湖南省“五市十校教研教改共同体”2021届高三下学期数学5月大联考试 含答案详解

，时  삸 D. 当 时，  C. 当 时，  B. 当 时，  A. 当 ，则下列说法正确的是（ ） ͳሼ Ͳ ɸ  log ሼ ͳ Ͳ ɸ   ͳ Ͳ  ሼ 8.已知 A. 688 B. 161 C. 129 D. 22 （ ） 삸 ݔ ͳ  ，则 ݔ ሼ Ͳ … ݔ ⪀ ݔ ⪀ሼ Ͳ Ͳ  삸 ݔ Ͳሼ Ͳ Ͳ ݔ ሼ ⪀7.已知 ͳ D. ⪀ ͳ C. ͳ B. ͳ A. 方向上的投影为（ ） 在 取得最小值，则  时， 灰 ͳ  ，当   ݉ ，设函数  ⪀ɸ݉  ݔ ，  Ͳ 灰 ⪀6.已知 C. 4 D. ⪀ ⪀ A. 2 B. （ ） ⪀  ，则 ⪀  ⪀ ， ⪀ ⪀ 两点，若 的直线分别交该双曲线的左、右两支于 A、B Ͳ 的左、右焦点，过 灰  Ͳ ⪀ ⪀ ⪀ ሼ 分别是双曲线 ⪀ 、 Ͳ 5. A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 则算盘表示的数的个数为（ ） 于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨 1 粒上珠，且往上拨 2 粒下珠， 十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）代表 1，即五粒下珠的大小等 下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、 记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、 的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术 4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要 A. ① B. ② C. ③ D. ①②③ 立的充分不必要条件是（ ） 成 ，其中使 Ͳ Ͳ ；③ ⪀ ݉ ⪀ ݉ ：② ͳ ͳ 3.设 a，b，m 为实数，给出下列三个条件：① A. 0.72 B. 0.8 C. 0.86 D. 0.9 长为幼苗的概率是( ) 2.有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 的值是（ ） ݉ ݔ ，则  ࣊삸ɸͲɸ⪀ɸͳɸ灰瀎 ，若 ݉ሼ ݔ  삸瀎 ⪀  ࣊ሼሼ ，  ࣊삸ɸ⪀ɸ灰瀎 1.设集合 一、单选题（共 8 题；共 40 分） 湖南省“五市十校教研教改共同体”2021 届高三下学期数学 5 月大联考试卷 （四、解答题（共 6 题；共 70 分 的值为________． ݔ  灰  ．则 灰 ɸሼ 灰ሼ Ͳ ሼ 삸ɸ ．②对任意 Ͳ ሼ ݔ ሼ  ⪀ ， ሼ 삸ɸͲ 的非减函数，且满足：①对任意 삸ɸͲ 是定义域为 ሼ 非减函数．已知 为 ሼ ，则称 ሼͲ ሼ⪀ 时，恒有 ሼͲ ሼ⪀ ，当 ሼ⪀ 、 ሼͲ 的定义域为 D，对 D 内的任意 ሼ 16.函数 ________． ݔ ሼ⪀삸  … lnሼͲͲ ݔ ሼͲ⪀ ݔ ሼͲͳ ݔ ，则 ሼͲ삸  ݔ … ሼͲ ݔ ሼ⪀ ݔ ሼͳ ݔ ，若  ሼ 是公差为 2 的等差数列，且 ࣊瀎 ，数列 ሼ  lnሼ 15.已知函数 ________． sin⪀ ݔ cos⪀  ，则 ͳ Ͳ  sin 14.已知 13.若圆锥的侧面展开图是半径为 4 的半圆，则此圆锥的体积为________． 삸ɸ⪀三、填空题（共 4 题；共 20 分） 所成角的正切值的取值范围是 与直线 Ͳ 上任意一点，直线 ͲͲ 为棱 ⪀D. 点 Ͳ삸 的截面面积为 ͲܥͲͲͲ ܥ 截直四棱柱 ܥͲ 则平面， ܥͲ 平行的平面 Ͳ 作与 ܥͲ ⪀C. 过 所成角的正切值为 ͲܥܥͲ 与平面 Ͳܥ B. 直线ܥͲ 平面 Ͳ A. 直线 下列结论正确的是（ ） ，则 ͳ  ܥ ∠ ， Ͳ  Ͳ ，  ⪀ 为菱形， ܥ 中，四边形 ͲܥͲͲͲ ܥ 12.