专题十八 圆锥曲线的综合运用
一、单选题
1．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左焦点为 F ，过 F 作一条倾斜角为 60
的直线与椭圆 C 交于 A ，B 两点，M 为线段 AB 的中点，若3 FM OF （O 为坐标原点），则椭圆C 的
离心率为（ ）
A． 5
5
B． 10
5
C． 3
3
D． 2
2
【答案】B
【分析】
利用点差法，设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,M x y ，则
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
，两式相减，化简可得
0 0
2 2
3 0x y
a b
，设 ,0F c ，过 M 作 MM x 轴，垂足为 M ，从而结合已知条件可得 5 3,6 6M c c
，
将其代入椭圆方程化简可求得结果
【详解】
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 0 0,M x y ，由题意得
2 2
1 1
2 2 1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2 1x y
a b
，两式相减，得
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 0x x x x y y y y
a b
，因为 M 为线段 AB 的中点，且直线 AB 的倾斜角为 60 ，所
以 0 0
2 2
3 0x y
a b
．设 ,0F c ，则 1 1
3 3FM OF c ，过 M 作 MM x 轴，垂足为 M ，则
1 1
2 6FM MF c ， 3 3
2 6MM MF c ，由题易知 M 位于第二象限，所以 5 3,6 6M c c
，
所以
2 2
5 3
6 6 0
c c
a b
，得 2 23 5a b ，所以 2 22 5a c ，所以 10
5
ce a
．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查的知识是“掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、
顶点、离心率）”，本题考查逻辑思维能力、运算求解能力，解题的关键利用点差法，结合已知条件表示出
点 M 的坐标，然后将其代入椭圆方程可求出离心率，属于中档题
2．（2021·湖北武汉市·高三三模）已知双曲线C ：
2 2
1 02
y x mm m
，则C 的离心率的取值范围为（ ）
A． 1, 2 B． 1,2 C． 2, D． 2,
【答案】C
【分析】
根据离心率的定义，用 m 表示出离心率，进而可得其取值范围.
【详解】
双曲线
2 2
1 02
y x mm m
的离心率为 2 2 2 22m m me m mm
，
因为 0m ，所以 22 2e m
，
即C 的离心率的取值范围为 2, .
故选：C.
3．（2021·河南高三其他模拟（理））设 1 2,F F 同时为椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
与双曲线
2 2
2 1 12 2
1 1
: 1 0, 0x yC a ba b
的左右焦点，设椭圆 1C 与双曲线 2C 在第一象限内交于点 M ，椭圆 1C 与双
曲线 2C 的离心率分别为 1 2, ,e e O 为坐标原点，现有下述四个结论：
① 1 2 2F F MO ，则 2 2
1 2
1 1 2e e
② 1 2 2F F MO ，则 2 2
1 2
1 1 2e e
③ 1 2 24F F MF ，则 1 2e e 的取值范围是 2 3,3 2
④ 1 2 24F F MF ，则 1 2e e 的取值范围是 2 ,23
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】
设 1 2,MF m MF n ，结合椭圆双曲线定义可得 1 1,m a a n a a ，当 1 2 2F F MO ，可得
2 2 24m n c ，进而求出 2 2
1 2
1 1
e e
；当 1 2 24F F MF 时，可得
1 2
1 1 1
2e e
，进而
2
2
1 2
2
2
2
ee e e
，即可求
出范围.
【详解】
如图，设 1 2,MF m MF n ，焦距为 2c ，由椭圆定义可得 2m n a ，由双曲线定义可得 12m n a ，
解得 1 1,m a a n a a .
当 1 2 2F F MO 时，则 1 2 90F MF ，所以 2 2 24m n c ，
即 2 2 2
1 2a a c ，由离心率的公式可得 2 2
1 2
1 1 2e e
，故②正确.
当 1 2 24F F MF 时，可得 1
2n c ，即 1
1
2a a c ，可得
1 2
1 1 1
2e e
，
由 10 1e ，可得
1
1 1e
，可得
2
1 1
2e
，即 21 2e ，则
2
2
1 2
2
2
2
ee e e
，
可设 22 (3 4)e t t ，则
2 2
2
2
2 2( 2) 42 42
e t te t t
，
由 4 4f t t t
在 3,4 上单调递增，可得 1 ,13f t
，则 1 2
2 ,23e e
，故④正确.
故选： D.
【点睛】
关键点睛：本题考查椭圆双曲线离心率的求解，解题的关键是根据已知条件结合定义正确得出关系式.
4．（2021·全国高三其他模拟）已知 ABC 的三个顶点都在抛物线T ： 2 2 0y px p ，且 2, 8C ，
抛物线T 的焦点 F 为 ABC 的重心，则 AF BF （ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
【答案】B
【分析】
利用代入法，结合三角形重心坐标公式、抛物线的定义进行求解即可.
【详解】
由题意知 28 2 2p ，解得 16p ，所以 8,0F ．设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则由三角形的重心坐标
公式得 1 2 2 83
x x ，化简得 1 2 22x x ，根据抛物线的定义，得
1 2 1 2 382 2
p pAF BF x x x x p ，
故选：B．
5．（2021·全国高三其他模拟）已知 A 、 B 、C 是抛物线 2 2 0y px p 上三个不同的点，且抛物线的焦
点 F 是 ABC 的重心，若直线 AB 、BC 、CA 的斜率存在且分别为 ABk 、 BCk 、 CAk ，则 1 1 1
AB BC CAk k k
（ ）
A．3 B． 1 C．1 D．0
【答案】D
【分析】
本题可设 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，则 2
1 12y px 、 2
2 22y px ，然后两式相减，得出 1 21
2AB
y y
k p
，再然后
设 3 3,C x y ，通过相同的方式得出 2 31
2BC
y y
k p
， 1 31
2AC
y y
k p
，最后通过焦点 F 是 ABC 的重心得
出 1 2 3 0y y y ，即可得出结果.
【详解】
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 2
1 12y px ， 2
2 22y px ，
两式相减，得 2 2
1 2 1 22y y p x x ，则 1 2 1 2
1 2
1
2AB
x x y y
k y y p
，
设 3 3,C x y ，同理可得 2 31
2BC
y y
k p
， 1 31
2AC
y y
k p
，
因为焦点 F 是 ABC 的重心，所以 1 2 3 0y y y ，
则 2 3 1 31 2 02
1 1
2 2
1
AB BC CA
y y y yy y
pk pk pk
，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：三角形背景下的圆锥曲线问题是圆锥曲线的一类特色，近几年高考也经常会考到，解决此类
问题通常会用到设而不求思想，如本题设出点 A 、B 、C 的坐标后，直接使用三角形的重心坐标公式求解．
6．（2021·河北唐山市·高三三模）已知双曲线 C：
2
2 18
yx 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，O 为坐标原点，
点 P 在 C 的一条渐近线上，若 2OP PF ，则 1 2PF F△ 的面积为 （ ）
A．3 2 B． 6 2 C．9 2 D．18 2
【答案】C
【分析】
由题设条件写出焦点 1F 、 2F 的坐标，再根据点 P 在 C 的一条渐近线上且 2OP PF 求出点 P 的纵坐标而
得解.
【详解】
双曲线 C：
2
2 18
yx 中， 1( 3,0)F ， 2 (3,0)F ，渐近线方程： 2 2y x ，
因 2OP PF ，则点 P 在线段 2OF 的中垂线： 3
2x 上，则 P 点纵坐标 y0 有 0| | 3 2y ，
所以 1 2PF F△ 面积
1 2 1 2 0
1 | | | | 9 22PF FS F F y .
故选：C
7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 ABC 的三个顶点都在抛物线T ： 2 2y px （ 0p ）上， 2, 8C ，
且抛物线的焦点 F 为 ABC 的重心，则 AF+BF=（ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
【答案】B
【分析】
已知
1 1 2 2
2, 82 1 2
, , ,
28 2 2 16 8,0 83
C
A x y B x y
x xp p F
，三角形重心坐标公式
设
1 2 22 38x x AF BF
抛物线的定义
【详解】
解：由题意知 28 2 2p ，解得 16p ，所以 8,0F ，设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则由三角形重心坐
标公式得 1 2 2 83
x x ，化简得 1 2 22x x ，根据抛物线的定义，
得 1 2 1 2 382 2
p pAF BF x x x x p ，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：已知 ABC 的顶点 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 3 3,C x y ，则 ABC 的重心G 的坐标为
1 2 3 1 2 3,3 3
x x x y y y
．
8．（2021·浙江高二期末）已知 mR ，“ 2 4m ”是“方程
2 2
12 4
x y
m m
表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
先求出方程
2 2
12 4
x y
m m
表示椭圆的充要条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】
解：若方程
2 2
12 4
x y
m m
表示椭圆，则
2 0
4 0
2 4
m
m
m m
，解得 2 4m 且 3m ，
所以“ 2 4m ”是“方程
2 2
12 4
x y
m m
表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
9．（2021·全国高三其他模拟）设双曲线
2 2
2 2 0 0, 0x y a ba b
的左、右焦点分别 1F 、 2F ，点 ,P x y 为
双曲线右支上一点， 1 2PF F△ 的内切圆圆心为 2,2M ，则 1PMF 的面积与 2PMFV 的面积之差为（ ）
A．1 B． 2 C． 4 D． 6
【答案】C
【分析】
设 1 2PF F△ 内切圆的半径为 r ，可将所求面积之差表示为 ar ，由内切圆圆心坐标可得 2r = ，根据过圆外
一点作圆的切线，切线长相等的性质可将 1 2PF PF 表示为 1 2AF CF ，结合双曲线定义可构造方程求
得 a ，由此可求得结果.
【详解】
设 1 2PF F△ 内切圆的半径为 r ，则
1 12PMF
rS PF△ ，
2 22PMF
rS PF△ ，
1 2PMF PMFS S △ △ 1 22
r PF PF ar .
过点 M 作 1MA PF 于点 A ， 1 2MB F F 于点 B ， 2MC PF 于点C ，
则由 1 2PF F△ 的内切圆圆心为 2,2M 知： 2r MB= = ， 1 1 2AF BF c ， 2 2 2BF CF c ，
AP PC ，
1 2 1 2 2 2 2PF PF AF CF c c a ，解得： 2a ，
1 2
4PMF PMFS S .
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查与双曲线焦点三角形有关的问题的求解，解题关键是能够利用过圆外一点作圆的切
线，切线长相等的性质，结合双曲线的定义构造方程求得 a .
10．（2021·全国高三其他模拟（理））已知直线 l 与椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
相切，与直线 x a ，x a
分别交于点 M ， N ， F 为椭圆的左焦点，若以 MN 为直径的圆为 E ，则 F （ ）
A．在圆 E 上 B．在圆 E 内 C．在圆 E 外 D．以上三种情况都有可能
【答案】A
【分析】
设出直线方程，与椭圆联立，由相切可得 0 ，得出 2 2 2 2m a k b ，再化简可得出 0FM FN 即可判
断.
【详解】
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y kx m ，
由 2 2
2 2
,
1,
y kx m
x y
a b
可得 2 2 2 2 2 2 2 2 22 0a k b x a kmx a m a b ，
因为直线l 与椭圆相切，所以 22 2 2 2 2 2 2 22 4 0a km a k b a m a b ，
故 2 2 2 2m a k b ．易知 ,0F c ， ,M a ak m ， ,N a ak m ，
则 ,FM c a m ak ， ,FN c a m ak ，
则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0FM FN c a m a k b a k b a k ，故 90MFN ，
即点 F 在圆 E 上．
故选：A.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用 0 得出 2 2 2 2m a k b ，求解 0FM FN 判断.
11．（2021·全国高三其他模拟（理））已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
，若以双曲线的左焦点 F 为圆心
的圆的面积为 4 ，且圆 F 与双曲线的渐近线相切， P 为圆 F 上任意一点，点 P 到原点 O 的距离的最大值
为 5 2 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． 5 C． 3 D． 2
【答案】B
【分析】
先由圆的面积得到圆的半径为 2，再结合双曲线的渐近线与该圆相切及点到直线的距离公式得到 2b ，然
后由 P 到点 O 的距离的最大值为 5 2 求得 5c ，进而求得 1a ，利用离心率公式即得结果．
【详解】
设 ,0F c ，圆 F 的半径为 r ，则 2 4r ，
∴ 2r = ，
∵双曲线的一条渐近线方程为 0bx ay ，且渐近线与圆相切，
∴
2 2
2bc b
b a
，而 c b r ，即O 与圆 F 是相离关系，
∵ P 到原点 O 的距离的最大值为 5 2 ，
∴ 2 5 2FO r c ，则 5c ， 22 2 25 2 1a c b ，
∴双曲线的离心率 5ce a
．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：由圆的面积求半径 r ，根据双曲线渐近线与圆相切求双曲线参数 b，进而判断O 点与圆 F 的
位置关系，结合题设 5 2FO r 即可求双曲线参数 ,a c .
