七年级数学苏科版下册课时练：7.5多边形的内角和与外角和（三）

第 1页（共 22页） 2020-2021 学年七年级数学苏科版下册课时练： 7.5 多边形的内角和与外角和（三） 1．（1）如图①，在△ABC 中，P 是△ABC 内任意一点，∠BPC 与∠A 有怎样的大小关系？ 证明你的结论； （2）如图②，△ABC 两个外角∠CBD、∠BCE 的角平分线相交于点 O，∠A＝40°， 求∠BOC 的度数； ②已知∠A＝n°，求∠BOC 的度数． 2．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美 丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一 丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当 围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成 了一个平面图形． （1）请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … 正多边形每个内角的度数 … （2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形； （3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用 第 2页（共 22页） 这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌 成几种不同的平面图形？说明你的理由． 3．已知任意三角形的内角和为 180°，试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边 形内角和的公式． 根据上图所示，一个四边形可以分成 个三角形；于是四边形的内角和为 度：一个五边形可以分成 个三角形，于是五边形的内角和为 度，…，按 此规律，n 边形可以分成 个三角形，于是 n 边形的内角和为 度． 4．（1）如图 1，则∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系为 ． （2）如图 2，AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P 的度数； （3）如图 3，CP、AG 分别平分∠BCE、∠FAD，AG 反向延长线交 CP 于点 P，请猜 想∠P、∠B、∠D 之间的数量关系．并说明理由． 第 3页（共 22页） 5．已知：线段 AB、CD 相交于点 O，连接 AD、CB． （1）如图 1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C； （2）如图 2，∠ADC 和∠ABC 的平分线 DE 和 BE 相交于点 E，并且与 AB、CD 分别 相交于点 M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E 的度数； （3）如图 3，∠ADC 和∠ABC 的三等分线 DE 和 BE 相交于点 E，并且与 AB、CD 分 别相交于点 M、N，∠CDE＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E 三 者之间存在的数量关系，并说明理由． 6．已知在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°． （1）如图 1，若 BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC 的邻补角，请写出 BE 与 DF 的位置关 系，并证明； （2）如图 2，若 BF、DE 分别平分∠ABC、∠ADC 的邻补角，判断 DE 与 BF 位置关系， 并证明； （3）如图 3，若 BE、DE 分别五等分∠ABC、∠ADC 的邻补角，（即∠CDE＝ ∠CDN， ∠CBE＝ ∠CBM），求∠E 度数． 第 4页（共 22页） 7．问题引入： （1）如图①所示，△ABC 中，点 O 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点， 若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示）：不用说明理由，直接填空． 如图②所示，∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB， 若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示），不用说明理由，直接填空． （2）如图③所示，∠OBC＝ ∠DBC，∠OCB＝ ∠ECB，若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示），填空并说明理由． 8．如图，∠CAD 与∠CBD 的角平分线交于点 P． （1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P 的度数； （2）猜想∠D，∠C，∠P 的等量关系． 第 5页（共 22页） 9．阅读下面的材料，并解决问题． （1）已知在△ABC 中，∠A＝60°，图 1﹣3 的△ABC 的内角平分线或外角平分线交 于点 O，请直接求出下列角度的度数． 如图 1，∠O＝ ；如图 2，∠O＝ ；如图 3，∠O＝ ； 如图 4，∠ABC，∠ACB 的三等分线交于点 O1，O2，连接 O1O2，则∠BO2O1＝ ． （2）如图 5，点 O 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+ ∠A． （3）如图 6，△ABC 中，∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点 O1，O2， 若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A 的度数． 10．已知：△ABC 中，AE 是△ABC 的角平分线，AD 是△ABC 的 BC 边上的高，过点 B 做 BF∥AE，交直线 AD 于点 F． （1）如图 1，若∠ABC＝70°，∠C＝30°，则∠AFB＝ ； （2）若（1）中的∠ABC＝α，∠ACB＝β，则∠AFB＝ ；（用α，β表示） （3）如图 2，（2）中的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，请求出∠AFB．（用 α，β表示） 第 6页（共 22页） 11．阅读材料： 连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形 各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图 1 给出了四边形的具体分割方法， 分别将四边形分割成了 2 个、3 个、4 个小三角形． （1）请你按照上述方法将图 2 中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形 的个数为 个、 个、 个． （2）当多边形为 n 边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的 个数为 个、 个、 个． 