在直四棱柱 存在唯一极小值点 ⪀ ɸ ͳ  在 ሼ 时，  Ͳ D. 当 上无零点 ∞ 삸ɸ ݔ 在 ̵ሼ 时，  Ͳ C. 当 处的切线为 x 轴 삸ɸ삸 在 ሼ 时，  Ͳ B. 当 单调递增 ∞ 삸ɸ ݔ 在 ሼ 时，  Ͳ A. 当 的导函数，则下列说法正确的是（ ） ሼ 是 ̵ሼ ， ݔ cosሼ ሼ ሼ  Ͳ ⪀ ͳ11.已知函数 ，则 Ͳ Ͳ ݔ ͳെ  Ͳ Ͳ⪀  ⪀െD. 若 ，则 Ͳ⪀ െ  ͳ ݔ െ Ͳ  ⪀C. 若 Ͳ  ⪀B. A. ，则（ ） Ͳ ݔ ⪀  삸 满足 ⪀ ， Ͳ 10.设复数 是奇函数 ⪀ Ͳ  ሼ D. 在定义城内有两个零点 ሼ C. 的值域为 R ሼ B. 在定义域内单调递减 ሼ A. 的结论正确的是（ ） ሼݔͲ Ͳ ሼ ݔ Ͳ ሼ  9.关于函数 二、多选题（共 4 题；共 20 分） ；20 件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望 （1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在 0.785 以上的产品为合格产品．现抽取 ． ɸ  ሼ ⪀ ሼെሼ െͲ ሼെሼെ െͲ  ，其中  ሼ ݔ 回归直线方程为 ； െ⪀ െͲ ሼെሼ⪀ െͲ ሼെሼെ െͲ  参考公式：相关系数  ݔ  삸⪀ɸ ⪀ ݔ ⪀  삸Ɠ灰灰 则 ， ⪀ ɸ ．若 삸ͲͲ  삸ͳͳƓ ，  ⪀ െ െͲ ，  灰 ⪀ ሼെ െͲ ， ሼ  삸ɸ  ͳͲ 附：参考数据： 使用时间 t 2.60 2.81 3.05 3.10 3.253.35 3.54 质量参数 x 0.65 0.70 0.75 0.80 0.850.90 0.95 ，使用时间 t 与质量参数 x 之间有如下关系： ⪀ 삸ɸ삸삸Ͳ 布 品的质量参数 x，二是产品的使用时间 t（单位：千小时），经统计分析，质量参数 x 服从正态分 20.某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产 的余弦值． 求二面角， ܯ ， ܥ 平面 ܥ （2）若 ； 平面 䁖䁖ܥܯ （1）求证：平面 点． 的中 M 为棱， ܥ䁖䁖 ，  ܥ ， ⩿  是正方形， ܥ ，中 ܥ 19.如图，在多面体 的周长． ，求 △ ⪀ 的面积是 成等比数列，且 △ 、 、 （2）若 的值； cos （1）求 ． ͳ sin ݔ sin sin  ，且 ，其面积为 、 、 的对边分别为 、 、 的内角 18.△ ． 的前 n 项和 ࣊瀎 ，求数列 ݔͲ ݔ logͳ ݔͲ ݔͲ Ͳ  （2）记 的通项公式； ࣊瀎 与数列 ࣊瀎 （1）求数列 ． Ͳ ݔͲ  ⪀ ͳ ， Ͳ  Ͳ 满足 ࣊瀎 ，数列 ݔ ⪀  的前 n 项和 ࣊瀎 已知数列.17 故答案为：A 所以 P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72. 则 P(A)＝0.9.又种子发芽后的幼苗成活率为 P(B|A)＝0.8， 【解析】【解答】设“种子发芽”为事件 A，“种子成长为幼苗”为事件 AB(发芽，并成活而成长为幼苗)， 【答案】 A A. 0.72 B. 0.8 C. 0.86 D. 0.9 长为幼苗的概率是( ) 2.有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成 故答案为：D. . ݉ ݔ  灰 ݔ ͳ  ，因此， ͳ  × Ͳ ࣊Ͳ ݔ ͳ  ݉ 的两根，所以， ݉ሼ ݔ  삸 ⪀ ሼ 是方程 ͳ 、 Ͳ 所以， ，  ࣊Ͳɸͳ瀎 ，则  ࣊삸ɸͲɸ⪀ɸͳɸ灰瀎 ， ݉ሼ ݔ  삸瀎 ⪀  ࣊ሼሼ ，  ࣊삸ɸ⪀ɸ灰瀎 【解析】【解答】因为集合 【答案】 D A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 的值是（ ） ݉ ݔ ，则  ࣊삸ɸͲɸ⪀ɸͳɸ灰瀎 ，若 ݉ሼ ݔ  삸瀎 ⪀  ࣊ሼሼ ，  ࣊삸ɸ⪀ɸ灰瀎 1.