12．（2021·全国高三其他模拟（理））已知椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的短轴长为 4，上顶点为 B ，O
为坐标原点，点 D 为OB 的中点，双曲线 E ：
2 2
2 2 1x y
m n
( 0m ， 0n )的左､右焦点分别与椭圆 C 的左
､右顶点 1A ， 2A 重合，点 P 是双曲线 E 与椭圆C 在第一象限的交点，且 1A ， P ， D 三点共线，直线 2PA 的
斜率
2
4
3PAk ，则双曲线 E 的离心率为（ ）
A． 3 5
5
B． 3
2 C． 8 10 10
5
D． 5 4 10
9
【答案】D
【分析】
由椭圆C 的短轴长为 4 得 B 的坐标， D 的坐标
1
1
PAk a
设 1AP 的中点为 M 连接得
1 2
4
PA OMk k a
，
2
4= 3PA OMk k ， 3a
直线 1AP 的方程得 M 的坐标， P 的坐标，求出双曲线 E 的实轴长，
解得双曲线 E 的离心率
6 5 4 10
98 10 25
e
.
【详解】
因为椭圆 C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的短轴长为 4，所以 0,2B ， 0,1D .
设 1AP 的中点为 M ，连接 OM ，则
1 2
4
PA OMk k a
，而
2
4= 3PA OMk k ，
1
1
PAk a
，
所以 2
1 4 4
3a a
，得 3a ，所以直线 1AP 的方程为 1 13y x ，
与直线 OM 的方程 4
3y x 联立，得
1 1,3
4 ,3
y x
y x
解得
3 ,5
4 ,5
x
y
所以 M 的坐标为 3 4,5 5
， P 的坐标为 9 8,5 5
，
又双曲线 E ：
2 2
2 2 1x y
m n
0, 0m n 的左､右焦点分别为 1 3,0A ， 2 3,0A ，
所以根据双曲线的定义，
得双曲线的实轴长
2 2 2 29 8 9 8 8 102 3 3 25 5 5 5 5m
，
所以双曲线 E 的离心率
6 5 4 10
98 10 25
e
，
故选：D
【点睛】
充分利用椭圆和双曲线的几何特征，特别是双曲线的左右焦点与椭圆的左右顶点重合.
结论拓展已知直线l ： 0, 0y kx m k m 与椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
相交于 A ，B 两点，M 为 AB 的中点，
O 为坐标原点，则
2
2OM
bk k a
.
13．（2021·全国高三其他模拟）设抛物线T ： 2 4y x 的焦点为 F ， A 为抛物线上一点且 A 在第一象限，
5AF ，若将直线 AF 绕点 F 逆时针旋转 45°得到直线l ，且直线l 与抛物线交于C ， D 两点，则 CD
（ ）
A． 200
49 B． 400
49 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
方法一：根据焦半径公式求得 A 点坐标，进而求得直线 CD 的斜率，写出直线 CD 方程，联立直线与抛物
线的方程，最后根据韦达定理及弦长公式求解即可.
方法二：设 AFx ，根据焦半径的倾斜角表示形式求得 3cos 5
，再根据焦点弦的倾斜角表示形式求解
即可.
【详解】
方法一：由题意知 1,0F ，
设 ,A x y ，由 5AF 及抛物线的定义得 1 5x ，
得 4x ，所以 4y ，即 4,4A ，
设 AFx ，
易得 4 0 4tan 4 1 3
，
所以直线 CD 的斜率
4 1tan tan 45 3tan 45 741 tan tan 45 1 3
k
，
又直线CD 过点 1,0F ，
所以直线 CD 的方程为 7 7y x ，
与抛物线的方程联立并化简，得 249 102 49 0x x ，
设 1 1,C x y ， 2 2,D x y ，
由根与系数的关系得 1 2
102
49x x ， 1 2 1x x ，
所以
2
22
1 2 1 2
102 2 200 2001 4 50 4 5049 49 49CD k x x x x
.
方法二：设 AFx ，则 2 51 cosAF
，
得 3cos 5
，所以 4sin 5
，
则 2 2 2cos 45 cos sin2 2 10
，
从而 7 2sin 45 10
，
由题意知直线l 的倾斜角为 45 ，
因此 2
4 200
sin 45 49CD .
故选：A
【点睛】
拓展抛物线焦点弦的几个常见结论：
设 AB 是一条过抛物线 2 2y px ( 0p )的焦点 F 的弦， AB 所在直线的倾斜角为 ， 1 1,A x y 在第一象
限，则：
（1）
2
1 2 4
px x ， 2
1 2y y p ；
（2） 11 cos 2
p pAF x
，
2
1 cos 2
p pBF x
，
1 2 2
2
sin
pAB x x p ，
（3） 1 1 2
FA FB p
(为定值).
14．（2021·全国高三其他模拟）已知 A ， F 分别是双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的右顶点和右焦点，点
P 是直线
2ax c
（其中 c 为双曲线的半焦距）上的动点，当 AFP 的外接圆面积最小时，点 P 恰好在双曲
线的一条渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D．3
【答案】C
【分析】
由正弦定理可得当 APF 的外接圆面积取得最小值时，tan APF 取得最大值，设直线
2ax c
交 x 轴于点
B ，设点
2
,aP tc
， 0t ，由 tan tanAPF BPF BPA ，展开可得利用基本不等式可得
bt a c ac
， APF 最大，将点 P 代入双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】
由 AF c a 为定值及正弦定理 2sin
AF RAPF
（ R 为外接圆半径）可知，
当sin APF 取得最大值，即 tan APF 取得最大值时，
APF 的外接圆面积取得最小值.
设直线
2ax c
交 x 轴于点 B ，根据双曲线的对称性不妨设点
2
,aP tc
， 0t ，
则
2
tan
aa cBPA t
，
2
tan
ac cBPF t
，
tan tanAPF BPF BPA
2 2
2 2 2 2
2 2
22
1
a ac ac c
c c ac a c at t
a a ab c a b a c aab c ac a t tc c c t c t
t t
，
当且仅当 2
2
ab c at c t
，即 bt a c ac
时，等号成立，此时 APF 最大，
APF 的外接圆面积取得最小值，此时点 P 的坐标为
2
,a b a c ac c
，
由题意知点 P 在直线 by xa
上，所以
2a b b a c ac a c
，得 2c a ，
故双曲线的离心率 2e .
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了双曲线的简单几何性质，根据正弦定理当 APF 的外接圆面积取得最小值时，
tan APF 取得最大值，利用基本不等式得出等号成立的条件是解题的关键，考查了运算能力.
15．（2021·山东滨州市·高三二模）已知 1F ， 2F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的左､右焦点，
点 P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若 2 1 1 2sin 3sinPF F PF FÐ = Ð ，则双曲线 C 的离心率的取值范围
为（ ）
A．( )1,2 B． 1,3 C． 3, D． 2,3
【答案】A
【分析】
在 1 2PF F△ 中，利用正弦定理可得 1 2| | 3| |PF PF ，再结合双曲线的定义可得 1 2| | | | 2PF PF a ，可得求 1| |PF ，
2| |PF ，再利用 1 2 1 2| | | | | |PF PF F F ，即可求出双曲线 C 的离心率的取值范围.
【详解】
在 1 2PF F△ 中， 2 1 1 2sin 3sinPF F PF FÐ = Ð ，由正弦定理得， 1 2| | 3| |PF PF ，
又点 P 是双曲线 C 上在第一象限内的一点，所以 1 2| | | | 2PF PF a ，所以 1| | 3PF a ， 2| |PF a ，
在 1 2PF F△ 中，由 1 2 1 2| | + | | | |PF PF F F ，得 3 2a a c ，即 2a c ，所以 2ce a
，
又 1e ，所以1 2e .
故选：A
【点睛】
关键点点睛：求解离心率取值范围的关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，本题是利用点 P 是双曲线 C
上在第一象限内的一点，结合三角形两边之和大于第三边，构造不等式.
二、多选题
16．（2021·湖北武汉市·高三三模）已知 F 为抛物线 C ： 2 4y x 的焦点.设 P 是准线上的动点，过点 P 作抛
物线 C 的两条切线，切点分别为 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ，则（ ）
A． AB 的最小值为 4 B．直线 AB 过点 F
C． PM y 轴 D．线段 AB 的中垂线过定点
【答案】ABC
【分析】
根据题意设 1,P t ， 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，利用导数求出切线方程，将切线方程联立求出 1 2 14
y yx ，
1 2
2
y yy t ，利用两点间的距离公式以及基本不等式可判断 A；利用向量共线可判断 B；利用中点坐标
公式可判断 C；利用点斜式可判断 D.
【详解】
由题意可得 1,0F ，准线 1x ，设 1,P t ， 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
4 2y x y x ，所以 1 2y yx
，
不妨设 A 在 x 轴上方，则
1
2
PAk y
，
2
2
PBk y
，
直线 PA ： 1 1
1
2y x x yy
，
直线 PB ： 2 2
2
2y x x yy
，
将两直线联立可得 1 2 14
y yx ， 1 2
2
y yy t ，
则 1 2 4y y ，
2 2
1 2
1 2 116
y yx x ，
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 4 8 2AB x x y y x x x x x x
又
2 2
1 21 2
1 2
2 24 4
y yy yx x ，
所以 AB 的最小值为 4，故 A 正确；
1 1 2 21, , 1,FA x y FB x y ，
2 2
1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 1 21 1 1 1 1 04 4 4
y y y yx y x y y y y y
，
所以 ,FA FB
共线，所以直线 AB 过点 F ，故 B 正确；
因为 AB 中点的纵坐标为 1 2
2
y y t ，故 PM y 轴，故 C 正确；
由点差法可得 2 2
1 2 1 24y y x x ，
1 2
1 2 1 2
4 2
AB
y yk x x y y t
，
又 22 2 2
1 2 1 21 2 1 2 2 2
2 8 8 2
y y y yx x y y t ，
AB 的垂直平分线方程为
2 2
2 2
t ty x t
，
故线段 AB 的中垂线不过定点，故 D 错误.
故选：ABC
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是设出 1,P t ， 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
得出 1 2 14
y yx ， 1 2
2
y yy t ，考查了运算求解.
17．（2021·湖南永州市·高三月考）设 1 2,F F 同时为椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yC a ba b
与双曲线
2 2
2 1 12 2
1 1
: 1 0, 0x yC a ba b
的左右焦点，设椭圆 1C 与双曲线 2C 在第一象限内交于点 M ，椭圆 1C 与双
曲线 2C 的离心率分别为 1 2, ,e e O 为坐标原点，若（ ）
A． 1 2 2F F MO ，则 2 2
1 2
1 1 2e e
B． 1 2 2F F MO ，则 2 2
1 2
1 1 2e e
C． 1 2 24F F MF ，则 1 2e e 的取值范围是 2 3,3 2
D． 1 2 24F F MF ，则 1 2e e 的取值范围是 2 ,23
【答案】BD
【分析】
先设 1 2,MF m MF n ，焦距为 2c ，根据椭圆与双曲线的定义，求出 1m a a ， 1n a a ；当
1 2 2F F MO ，得 1 2 90F MF ，进而可判断 B 正确，A 错；当 1 2 24F F MF 时，得到
1 2
1 1 1
2e e
，
推出
2
2
1 2
2
2
2
ee e e
，利用换元法，结合函数单调性，即可判断 D 正确，C 错.
【详解】
如图，设 1 2,MF m MF n ，焦距为 2c ，由椭圆定义可得 2m n a ，由双曲线定义可得 12m n a ，
解得 1m a a ， 1n a a ，
当 1 2 2F F MO 时，则 1 2 90F MF ，所以 2 2 24m n c ，
即 2 2 2
1 2a a c ，由离心率的公式可得 2 2
1 2
1 1 2e e
，故 B 正确.
当 1 2 24F F MF 时，可得 1
2n c ，即 1
1
2a a c ，可得
1 2
1 1 1
2e e
，
由 10 1e ，可得
1
1 1e
，可得
2
1 1
2e
，即 21 2e ，则
2
2
1 2
2
2
2
ee e e
，
可设 22 (3 4)e t t ，则
2 2
2
2
2 2( 2) 42 42
e t te t t
，
由 4 4f t t t
在 3,4 上单调递增，可得 1 ,13f t
，则 1 2
2 ,23e e
，故 D 正确.
故选： BD.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线的定义，得到 1MF 与 2MF ，再由离心率的计算公式，结合题中条
件，即可求解.
18．（2021·全国高三其他模拟）已知 F 为椭圆C ：
2 2
14 2
x y 的左焦点，直线l ： 0y kx k 与椭圆C
交于 A ， B 两点， AE x 轴，垂足为 E ， BE 与椭圆C 的另一个交点为 P ，则（ ）
A． 1 4
AF BF
的最小值为 2 B． ABE△ 面积的最大值为 2
C．直线 BE 的斜率为 1
2 k D． PAB 为钝角
【答案】BC
【分析】
A 项，先由椭圆与过原点直线的对称性知， 4AF BF ，再利用 1 的代换利用基本不等式可得最小值 9
4
，
A 项错误； B 项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于 k 的函数关系式，再求函数最值；
C 项，由对称性，可设 0 0,A x y ，则 0 0,B x y ， 0,0E x ，则可得直线 BE 的斜率与 k 的关系； D 项，
先由 A、B 对称且与点 P 均在椭圆上，可得
2
2
1
2PA PB
bk k a
，又由 C 项可知 1
2PB BEk k k ， 得
1PA ABk k ，即 90PAB ，排除 D 项.
