率问题导学案高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册第五章一元函数导数及其应用

5．1.1 变化率问题 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程． 教学重点：瞬时速度的求法． 教学难点：求瞬时速度的极限方法. 对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)Δt 是时间的改变量，Δt 趋近于 0 是指时间间隔Δt 越来越短，能越过 任意小的时间间隔，但始终不能为 0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)自变量的改变量Δx 是一个较小的量，Δx 可正可负，但不能为 0.( ) (2)高台跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间[t1，t2]上变化快 慢的物理量．( ) (3)高台跳水运动员的平均速度可正可负．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若 h＝－3t2＋2，当 t 由 2 变为 1 时，h 的变化量为________. (2)一做直线运动的物体，其位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系为 s ＝5t2，则该物体从 1 s 到 3 s 这段时间内的平均速度是________m/s. (3)抛物线 y＝x2 在 x＝2 处的切线斜率为________. (4)在高台跳水运动中，t s 时相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t2 ＋6.5t＋10，则该高台跳水运动员在 t＝1 s 时的瞬时速度为________. 题型一 求平均速度与瞬时速度 例 1 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)＝3t－t2. (1)求 t＝0 到 t＝2 时的平均速度； (2)求此物体的初速度； (3)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度． [跟踪训练 1] 若一物体的位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之间的关系 为 s＝f(t)＝ 3t2＋2，t≥3， 29＋3 t－3 2，0≤t＜3， 求：(1)物体在 t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度 v0； (3)物体在 t＝1 时的瞬时速度． 题型二 求抛物线在某一点处切线的斜率 例 2 已知函数 y＝f(x)＝ x2＋x，0≤x v－ 2 C． v－ 1＝ v－ 2 D．无法确定 4．一质点 M 沿直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之间的关系为 s(t)＝at2＋1，若质点 M 在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，则常数 a 的值为( ) A．1 B．2 C．4 D．6 5．(多选)如图所示是物体甲、乙在时间 0 到 t1 范围内路程的变化情况，下 列说法正确的是( ) A．在 0 到 t0 范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 B．在 0 到 t0 范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在 t0 到 t1 范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在 t0 到 t1 范围内甲的平均速度等于乙的平均速度 二、填空题 6．已知物体运动的速度与时间之间的关系是 v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间 t ＝1 处的瞬时加速度为________. 7．曲线 f(x)＝x－1 x在 x＝1 处的切线的斜率为________. 8．一物体的位移 s 与时间 t 之间的关系为 s＝7t2－13t＋8，且在 t＝t0 时的 瞬时速度为 1，则 t0＝________. 三、解答题 9 ． 某 质 点 A 从 时 刻 t ＝ 0 开 始 沿 某 方 向 运 动 的 位 移 为 s(t) ＝ t3－6t2＋9t 0≤ts1－s0 t1－t0 ，所以 C 正确，D 错误．故选 BC． 二、填空题 6．已知物体运动的速度与时间之间的关系是 v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间 t ＝1 处的瞬时加速度为________. 答案 4 解析 由平均变化率的定义可知，该物体在[1,1＋Δt]内的平均加速度为 v 1＋Δt －v 1 Δt ＝Δt＋4，当Δt 趋近于 0 时，Δt＋4 趋近于 4，所以在时 间 t＝1 处的瞬时加速度为 4. 7．曲线 f(x)＝x－1 x 在 x＝1 处的切线的斜率为________. 答案 2 解析 f 1＋Δx －f 1 Δx ＝ 1＋Δx－ 1 1＋Δx － 1－1 1 Δx ＝ Δx＋ Δx 1＋Δx Δx ＝1＋ 1 1＋Δx ，所以limΔx→0 1＋ 1 1＋Δx ＝2. 8．一物体的位移 s 与时间 t 之间的关系为 s＝7t2－13t＋8，且在 t＝t0 时的 瞬时速度为 1，则 t0＝________. 答案 1 解析 ∵ v－＝7 t0＋Δt 2－13 t0＋Δt ＋8－7t2 0＋13t0－8 Δt ＝14t0·Δt－13Δt＋7Δ t 2 Δt ＝14t0－13＋7Δt. v＝lim Δx→0 (14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1.∴t0＝1. 三、解答题 9 ． 某 质 点 A 从 时 刻 t ＝ 0 开 始 沿 某 方 向 运 动 的 位 移 为 s(t) ＝ t3－6t2＋9t 0≤t