设集合 一、单选题（共 8 题；共 40 分） 答案解析 ． ⪀  ⪀ɸ ͳ ⪀ ͳ ݔ ⪀ ⪀ ⪀ ln ݔ … ݔ ln Ͳ ݔ ln⪀ （2）求证： 处的切线方程； ͲɸͲ 在点  ሼ （1）求曲线 ； ሼ  ሼ ݔ Ͳlnሼ 22.已知函数 的面积的最大值． ܯ ，求四边形 灰 ͳ  （2）若 的斜率之积为定值； 和 ܯ ，证明：直线  삸 （1）若 M、N 两点，且 M 点位于第一象限． 与椭圆交于 ǣ  ሼ ݔ  삸 ，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线 Ɠ  Ͳ ⪀ Ͳ ݔ ⪀ ሼ 21.已知椭圆 t 与质量参数 x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合． ，请用相关系数说明使用时间  ⪀Ɠ⪀ሼ ݔ 삸 该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为（2） .故答案为：B .  Ͳ ⪀ ݔ ͳ Ͳ ͳ Ͳ ͳ 则总数为 ， ⪀ ͳ 或来自个、十、百中的两个即 Ͳ ͳ 珠往上拨分两种情况，全部来自个、十、百即 ，下 Ͳ ͳ 【解析】【解答】根据珠算的运算法则及题干描述的操作，从个、十、百上珠中选 1 粒往下拨即 【答案】 B A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 则算盘表示的数的个数为（ ） 于同组一粒上珠的大小．现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨 1 粒上珠，且往上拨 2 粒下珠， 十位、百位、…，上面一粒珠（简称上珠）代表 5，下面一粒珠（简称下珠）代表 1，即五粒下珠的大小等 下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、 记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为 3 部分，上、 的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术 4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要 故答案为：B 的既不充分也不必要条件，所以③不合题意， 是 Ͳ Ͳ 不成立，所以 Ͳ Ͳ 成立，而 时，  Ͳɸ  Ͳ 不成立，当 成立，而 Ͳ Ͳ 时，  Ͳɸ  Ͳ 对于③，当 的充分不必要条件，所以②符合题意； 是 ⪀ ݉ ⪀ ݉ ⪀不成立，所以 ݉ ⪀ ݉ 时， ݉  삸 ， 成立，而当 时，由不等式的性质可知 ⪀ ݉ ⪀ ݉ 对于②，当 的充要条件，所以①不合题意； ͳ是 ͳ 成立，所以 ͳ ͳ 时， 成立，而当 时， ͳ ͳ 【解析】【解答】解：对于①，当 【答案】 B A. ① B. ② C. ③ D. ①②③ 立的充分不必要条件是（ ） 成 ，其中使 Ͳ Ͳ ；③ ⪀ ݉ ⪀ ݉ ：② ͳ ͳ 设 a，b，m 为实数，给出下列三个条件：①.3 ，时  삸 D. 当 时，  C. 当 时，  B. 当 时，  A. 当 ，则下列说法正确的是（ ） ͳሼ Ͳ ɸ  log ሼ ͳ Ͳ ɸ   ͳ Ͳ  ሼ 8.已知 삸 ݔ ͳ  Ͳ⪀ ݔ 삸  故答案为：A． 所以 ，  삸 灰 ⪀ ͳ  Ͳ⪀ɸͳ  ⪀ 삸 삸  故 ， ݔ ሼ Ͳ … ݔ ⪀ ݔ ⪀ሼ Ͳ Ͳ  삸 ݔ Ͳሼ Ͳ Ͳ ݔ ሼ 且 ， ሼ Ͳ ⪀ ，展开的通项公式为：  ⪀ ݔ ሼ Ͳ Ͳ ݔ ሼ 【解析】【解答】 【答案】 A A. 688 B. 161 C. 129 D. 22 （ ） 삸 ݔ ͳ  ，则 ݔ ሼ Ͳ … ݔ ⪀ ݔ ⪀ሼ Ͳ Ͳ  삸 ݔ Ͳሼ Ͳ Ͳ ݔ ሼ 7.已知 【解析】【解答】略 ⪀【答案】 D ͳ D. ⪀ ͳ C. ͳ B. ͳ A. 方向上的投影为（ ） 在 取得最小值，则  时， 灰 ͳ  ，当   ݉ ，设函数  ⪀ɸ݉  ݔ ，  Ͳ 6.