【详解】
对于 A，设椭圆 C 的右焦点为 F，连接 AF ， BF ，
则四边形 AF BF 为平行四边形，
AF BF 2 4AF AF a ，
41 4 1 1 4 1 954 4 4
BF AFAF BFAF BF AF BF AF BF
，
当且仅当 2BF AF 时等号成立，A 错误；
对于 B，由
2 2
14 2
x y
y kx
得 2
2
1 2
x
k
，
A By y
2
4
1 2
k
k
，
ABE 的面积 2
41 4 212 1 2 2
A A B
kS x y y k kk
，
当且仅当 2
2k 时等号成立，B 正确；
对于 C，设 0 0,A x y ，则 0 0,B x y ， 0,0E x ，
故直线 BE 的斜率 0
0 0
0 1
2BE
yk x x
0
0
1
2
y kx
，C 正确；
对于 D，设 ,P m n ，直线 PA 的斜率额为 PAk ，直线 PB 的斜率为 PBk ，
则 PA PBk k
2 2
0 0 0
2 2
0 0 0
n y n y n y
m x m x m x
，
又点 P 和点 A 在椭圆C 上，
2 2
14 2
m n ①，
2 2
0 0 14 2
x y ②，
① ②得
2 2
0
2 2
0
1
2
n y
m x
，易知 1
2PB BEk k k ，
则 1 1
2 2PAk k ，得 1
PAk k
，
1 1PA ABk k kk
， 90PAB ，D 错误.
故选：BC.
【点睛】
椭圆常用结论：
已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，若
,PA PBk k 都存在，则
2
2PA PB
bk k a
.
19．（2021·河北唐山市·高三三模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行
于抛物线对称轴的方向射出：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，
已知抛物线 r： 2y x ，O 为坐标原点，一束平行于 x 轴的光线 1l 从点 41,116P
射入，经过 r 上的点 1 1,A x y
反射后，再经 r 上另一点 2 2,B x y 反射后，沿直线 2l 射出，经过点 Q，则 （ ）
A． 1 2 1y y B． 25
16AB
C．PB 平分 ABQ D．延长 AO 交直线 1
4x 于点 C，则 C，B，Q 三点共线
【答案】BCD
【分析】
根据 1l 平行于 x 轴可求 A 的坐标，从而可求直线 AF 的方程，联立直线 AF 的方程和抛物线的方程可求 B 的
坐标，从而可求 AB 并可得 APB△ 为等腰三角形，从而可判断 ABC 的正误，求出 C 的坐标后可判断 D 的
正误.
【详解】
设抛物线的焦点为 F ，则 1 ,04F
.
因为 41,116P
，且 1 //l x 轴，故 1,1A ，故直线
1 0 1 4 1: 1 4 3 31 4
AF y x x .
由
2
4 1
3 3y x
y x
可得 2 3 1 04 4y y ，故 1 2
1
4y y ，故 A 错.
又 1 1y ，故 2
1
4y ，故 1 1,16 4B
，故 1 1 251 16 2 16AB ，故 B 正确.
直线 :AO y x ，由 1
4
y x
x
可得 1 1,4 4C
，故 C By y ，
所以 C，B，Q 三点共线，故 D 正确.
因为 41 25116 16AP AB ，故 APB△ 为等腰三角形，故 =ABP APB ，
而 1 2//l l ，故 =PBQ APB 即 =ABP PBQ ，故 PB 平分 ABQ ，故 C 正确.
故选：BCD.
20．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线 E ：
2 2
2 2 1 0x y a b
a b
的左、右焦点分别为 1 3,0F ，
2 3,0F ，两条渐近线的夹角正切值为 2 2 ，直线l ： 3 0kx y k 与双曲线 E 的右支交于 A ， B 两点，
设 1F AB 的内心为 I ，则（ ）
A．双曲线 E 的标准方程为
2 2
16 3
x y B．满足 6AB 的直线l 有 2 条
C． 2IF AB D． 1F AB 与 IAB△ 的面积的比值的取值范围是 2,6
【答案】ACD
【分析】
A:设其中一条渐近线的倾斜角为 ， 0 2
，由题干条件可知 tan 2 2 2 ，从而解出 2tan 2
，
即 2
2
b
a
，又有焦点坐标，联立可解出 ,a b ，从而求出双曲线方程；B：直线过焦点，判断过焦点弦的最
短弦可判断 B；C：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D：将三角形的面积用内切圆的半径和
边长计算，结合定义，可得到 1 4 6 2F AB
IAB
S
S AB
△
△△
，由 AB 的范围可求出比值的范围.
【详解】
A 选项，设双曲线 E 的一条渐近线的倾斜角为 ， 0 2
，因为 a b ，所以 0 2 2
，从而
2
2tantan 2 2 21 tan
，解得 2tan 2
或 tan 2 （舍去），所以 2
2
b
a
，又 2 2 9a b ，所
以 2 6a ， 2 3b ，所以双曲线 E 的标准方程为
2 2
16 3
x y ，故 A 正确；B 选项，直线l 的方程 kx 3 0y k ，
即 3 0k x y ，则直线l 恒过右焦点 2F ，又过焦点 2F 的弦最短为
22 6 6
6
b
a
，所以满足
6AB 的直线l 只有 1 条，B 错误；
C 选项，由双曲线的定义可知， 1 2 12 6AF AF BF 2BF ，即 1 1 2 2AF BF AF BF ，因此 2F
是 1F AB 的内切圆在 AB 边上的切点，因此 2IF AB ，C 正确；
D 选项，由题知
1
2 1 1 2 2
2
1
2 6 2 6 4 62
1
2
F AB
IAB
IF AF BF ABS AF BF AB
S AB ABIF AB
△
△△
2 ，因为 6AB ，
所以 1 2,6F AB
IAB
S
S
△
△
，D 正确.
【点睛】
知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为
22b
a
；
异支的弦中最短的为实轴，其长度为 2a .（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.
21．（2021·全国高三其他模拟）设O 为坐标原点，抛物线C ： 2 2 0x py p 的焦点为 F ，过点 F 且斜
率为 k 的直线l 交抛物线C 于 A ， B 两点， AB 的中点为 M ，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为 D ，交
抛物线于点 E ，则（ ）
A．若 5
2
pFB ，则 3
2k = B． E 是 MD 的中点
C． EFM△ 不可能是等边三角形 D． OAB 面积的最小值为
2
2
p
【答案】BD
【分析】
利用抛物线定义求出点 B 坐标，再求出斜率 k 而判断选项 A；联立 l 与 C 的方程组，求出点 M 的坐标，进
而得点 E 坐标即可判断选项 B；
在|ME|=|MF|时求出 k 即可判断选项 C；求出 OAB 面积的关系式，再求得最小值以判断选项 D.
【详解】
抛物线C ： 2 2 0x py p 的焦点为 (0, )2
pF ，准线l：
2
py ，如图：
对于 A 选项：设点 B(x0，y0)，由抛物线定义知 0 0
5 22 2
p pFB y y p ，则 0 2x p ，
则直线 l 的斜率 0
0
32
4
py
k x
，A 不正确；
直线 l：
2
py kx ，由
2
2
2
py kx
x px
得 2 22 0x pkx p ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2
2
1 2
2x x pk
x x p
，
对于 B 选项：线段 AB 中点 M 2( , )2
ppk pk ，点 ( , )2
pD pk ，线段 MD 中点 E
2
( , )2
pkpk 满足抛物线 C
的方程，即 B 正确；
对于 C 选项：由|ME|=|MF|得
2
212
pk p k pk ，解得 3
3k ，即直线 l 倾斜角为30 或150 ，从
而有 60EMF ， EFM△ 是等边三角形，C 不正确；
对于 D 选项： 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4 2 (1 )AB k x x k x x x x p k ，点O 到直线l 的距离
22 1
pd
k
，
则 OAB 面积
2 2
21 12 2 2AOB
p pS AB d k
，当且仅当 0k 时取等号，D 正确.
故选：BD
【点睛】
关键点睛：涉及过抛物线上的点到焦点的距离问题，用抛物线定义是快速准确求解的关键.
22．（2021·山东临沂市·高三二模）已知抛物线 2 2 0x py p 的焦点为 F ，且 2,1A ， 1 1,B x y ，
2 2,C x y 在抛物线上， O 为坐标原点．下列说法正确的是（ ）
A．点 F 的坐标为 0,2
B．若 FB FC AF ，则 2FB FC AF
C．若 6BC
，则 BC 的中点到 x 轴距离最小值为 2
D．若直线 BC 过点 F ，则直线 OB 与OC 的斜率之积为 1
4
【答案】BCD
【分析】
代入点 2,1A ，即可求得 2p ，可判断 A；根据向量坐标运算与焦半径公式可判断 B；由 BF CF BC
得 1 2 22
y y ，即可判断 C；设直线 BC 方程联立方程组，得用韦达定理和斜率公式可判断 D．
【详解】
由于点 2,1A 在抛物线 2 2 0x py p 上得 4 2p ，故 2p ，
所以 F 的坐标为 0,1 ，A 错；
对 B 选项， FB FC AF 得 1 2 2 0 y y
所以 1 2 4
FB FC y y p ，又 2 2 1 42
pAF
所以 2FB FC AF
成立，故 B 正确；
对 C 选项，由 6 BF CF BC ，所以 1 2 1 2 2 6 y y p y y
则 1 2 22
y y ，所以则 BC 的中点到 x 轴距离最小值为 2，故 C 正确；
对 D 选项，设直线 BC 方程为 1y kx ，代入抛物线 2 4x y 得 2 4 4 0x kx
所以 1 2 4x x ，直线OB 与OC 的斜率之积为
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
116
16 4
x x
y y x x
x x x x
，故 D 正确
故选：BCD
【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|
＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
第 II 卷（非选择题）
三、解答题
23．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线C ：
2 2
2 2 1 , 0x y a ba b
的一条渐近线与直线 0l ： 3 0x y
垂直，且双曲线C 的右焦点 F 到直线 0l 的距离为 1．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）记C 的左、右顶点分别为 1A ， 2A ，过点 F 的直线l 与双曲线C 的右支交于 M ， N 点，且直线 1A M
与直线 2A N 交于点 Q ，求证： 1AQ QF ．
【答案】（1）
2
2 13
yx ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由双曲线的性质得到渐近线方程，利用两直线垂直和点到直线的距离公式建立方程，再结合基本量之
间的关系即可得到 2a ， 2b 值，从而得到双曲线 C 的标准方程；
（2）先考虑直线l 的斜率不存在的情况，根据相关点的坐标得到两直线的方程，从而解得Q 的坐标，进而
利用点Q 在 1A F 的垂直平分线上得到结果，再考虑直线l 的斜率存在的情况，利用直线与双曲线的位置关
系建立方程，结合根与系数的关系探究点 Q 的横坐标，从而得到结果．
【详解】
解：（1）由题知双曲线 C 的渐近线方程为 by xa
，
∵双曲线的一条渐近线与直线 0l ： 3 0x y 垂直，∴ 3b
a
，即 3a b ．
设 ,0F c ，∴ 121 3
c c
，∴ 2c ．
∵ 2 2 2c a b ，∴ 2 2 24 4a b a ，
∴ 2 1a ， 2 3b ，
故双曲线 C 的标准方程为
2
2 13
yx ．
（2）由（1）可得 2,0F ， 1 1,0A ， 2 1,0A ．
①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 2x ，结合双曲线 C 的方程可得 3 y ，
若 2,3M ， 2, 3N ，则直线 1A M 的方程为 1y x ，直线 2A N 的方程为 3 3y x ，
由直线 1A M 与直线 2A N 的方程可得 1 3,2 2Q
，∴点 Q 在直线 1
2x 上，
又 1A F 的垂直平分线为直线 1
2x ，∴ 1AQ QF ．
若 2, 3M ， 2,3N ，则直线 1A M 的方程为 1y x ，直线 2A N 的方程为 3 3y x ，
由直线 1A M 与直线 2A N 的方程可得 1 3,2 2Q
，∴点 Q 在直线 1
2x 上，
又 1A F 的垂直平分线为直线 1
2x ，∴ 1AQ QF ．
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 2y k x ， 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
由题可知 0k ，
联立，得
2
2
2
13
y k x
yx
，消去 y 可得 2 2 2 23 4 4 3 0k x k x k ，
由直线l 与双曲线C 有两个交点，得 2 3k ，
2
1 2 2
4
3
kx x k
，
2
1 2 2
4 3
3
kx x k
．
∵直线 1A M 的方程为 1
1
11
yy xx
，直线 2A N 的方程为 2
2
11
yy xx
，
∵
2 1
1 2
11
1 1
y xx
x y x
，两边同时平方得
22 2
2 1
22
1 2
11
1 1
y xx
x y x
，
又
2
2 1
1 13
yx ，
2
2 2
2 13
yx ，
∴
22 22
2 12 1
2 22 2
1 2 1 2
3 1 11
1 3 1 1
x xy x
y x x x
2 1
1 2
1 1
1 1
x x
x x
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
x x x x
x x x x
2 2
2 2
2 2
2 2
4 3 4 13 3
4 3 4 13 3
k k
k k
k k
k k
2 2 2
2 2 2
4 3 4 3
4 3 4 3
k k k
k k k
9 ，
∴
21 91
x
x
，解得 1
2x 或 2x ．
由题易知
2 1
1
1 01
y x
y x
，当 2x 时， 1 01
x
x
，矛盾，舍去，
故 1
2Qx ，即点 Q 在直线 1
2x 上，
又 1A F 的垂直平分线为直线 1
2x ，∴ 1AQ QF ．
【点睛】
关键点点睛：本题是综合性题目，属于课程学习情境和探索创新情境，具体是数学运算学习情境和数学探
究情境．解题的关键是当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 2y k x ， 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
然后将直线与双曲线的方程联立方程组，消去 y ，利用根与系数的关系，
2
1 2 2
4
3
kx x k
，
2
1 2 2
4 3
3
kx x k
，
再表示出直线 1A M 与直线 2A N 的方程，从而可得
2 1
1 2
11
1 1
y xx
x y x
，然后通过计算
22
2 1
22
1 2
1
1
y x
y x
，可求出
点Q 的坐标，进而可证得 1AQ QF ，本题考查逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题
24．（2021·河南高三三模（文））椭圆
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
＞ ＞ 经过点 0,1 ，离心率是 6
3
．若斜率为 k
的直线l 与椭圆交于不同的两点 E、G．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设 2,0P ，直线 PE 与椭圆的另一点交点为 M，直线 PG 与椭圆的另一个交点为 N．若 M、N 和点
7 1,4 4Q
共线，求 k．
【答案】（1）
2
2 13
x y ；（2） 1k ．
【分析】
（1）根据椭圆经过点 0,1 ，离心率是 6
3
，由 b=1，
2
2
2
21 3
be a
求解；
（2）设 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , ( , ), ( , )E x y G x y M x y N x y ，设 1
1
1 2PE
yk k x
，得到直线 PE 的方程为
1 2y k x ，与椭圆方程联立，求得点 M，N 的坐标，然后由 Q 、 M 、 N 三点共线求解.