第 7页（共 22页） 12．在△ABC 中，∠C＝80°，点 D、E 分别是△ABC 边 AC、BC（不与 A、B、C 重合） 上的点，（P 与 D、E 不在同一条直线上），令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α， （1）若点 P 在边 AB 上，如图（1）且∠α＝40°，则∠1+∠2＝ °； （2）若点 P 在△ABC 的外部，如图（2）则∠α，∠1，∠2 之间有何关系？ （3）若点 P 在△ABC 边 BA 的延长线上运动（CD＞CE），直接写出∠α，∠1，∠2 之 间的关系． 13．在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于 180°，四边形内角和等于 360°，五边 形内角和等于 540° ，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题： （1）如图①，△OAB、△OCD 的顶点 O 重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠ AOB+∠COD＝ （直接写出结果）． （2）连接 AD、BC，若 AO、BO、CO、DO 分别是四边形 ABCD 的四个内角的平分 线． ①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD 的度数为 （直接写出结果）． ②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB 与 CD 平行吗？请写出理由． 第 8页（共 22页） 14．（1）如图 1，在△ABC 纸片中，点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上，沿 DE 折叠，当 点 A 落在 CD 上时，∠DAE 与∠1 之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系 并说明理由； （2）若折成图 2 时，即点 A 落在△ABC 内时，请找出∠DAE 与∠1，∠2 之间的关系 式并说明理由． 15．如图，（1）求证：∠ABC＝∠A+∠C+∠ADC； （2）若∠A＝52°，∠C＝20°，BE、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC，交于点 E，求∠ E 的度数． 第 9页（共 22页） 参考答案 1．证明：（1）∠BPC＞∠BAC． 连接 AP 并延长到 M． ∵在△ABP 中，∠BPM＞∠BAM， 在△ACP 中，∠CPM＞∠CAM， ∴∠BPM+∠CPM＞∠BAM+∠CAM， ∴∠BPC＞∠BAC； （2）解：①∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝140°， ∴∠OBC+∠OCB＝ （∠DBC+∠ECB）＝ （360°﹣140°）＝110°， ∴∠BOC＝180°﹣110°＝70°； ②由①可知∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣ （∠DBC+∠ECB）＝180° ﹣ [（360°﹣（180°﹣∠A）] 即∠BOC＝（90﹣ ）° 2．解：（1）由正 n 边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形… 正 n 边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n﹣2）•180°÷n； （2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于 360°得正三角形、正 四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）如：正方形和正八边形（如图），设在一个顶点周围有 m 个正方形的角，n 个正八 第 10页（共 22页） 边形的角，那么 m，n 应是方程 m•90°+n•135°＝360°的正整数解．即 2m+3n＝8 的正整数解，只有 m＝1，n＝2 一组，∴符合条件的图形只有一种． 3．解：根据图形所示，一个四边形可以分成 2 个三角形；于是四边形的内角和为 360 度： 一个五边形可以分成 3 个三角形，于是五边形的内角和为 540 度，…，按此规律，n 边 形可以分成 （n﹣2）个三角形，于是 n 边形的内角和为 （n﹣2）•180 度． 故答案为：2；360：3，540，（n﹣2），（n﹣2）•180． 4．解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D， 故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）∵AP、CP 分别平分∠BAD、∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， 由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D， ∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D， 即 2∠P＝∠B+∠D， ∵∠B＝36°，∠D＝14°， ∴∠P＝25°； （3）2∠P＝∠B+∠D． 理由：∵CP、AG 分别平分∠BCE、∠FAD， ∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD， ∵∠PAB＝∠FAG， ∴∠GAD＝∠PAB， ∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB， ∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB， ∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD， ∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP）， ∴2∠P＝∠B+∠D． 第 11页（共 22页） 5．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°， ∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）解：∵∠ADC 和∠ABC 的平分线 DE 和 BE 相交于点 E， ∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE， 由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE， ∴∠A+∠C＝2∠E， ∵∠A＝28°，∠C＝32°， ∴∠E＝30°； （3）解：∠A+2∠C＝3∠E． 