已知 故答案为：C ， ⪀  灰 ，得  ͳ⪀ ⪀  Ͳ ⪀  ⪀ ⪀⪀ 所以 ，  ⪀ ⪀ ，得 灰  Ͳ ⪀ ⪀ ⪀ ሼ 由 ， ⪀  Ͳ ⪀  ⪀ ⪀⪀ ，所以 ⪀  ⪀ ݔ ⪀ ⪀ ⪀ 所以 ， ⪀ ⪀ 因为 ，  灰 ，即 Ͳ Ͳ  灰 所以 ， ⪀ Ͳ  ⪀ ，所以 ⪀  ⪀ 因为 ， ⪀ Ͳ  ⪀ɸͲ ⪀  ⪀ 【解析】【解答】解：由双曲线的定义可得， 灰 ⪀【答案】 C C. 4 D. ⪀ ⪀ A. 2 B. （ ） ⪀  ，则 ⪀  ⪀ ， ⪀ ⪀ 两点，若 的直线分别交该双曲线的左、右两支于 A、B Ͳ 的左、右焦点，过 灰  Ͳ ⪀ ⪀ ⪀ ሼ 分别是双曲线 ⪀ 、 Ͳ .5 ；在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，A 不符合题意 ሼ 故 在各段定义域内均为减函数， ሼݔͲ Ͳ 和 ሼ Ͳ 而 ， ∞ ɸ Ͳ  Ͳɸ삸 삸ɸ ݔ ∞  的定义域为 ሼݔͲ Ͳ ሼ ݔ Ͳ ሼ  【解析】【解答】 【答案】 B,D 是奇函数 ⪀ Ͳ  ሼ D. 在定义城内有两个零点 ሼ C. 的值域为 R ሼ B. 在定义域内单调递减 ሼ A. 的结论正确的是（ ） ሼݔͲ Ͳ ሼ ݔ Ͳ ሼ  9.关于函数 二、多选题（共 4 题；共 20 分） 故答案为：C 上方，错误； ሼ ͳ Ͳ   在 ͳ Ͳ  ሼ 点，此时 时，为  삸 D，当 ，正确； 在下方， ሼ ͳ Ͳ   ，此时 ，交点为 ͳሼ Ͳ  log ͳ Ͳ ሼ 时，  C，当 ，错误； 在上方， ͳ Ͳ  ሼ ，此时 ，交点为 ͳሼ Ͳ  log ሼ ͳ Ͳ  时，  B，当 ，错误； 在上方， ͳሼ Ͳ  log ，此时 ，交点为 ሼ ͳ Ͳ   ͳ Ͳ ሼ 时，  A，当 的图象， ͳሼ Ͳ ɸ  log ሼ ͳ Ͳ ɸ   ͳ Ͳ  ሼ 【解析】【解答】分别作出 答案】 C】 .故答案为：BCD ，D 选项正确； Ͳ ⪀ ͳ 间的距离，由图可知： 삸ɸ삸 与  ɸ 的几何意义表示点 ⪀ 由 的圆， 为圆心，1 为半径  Ͳɸ ͳ 的轨迹是以  ɸ 所表示的点 ⪀  െ 则由对称性可知，复数 圆， 为圆心，1 为半径的 Ͳɸ ͳ 的轨迹是以 ɸ 所表示的点 Ͳ  ݔ െ 根据复数的几何意义可知，复数 ， Ͳ Ͳ ݔ ͳെ  Ͳ 因为 ，所以 C 选项正确； Ͳ⪀  Ͳ ݔ െ Ͳ െ  ⪀െ ⪀  Ͳ െ所以 ，则 ⪀െ  Ͳ ݔ െ ͳݔെ Ͳ  ，所以 Ͳ⪀ െ  ͳ ݔ െ 因为 ，所以 B 选项正确； ⪀ ݔ ⪀  ⪀ ݔ  ⪀ ɸ⪀   ⪀ ݔ ⪀ Ͳ  因为 ，A 选项错误； Ͳ  െ ⪀ 因此： ， ⪀  െ ，所以 Ͳ ݔ ⪀  삸 ，由 Ͳ  ݔ െ 【解析】【解答】设复数 Ͳ ⪀ ͳ【答案】 B,C,D ，则 Ͳ Ͳ ݔ ͳെ  Ͳ Ͳ⪀  ⪀െD. 若 ，则 Ͳ⪀ െ  ͳ ݔ െ Ͳ  ⪀C. 若 Ͳ  ⪀B. A. ，则（ ） Ͳ ݔ ⪀  삸 满足 ⪀ ， Ͳ 10.设复数 故答案为：BD. 是奇函数，D 符合题意， ⪀ Ͳ  ሼ 所以 为奇函数， ሼ ，故 Ͳ  ሼ ⪀ 灰ሼ ሼ  ሼ  且 ，此时定义域关于原点对称， ⪀ Ͳ ± ሼ ，易知 Ͳ ⪀ 灰ሼ ሼ ሼ  令 ， Ͳ ⪀ 灰ሼ ሼ 灰  Ͳ ⪀ ሼ ⪀ሼ ⪀  Ͳ ሼݔ Ͳ ⪀ ݔ Ͳ ሼ Ͳ ⪀  Ͳ  ሼ 在定义城内有一个零点，C 不符合题意； ሼ 所以 ， ⪀ Ͳ ሼ  ，可得 ݔሼ  삸 ⪀ ሼ ⪀ሼݔͲ ሼݔͲ  Ͳ ሼ ݔ Ͳ ሼ  令 的值域为 R，B 符合题意； ሼ 所以 ∞ ， → ሼݔͲ Ͳ ሼ ݔ Ͳ ሼ  时，有 삸 → ሼ 当 ∞ ， ݔ → ሼݔͲ Ͳ ሼ ݔ Ͳ ሼ  时，有 Ͳ → ሼ ， ሼ  Ͳɸ삸 当 的截面面积为 ͲܥͲͲͲ ܥ 截直四棱柱 ܥͲ 则平面， ܥͲ 平行的平面 Ͳ 作与 ܥͲ ⪀C. 过 所成角的正切值为 ͲܥܥͲ 与平面 Ͳܥ B. 直线ܥͲ 平面 Ͳ A. 