【详解】
（1）因为椭圆
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
＞ ＞ 经过点 0,1 ，离心率是 6
3
，
所以 b=1，
2
2
2
21 3
be a
，即
2
2
1
3
b
a
，
解得 3a ，
所以椭圆的方程是
2
2 13
x y ．
（2）设 1 1 2 2 3 3 4 4, , , , ( , ), ( , )E x y G x y M x y N x y ，
则 2 2
1 13 3x y ，① 2 2
2 23 3x y ，②
又 2,0P ，所以设 1
1
1 2PE
yk k x
，直线 PE 的方程为 1 2y k x ，
由
1
2
2
2
13
y k x
x y
消去 y 可得 2 2 2 2
1 1 11 3 12 12 3 0k x k x k ，
则
2
1
1 3 2
1
12
1 3
kx x k
，即
2
1
3 12
1
12
1 3
kx xk
，
又 1
1
1 2
yk x
，所以 1
3
1
7 12
4 7
xx x
， 1
3
14 7
yy x
，
即 1 1
1 1
7 12( , )4 7 4 7
x yM x x
，同理可得 2 2
2 2
7 12( , )4 7 4 7
x yN x x
，
又因为 7 1,4 4Q
，由Q 、 M 、 N 三点共线，
可得
1 2
1 2
1 2
1 2
4 7 4 7
7 12 7 12
4 7
1 1
4 4
7 7
74 44
y y
x x
x x
x x
，
化简得 1 2
1 2
1y y
x x
，即 1k .
【点睛】
关键点点睛：本题关键是联立方程求得 M，N 的坐标，由Q 、 M 、 N 三点共线，利用斜率相等而得解.
25．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知抛物线 C : 2 2 0y px p 的准线经过椭圆
2
2 4 13
yx 的一个焦点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过椭圆的右顶点且斜率为 1k ， 2k 的两条直线分别交抛物线C 于点 A ， B ， M ， N ，点 P ，Q 分别
是线段 AB , MN 的中点，若 1 2 2k k ，求抛物线C 的焦点 F 到直线 PQ 的距离的最大值.
【答案】（1） 2 2y x ；（2） 2
2
.
【分析】
（1）易知椭圆
2
2 4 13
yx 的焦点为 1 ,02
， 1 ,02
，再根据抛物线的准线经过焦点求解；
（2）设直线 AB 的方程为 1 1y k x ，与抛物线联立，利用韦达定理求得点 P 的坐标，同理求得点 Q 的
坐标，从而写出直线 PQ 的方程求解.
【详解】
（1）因为椭圆
2
2 4 13
yx 的焦点为 1 ,02
， 1 ,02
，
抛物线C 的准线为
2
px ，所以 1
2 2
p ，
所以 1p ，
所以抛物线C 的方程为 2 2y x ；
（2）设直线 AB 的方程为 1 1y k x ，设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
联立
2
1
2
1
y x
y k x
消去 y ，得 2 2 2 2
1 1 12 2 0k x k x k ，
易知 0 ，
2
1
1 2 2 2
1 1
2 2 22kx x k k
，
2
1
1 2 2
1
1kx x k
，
所以 2 2
1 1
1 11 ,P k k
，同理可得 2 2
2 2
1 11 ,Q k k
，
直线 PQ 的方程为 2 1
2
1 1
2 2
2 1
1 1
1 111 1
k ky xk k
k k
，
即 1 2
2
1 1
1 112
k ky xk k
，
所以 1 2 1 2 1 2 2 1 2
2
1 1 1
21 1 11 12 2 2 2 2 2
k k k k k k k k ky x x xk k k
，
所以直线 PQ 恒过点 11, 2D
，
所以焦点 F 到直线 PQ 的距离的最大值为
2 21 1 21 2 2 2DF
.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、
不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从直线或
圆锥曲线的几何性质的角度考虑，利用曲线几何意义求最值．
26．（2021·全国高三其他模拟（理））已知地物线 C ： 2 2 0x py p 的焦点为 F ，点 B 在抛物线上，点
2,2A ，且 2FB OF FA (O 为坐标原点).
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若过点 2,0M 的直线l 与抛物线 C 交于 D ，E 两点，线段 DE 的中点为 N ，且 DM EN ，求直
线l 的方程.
【答案】（1） 2 4x y ；（2） 3 2 3 2x y .
【分析】
（1）设 0 0,B x y ，由 0, 2
pF
， 2,2A ， 2FB OF FA 求得 B 点坐标代入抛物线方程可得 p 值，
从而得抛物线方程；
（2）设直线l 的方程为 2 0y k x k ，联立，得
2
2 ,
4 ,
y k x
x y
整理由判别式大于 0 得 k 的范围，
设 1 1,D x y ， 2 2,E x y ，应用韦达定理得 1 2 4x x k ， 1 2 8x x k ，由中点坐标公式得 Nx ，由直线上的
弦长公式表示 DM EN 求得 k 值，得直线方程．
【详解】
解：（1）设 0 0,B x y ，因为 0, 2
pF
， 2,2A ，
所以 0 0, 2
pFB x y
， 0, 2
pOF
， 2,2 2
pFA
，
因为 2FB OF FA ，所以
0
0
0 2 2 ,
2 2 ,2 2 2
x
p p py
解得 0
0
4,
4,
x
y
因为点 B 在抛物线上，所以 24 2 4p ，解得 2p ，
所以抛物线C 的标准方程为 2 4x y .
（2）根据题意可知，只有点 E 在点 D 的上方时才有 DM EN .
当直线l 的斜率不存在时，直线l 与抛物线C 没有两个交点，显然不符合题意，故直线l 的斜率必定存在且
不为 0.
设直线l 的方程为 2 0y k x k ，联立，得
2
2 ,
4 ,
y k x
x y
整理得 2 4 8 0x kx k ，
则 24 4 8k 0k 得 2k 或 0k .
设 1 1,D x y ， 2 2,E x y ，所以 1 2 4x x k ， 1 2 8x x k .
设 ,N NN x y ，则 1 2 22N
x xx k .
由 DM EN 得， DE MN ，
所以 2 2
1 21 1 2Nk x x k x ，
则 2
1 2 1 24 2Nx x x x x ，即 24 4 8 2 2k k k ，
整理得 23 6 1 0k k ，解得 2 31 3k 或 2 31 3k ，均满足题意.
故直线l 的方程为 2 31 23y x
，即 3 2 3 2 0x y .
【点睛】
关键点点睛：本题考查求抛物线方程，直线与抛物线相交问题．解题关键是设直线方程与抛物线方程联立
方程组消元后应用韦达定理求得 1 2 1 2,x x x x ，然后由中点坐标公式得中点坐标，由直线上的弦长公式求得
弦长．
27．（2021·天津高三三模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心
率 1
2e ，左顶点为 4,0A ，过点 A 作斜率为 0k k 的直线l 交椭圆C 于点 D ，交 y 轴于点 E .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的 0k k 都有 OP EQ ，若存在，求出点Q 的
坐标；若不存在说明理由；
（3）若过O 点作直线 l 的平行线交椭圆C 于点 M ，求 AD AE
OM
的最小值.
【答案】（1）
2 2
116 12
x y ；（2）存在， Q 的坐标为 3,0 ；（3）最小值为 2 2 .
【分析】
（1）根据题中条件求出 a 、 c 的值，可得出b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；
（2）设直线l 的方程为 4y k x ，与椭圆方程联立，求出 D 、 P 、 E 的坐标，设点 , 0Q m n m ，
根据 OP EQ 可得出 1OP EQk k ，利用直线的斜率公式可求得 m 、 n 的值，由此可得出定点Q 的坐标；
（3）写出直线 OM 的方程为 y kx ，与椭圆方程联立可求得点 M 的横坐标，由此可得出 AD AE
OM
关于
k 的表达式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（1） 椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率 1
2e ，左顶点为 4,0A ， 4a ，
又 1
2e ， 2c ，则 2 2 2 12b a c ，椭圆C 的标准方程为
2 2
116 12
x y ；
（2）直线l 的方程为 4y k x ，
由
2 2
116 12
4
x y
y k x
化简得 2 24 4 3 16 12 0x k x k ，
1 4x ，
2
2 2
12 16
4 3
kx k
，
当
2
2
12 16
4 3
kx k
时，
2
2 2
12 16 244 4 3 4 3
k ky k k k
，即点
2
2 2
12 16 24,4 3 4 3
k kD k k
，
点 P 为 AD 的中点， P 的坐标为
2
2 2
16 12,4 3 4 3
k k
k k
，则 3 04OPk kk
，
直线l 的方程为 4y k x ，令 0x ，得 E 点坐标为 0,4k ，
假设存在定点 , 0Q m n m ，使得OP EQ ，
则 1OP EQk k ，即 3 4 14
n k
k m
恒成立，
4 12 3 0m k n 恒成立， 4 12 0
3 0
m
n
，即 3
0
m
n
，
定点 Q 的坐标为 3,0 ；
（3） //OM l ， OM 的方程可设为 y kx ，
由
2 2
116 12
x y
y kx
，得 M 点的横坐标为
2
4 3
4 3
x
k
，
由 //OM l ，得
2
22
2
2
12 1682 1 4 94 3
4 3 3 4 =3
4 3
D A E A D A
M M
k
AD AE x x x x x x kk
OM x x k
k
2 2
2 2
1 6 2 64 3 4 3 2 2
3 34 3 4 3
k k
k k
，
当且仅当 2
2
64 3
4 3
k
k
时，即 3
2k 时取等号，
当 3
2k 时， AD AE
OM
的最小值为 2 2 .
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
28．（2021·山东潍坊市·高三月考）椭圆
2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ， P 为椭圆
短轴上的一个顶点， 1PF 的延长线与椭圆相交于G ， 2PGF△ 的周长为8 ， 1 13PF GF .
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）过椭圆 E 外一点 A 作矩形 ABCD ，使椭圆 E 与矩形 ABCD 的四条边都相切，求矩形 ABCD 面积的
取值范围.
【答案】（1）
2 2
14 2
x y ；（2）8 2 12S .
【分析】
（1）利用椭圆的定义可求得 a 的值，根据平面向量共线的坐标运算求出点G 的坐标，代入椭圆方程可求得
c 、b 的值，由此可求得椭圆的标准方程；
（2）设矩形 ABCD 面积为S，分四边形 ABCD 的一边与坐标轴平行、四边形 ABCD 的各边与坐标轴不平
行两种情况讨论，在第一种情况下，求出S的值，在第二种情况下，设出矩形各边所在直线的方程，求出S
的表达式，结合基本不等式可求得S的取值范围，综合可得出结果.
