专题二十三：圆锥曲线证明定值问题大题专练（解析版）-2021届高三（新高考）二轮复习专项训练

专题二十三：圆锥曲线证明定值问题大题专练（解析版） 1．（2021·江苏徐州市·高三二模）已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左､右焦点分别为 1 2,F F ， 点 (3,1)P 在 C 上，且 1 2 10PF PF  . （1）求 C 的方程； （2）斜率为 3 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 B 关于原点的对称点为 D.若直线 ,PA PD 的斜率存 在且分别为 1 2,k k ，证明： 1 2k k 为定值. 【答案】（1） 2 2 18 8 x y  ；（2）证明见解析. 【详解】 （1）设 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)( 0)F c c  ，其中 2 2c a b  . 因为 1 2 10PF PF  ，所以 2 2(3 ) 1 (3 ) 1 10c c      ， 解得 2 16c  或 0c = ，又 0c  ，故 4c  . 所以 2 22 (3 4) 1 (3 4) 1 4 2a        ，即 2 2a  . 所以 2 2 2 8b c a   . 所以 C 的方程为 2 2 18 8 x y  . （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则  2 2,D x y  . 设直线 l 方程为 3y x m   ，与双曲线 C 方程联立， 消去 y 得， 2 28 6 8 0x mx m    . 由  2 2( 6 ) 32 8 0m m      ，得| | 8m  . 1 2 3 4 mx x  ， 2 1 2 8 8 mx x  . 所以      2 2 1 2 1 2 1 2 1 23 3 9 3 98 my y x m x m x x m x x m            . 所以 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 3 3 3 9 y y y y y yk k x x x x x x                   2 1 2 2 1 2 8 38 1 8 38 m x x m x x           . 所以 1 2k k 为定值. 2．（2021·全国高三专题练习（文））如图，已知椭圆C ：   2 2 2 1 1x y aa    的左焦点为 F ，直线  0y kx k  与椭圆C 交于 A ， B 两点，且 0FA FB   时， 3 3k  . （1）求 a 的值； （2）设线段 AF ， BF 的延长线分别交椭圆C 于 D ， E 两点，当 k 变化时，直线 DE 与直线 AB 的 斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） 3 ；（2）为定值 5. 【详解】 （1）设  0 0,A x y ，则  0 0,B x y  ，由题意得焦点为  2 1,0F a  所以，    2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 01, 1, 1FA FB x a y x a y x y a              uur uur . 当 0FA FB   时，有 2 2 2 0 0 1x y a   . 联立 2 2 2 , 1, y kx x ya    得 2 2 0 2 2 1 ax k a   ， 2 2 2 0 2 2 1 k ay k a   ，从而 2 2 2 2 2 2 2 2 11 1 a k a ak a k a     . 将 3 3k  代入，得 2 2 2 4 13 a aa   ， 所以  2 3 1a a  ，故 3a  . （2）由（1）知，  2,0F  ，椭圆C ： 2 2 13 x y  . 设 AD ： 0 0 2 2xx yy   ，代入椭圆 C ： 2 23 3x y  ， 得    2 0 02 2 0 0 2 2 2 2 3 1 0 x x y yy y            . 而 2 2 0 03 3x y  ，即    2 2 0 0 0 05 2 2 2 2 2 0x y x y y y     ， 从而 0 05 2 2D yy x   . 同理 BE ： 0 0 2 2xx yy   ， 0 05 2 2E yy x   . 从而 02 2 5 E D E D xy y y y   . 于是 0 000 0 0 00 0 1 5 5 2 2 2 E D E D DE E D E D E D E D yy y y yk kx x xx y yx xy y y y y yy y             . 所以 DE ， BC 的斜率之比为定值 5. 3．（2021·浙江高三其他模拟）如图，已知抛物线  2 2 0y px p  ，过点   ,0 0P m m  的直线交 抛物线于 A ，B 两点，过点 B 作抛物线的切线交 y 轴于点 M ，过点 A 作 AN 平行 PM 交 y 轴于点 N ， 交直线 BM 于点 Q ． （1）若 1p m  ，求 AB 的最小值； （2）若 AOB 的面积为 1S ， MNQ△ 的面积为 2S ，求 1 2 S S 的值． 【答案】（1） 2 2 ；（2）2. 