直线 下列结论正确的是（ ） ，则 ͳ  ܥ ∠ ， Ͳ  Ͳ ，  ⪀ 为菱形， ܥ 中，四边形 ͲܥͲͲͲ ܥ 12.在直四棱柱 故答案为：ACD. ，D 选项正确； ሼ삸 存在唯一极小值点 ⪀ ɸ ͳ  在 ሼ 从而 上单调递增， ， ሼ삸 在 ሼ ，所以函数 ሼ삸 삸 ̵ 时， ， ሼ ሼ삸 当 上单调递减， ⪀ ɸሼ삸 ͳ  在 ሼ ，所以函数 ሼ삸 삸 ̵ 时， ⪀ ɸሼ삸 ͳ ሼ  当 ， ሼ삸  삸 ̵ ，使得 ⪀ ɸ ͳ ሼ삸  由零点存在定理得，存在唯一 ， 삸 sin    ̵ 而 ， Ͳ 삸 ⪀ ͳ ⪀  ͳ sin ⪀ ͳ ⪀  ͳ  ̵ 又 单调递增， ⪀ ɸ ͳ  在 sinሼ ሼ ሼ  ̵ 时， ⪀ ɸ ͳ ሼ  当 上无零点，C 选项正确； ∞ 삸ɸ ݔ 在 ̵ሼ ，所以 삸  Ͳ ̵ ሼ ̵ 所以 上单调递增， ∞ 삸ɸ ݔ 在 sinሼ ሼ ሼ  ̵ 即 上单调递增， ∞ 삸ɸ ݔ 在 sinሼ ሼ ሼ  所以 ， cosሼ 삸 ሼ ሼ  ̵ ，则 sinሼ ሼ ሼ  令 ， sinሼ ሼ ሼ  ̵ ，所以 ݔ cosሼ ሼ ሼ  时，  Ͳ 当 ，B 选项错误；  ሼ 处的切线方程为： 삸ɸ삸 在 ሼ 故 ， 삸  삸 ， ݔ sin삸  Ͳ 삸 삸  ̵ 单调递增，A 选项正确； ∞ 삸ɸ ݔ 在 ሼ 恒成立，所以函数 ݔ sinሼ 삸 ሼ ሼ  ̵ 所以 ， Ͳɸ Ͳ sinሼ Ͳ ሼ 时， ∞ ሼ 삸ɸ ݔ 因为当 ， ݔ sinሼ ሼ ሼ  ̵ ，则 cosሼ ሼ ሼ  时，  Ͳ 【解析】【解答】当 【答案】 A,C,D 存在唯一极小值点 ⪀ ɸ ͳ  在 ሼ 时，  Ͳ D. 当 上无零点 ∞ 삸ɸ ݔ 在 ̵ሼ 时，  Ͳ C. 当 处的切线为 x 轴 삸ɸ삸 在 ሼ 时，  Ͳ B. 当 单调递增 ∞ 삸ɸ ݔ 在 ሼ 时，  Ͳ A. 当 的导函数，则下列说法正确的是（ ） ሼ 是 ̵ሼ ， ݔ cosሼ ሼ ሼ  已知函数.11 Ͳ삸 ⪀D. 点 为棱 ͲͲ 上任意一点，直线 Ͳ 与直线 所成角的正切值的取值范围是 삸ɸ⪀【答案】 B,C,D 【解析】【解答】连接 ɸܥ 交于点 ，连接 ͲͲɸͲܥͲ 交于点 Ͳ ， 四边形 ܥ 为菱形， ܥ ， 又四棱柱 ܥ ͲͲͲܥͲ 为直四棱柱， Ͳ 平面 ܥ ， 则以 为坐标原点， ɸ ɸͲ 的正方向为 ሼɸɸ 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则  ͳɸ삸ɸ삸 ， 삸ɸͲɸ삸 ，  ͳɸ삸ɸ삸 ， ܥ삸ɸ Ͳɸ삸 ， Ͳ ͳɸ삸ɸͲ ， Ͳ삸ɸͲɸͲ ， Ͳ ͳɸ삸ɸͲ ， ܥͲ삸ɸ ͲɸͲ ； 对于 A， Ͳ   ⪀ ͳɸ삸ɸͲ ， Ͳ   ͳɸͲɸ Ͳ ， Ͳ Ͳ  Ͳ  삸 ， 即 Ͳ 不垂直于 Ͳ ， Ͳ 与平面 Ͳܥ 不垂直，A 不符合题意； 对于 B， ܥͲ  삸ɸ⪀ɸͲ ， Ͳ  삸ɸ삸ɸͲ ， ܥ   ͳɸ Ͳɸ삸 ， 设平面 ͲܥܥͲ 的法向量  ሼɸɸ ， 则 ࣊ Ͳ   삸 ܥ  ͳሼ  삸 ，令 ሼ  Ͳ ，则  ͳ ，  삸 ，  Ͳɸ ͳɸ삸 ， 设直线 ܥͲ 与平面 ͲܥܥͲ 所成角为 ， 则 sin  ܥͲ ܥͲ  ⪀ ͳ ⪀  Ͳ ， tan  ⪀ ，B 符合题意； 对于 C，连接 Ͳܥ 交 ܥͲ 于 ܯ ，取 ͲܥͲ 中点 ，连接 ܯ ， 由直四棱柱特点知：四边形 ܥܥͲͲ 为矩形， ܯ 为 ܥͲ 中点， ܯ䁖䁖Ͳ ， 又 ܯ 平面 Ͳܥ ， Ͳ 平面 Ͳܥ ， Ͳ䁖䁖 平面 Ͳܥ ， 可知过 Ͳܥ 作与 Ͳ 平行的平面 Ͳܥ ，平面 Ͳܥ 截直四棱柱 ܥ ͲͲͲܥͲ 所得的截面为 △ Ͳܥ ； . Ɠ ⪀ 故答案为： . Ɠ ⪀ sin⪀ ݔ cos⪀  则 ， Ɠ ⪀ cos⪀ ݔ sin⪀  ⪀ ⪀ sin⪀所以 ⪀ ⪀ cos⪀ ݔ ⪀ 灰 ⪀   cos cos⪀ 又 ， Ɠ Ɠ  ⪀  Ͳ  ⪀  Ͳ ⪀sin cos⪀ 所以 ， ͳ Ͳ  sin 【解析】【解答】因为 Ɠ ⪀ 【答案】 ________． sin⪀ ݔ cos⪀  ，则 ͳ Ͳ  sin 14.