【详解】
解：（1）由 2PGF△ 的周长为8 得 4 8a ，则 2a ，
由 1 13PF GF 且G 在 1PF 的延长线上，得 1
4
3PG PF
uuur uuur
，
设点 P 为椭圆的上顶点，设 0 0,G x y ，则 0 0
4, ,3x y b c b ，解得 0
4
3x c ， 0
1
3y b ，
由
2 2
0 0
2 2 1x y
a b
，解得 2 2c ，所以 2 2b ，椭圆 E 的方程为
2 2
14 2
x y ；
（2）设四边形 ABCD 面积为S.
当四边形 ABCD 的一边与坐标轴平行时，因为四边形 ABCD 为矩形， 2 2 8 2S a b ；
当四边形 ABCD 的各边与坐标轴不平行时，
根据对称性，设其中一边 AB 所在直线方程为 y kx m ，
则对边所在直线CD 方程为 y kx m ，则另一边 AD 所在直线方程为 1y x nk
，
则 BC 所在直线方程为 1y x nk
，
联立
2 2
14 2
x y
y kx m
，得 2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m ，
得 2 2 2 216 8 1 2 2 0k m k m ，可得 2 24 2m k ，同理 2
2
4 2n k
，
矩形一边长 1 2
2
1
md
k
，矩形另一边长 2
2
2
1 1
nd
k
，
矩形面积为
2 2
2
1 2 2 22 2
22
2 1 2 12 2 4 18 8 2 11 111 21
k km n mnk kS d d k kk kkk
.
因为 2 2
2 2
1 12 2k kk k
，当且仅当 1k 时，等号成立，所以8 2 12S .
综上得8 2 12S .
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
29．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆 C ：
2
2 14
x y 的右顶点为 A ，上､下顶点分别是 1B ， 2B .
（1）求 1 2AB B 外接圆的标准方程.
（2）若点 P 是椭圆C 第一象限上的点，直线 1B P 与 x 轴的交点为Q ，直线 2B A 与直线 1B P 的交点为 R .若
APR△ 与 APQ 的面积的比值为 4
9
，求直线 1B P 的方程.
【答案】（1）
2
23 25
4 16x y
；（2） 4 4 0x y .
【分析】
（1）由椭圆方程求得 1 2, ,A B B 坐标，设 1 2AB B 外接圆的圆心为 ,0D m ，求得圆心坐标和半径得方程；
（2）设 P ， R 的纵坐标分别为 1y ， 2y ， ,0Q t ， 2t ，写出直线 1B P 方程与椭圆方程联立求得 1y ，再
由直线相交求得 2y ，然后利用面积比求得t ，得直线方程．
【详解】
解：（1）易知 2,0A ， 1 0,1B ， 2 0, 1B .
根据对称性可知 1 2AB B 外接圆的圆心在 x 轴上，设为 ,0D m ，
连接 1DB ，则有 1DA DB ，即 2 22 1m m ，
解得 3
4m ，
设 1 2AB B 外接圆的半径为 R ，则 2 2 251 16R m ，
∴ 1 2AB B 外接圆的标准方程是
2
23 25
4 16x y
.
（2）设 P ， R 的纵坐标分别为 1y ， 2y ， ,0Q t ， 2t ，
则直线 1B Q 的方程为 11
x y
t
，①
与
2
2 14
x y 联立，消去 x ，整理得 2 2 2 24 2 4 0t y t y t ，
∴
1
2
1 1 2
4
4B
ty y y t
.
易知直线 2B A 的方程为 1 12y x ，②
①②联立可得 2
2
2
ty t
.
由题易知 4
9
APR
APQ
PRS
S PQ
△
△
，∴ 5
9
QR
PQ
，从而 2
1
5
9
y
y
，
∴
2
2 2
2
2
4 52
4 92
4
t
tt
t t
t
，解得 4t 或 1t (舍去).
此时直线 1B P 的方程为 14 1
x y ，即 4 4 0x y .
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键在求解本题第（1）问时，发现三角形的特征是求解的关键；求解第（2）问时，
能够根据题意确定出点 Q 在点 A 的右侧是一个关键点，另外，能够将两个三角形的面积的比值转化为线段
的长度的比值也是关键.
30．（2021·河北唐山市·高三三模）在直角坐标系 xOy 中， 1,0A ， 10B , ，C 为动点，设 ABC 的内
切圆分别与边 AC，BC，AB 相切于 P，Q，R，且 1CP ，记点 C 的轨迹为曲线 E.
（1）求曲线 E 的方程；
（2）不过原点 O 的直线 l 与曲线 E 交于 M，N，且直线 1
2y x 经过 MN 的中点 T，求 OMN 的面积的
最大值.
【答案】（1）
2 2
1 04 3
x y y ；（2） 3 ．
【分析】
（1）利用椭圆的定义可求曲线 E 的方程.
（2）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 l 的方程为 ( 0)y kx m m ，联立直线方程和椭圆的方程，求出T 的
坐标后利用它在直线 1
2y x 上可求斜率 k 的值，从而可用 m 表示 OMN 的面积，根据基本不等式可求
其最大值.
【详解】
（1）依题意可知，
| | | | | | | | | | | | 2 | | | | 4 | |CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB ，
所以曲线 E 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（除去与 x 轴的交点），
因此曲线 E 的方程为
2 2
1 04 3
x y y ．
（2）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 l 的方程为 ( 0)y kx m m ，
代入
2 2
14 3
x y 整理得， 2 2 2( )4 3 8 4 12 0k x kmx m ，（*）
则 1 2 2
8
4 3
kmx x k
，
2
1 2 2
4 12
4 3
mx x k
，所以 1 2 1 2 2( ) 2 6
4 3y y kk x x m m ，
故 MN 的中点 2 2
4 3( , )4 3 4 3
km mT k k
，
而直线 1
2y x 经过 MN 的中点 T，得 2 2
3 1 4
4 3 2 4 3
m km
k k
，
又 m≠0，所以直线 l 的斜率 k＝ 3
2
．
故（*）式可化简为 2 23 3 3 0x mx m ，故 1 2x x m ，
2
1 2
3
3
mx x ，
由 236 3 0m 且 m≠0，得 2 3 2 3m 且 m≠0，
又 2
2
2
1 2
36 313 131 = 2 1
2 3
23
m mMN k x x ，
而点 O 到直线 l 的距离 2
13
md ，
则△OMN 的面积为：
2 2
2 21 1 1 1212 12 32 22 3
2 13
13 2 3 2 3
m mS m mm m ，
当且仅当 6m 时，等号成立，此时满足 2 3 2 3m 且 m≠0，
所以△OMN 的面积的最大值为 3 ．
【点睛】
思路点睛：椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置
关系中的最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程，再通过韦达定理构建不
同变量之间的关系或构建与题设条件相关的目标函数，从而利用基本不等式或导数等工具来处理最值问题.
31．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左，右顶点分别为 1A ， 2A ， 6,1D
为椭圆C 上一点，P ，Q 为椭圆上异于 1A ， 2A 的两点，且直线 PQ 不与坐标轴平行，点 P 关于原点 O 对称
的点为S， DP DS 的最大值为 4.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线 1A S 与直线 2A Q 相交于点T ，直线 OT 与直线 PQ 相交于点 R ，证明：在椭圆C 上存在定点 E ，
使得 RDE△ 的面积为定值，并求出该定值.
【答案】（1）
2 2
19 3
x y ；（2）证明见解析， 6 3 .
【分析】
点 6,1D 在椭圆上，所以 2 2
6 1 1a b
.以及 DP DS 的最大值为 4，可解得 2 3b ， 2 9a ，从而求出椭
圆方程;
（2）直线 PQ 方程为 0, 3x my n m n ，联立椭圆方程，由T ，S， 1A 三点共线得 1
13 3T
Ty y
x x
，
由T ，Q ， 2A 三点共线得 2
23 3
T
T
y y
x x
，则直线 OT 的方程为 3
3
ny xm
，使得 RDE△ 的面积为定值的
点 E 一定为过点 D 且与直线l 平行的直线与椭圆 C 的交点， 1 2 6 3 6 32ABES △ .
【详解】
（1）因为点 6,1D 在椭圆上，所以 2 2
6 1 1a b
.
设 1 1,P x y ，则 1 1,S x y ，
则 1 1 1 16, 1 6, 1DP DS x y x y
1
2
2 2 2 2 2
1 1 27 7 1 7bx y b x ba
，
因此 27 4b ，得 2 3b ，从而 2 9a ，
故椭圆C 的标准方程为
2 2
19 3
x y .
（2）设 2 2,Q x y ，直线 PQ 的方程为 0, 3x my n m n ，
与椭圆方程联立，得 2 2
,
1,9 3
x my n
x y
得 2 2 23 2 9 0m y mny n ，
则 2 212 3 9 0m n ，
由根与系数的关系得
1 2 2
2
3
mny y m
，
2
1 2 2
9
3
ny y m
.
由（1）知 1 3,0A ， 2 3,0A ，设 ,T TT x y
由T ，S， 1A 三点共线得 1
13 3T
Ty y
x x
，
由T ， Q ， 2A 三点共线得 2
23 3
T
T
y y
x x
，
则 2 3 3T T
T
T
TT
x x x
y y y
1 2
1 2
3 3x x
y y
1 2
2 2
3 3my n my n
y y
1 2
1 12 3m n y y
1 2
1 2
2 3 y ym n y y
2
2 62 3 9 3
mn mm n n n
，
所以 3
3
T
T
y n
x m
，则直线 OT 的方程为 3
3
ny xm
.
联立直线 OT 与直线 PQ 的方程，
可得
3 ,3
,
ny xm
x my n
得 3Rx ，
因此 R 在定直线 : 3l x 上，
则使得 RDE△ 的面积为定值的点 E 一定为过点 D 且与直线l 平行的直线与椭圆 C 的交点，此时
6, 1E ， 1 2 6 3 6 32ABES △ .
【点睛】
分析题目信息，解关于 2b , 2a 的方程，利用因此 R 在定直线 : 3l x 上，得出点 E 的坐标，求出三角形 ABC
的面积.
32．（2021·湖南永州市·高三月考）已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点为 F ，点 01,P y 在抛物线C 上，
05
4
yPF .
（1）求抛物线C 的标准方程.
（2）已知直线l 交抛物线 C 于点 ,A B ，且 PA PB ，证明：直线 l 过定点.
【答案】（1） 2x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由抛物线定义求得点 P 的坐标，及参数 p，从而写出抛物线方程；
（2）设直线方程，与抛物线联立，得到韦达定理，求得 PA，PB 的斜率，由 PA⊥PB，得到斜率乘积为-1，
代入韦达定理，得到直线方程中斜率与截距的关系，从而判断是否过定点.
【详解】
（1）解：由抛物线的定义知， 0
0
5
2 4
ypPF y ，故 0 2 .y p
又 01,P y 在拋物线上，所以 0
1
2y p
，
则 12 2p p
，解得 0
1 , 1.2p y
故抛物线 C 的标准方程为 2 .x y
（2）证明:设 2 2
1 1 2 2, , ,A x x B x x ，直线l 的方程为 y kx m ，
则
2 2
1 2
1 2
1 2
1 11, 11 1PA PB
x xk x k xx x
因为 PA PB ，所以 1 21 1 1x x ，即 1 2 1 2 2 0x x x x ，
将直线l 的方程与抛物线方程联立可得， 2 0x kx m ，
则 1 2 1 2,x x k x x m ，
所以 2 0k m ，
直线l 的方程为 2 1 2y kx k k x ，则直线l 过定点 1,2 .
【点睛】
关键点点睛：两直线垂直等价于斜率乘积为-1，利用直线方程与抛物线方程联立求得韦达定理，代入可以求
得直线中的参数关系.