理由：∵∠CDE＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC， ∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE， 由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE， ∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE， ∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE， 即∠A+2∠C＝3∠E． 6．解：（1）结论：BE⊥DF． 理由：如图 1 中，延长 BE 交 FD 的延长线于 H． ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠CDN＝180°， ∴∠ABC＝∠CDN， ∵∠ABE＝ ∠ABC，∠FDN＝∠EDH＝ ∠CDN， ∴∠ABE＝∠EDH， 第 12页（共 22页） ∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠DEH， ∴∠DEH+∠EDH＝90°， ∴∠H＝90°，即 BE⊥DF； （2）结论：DE∥BF． 理由：如图 2 中，连接 BD． ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MBC+∠ABC＝180°，∠CDN+∠ADC＝180°， ∴∠MBC+∠CDN＝180°， ∵∠CBF＝ ∠MBC，∠CDN＝ ∠CDN， ∴∠CBF+∠CDE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CBD+∠CDB＝90°， ∴∠EDB+∠FBD＝∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB＝180°， ∴DE∥BF； （3）如图 3 中， ∵∠MBC+∠CDN＝180°， ∴∠CDE+∠CBE＝ （∠MBC+∠CDN）＝36°， ∵∠DCB＝∠E+∠CBE+∠CDE， ∴∠E＝90°﹣36°＝54°． 7．解：（1）在△ABC 中，∠A＝α， 第 13页（共 22页） ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α． 如图①所示，∵OB 平分∠ABC，OC 平分∠ACB， ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB． ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180 °﹣α）＝180°﹣90°+ α＝90°+ α； 如图②所示，∵∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180 °﹣α）＝180°﹣60°+ α＝120°+ α． 故答案为：90°+ α；120°+ α． （2）∠BOC＝120°﹣ α，理由如下： ∵∠OBC＝ ∠DBC，∠OCB＝ ∠ECB，∠A＝α， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）， ＝180°﹣ （∠DBC+∠ECB）， ＝180°﹣ （∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）， ＝180°﹣ （180°+∠A）， ＝180°﹣60°﹣ α， ＝120°﹣ α． 故答案为：120°﹣ α． 8．解：（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y， 根据∠CAD 和∠CBD 的角平分线相交于点 P 可知： ∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y， ∵三角形的内角和等于 180°，∠C＝35°，∠D＝29°， ∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即 35°+2x＝29°+2y①． ∵∠AEB 是△APE 与△DBE 的外角， 第 14页（共 22页） ∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②． 同理，∵∠AFB 是△ACF 与△BFP 的外角， ∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即 35°+x＝∠P+y③， ①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④， ①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤， ④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P， 2∠P＝35°+29°， 解得∠P＝32°； （2）∠P＝ （∠C+∠D），理由如下： 由（1）同理可知： 2∠P＝∠C+∠D， 解得∠P＝ （∠C+∠D）． 9．解；（1）如图 1， ∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB ∴∠OBC+∠OCB ＝ （∠ABC+∠ACB） ＝ （180°﹣∠BAC） ＝ （180°﹣60°） ＝60° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°； 如图 2， 第 15页（共 22页） ∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACD ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCD＝ ∠ACD ∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD＝ （∠ABC+∠A） ∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC ＝ ∠ABC+ ∠A﹣ ∠ABC ＝ ∠A ＝30° 如图 3， ∵BO 平分∠EBC，CO 平分∠BCD ∴∠OBC＝ ∠EBC，∠OCB＝ ∠BCD ∴∠OBC+∠OCB ＝ （∠EBC+∠BCD） ＝ （∠A+∠ACB+∠BCD） ＝ （∠A+180°） ＝ （60°+180°） ＝120° 第 16页（共 22页） ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60° 如图 4， ∵∠ABC，∠ACB 的三等分线交于点 O1，O2 ∴∠O2BC＝ ∠ABC，∠O2CB＝ ∠ACB，O1B 平分∠O2BC，O1C 平分∠O2CB， O2O1 平分 BO2C ∴∠O2BC+∠O2CB ＝ （∠ABC+∠ACB） ＝ （180°﹣∠BAC） ＝ （180°﹣60°） ＝80° ∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100° ∴∠BO2O1＝ ∠BO2C＝50° 故答案为：120°，30°，60°，50°； （2）证明：∵OB 平分∠ABC，OC 平分∠ACB， ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB， ∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣ （180°﹣∠A） ＝90°+ ∠A． （3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20° 第 17页（共 22页） ∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20° ∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25° ∴∠ACB＝2∠BCO2＝50° ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70° 或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β， ∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45° ∴α＝20°，β＝25° ∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°， ∴∠A＝70°． 