已知 ͳ ͳ 故答案为 ͳ ͳ ⪀ ͳ  × ⪀ ͳ ⪀ Ͳ ；圆锥的体积为： ⪀ ͳ ，底面半径为：2，圆锥的高为： 灰 圆锥的侧面展开恰为一个半径为 4 的半圆，所以圆锥的底面周长为： 【解析】【解答】 π ͳ ͳ 【答案】 13.若圆锥的侧面展开图是半径为 4 的半圆，则此圆锥的体积为________． 三、填空题（共 4 题；共 20 分） 故答案为：BCD. ，D 符合题意. tan 삸ɸ⪀ ， 삸 Ͳ 又 ， tan  ⪀ ， 灰⪀ݔͲ Ͳ Ͳ  Ͳ cos  cos ɸͲ  ， 所成角为 与 Ͳ 设直线 ， Ͳ  삸ɸ삸ɸͲ ，又   ͳɸ ɸͲ 则 ，  ͳɸͲ ɸͲ ，  Ͳ ， ሼ  ͳ ， ͲͲ   ͳɸ Ͳɸ삸 ， Ͳ  ሼɸ Ͳɸ삸 又 ， Ͳ  ͲͲ 삸 Ͳ ，且 ሼɸɸͲ 对于 D，设 ，C 符合题意； ⪀ Ͳ삸 ，即所求截面面积为 ⪀ Ͳ삸  ܥ ܥ⪀ Ͳ Ͳ  ܥͲ △ ， ܥ ܥ Ͳ ， ⪀  Ͳ ⩿ ܥ ݔ ⩿ ܥ Ͳ ，  Ͳ ݔ Ͳ  ⪀ ܥ ，  灰 ݔ Ͳ  ܥͲ 又 ； Ͳ  ， ͳ  ⪀  灰 ݔ Ͳ 灰cos ⪀ Ͳ 中，由余弦定理得： ܥͲ 在 △ .故答案为：2 ，  Ͳ ݔ Ͳ  ⪀ ݔ  灰  ， ሼ  Ͳ 时，也有 灰 ͳ ⪀ ɸ Ͳ ሼ 所以 对称， ⪀ ɸͲ Ͳ  的函数图像关于 ሼ 又由于 ， ሼ  Ͳ 时，必有 ⪀ Ͳ 灰 ɸ Ͳ ሼ 所以当 的非减函数， 삸ɸͲ 是定义域为 ሼ 且 ⪀  Ͳ Ͳ  ，又因为 灰 Ͳ Ͳ  所以 ， 灰 ɸሼ 灰ሼ Ͳ ሼ 삸ɸ 又因为对任意 ， ⪀  Ͳ Ͳ  可得 ⪀ Ͳ ሼ  令 对称， ⪀ ɸͲ Ͳ  关于 ሼ 삸ɸͲ 的函数图像在 ሼ 则 ， Ͳ ሼ ݔ ሼ  ⪀ ， ሼ 삸ɸͲ 【解析】【解答】根据题意，由对任意 【答案】 2 的值为________． ݔ  灰  ．则 灰 ɸሼ 灰ሼ Ͳ ሼ 삸ɸ ．②对任意 Ͳ ሼ ݔ ሼ  ⪀ ， ሼ 삸ɸͲ 的非减函数，且满足：①对任意 삸ɸͲ 是定义域为 ሼ 非减函数．已知 为 ሼ ，则称 ሼͲ ሼ⪀ 时，恒有 ሼͲ ሼ⪀ ，当 ሼ⪀ 、 ሼͲ 的定义域为 D，对 D 内的任意 ሼ 16.函数 故答案为：21. ，  ⪀Ͳ ⪀Ͳ ݔ ሼ⪀삸  ln … lnሼͲͲ ݔ ሼͲ⪀ ݔ ሼͲͳ ݔ ⪀Ͳ  ⪀삸 ×  Ͳ삸 × ݔ ሼͲ삸 … ݔ ሼ⪀삸  ሼͲ ݔ ሼ⪀ ݔ ሼͳ ݔ … ሼͲͲ ݔ ሼͲ⪀ ݔ ሼͲͳ ݔ 的等比数列， ⪀  是以 ࣊ሼ瀎 所以 ⪀  ݔͲ ሼ  ሼݔͲ ， ሼ  所以 ，  ሼ  lnሼ 【解析】【解答】 【答案】 21 ________． ݔ ሼ⪀삸  … lnሼͲͲ ݔ ሼͲ⪀ ݔ ሼͲͳ ݔ ，则 ሼͲ삸  ݔ … ሼͲ ݔ ሼ⪀ ݔ ሼͳ ݔ ，若  ሼ 是公差为 2 的等差数列，且 ࣊瀎 ，数列 ሼ  lnሼ 已知函数.15 ，  灰 ， ⪀ 灰  × ⪀ Ͳ 即 ， ⪀ ⪀ sin  Ͳ  ，  ⪀ 成等比数列， 、 、 又 ， 灰  ⪀ sin  Ͳ cos （2）解：由（1）知 ； 灰 ͳ ⪀  ⪀ ͳ ⪀  ⪀ ⪀ ݔ ⪀ cos  ， ⪀ ͳ  ⪀ ⪀ ݔ ⪀ ，即 ⪀ ͳ  ⪀ ⪀ ݔ ⪀  由正弦定理得： ， ⪀ sin Ͳ × sin ݔ sin sin  ͳ 【答案】 （1）解： 的周长． ，求 △ ⪀ 的面积是 成等比数列，且 △ 、 、 （2）若 的值； cos （1）求 ． ͳ sin ݔ sin sin  ，且 ，其面积为 、 、 的对边分别为 、 、 的内角 18.△ . ⪀ ݔ logͳ⪀ ⪀ ݔͲ ݔ Ͳ  Ͳ ݔ ⪀ ݔ logͳ⪀ Ͳ ݔͲ ݔ Ͳ ݔ Ͳ  ͳ ݔ ݔ  Ͳ Ͳ ⪀ ݔ Ͳ ⪀ ݔ  Ͳ  Ͳ ݔ ， ݔͲ ݔ  Ͳ ݔ logͳ⪀ Ͳ ݔ Ͳ    Ͳ Ͳ ݔͲ ݔ logͳ⪀ ͳ ⪀ݔͲ Ͳ ݔͲ ݔ logͳݔͲ  ݔͲ Ͳ  （2）解：由（1）可得： ． Ͳ  ͳ 时也满足该式，  Ͳ ，当 Ͳ  ͳ ⪀ ͳ × ݔ ݔ ⪀ Ͳ ͳ × ݔ ⪀ 삸 ͳ ×  Ͳ ݔ ⪀ Ͳ ݔ ͳ ⪀ ݔ ݔ  Ͳ  Ͳ ݔ ⪀ 以上各式相加得 ， ⪀ Ͳ  ⪀ ͳ ，……， ⪀ 灰 ͳ  ⪀ ͳ ， Ͳ ͳ ⪀  ⪀ ͳ ， 삸 ⪀ Ͳ  ⪀ ͳ ； Ͳ  Ͳ ， Ͳ ݔͲ  ⪀ ͳ ．  ⪀ 也满足上式， Ͳ  ⪀ 又 ，  ݔ Ͳ  ⪀ ⪀ ݔ  ݔ Ͳ ⪀  Ͳ  ， ⪀ 【答案】 （1）解：当 ． 的前 n 项和 ࣊瀎 ，求数列 ݔͲ ݔ logͳ ݔͲ ݔͲ Ͳ  （2）记 的通项公式； ࣊瀎 与数列 ࣊瀎 （1）求数列 ． Ͳ ݔͲ  ⪀ ͳ ， Ͳ  Ͳ 满足 ࣊瀎 ，数列 ݔ ⪀  的前 n 项和 ࣊瀎 17.已知数列 四、解答题（共 6 题；共 70 分） ，为平行四边形 ܥ 四边形∴， ܥ  ， ܥ䁖䁖 ∵ ． 平面 䁖䁖ܯ ∴， 面 ， 面 ܯ ∵ ． 䁖䁖ܯ 的中点，则 由 M 为棱， ܯ 连接 的中点， ∴N 为 于点 N， ܥ ，交 【答案】 （1）证明：如图，连接 的余弦值． 求二面角， ܯ ， ܥ 平面 ܥ （2）若 ； 平面 䁖䁖ܥܯ （1）求证：平面 点． 的中 M 为棱， ܥ䁖䁖 ，  ܥ ， ⩿  是正方形， ܥ ，中 ܥ 19.如图，在多面体 ． ͳ ⪀ ݔ ⪀ 的周长为 ，因此 △  ⪀ ，   灰 ⪀ 又 ， ݔ  ͳ ⪀ ， ݔ ⪀  Ͳ삸 ݔ  Ͳ ⪀ ݔ ⪀  ⪀  ݔ ，则  Ͳ삸 ⪀ ݔ ⪀ 即 ， 灰 ͳ × 灰 × ⪀ ⪀ ݔ ⪀ 灰  ，即 ⪀cos ⪀ ݔ ⪀  ⪀ 又 使用时间 t 2.60 2.81 3.05 3.10 3.253.35 3.54 质量参数 x 0.65 0.70 0.75 0.80 0.850.90 0.95 ，使用时间 t 与质量参数 x 之间有如下关系： ⪀ 삸ɸ삸삸Ͳ 品的质量参数 x，二是产品的使用时间 t（单位：千小时），经统计分析，质量参数 x 服从正态分布 20.某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产 ． ͳ ͳ 余弦值为 ∴二面角的 为钝角， 由图可知二面角 ， ͳ ͳ ⪀  × ͲݔͲݔͲ ⪀  〈 ܥ݉ ɸ 〈 cos ．  ⪀ɸ삸ɸ삸 ܥ 的法向量为 ，∴平面 平面 ܥ ∴ ܥ 又， ܥ ܥ 平面 ɸܥ 平面 ܥɸܥ䁖䁖 ⪀ ݔ ⪀  삸 ݉  Ͳɸ ͲɸͲ∵ ࣊⪀ሼ ⪀  삸 ，则 ݉  ሼɸɸ 的法向量为 ⪀  삸  Ͳ  ⪀ɸ삸ɸ ⪀ɸ  삸ɸ⪀ɸ⪀设平面 × ⪀ ݔ × Ͳ ܯ ⩿  Ͳɸ ⪀ɸɸ  ⪀ɸ삸ɸ ܯ Ͳɸ삸ɸɸ삸ɸ⪀ɸ삸ɸ⪀ɸ⪀ɸ⪀ɸ삸ɸ삸ɸ⪀⪀ɸ삸ɸ삸ܯ⪀ɸ⪀ɸ삸ɸ 则 ，  ⪀ ܥ 设 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， ܥ 、 ܥ 、 ܥ ∴分别以 是正方形 ܥ ， ܥ 平面 ܥ ∵：（2）解 ． 平面 䁖䁖ܥܯ ∴平面 ，  ܥ ܯ ，又 平面 䁖䁖ܥ ∴ ， 平面 ， 平面 ܥ ．又 䁖䁖ܥ ∴ ，  ሼͲɸ Ͳ ，则 ሼͲɸͲܯ 【答案】 （1）解：设 的面积的最大值． ܯ ，求四边形 灰 ͳ  （2）若 的斜率之积为定值； 和 ܯ ，证明：直线  삸 （1）若 M、N 两点，且 M 点位于第一象限． 与椭圆交于 ǣ  ሼ ݔ  삸 ，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线 Ɠ  Ͳ ⪀ Ͳ ݔ ⪀ ሼ 21.已知椭圆 之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合. ሼ 与质量参数 삸ͳͳ 삸Ɠ所以使用时间 × 삸ͲͲ灰  ⪀Ɠ⪀ ×  ⪀Ɠ⪀ 삸Ͳ 삸삸 × ͳͲ⪀  ⪀Ɠ⪀ × 삸⪀ × 灰 × ⪀  ⪀Ɠ⪀ ⪀ െ െͲ ሼ⪀ ⪀ ሼെ െͲ  െ⪀ െͲ ሼെሼ⪀ െͲ  ሼെሼ⪀െ⪀ െͲ ⪀ ሼെሼ െͲ  ሼെሼ⪀െ⪀ െͲ ሼെሼെ െͲ  ， ⪀ ሼെ ሼ ሼെ ሼെ  െͲ െͲ ， ⪀ ሼെሼ െͲ ሼെሼെ െͲ  ， ⪀ ⪀ െ  െͲ ⪀ െ െͲ 同理， ， ⪀ ሼ ⪀ ሼെ  െͲ ⪀ ⪀ሼ ሼ ݔ ሼ ⪀ ሼെ  െͲ ⪀ ሼെ ݔ ሼ ⪀ሼ െͲ ⪀ ሼെ  െͲ ⪀ ሼെ ሼ െͲ （2）解： ． 