33．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的上、下顶点分别为 1B ， 2B ，右
焦点为 F ，右顶点为 A，椭圆C 过点 3, 1 ，且 2
1 2
1
3B F B A ac a
（ c 为椭圆的半焦距）．
（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）若与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 相交于 M ， N 两点，点 D 为线段 MN 的中点，O 为坐标原点，
且OM ON ，试问当直线l 变化时， OM ON
OD
是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说
明理由．
【答案】（1）
2 1 16 2
x ；（2）为定值； 6 ．
【分析】
（1）已知
2
1 2
1
3 2 2
1 2 1 2,0 , 0, , 0, , ,0 , , , 3
B F B A ac b
A a B b B b F c B F c b B A a b a b
椭
圆C 过点 2 2
3 13, 1 1a b
6, 2a b ，从而求得椭圆 C 的标准方程；
（2）已知 直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线l 的方程为 20 1 3y kx m k k
与椭圆方程联立
1 1 2 2, , ,
2 2
1 2 2
66 3 6 0 1 3
M x y N x y kmx kmx m x x k
设
，
2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 2
3 6 3 6 61 0 2 3 3 01 3 1 3 1 3
OM ONm m kmx x k km m m kk k k
2
6
221
3
O MN d m md
k m
记原点 到直线 的距离为
OM ON ，且 D 为 MN 的中点
2MN OD 2OM ON d MN d OD 2 6OM ON dOD
，为定值
【详解】
解：（1）由题意知 1 2,0 , 0, , 0, , ,0A a B b B b F c ，
则 1 2, , ,B F c b B A a b
．
又 2
1 2
1
3B F B A ac a
，所以 2 21
3ac b ac a ，即 2 23a b= ．①
因为椭圆 C 过点 3, 1 ，所以 2 2
3 1 1a b
．②
由①②得 6a ， 2b ，
所以椭圆 C 的标准方程为
2 2
16 2
x y ．
（2）由条件知直线l 的斜率存在且不为 0，设直线l 的方程为 y kx m 0k ．
联立，得 2 2
,
1,6 2
y kx m
x y
，整理得 2 2 21 3 6 3 6 0k x kmx m ，
设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，则 1 2 2
6
1 3
kmx x k
，
2
1 2 2
3 6
1 3
mx x k
．
因为OM ON ，所以 0OM ON
，即 1 2 1 2 0x x y y ，
所以 1 2 1 2 0x x kx m kx m ，
化简，得 2 2
1 2 1 21 0k x x km x x m ，
即 2
2 2
2 2
3 6 61 01 3 1 3
m kmk km mk k
，从而 2 22 3 3 0m k ．
因为OM ON ，且 D 为 MN 的中点，所以 2MN OD ．
记原点O 到直线 MN 的距离为 d ，
则 2OM ON d MN d OD ， 2
6
221
3
m md
k m
，
所以 2 6OM ON dOD
，为定值．
【点睛】
关键点点睛：解决本题第（2）问时，考生容易忽略“与坐标轴不垂直的直线l ”这一条件，从而对直线斜率
进行了分类讨论，导致解题过程繁琐．
34．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 F 是抛物线 E ： 2 2 0y px p 的焦点，过焦点 F 且斜率为 3
的直线l 交抛物线 E 于 A ， B 两点（ A 在第一象限）、交抛物线 E 的准线于 M ， 2MB ．
（1）求抛物线 E 的标准方程；
（2）若抛物线 E 上存在 P ，Q 两点关于直线 4y x 对称，求 PQF△ 的面积．
【答案】（1） 2 3y x ；（2） 21
8
．
【分析】
（1）过 B 作准线的垂线，垂足为C ，设准线与 x 轴交于点 D ， BC n ，根据直线斜率可得出 n ，再利用
抛物线定义可求出 p ，得出方程；
（2）设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，线段 PQ 的中点为 0 0,N x y ，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求
出 PQ ，利用点到直线距离公式求出高，即可得出面积.
【详解】
（1）过 B 作准线的垂线，垂足为C ，设准线与 x 轴交于点 D ， BC n ．
由题知，直线l 的倾斜角为
3
，
在 Rt MCB△ 中， 1cos 2 2
BC nCBM RM
，
∴ 1n ．
由抛物线的定义知， 1BF BC ，
在 Rt DFM△ 中， 1cos 2 1 2
DF pDFM FM
，
∴ 3
2p ，
∴抛物线 E 的标准方程为 2 3y x ．
（2）设 1 1,P x y ， 2 2,Q x y ，线段 PQ 的中点为 0 0,N x y ，直线 :PQ y x m ，
将直线 PQ 的方程代入 2 3y x ，整理得， 2 22 3 0x m x m ，
∴ 2 22 3 4 0m m ，解得 3
4m ，
1 2 3 2x x m ， 2
1 2x x m ，
∴ 1 2
0
3 2
2 2
x x mx ， 0 0
3
2y x m ．
由题知， 0 0,N x y 在直线 4y x 上，
∴ 3 3 2 42 2
m ，∴ 1m ，
∴ 1 2 5x x ， 1 2 1x x ，
∴ 2 2
1 2 1 2 1 21 1 2 4 2 5 4 1 42PQ x x x x x x ，
焦点 3 ,04F
到直线 PQ 的距离
22
1 24
81 1
3
d
，
∴ 1 1 2 21422 2 8 8PQFS PQ d
．
【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 1 1A x y， ， 2 2B x y， ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 1 2 1 2,x x x x 形式；
（5）代入韦达定理求解.
35．（2021·山东临沂市·高三二模）已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，点 P
在椭圆C 上，以 1PF 为直径的圆
2
2 1 49: 4 16E x y
过焦点 2F ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若椭圆C 的右顶点为 A ，与 x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于 M ， N 两点（ M ， N 与 A 点不重合），
且满足 AM AN ，点Q 为 MN 中点，求直线 MN 与 AQ 的斜率之积的取值范围．
【答案】（1）
2
2 14
x y ；（2） 30, 8
．
【分析】
（1）由已知条件求得 , ,a b c ，可得椭圆C 的方程．
（2）设直线 AM 的方程为 2y k x ，与椭圆的方程联立消元，得出根与系数的关系，表示出直线 MN
与 AQ 的斜率之积，可求得其取值范围．
【详解】
解：（1）在圆 E 的方程中，令 0y ，得 2 3x ，解得 3x ，所以， 1F ， 2F 的坐标分别为 3,0 ， 3,0 ．
∵ 10, 4E
，又因为 2
1
2OE F P ， 2//OE F P ，所以点 P 的坐标为 13, 2
，
所以， 1 2
7 12 2 44 2a PF PF ，得 2a ， 1b ，
即椭圆C 的方程为
2
2 14
x y ．
（2）右顶点为 2,0A ，由题意可知直线 AM 的斜率存在且不为 0，
设直线 AM 的方程为 2y k x ，由 MN 与 x 轴不垂直，故 1k ．
由
2
2
2 ,
14
y k x
x y
得： 2 2 2 21 4 16 16 4 0k x k x k ，
设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，又点 2,0A ，
则由根与系数的关系可得：
2
1 2
16 42 1 4
kx k
，得
2
1 2
8 2
1 4
kx k
， 1 1 2
42 1 4
ky k x k
，
∵ AM AN ，∴直线 AN 的方程为 1 2y xk
，
用 1
k
替换 k 可得：
2
2 2
8 2
4
kx k
， 2 2
4
4
ky k
，
∴点 Q 坐标为
22
2 2 2 2
6 130 ,
1 4 4 1 4 4
k kk
k k k k
，
∴直线 AQ 的斜率
2
2 2 2
1 2 4 2
2 2
6 1
1 4 4 3 1
30 2 2 2
1 4 4
k k
k k k k
k k k k
k k
，
直线 MN 的斜率
2 22 1
2 2 2 2
2 1
2 2
4 4
54 1 4
8 2 8 2 4 1
4 1 4
k k
y y kk kk k kx x k
k k
，
∴
2
1 2 4 2
2
2
15 15
28 2 2 8 2 1
kk k
k k k k
，
∵ 2 0k 且 2 1k ，∴ 2 2
2 2
2 22 1 2 2 4k kk k
，
∴ 2
2
15 30 2 88 2 1k k
．即 1 2
30,8k k
．
∴直线 MN 与 AQ 的斜率之积的取值范围是 30, 8
．
【点睛】
方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x (或 y )建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务
必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形．有时若直线过 x 轴上的一点，可将直线设成横截
式.
36．（2021·全国高三其他模拟）如图，已知椭圆C ：
2 2
14 3
x y 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过点 1F 的
直线与椭圆C 交于 ,A B 两点（ B 在 x 轴上方），连接 2BF 并延长，交椭圆C 于点 M ．
（1）若 AB x 轴，求直线 BM 的方程；
（2）求 1 1F B F M 时的取值范围．
【答案】（1）3 4 3 0x y ；（2） 73, 4
．
【分析】
（1）由题意可得 1 1,0F ， 2 1,0F ，由 AB x 轴求得 31, 2B
，得到直线 BM 的斜率，从而得直线 BM
的方程；
（2）分两种情况讨论求解，当直线 BM 的斜率不存在时，求得 1 1
7
4F B F M ；当直线 BM 的斜率存在时，
设直线 BM 的方程为 1y k x ，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到 1 1
2
57
7 281 34
4
F B F M
k
，
可得 1 1
73, 4F B F M
，综合两种情况可得结果．
【详解】
（1）由椭圆方程知： 1 1,0F ， 2 1,0F ，
当 AB x 轴时， 31, 2B
，直线 BM 的的斜率为 3
4
，
直线 BM 的方程为： 3 14y x ，即3 4 3 0x y ．
（2）若直线 BM 的斜率不存在，则直线 BM 的方程为 1x ，
由 31, 2B
， 31, 2M
得： 1 1
3 3 72, 2,2 2 4F B F M
；
若直线 BM 的斜率存在，设 BM 的方程为 1y k x ，
设点 1 1,B x y ， 2 2,M x y ，
联立
2 2
14 3
1
x y
y k x
得： 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k ，
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
，
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
，
1 2 21,F M x y ， 1 1 11,F B x y ，
2 2
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1F B FM x x x x y y k x x k x x
2
2 2 2
1 2 1 2 2
2
57
7 9 7 281 1 1 1 1 34 3 4
4
kk k x x k x x k k
，
当 2 0k 时， 1 1 3F B F M ，当 2k 时， 1 1
7
4F B F M ，
1 1
73, 4F B F M
．
又直线 BM 的斜率不存在时， 1 1
7
4F B F M ，
1 1F B F M 的取值范围为 73, 4
．
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的向量数量积的取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思
路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于 x 或 y 的一元二次方程的形式；
②利用 0 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③根据坐标运算得到向量数量积，代入韦达定理的形式，整理为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围.
37．（2021·全国高三其他模拟）已知点 2 3 , 23P
是椭圆C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上一点，A ，B 分
别为椭圆 C 的左、右顶点，直线l 过椭圆 C 的右焦点 F ，且点 A ， B 到直线l 的距离的比值为 3．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若点Q 是直线 4x 上且不在 x 轴上的动点，直线 AQ ， BQ 分别与椭圆C 交于另一点 M ， N ，求
证： M ， F ， N 三点共线．
【答案】（1）
2 2
14 3
x y ；（2）证明见解析.
【分析】
（1） P 点坐标代入椭圆方程得 ,a b 的一个等式，由点 A ， B 到直线l 的距离的比值为 3 可得 ,a c 关系，结
合 2 2 2a b c 可解得 , ,a b c ，得椭圆方程；
（2）设直线 MN 的方程为 x my t ，设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， 0 04, 0Q y y ，
直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得则 1 2 2
6
3 4
tmy y m
，
2
1 2 2
3 12
3 4
ty y m
．
由 A ， M ，Q 三点共线和 B ， N ，Q 三点共线可得 0 1 2, ,y y y 关系，两式相除可求得参数t ，得直线 MN
过点 F ，证得结论．
【详解】
解：（1）由点 2 3 , 23P
在椭圆C 上，得 2 2
4 2 13a b
①，
设 ,0F c ，由点 A ， B 到直线l 的距离的比值为 3 得 3AF BF ，即 3a c a c ，即 2a c ，
所以 2 2 2 24 4 4a c a b ，即 2 23 4a b ②．
由①②得 2 3b ， 2 4a ，
所以椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 3
x y ．
（2）由（1）知 1,0F ， 2,0A ， 2,0B ，
易知直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x my t ，
代入
2 2
14 3
x y ，得 2 2 23 4 6 3 12 0m y tmy t ，
2 248 3 4 0m t ．
设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ， 0 04, 0Q y y ，
则 1 2 2
6
3 4
tmy y m
，
2
1 2 2
3 12
3 4
ty y m
，
4
1 2 1 2
4
2
tmy y y yt
．
由 A ， M ，Q 三点共线得 0 1
14 2 2
y y
x
，即 0 1
16 2
y y
x
，
由 B ， N ，Q 三点共线可得 0 2
22 2
y y
x
，
所以
2
1 2 22 1 2 1
2
1 2 1 2
1 2 2
4 22 2 22 342 2 222
t y y t yy x y my t tt
ty x y my t ty y t yt
，
所以 1t ，直线 MN 的方程为 1x my ，
所以直线 MN 过点 F ，故 M ， F ， N 三点共线．
【点睛】
关键点点睛：本题解决本题的关键是把证明 M ， F ， N 三点共线转化为证明直线 MN 过点 F ．证明直线
过定点的常用方法是设直线方程为 y mx n （或 x my n ），在利用已知条件确定 m ， n 的关系．
38．（2021·全国高三其他模拟）已知直线 : 4l y kx 与抛物线 2:C y ax 交于 A 、 B 两点， O 为坐标原
点， OA OB .
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若过点 A 的另一条直线 1l 与抛物线C 交于另一点 M ，与 y 轴交于点 N ，且满足 AN AM ，求 BM
的最小值.
【答案】（1） 2 4x y ；（2）最小值为8 2 .
【分析】
（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出 0OA OB ，利用平面向量数量积
的坐标运算结合韦达定理求出 a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；
（2）设直线 BM 的方程为 y tx m ，点 3 3,M x y ，将直线 BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦
达定理，由已知条件可得 1
3
1
2
x
x
，代入韦达定理求出 m 的值，再利用弦长公式可求得 BM 的最小值.
【详解】
（1）依题意设 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，
由
2
4
y ax
y kx
消去 y ，得 2 4 0ax kx ，所以，
2
1 2
16 0,
4 .
k a
x x a
OA OB ， 1 2 1 2 0OA OB x x y y ，即 2 2 2
1 2 1 2 0x x a x x ， 4 16 0a
，解得 1
4a ，
所以，抛物线 C 的标准方程为 2 4x y ；
（2）由题意知，若直线 BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.