【详解】 解：（1）由题意可知，直线 AB 的斜率不为 0，故可设直线 AB ：x ty m  ， 2 1 1,2 yA yp      ， 2 2 2,2 yB yp      ， 联立，得 2 , 2 , x ty m y px     ，得 2 2 2 0y pty pm   ，所以 1 2 1 2 2 , 2 . y y pt y y pm      因为 1p m  ，所以 1 2 1 2 2 , 2, y y t y y      所以  22 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 4 1 4 8AB t y y t y y y y t t              2 22 1 2t t   ， 易知   2 21 2 2t t   ，故 2 2AB  ，当且仅当 0t  时，等号成立．故 AB 的最小值为 2 2 ． （2）不妨设点 B 位于 x 轴下方，由 2y px  ，得 1 122 2 2 p py p ypx px         ． 因为直线 BM 与抛物线相切，所以直线 BM 的斜率 2 BM pk y  ， 故直线 BM 的方程为 2 2 2 2 2 22 2 y yp py x y xy p y         ，令 0x  ，得 2 2 yy  ，所以 20, 2 yM     ， 则 2 2 02 0 2PM y yk m m     ．又 / /AN PM ，所以 2 2AN PM yk k m    ， 所以直线 AN 的方程为 2 2 2 1 2 1 2 1 12 2 2 4 y y y y yy x y x ym p m mp            ， 令 0x  ，得 2 1 2 14 y yy ymp   ，故 2 1 2 14N y yy ymp   ． 又 1 2 2y y pm  ，所以 2 1 2 1 14 2N y y yy ymp    ，所以 10, 2 yN      ， 连接 PN ，则 1 1 2 2 2 2 2 2PN BM pmy y y pk km m m y         ，所以 //PN BM ， 又 / /AN PM ，所以四边形 MQNP 是平行四边形， 所以 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 4QMN MNP N M y yS S S OP y y OP m y y         △ △ ． 又易知 1 1 2 1 2 1 1 2 2AOBS S OP y y m y y     △ ，所以 1 2 2S S  ． 4．（2021·全国高三月考（理））已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的两个焦点分别为 1 2,F F ，点  3,1P 在椭圆上，且 1 2 90F PF   . （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）不过点 P 的直线与椭圆交于 ,A B 两点，且OP 平分线段 AB （O 为坐标原点）.设直线 ,PA PB 的斜率分别为 1 2,k k ，试判断 1 2k k 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】（Ⅰ） 2 2 16 2 x y  ；（Ⅱ）是， 1 3 . 【详解】 （Ⅰ）设点    1 2,0 , ,0F c F c . 由 1 2 90F PF   ，得 1 2 0PF PF   ， 即   3, 1 3, 1 0c c      ，解得 2c  . 因为点  3,1P 在椭圆上，所以 2 2 3 1 1a b   . 又因为 2 2 2a b c  ，所以 6, 2a b  ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 16 2 x y  . （Ⅱ）设点  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 因为点 ,A B 在椭圆上， 所以 2 2 1 1 16 2 x y  ， 2 2 2 2 16 2 x y  ， 两式相减变形后得 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 y y y y x x x x      ， 即 1 3AB OPk k   ，解得 3 3ABk   . 设直线 AB 的方程为 3 3y x t   ， 联立方程组 2 2 3 3 3 6 0 y x t x y         ， 消去 y 后整理得  2 22 2 3 3 6 0x tx t    ， 248 12 0t    ， 1 2 3x x t  ， 2 1 2 3 32x x t  ， 则       1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 y yk k x x          2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 13 3 3 3 x x t x x t t x x x x             2 2 2 1 3 33 1 3 2 13 2 3 3 3 3 3 32 t t t t t t t              1= 3 ， 所以 1 2k k 是定值，其值为 1 3 . 5．（2021·湖南）已知椭圆 2 2 2 2C: 1( 0)x y a ba b     的离心率为 1 2 ，直线 1: 22l y x   与椭圆 C 有且仅有一个公共点 A ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程及 A 点坐标； （Ⅱ）设直线 l 与 x 轴交于点 B．过点 B 的直线与 C 交于 E，F 两点，记点 A 在 x 轴上的投影为 G，T 为 BG 的中点，直线 AE，AF 与 x 轴分别交于 M，N 两点．试探究| | | |TM TN 是否为定值?若为定值， 求出此定值；否则，请说明理由． 