삸灰Ͳ灰  Ͳ⪀ ×   ⪀삸 则 ， 삸灰Ͳ灰   ɸ   ⪀삸 ，则 设抽取 20 件该产品中为合格产品的件数为 ， ⪀  삸灰Ͳ灰 Ͳ삸⪀  Ͳ 【答案】 （1）解：一件产品的质量参数在 0.785 以上的概率 间 t 与质量参数 x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合． ，请用相关系数说明使用时  ⪀Ɠ⪀ሼ ݔ 삸 （2）该公司研究人员根据最小二乘法求得线性回归方程为 20 件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望； （1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在 0.785 以上的产品为合格产品．现抽取 ． ɸ  ሼ ሼെሼ⪀ െͲ ሼെሼെ െͲ  ，其中  ሼ ݔ 回归直线方程为 ； െ⪀ െͲ ሼെሼ⪀ െͲ ሼെሼെ െͲ  参考公式：相关系数  ݔ  삸⪀ɸ ⪀ ݔ ⪀  삸Ɠ灰灰 则 ， ⪀ ɸ ．若 삸ͲͲ  삸ͳͳƓ ，  ⪀ െ െͲ ，  灰 ⪀ ሼെ െͲ ， ሼ  삸ɸ  ͳͲ 附：参考数据： ，上单调递增 ∞ Ͳɸ ݔ 在 ሼ ̵ ሼ  ，所以 ሼ 삸 ̵ 时， ሼ Ͳ 当 ， ⪀ ሼ ሼͲ  ⪀ ሼ Ͳ ሼ Ͳ ሼ  ̵ ，则 ሼ ̵ ሼ  令 ， ሼ Ͳ Ͳ ሼ  lnሼ ݔ ̵ ，则 ሼ  ሼ ݔ Ͳlnሼ ⪀ሼ ݔ ⪀ሼ Ͳ （2）证明：设 ．  ⪀ሼ Ͳ ，所以该切线方程为 Ͳ  삸 又 ， Ͳ  ⪀ ̵  处的切线斜率为 ͲɸͲ 在点  ሼ 所以曲线 ， ሼ ሼݔͲ ሼ  lnሼ ݔ ̵ ， ∞ 삸ɸ ݔ 的定义域为 ሼ 【答案】 （1）解：由题意可得：函数 ． ⪀  ⪀ɸ ͳ ⪀ ͳ ݔ ⪀ ⪀ ⪀ ln ݔ … ݔ ln Ͳ ݔ ln⪀ （2）求证： 处的切线方程； ͲɸͲ 在点  ሼ （1）求曲线 ； ሼ  ሼ ݔ Ͳlnሼ 22.已知函数 Ͳ⪀ ⪀ 的面积的最大值为 ܯ ∴四边形 ．  Ͳ⪀ ⪀ ⪀灰 ⪀ ⪀ Ͳ Ͳ ݔ ⪀ ܯ ⩿ Ͳ  ܯ ∴ ，（时取等号  삸 ݔ ͳ⪀ ⪀（当 ⪀ Ɠ Ͳ 灰 灰ሼͲሼ⪀  ⪀ 灰 ሼͲ ݔ ሼ⪀ Ͳ ሼͲ ሼ⪀  Ɠ  Ͳ ݔ ܯ ∵又 ． ⪀灰 Ͳ ݔ ⪀  ∴ ， ͳ 灰 ͳ  灰  Ͳ⪀ݔ灰 ⪀  ， ͳ ݔ 灰 ͳ ݔ  灰  Ͳ⪀ݔ灰 Ͳ  ∴ ， ⪀ 的距离为 到 ， Ͳ 的距离为 到 设 ， ⪀ Ɠ ሼͲ ሼ⪀  ， ͳ 灰 ሼͲ ݔ ሼ⪀  ∴ ， ⪀  삸 ⪀ ݔ Ͳ⪀ሼ ݔ ⪀ Ɠሼ 得： Ɠ  Ͳ ⪀ Ͳ ݔ ⪀ ሼ 灰 ሼ ݔ ͳ  ࣊ 联立： ． ͳ ͳ 点在第一象限，∴ ܯ ， 삸 ，依题意： 灰 ሼ ݔ ͳ ǣ  （2）解：设 为定值． Ͳ Ɠ Ͳ  ሼͲ ⪀ ͲሼͲ ⪀ Ͳ Ɠ Ͳ  ሼͲ ⪀ Ͳ ⪀  ܯ ∴ ⩿ Ͳ Ͳ ሼͲ Ɠ  ⪀ Ͳ 在椭圆上，∴ ሼͲɸͲܯ ∵ ， 灰ݔሼͲ Ͳ  ， 灰ݔሼͲ Ͳ  ܯ ∴， 삸ɸͳ ， 灰ɸ삸 ∵ ．得证 ⪀  ⪀ɸ ͳ ⪀ ͳ ݔ ⪀ ⪀ ⪀ ln ݔ … ݔ ln Ͳ ݔ ln⪀ 所以 ， ⪀ ⪀ ͳ ݔͲ Ͳ Ͳ ⪀ Ͳ ͳ Ͳ ݔ ⪀ ⪀ ⪀ ln ⪀ 化简可得 ， ݔͲ Ͳ Ͳ Ͳ ݔ  Ͳ ⪀ Ͳ ݔ ݔ  Ͳ 灰 Ͳ ݔ  Ͳ ͳ Ͳ 灰 ݔ  Ͳ ⪀ Ͳ ͳ ݔ  Ͳ ͳ Ͳ ⪀ ⪀ ⪀ ln ⪀ 所以 ， ݔͲ Ͳ Ͳ Ͳ ͲݔͲ  ⪀ Ͳ  ⪀ ⪀ ͳ ⪀ ⪀ ⪀ ln ，所以 ͳ ⪀ ⪀ ⪀ ⪀ Ͳln ⪀  则 ， ⪀ Ͳ ⪀ɸ ⪀ ሼ  令 ． ሼ ݔ Ͳlnሼ ⪀ሼ Ͳ 时， ሼ Ͳ 故 ， ሼ Ͳ  삸 上单调递增，所以 ∞ Ͳɸ ݔ 在 ሼ 即 ， ሼ 삸 ̵ ሼ  ，所以 Ͳ  삸 又