所以，直线 BM 的斜率存在，故可设直线 BM 的方程为 y tx m ，点 3 3,M x y ，
由
2 4x y
y tx m
消去 y ，得 2 4 4 0x tx m ，
2
2 3
2 3
16 16 0
4
4
t m
x x t
x x m
，
由（1）知 1 2 16x x ， 1 1 2
3 2 3
16 4
4
x x x
x x x m m
①.
由题意知 A 、 M 、 N 三点共线，且 A 为线段 MN 的中点，
设 0,N n ，则 3
1
0
2
xx ，即 1
3
1
2
x
x
②，由①②得 8m ，
2
2 3
2 3
16 16 8 0
4
32
t
x x t
x x
，
22 2
2 3 2 3 2 31 1 4BM t x x t x x x x
2 2 2 2 4 2 21 4 4 32 4 1 8 4 9 8 8 2 0t t t t t t t ，
当且仅当 0t 时，等号成立，故 BM 的最小值为8 2 .
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
39．（2021·全国高三其他模拟）已知动直线l ： 2 1 0mx y m m R 恒过定点 M ，且点 M 在抛物
线 1C ： 2 2 0x py p 上.
（1）求点 M 到抛物线 1C 的准线的距离；
（2）将曲线 1C 沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到曲线 2C ，若点 0 0,P x y 在曲线 2C 上，且在曲线 1C 上存
在 A ， B ，C 三点，使得四边形 PABC 为平行四边形，求平行四边形 PABC 的面积S的最小值.
【答案】（1）2；（2） 2 .
【分析】
（1）先求出定点 M 的坐标，然后将坐标代入 2 2 0x py p 中求出 p 的值，从而可求出抛物线的准线
方程，进而可求出点 M 到抛物线 1C 的准线的距离；
（2）由题意求出曲线 2C 的方程 21 14y x ，分析得直线 AC 的斜率存在，设直线 AC 的方程为 y kx b ，
1 1,A x y ， 2 2,C x y ，将直线方程与 1C 的方程联立，消去 y ，再利用根与系数的关系再结合中点坐标公式
可得线段 AC 的中点 22 ,2D k k b ，由平行四边形的对称性可得 2
0 04 ,4 2B k x k b y ，从而得
2
0 0 0
1 48kx b x y ，求出点 P 到直线 AC 的距离，再利用弦长公式求出 AC ，从而可表示出平行四边
形 PABC 的面积，再利用二次函数的性质可得结果
【详解】
解：（1）将 2 1 0mx y m 整理为 2 1 0m x y ，由 2 0,
1 0,
x
y
得 2,
1,
x
y
，故 2,1M .
将 2,1 代入 2 2 0x py p ，得 2p ，所以抛物线 1C 的方程为 2 4x y .
所以抛物线 1C 的准线方程为 1y ，所以点 M 到抛物线 1C 的准线的距离为 2.
（2）由（1）知，抛物线 1C 的方程为 21
4y x ，将曲线 1C 沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到曲线 2C ，其
方程为 21 14y x .
点 0 0,P x y 在曲线 2C ： 21 14y x 上，故 2
0 04 4x y ①.
连接 AC ，当直线 AC 的斜率不存在时， AC x 轴，与抛物线 1C 只有一个交点，不符合题意，故舍去.
当直线 AC 的斜率存在时，设直线 AC 的方程为 y kx b ， 1 1,A x y ， 2 2,C x y ，联立，得 2
,
4 ,
y kx b
x y
得 2 4 4 0x kx b ， 216 16 0k b △ ，则 1 2 4x x k ， 1 2 4x x b ，故线段 AC 的中点
22 ,2D k k b .
若四边形 PABC 为平行四边形，则 B ， P 关于点 D 对称，所以 2
0 04 ,4 2B k x k b y .
又点 B 在抛物线 1C 上，故 2 2
0 04 4 4 2k x k b y ，即 2
0 0 0
1 48kx b x y ②.
点 P 到直线 AC 的距离 0 0
21
kx b yd
k
，
22 2
1 2 1 2 1 21 1 4 4AC k x x k x x x x 2 21 k k b ，
所以 0 02 2 2
2
1 1 4 1 22 2 1PAC
kx b yS AC d k k b k b
k
△ 0 0kx b y ，结合①②
得，
2 2 2
0 0 0 0 0
1 1 4 44 8PACS k kx x y x y △ 2 2
0 0 0
1 48k kx x y
2
2
0 0 0
1 1 42 8k x x y
2
0
1 1
2 2k x
，当 0
1
2k x 时， PACS 取得最小值 2
2
.
因为 2 PACS S ，所以S的最小值为 2 .
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力和转化思想，解题的关键是表示出 D 点坐
标，再利用平行四边形的对称性表示出 B 点坐标，再将 B 点坐标代入抛物线 1C 中可得
2
0 0 0
1 48kx b x y ，再求出点 P 到直线 AC 的距离，再利用弦长公式求出 AC ，从而可表示出平行四
边形 PABC 的面积，属于中档题
解后反思 解析几何解答题一般围绕直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系进行设计，对考生的运算求解能
力、函数与方程思想要求较高，挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的圆锥曲线问题的主要思路.
40．（2021·山东日照市·高三二模）已知抛物线 2: 2E y px ，过抛物线 E 上一点 (1,3)C 作直线CA CB， 交
抛物线于 A，B 两点，交 x 轴于 D，F 两点，且CD CF ．
（1）求 E 的方程：
（2）求 ABC 的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由．
【答案】（1） 2 9y x ；（2） 3 23 5 3 9m m m ( 1m 且 3m )；不存在．
【分析】
(1)将点 (1,3)C 代入抛物线 E 的方程即可得解；
(2)由题设条件可得直线 AC 斜率与直线 BC 斜率互为相反数，由此求得直线 AB 斜率，设出直线 AB 方程，
由弦长公式及点到直线距离公式列式，求出 ABC 的面积，再借助函数探讨最大值问题即可.
【详解】
（1）因为抛物线 E 过点 1,3C ，所以 23 2 1p ，所以 2 9p ，
所以 E 的方程， 2 9y x ．
（2）因为CD CF ，所以直线 AC 斜率 ACk 与直线 BC 斜率 BCk 满足 0AC BCk k ，
设 1 1 2 2, ,A B xyx y， ，则
2
1
1 9
yx ，
2
2
2 9
yx ，
2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
9
3 3 3 3 1 10 0 01 1 3 3
91 1
y y y y
x x y y yy
，则有 1 2 6y y ，
直线 AB 斜率
1 2
2 2
1 2 1 2
9 9 3
6 2
9 9
AB
y yk y y y y
；设直线 AB 的方程为： 2
3x y m ， 由
2
2
3
9
x y m
y x
消去 x 得： 2 6 9 0y y m ，
由题意易知 26 4( 9 ) 36 36 0 1m m m ，直线 AB 不过点 C，即 3m ，
由根与系数的关系知： 1 2 1 26, 9y y y y m ，
22
1 2 1 2 1 2
2 13 131 ( ) 4 36 36 2 13 13 3 3AB y y y y y y m m ，
又因为点 C 到直线 AB 的距离
21 3 3 3| 3 |3
4 13 131 9 3
m m md
，
ABC 的面积
1 1 3| 3 || | 2 13 1 3 1 | 3|2 2 13ABC
mS AB d m m m 3 23 5 3 9m m m ( 1m 且
3m )，
设 1 0t m ， 2| 3| | ( 1) 4 | | 4 | 0m m t ，
t 时， 2| 4 |t ，即3 1 | 3|m m ， ABC 的面积不存在最大值.
【点睛】
结论点睛：直线 l：y=kx+b 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离 2
1 2| | 1 | |kAB x x ；
直线 l：x=my+t 上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离 2
1 2| | 1 | |AB m y y .
四、填空题
41．（2021·浙江高三三模）椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的右焦点为 ,0F c ，点 P ，Q 在椭圆 C 上，
点 ,02
cM
到直线 FP 的距离为
2
c ，且 PQF△ 的内心恰好是点 M ，则椭圆C 的离心率 e ___________
【答案】 2
2
【分析】
设 PQ 交 x 轴于点 F,分析得到点 F是椭圆的左焦点，再求出
2 2
| | | |b cPF PF aa a
， ，再根据
| | | |
| | | |
ME PF
MF PF
即得解.
【详解】
如图所示， PQF△ 的内心恰好是点 ( ,0)2
cM ，
由对称性可知，| | | |PF QF ,
所以 ,P Q 关于 x 轴对称，所以 PQ x 轴，
设 PQ 交 x 轴于点 F,则| | , ( ,0)2
cMF F c ，
所以点 F是椭圆的左焦点，
将 x c 代入椭圆的方程得
2by a
，
所以
2 2 2
| | | | 2 =b b cPF PF a aa a a
， ，
过点 M 作 ME⊥PF，垂足为 E，则| | 2
cME ，
所以
2
2
2
| | | | 1 22, , ,| | | | 2 2
2
bc
ME PF a e ec cMF PF c a a
.
故答案为： 2
2
【点睛】
方法点睛：求椭圆的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出 ,a c 代入离心率公式即得解）；（2）方程法（找
到离心率 e 的方程解方程即得解）.要根据已知灵活选择方法求解.
42．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三三模（文））已知双曲线 C ：
2 2
2 2 1 0, 0y x a ba b
，过下
焦点 F 作斜率为 2 的直线与双曲线的一条渐近线相交于点 A ，且 A 在第一象限，若 OA OF （O 为坐
标原点），则双曲线C 的离心率为______.
【答案】 5
3
【分析】
设直线 AF 的方程为 2y x c ，与双曲线C 的渐近线方程联立，求得点 A 的坐标，再由由 OA OF c
求解.
【详解】
设直线 AF 的方程为 2y x c ，双曲线C 的渐近线方程为 ay xb
，
由
2y x c
ay xb
，解得 2
2
bcx b a
acy b a
，
所以 ,2 2
bc acA b a b a
，
由 OA OF c ，
2 2
2
2 2
bc ac cb a b a
，
化简得 22 2 2b a b a
整理得 4 3a b ，
所以 2 2 216 9 9a c a ，即 2 225 9a c ， 2 25
9e
所以离心率 5
3e .
故答案为： 5
3
43．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 1F ， 2F 分别为椭圆C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左､右焦点，B
为椭圆C 的右顶点，过 2F 且倾斜角为
3
的直线与椭圆 C 交于 P ，Q 两点( P 在 x 轴上方)，若 1//BP FQ ，
则椭圆C 的离心率为___________.
【答案】 5 17
2
【分析】
先由已知条件及相关结论用 a ，b ， c 表示出 2PF 和 2QF ，再根据 1//BP FQ 得 2 2
2 1 2
PF BF
QF F F
，从而构建
关于 a ， c 的方程，进而求得离心率.
【详解】
设点 P 的横坐标为 1x ，过点 P 作 PA x 轴，垂足为 A ，由 2 3PF A ，得 2 2 12 2PF AF x c ，
所以 2
1 2
PFx c ，
由点 P 是椭圆C 上的点，且 2F 是椭圆C 的右焦点知， 2
2 1 2
PFcPF a ex a ca
，得
2
2
2
2
bPF a c
，
同理可得
2
2
2
2
bQF a c
.
因为 1//BP FQ ，所以 2 2
2 1 2
PF BF
QF F F
，即 2
2 2
a c a c
a c c
，得 2 25 2 0c ac a ，
所以 2 5 2 0e e ，解得 5 17
2e ，又 0 1e ，所以 5 17
2e .
故答案为： 5 17
2
．
【点睛】
结论点睛：椭圆的焦半径公式：已知 1F ， 2F 分别为椭圆C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左､右焦点，设 P 为
椭圆 C 上一点，其横坐标为 1x ，则 1 1PF a ex ， 2 1PF a ex ( e 为椭圆C 的离心率).
44．（2021·全国高三其他模拟）已知 F 为双曲线
2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
的右焦点，过点 F 作垂直于
双曲线C 的一条渐近线的直线l ，垂足为 M ，直线l 与双曲线的另一条渐近线交于点 N ，若 3FM NF
，
且 MON△ 的面积为 2 2 （O 为坐标原点），则双曲线C 的标准方程为______.
【答案】
2
2 12
x y
【分析】
根据向量关系可以求得 F 在线段 MN 上，且 3FN FM ，从而根据双曲线性质求得 MF b ，OM a ，
3FN b ，方法一根据角平分线定理 3ON FN
OM FM
求得 2a b ，从而结合面积求得参数 a，b；方法
二过点 F 作 ON 的垂线，垂足为G ，由 1sin sin 3
FG FMONM FNG FN FN
，从而求得 2a b ，
从而结合面积求得参数 a，b；最后写出双曲线标准方程.
【详解】
解法一：由3FM NF
可得点 F 在线段 MN 上， 3FN FM ，
由双曲线焦点与渐近线的性质得 MF b ， OM a ， 3FN b ，
易知 OF 平分 MON ，
∴ 3ON FN
OM FM
， 3ON a ，
∵ FM OM ，∴ 22 216 9b aa ，得 2a b ，
∴ 1 2 4 2 22MONS b b △ ，得 2 1b ，从而 2 2a ，
∴双曲线 C 的标准方程为
2
2 12
x y .