10．解：（1）∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°， ∵AD 是△ABC 的 BC 边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°， ∵BF∥AE， ∴∠AFB＝∠EAD＝20°， 故答案为 20°； （2）∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ， ∵AD 是△ABC 的 BC 边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣α， 第 18页（共 22页） ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝ ﹣（90°﹣α）＝ ， ∵BF∥AE， ∴∠AFB＝∠EAD＝ ， 故答案为 ； （3）不成立， ∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∠ABD＝180°﹣α， ∵AE 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ， ∵AD 是△ABC 的 BC 边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°， ∴EAD＝∠BAE+∠BAD＝ +（α﹣90°）＝ ， ∵BF∥AE， ∴∠AFB+∠EAD＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣ ． 11．解：（1）如图所示： 可以发现所分割成的三角形的个数分别是 4 个，5 个，6 个； （2）结合两个特殊图形，可以发现： 第一种分割法把 n 边形分割成了（n﹣2）个三角形； 第二种分割法把 n 边形分割成了（n﹣1）个三角形； 第三种分割法把 n 边形分割成了 n 个三角形． 故答案为：4，5，6；（n﹣2），（n﹣1），n． 第 19页（共 22页） 12．解：（1）∵∠CEP＝180°﹣∠2，∠CDP＝180°﹣∠1， ∴180°﹣∠2+180°﹣∠1+∠α+80°＝360°， 即∠1+∠2＝80°+∠α， ∵α＝40°， ∴∠1+∠2＝120°． 故答案为：120． （2）根据三角形外角的性质可知， ∠2﹣∠α＝∠1﹣80°， 则∠2﹣∠1＝∠α﹣80°． （3）如图 3﹣1， ∠2＝80°+∠1+∠α， 则∠2﹣∠1＝∠α+80°； 如图 3﹣2， ②∠2＝80°+∠1﹣∠α， ∠2﹣∠1＝80°﹣∠α． 13．解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠ 第 20页（共 22页） C+∠D＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°． 故答案为 180°； （2）①∵AO、BO、CO、DO 分别是四边形 ABCD 的四个内角的平分线， ∴∠OAB＝ DAB， CBA，∠OCD＝ BCD，∠ODC＝ ADC， ∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ ×360°＝180°， 在△OAB 中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB， 在△OCD 中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD， ∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝180°； ∵∠AOB＝110°， ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°． 故答案为：70°； ②AB∥CD，理由如下： ∵AO、BO、CO、DO 分别是四边形 ABCD 的四个内角的平分线， ∴ ， CBA， ， ， ∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝ ×360°＝180°， 在△OAB 中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB， 在△OCD 中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD， ∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝180°； ∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOC＝90°． 在∠AOD 中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°， ∵ ， 第 21页（共 22页） ∴ ＝90°， ∴∠DAB+∠ADC＝180°， ∴AB∥CD． 14．解：（1）结论：∠1＝2∠DAE． 理由：如图 1 中，延长 BE 交 CD 于 R． 由翻折可知，∠EAD＝∠R， ∵∠1＝∠EAD+∠R， ∴∠1＝2∠EAD． （2）结论：∠1+∠2＝2∠EAD． 理由：如图 2 中，延长 BE 交 CD 的延长线于 T，连接 AT． 由翻折可知，∠EAD＝∠ETD， ∵∠1＝∠EAT+∠ETA，∠2＝∠DAT+∠DTA， ∴∠1+∠2＝∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA＝∠EAD+∠ETD＝2∠EAD． 15．（1）证明：连接 DB，延长 DB 到 T． 第 22页（共 22页） ∵∠ABT＝∠A+∠ADB，∠CBT＝∠C+∠CDB， ∴∠ABC＝∠ABT+∠CBT＝∠A+∠ADB+∠CDB+∠C＝∠A+∠ADC+∠C． （2）解：设 DE 交 AB 于点 O． ∵∠ABC＝∠A+∠ADC+∠C，BE 平分∠ABC， ∴∠OBE＝ ∠ABC＝ （∠A+∠ADC+∠C）， ∵∠A+∠ADO＝∠E+∠OBE， ∴∠E＝∠A+∠ADO﹣∠OBE， ∵DE 平分∠ADC， ∴∠ADE＝ ∠ADC， ∴∠E＝∠A+ ∠ADC﹣ （∠A+∠ADC+∠C）＝ （∠A﹣∠C）＝16°．