【答案】（1） 2 2 31, 1,4 3 2 x y A      ；（2）| | | |TM TN 为定值 9 4 【详解】 （1）设椭圆C 的半焦距为 c ，则 1 2 c a  ，则 2 24a c ， 2 2 2 23b a c c   ， 所以椭圆C 的方程为： 2 2 2 2 14 3 x y c c   ， 将椭圆C 的方程与直线 l 的方程联立得： 2 22 4 3 0x x c    , 所以 24 4 (4 3 ) 0c      ，解得： 2 1c  ， 所以 2 4a  ， 2 3b  ，故椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  ， 此时将 2 1c  代入 2 22 4 3 0x x c    得： 2 2 1 0x x   ， 所以 1x  ，此时 3 2y  。 所以 A 点坐标为 3(1, )2 ； （2）将 0y  直线 1 22y x   联立，得到 4x  ，所以 (4,0)B 。 因为 31, 2A     ， (4,0)B ，所以 5( ,0)2T ， ①当斜率 0EFk  时， ( 2,0)M  ， (2,0)N 或 ( 2,0)N  ， (2,0)M ， 9| | 2TM  ， 1| | 2TN  或 9| | 2TN  ， 1| | 2TM  ， 此时有 9| | | | 4TM TN  ， ②当斜率 0EFk  时，设 EFl ： 4x ny  ，代入 2 2 14 3 x y  得： 2 2(3 4) 24 36 0n y ny    ，设 1 1( , )E x y ， 2 2( , )F x y ， 所以 1 2 2 24 3 4 ny y n    ， 1 2 2 36 3 4y y n   ， 所以 AEl ： 1 1 3 3 2 ( 1)2 1 y y xx     ，则 1 1 3( 1)(1 ,0)2 3 xM y   ， 1 1 1 1 1 1 1 1 3( 1) 3( 1) (6 6) 9 (2 2) 35 3 3| | 12 2 3 2 2 3 2(2 3) 2 2 3 x x n y n yTM y y y y                 同理， 2 2 (2 2) 33| | 2 2 3 n yTN y     ， 所以 1 2 1 2 (2 2) 3 (2 2) 39| | | | 4 2 3 2 3 n y n yTM TN y y         ， 对分子：    2 2 1 2 1 2 1 2 2 9(3 16 20)(2 2) 3 (2 2) 3 (2 2) 3(2 2)( ) 9 3 4 n nn y n y n y y n y y n              对分母： 2 1 2 1 2 1 2 2 9(3 16 20)(2 3)(2 3) 4 6( ) 9 3 4 n ny y y y y y n          ， 所以 9| | | | 4TM TN  . 综上， 9| | | | 4TM TN  为定值. 6．（2021·全国高三其他模拟）已知抛物线 C ： 2 2y px  0p  的焦点为 F ，点 A ，B 在抛物线C 上． （1）若 A ， B ， F 三点共线，且 6AB p ，求直线 AB 的方程． （2）若直线 AB 的倾斜角为 135°，点 ,2 pD p     不在直线 AB 上，点  0,E m 在直线 AB 上． （i）求实数 m 的取值范围； （ii）若直线 AD 和直线 BD 的斜率均存在，求证： 0AD BDk k  ． 【答案】（1） 2 2 2 py x      ；（2）（i） 3 3, ,2 2 2 p p p            ；（ii）证明见解析． 【详解】 （1）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ． 当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 2 px  ，代入抛物线方程可得 2 2y p ，即 y p  ， 所以 2AB p ，不合题意，舍去， 故直线 AB 的斜率存在，设其方程为 2 py k x      0k  ． 由 2 ,2 2 py k x y px          得   2 2 2 2 2 2 04 k pk x k p p x    ， 0  ， 则 2 1 2 2 2k p px x k   ，所以 2 1 2 2 2 6k p pAB x x p p p k       ， 解得 2 2k   ，所以直线 AB 的方程为 2 2 2 py x      ． （2）（i）依题意，可知直线 AB 的方程为 y x m   ． 由 2 , 2 y x m y px      得  2 22 2 0x m p x m    ， 由  2 22 2 4 0m p m     ，得 2 pm   ． 则 1 2 2 2x x m p   ， 2 1 2x x m ． 又 2 p m p   ，所以 3 2 pm  ， 故实数 m 的取值范围为 3 3, ,2 2 2 p p p            ． （ii）结合（i）可得 1 2 1 22 2 AD BD y p y pk k p px x          1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 p py p x y p x p px x                          1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 p px m p x x m p x p px x                              1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 px x m x x p m p p px x                     2 1 2 2 2 22 0 2 2 pm m m p p m p p px x                   ． 7．