解法二：由3FM NF
得，点 F 在线段 MN 上， 3FN FM ，
由双曲线焦点与渐近线的性质得： MF b ， OM a ， 3FN b ，
过点 F 作ON 的垂线，垂足为G ，
则 FG MF b ，
故 1sin sin 3
FG FMONM FNG FN FN
，
2tan 4 4
aONM b
，得 2a b ，
∴ 1 2 4 2 22MONS b b △ ，得 2 1b ，从而 2 2a ，
∴双曲线 C 的标准方程为
2
2 12
x y .
故答案为：
2
2 12
x y
【点睛】
关键点点睛：通过双曲线几何性质找到 MF b ， OM a ，在三角形中解得参数 a，b 的关系，从而求
得标准方程.
45．（2021·全国高三其他模拟）已知 1F ， 2F 是双曲线 E ：
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左、右焦点，直线 y kx
与 E 交于 A ， B 两点，且 1 2 60F AF ，四边形 1 2F AF B 的周长C 与面积S满足 216 3S C ，则该双曲
线的离心率为______．
【答案】 6
2
【分析】
设 1AF m ， 2AF n m n ，由双曲线的定义得到 2m n a ，然后平方，由 1 2 60F AF ，余弦
定理得到 2 2 24m n mn c ，两者联立得到 2 2 216 12m n c a ，然后再由四边形 1 2F AF B 为平行四
边形，得到周长和面积，由 216 3S C 求解.
【详解】
不妨设 1AF m ， 2AF n m n ，
由双曲线的定义可知， 2m n a ，即 2 2 22 4m n mn a ，
又 1 2 60F AF ，则由余弦定理可得 2 2 24m n mn c ，
联立可得 2 24 4mn c a ， 2 2 2 28 4m n c a ，
所以 2 2 216 12m n c a ．
易知四边形 1 2F AF B 为平行四边形，
故四边形 1 2F AF B 的周长 2 22 2 16 12C m n c a ，
面积 2 21 3 32 4 42 2 2S mn c a ．
因为 216 3S C ，
所以 2 2 2 2316 3 4 4 4 16 122 c a c a ，
得 2 22 3c a= ，
故该双曲线的离心率 6
2
ce a
= = ．
故答案为： 6
2
【点睛】
关键点点睛：求解本题的关键是根据双曲线的对称性得到四边形 1 2F AF B 是平行四边形，从而得到
2C m n ．
46．（2021·全国高三其他模拟）已知 1F ， 2F 分别是双曲线C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的左、右焦
点，过 1F 的直线与双曲线C 的左支交于 P ，Q 两点，且满足 2 2
2 2PF c c a b ， 1 2
1 2
2
3
PF F
QF F
S
S
△
△
，则
双曲线C 的离心率为______．
【答案】 7
5
【分析】
由双曲线的定义求出 1PF ，然后根据 1 2
1 2
1
1
2
3
PF F
QF F
S PF
S QF
△
△
求得 1QF ，即可得 2QF ，再利用余弦定理并结
合 1 2 1 2cos cosPF F QF F 得到关于 a ， c 的齐次式，即可得解.
【详解】
由双曲线的定义，得 1 2 2 2 2PF PF a c a ．
因为 1 2
1 2
1
1
2
3
PF F
QF F
S PF
S QF
△
△
，所以 1 3QF c a ，
故 2 12 3QF a QF c a ．
根据余弦定理得
2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2
cos 2
PF F F PFPF F PF F F
，
2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2
cos 2
QF F F QFQF F QF F F
．
又 1 2 1 2cos cosPF F QF F ，
所以 2 25 12 7 0c ac a ，即 25 12 7 0e e ，
解得 7
5e 或 1e （舍去）．
故答案为： 7
5
【点睛】
方法点睛：求双曲线离心率常见的方法：①根据已知条件列方程组，求出 a ，c 的值，直接利用离心率公式
求解；②根据已知条件得到一个关于 a ， c （或 a ，b ）的二元齐次方程，然后转化为关于离心率 e 的方程
来求解．
47．（2021·浙江高二期末）已知椭圆
2 2
: 125 16
x y ，过平面内一点 P 作两条互相垂直的直线 1l 、 2l 与 分
别相交于 A 、 B 和C 、 D ，若 1 1 41
256AP BP CP DP
，则 OP 的最小值为________．
【答案】12
5
【分析】
本题首先可令 0 0,P x y 在椭圆内部，则 2 2
0 016 25 0 04 0x y ，然后设 1l 为 0
0
cos
sin
x x t
y y t
，通过与椭
圆联立得出
2 2
2 2
0 0
16cos 25sin
160 5
1
240A yP P xB
，再然后令 πα α 2
= + ，则
2 2
2 2
0 0
16sin 25cos
160 5
1
240C yP P xD
，
根据 1 1 41
256AP BP CP DP
得出 2 2
0 016 25 144x y+ = ，最后通过 2 2 2 2
0 0 0 025 25 16 25x y x y+ ³ + 得出
2 2
0 0
144
25x y+ ³ ，根据 2 2
0 0OP x y= + 即可得出结果.
【详解】
因为求 OP 的最小值，所以可令 0 0,P x y 在椭圆内部，
则
2 2
0 0 125 16
x y ， 2 2
0 016 25 0 04 0x y ，
设 1l 为 0
0
cos
sin
x x t
y y t
（其中t 为参数， 为倾斜角），
1l 与
2 2
125 16
x y 联立，
可得( ) ( )2 2 2 2 2
0 0 0 016cos α 25sin α 32 cosα 50 sin α 16 25 400 0t x y t x y+ + + + + - = ，
则
2 2
0 0
1 2 2 2
16 25 400
16cos α 25sin α
x yt t
+ -= +
，
2
1
2
2
0 02
2
16cos 21 1
400
5sin
16 25AP BP t yt x
，
因为直线 1l 、 2l 互相垂直，所以可令 πα α 2
= + ，
2 2
2 2
0 0
16sin 25cos
160 5
1
240C yP P xD
，
则
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 0 0
16cos 25sin 16sin 25cos
16 25
1 1
4 1600 4 200 5AP BP CP DP x y x y
2 2
0 0
41
16 25
41
400 256x y
= - =- ，
即 2 2
0 016 25 144x y+ = ，
故 2 2 2 2
0 0 0 025 25 16 25 144x y x y+ ³ + = ， 2 2
0 0
144
25x y+ ³ ，
因为 2 2
0 0OP x y= + ，所以 144 12
25 5OP ³ = ， OP 的最小值为12
5
，
故答案为：12
5 .
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆中最值的求法，能否根据 1 1 41
256AP BP CP DP
得出 2 2
0 016 25 144x y+ =
是解决本题的关键，考查韦达定理以及参数方程的应用，考查直线与椭圆的相关问题的求解，考查计算能
力，是难题.
48．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 A ， B ，C 是抛物线 2 2 0y px p 上三个不同的点，且抛物
线的焦点 F 是 ABC 的重心，若直线 AB ， BC ，CA 的斜率存在且分别为 ABk ， BCk ， CAk ，则
1 1 1
AB BC CAk k k
______．
【答案】0
【分析】
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 2
1 12y px ， 2
2 22y px ，两式相减，得 2 2
1 2 1 22y y p x x ，可求得 1
ABk ，
同理可得 1
BCk ， 1
ACk ，再由 F 是 ABC 的重心，得 1 2 3 0y y y ，从而可计算出 1 1 1
AB BC CAk k k
的值
【详解】
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 2
1 12y px ， 2
2 22y px ，两式相减，得 2 2
1 2 1 22y y p x x ，所以
1 2 1 2
1 2
1
2AB
x x y y
k y y p
，设 3 3,C x y ，同理可得 2 31
2BC
y y
k p
， 1 31
2AC
y y
k p
．由于焦点 F 是 ABC
的重心，所以 1 2 3 0y y y ，故 1 1 1 0
AB BC CAk k k
．
故答案为：0
【点睛】
关键点点睛：本题是综合性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究情境，本题考查逻辑思维能力、运
算求解能力，解题的关键是设出点 A ， B ，C 的坐标后，直接使用三角形的重心坐标公式求解，属于中档
题
49．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线 C ：
2 2
2 2 1 0x y a b
a b
的斜率为正的渐近线为 l ，若曲线 E ：
24x x 上存在不同 3 点到l 的距离为 1，则双曲线C 的离心率的取值范围是______．
【答案】 4 15 2 3,15 3
【分析】
已知l ： by xa
，曲线 E ： 24y x x 表示以点 2,0A 为圆心，2 为半径的圆的上半部分（包含端点），
点 A 到直线l 的距离 1 2 2
2bd
a b
，曲线 E ： 24y x x 的一个端点 4,0B 到直线l 的距离
2 2 2
4bd
a b
，等价于 12 1d 且 2 1,d 即 2 2
1 1
4 2
b
a b
，解不等式即得解.
【详解】
由题意知l ： by xa
，曲线 E ： 24y x x 即 2 22 4 0x y y ，表示以点 2,0A 为圆心，2
为半径的圆的上半部分（包含端点）．
点 A 到直线l 的距离 1 2 2
2bd
a b
，
曲线 E 的一个端点 4,0B 到直线l 的距离 2 2 2
4bd
a b
．
因为曲线 E ： 24y x x 上存在不同 3 点到l 的距离为 l，所以 12 1d 且 2 1d ，
整理得 2 2
1 1
4 2
b
a b
，故 2
1 1 1
4 2
1 a
b
，则
2
22 1 4a
b
，
所以
2
2
1 1
16 4
b
c
，即 2
1 1 1116 4e
，得 4 15 2 3
15 3e ．
故答案为： 4 15 2 3,15 3
【点睛】
易错点睛：本题易错之处是把曲线 E ： 24y x x 上存在不同的 3 个点到l 的距离为 1，误认为圆
2 22 4x y 上存在不同 3 点到l 的距离为 1．
50．（2021·全国高三其他模拟（理））已知双曲线C ：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a ， 0b )的左､右焦点分别为 1F ，
2F ， P 是双曲线右支上一点， 1 2PF PF ，直线 2PF 交 y 轴于点Q ，且 2
2
3F P PQ
uuur uuur
，则双曲线C 的离心
率为___________.
【答案】 5
【分析】
解法一：根据已知可得 1 2 2PF PF a ，而 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F 可得 2
1 2 2PF PF b ，进而利用等
面积法可得
2
0
by c
，再根据向量关系 2
2
3F P PQ
uuur uuur
可得点 P 的横坐标，将点 P 的坐标代入双曲线方程，
解方程即可求得结果；
解法二：设O 为坐标原点，根据题意可得 2QOF△ ∽ 1 2F PF△ ，根据设 2 2PF x 及 2
2
3F P PQ
uuur uuur
可得
2 5QF x ，再根据相似比可得 5c x ，又根据勾股定理可得 1PF ，最后根据双曲线定义即可求得结果.
【详解】
解法一：由题意知 1 2 2PF PF a ， 2 2 2 2
1 2 1 2 4PF PF F F c ，
所以
2 2
2
1 2
4 4 22
c aPF PF b .
设 0 0,P x y ，则 1 2 02PF PF c y ，所以
2
0
by c
，
因为 2
2
3F P PQ
uuur uuur
，所以 0
3
5x c ，
将
23 ,5
bP c c
代入双曲线方程，整理得 4 29 50 25 0e e ，
解得 2 5e 或 2 5
9e ，
因为 1e ，所以 5e .
解法二：设O 为坐标原点，由题易得 2QOF△ ∽ 1 2F PF△ ，所以 2 2
1 2 2
QF OF
F F PF
，
设 2 2PF x ，因为 2
2
3F P PQ
uuur uuur
，所以 2 5QF x ，
则 5
2 2
x c
c x
，得 5c x .
又 2 2 2 2
1 2 1 2 4PF PF F F c ，所以 2 2
1 1 2 2 4PF F F PF x ，
所以 1 2 4 2 2PF PF x x a ，得 a x ，
所以 5ce a
.
故答案为： 5 .
51．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过点 2F 的
直线l 与椭圆交于 A ， B 两点，若 1ABF 为正三角形，则该椭圆的离心率为______.
【答案】 3
3
【分析】
由对称性得 2 2AF BF ，利用椭圆定义可把 1 2,AF AF 用 a 表示，再由勾股定理得 ,a c 关系，得离心率．
【详解】
因为 1ABF 是正三角形，所以 1BF AF AB ， AB x 轴.设 2AF x ，则 1 1BF AF 2a x ，从
而 2 2 22 2BF AB AF a x AF x ，解得 2
3
ax ，即 2 2
2
3
aBF AF ，则 1
4
3
aAF ，则
2 2 2
1 2 2 1F F BF BF 得
2 2
2 4 164 9 9
a ac ，
2
2
1
3
c
a
，故椭圆的离心率 3
3
ce a
.
故答案为： 3
3
．
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