（2021·江西高三其他模拟（理））已知椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的焦距为 2 2 ，点  0,2P 关于直线 y x 的对称点在椭圆 E 上. （1）求椭圆 E 的方程； （2）如图，椭圆 E 的上、下顶点分别为 A ， B ，过点 P 的直线l 与椭圆 E 相交于两个不同的点C ， D . 求 COD△ 面积的最大值 ②当 AD 与 BC 相交于点Q 时，试问：点 Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说 明理由. 【答案】（1） 2 2 14 2 x y  ；（2）① 2 ；②是，1. 【详解】 解：（1）因为点  0,2P 关于直线 y x 的对称点为  2,0 ， 且 2,0 在椭圆 E 上，所以 2a  ， 又 2 2 2c  ，∴ 2c  则 2 2 2 4 2 2b a c     ， 所以椭圆 E 的方程为 2 2 14 2 x y  ； （2）①设直线l 的方程为 2y kx  ，  1 1,C x y ，  2 2,D x y ， 点O 到直线l 的距离为 d . 2 2 2 14 2 y kx x y     消去 y 整理得：  2 21 2 8 4 0k x kx    ， 由 0  ，可得 2 1 2k  ， 且 1 2 2 8 1 2 kx x k     ， 1 2 2 4 1 2x x k   ∴ 2 2 1 2 22 1 1 2 4 2 112 2 1 21COD kS CD d k x x kk        △ 设  22 1 0t k t   ，则 2 4 4 4 222 2 2COD tS t t t      △ 当且仅当 2t  即 6 2k   时等号成立， ∴ COD△ 的面积的最大值为 2 ； ②由题意得， AD ： 2 2 2 2yy xx   ， BC ： 1 1 2 2yy xx   ， 联立方程组，消去 x 得         1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 kx x x x x xy x x x x        ， 又∵ 1 2 2 8 1 2 kx x k     ， 1 2 2 4 1 2x x k   ， 解得     2 12 2 1 2 8 2 21= 182 2 1 k x xky kx x k        故点Q 的纵坐标为定值 1. 8．（2021·山东高三专题练习）椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左右焦点分别为  1 2,0F  、  2 2,0F ， 且椭圆过点  2, 2A ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过原点 O 作两条相互垂直的直线 1l 、 2l ， 1l 与椭圆交于 M ，N 两点， 2l 与椭圆交于 P ，Q 两点， 求证：四边形 MQNP 的内切圆半径 r 为定值． 【答案】（1） 2 2 18 4 x y  ；（2）证明见解析． 【详解】 （1）因为椭圆的左右焦点分别为  1 2,0F  、  2 2,0F ，且椭圆过点  2, 2A ， 所以 1 22 2 16 2 4 2a AF AF      ， 所以 2 2a  ， 又 2c  ，得 2b  ， 所以椭圆的标准方程为： 2 2 18 4 x y  ． （2）如图所示： 当 1l 的斜率为 时，四边形 MQNP 为正方形， y x 与 2 2 18 4 x y  联立，解得 2 6 3M Nx x  ， 因为 NQ 垂直于 x 轴，所以 2 6 3r  ， 当 1l 的斜率不等于 时，设  1 1,Q x y ，  2 2,N x y ，直线 QN 的方程为： y kx t  ， 代入椭圆方程并整理得： 2 2 21 2 4 2 8 0k x ktx t     ，     2 2 24 4 2 1 2 8 0kt k t      ，即 2 28 4 0k t   ， 由韦达定理得： 1 2 2 4 1 2 ktx x k     ， 2 1 2 2 2 8 1 2 tx x k   ， 因为 90NOQ   ， 所以 0ON OQ  uuur uuur ， 即 1 2 1 2 0x x y y  ，即   1 2 1 2 0x x kx t kx t    ， 所以   2 2 2 2 2 2 8 41 01 2 1 2 t ktk kt tk k               ， 整理得  2 23 8 1t k  （*），适合 2 28 4 0k t   成立 所以 2 22 8 2 6 1 3 31 t tr kk     ， 综上得： 2 6 3r  ． 9．（2021·全国高三专题练习）已知离心率为 3 2 的椭圆 C：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的一个顶点恰好 是抛物线 2 4x y 的焦点，过点 M(4，0)且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）求 k 的取值范围； （3）若 k≠0，A 和 P 关于 x 轴对称，直线 BP 交 x 轴于 N，求证：|ON|为定值. 【答案】（1） 2 2 14 x y  ；（2） 3 3,6 6      ；（3）证明见解析. 【详解】 （1）设椭圆的半焦距为 c，则有 31 2 cb a  ， ，又 2 2 2a b c  ，可以求得 2 4a  .于是，椭圆 C 的方 程为 2 2 14 x y  . （2）解 过点 M(4，0)且斜率为 k 的直线的方程为 y＝k(x－4)， 由 2 2 ( 4), 1,4 y k x x y     得 2 1( )4k  x2－8k2x＋16k2－1＝0， 因为直线与椭圆有两个交点， 所以Δ＝(－8k2)2－4 2 1( )4k  (16k2－1)>0， 解得－ 3 6