2021 普通高等学校招生全国统一考试•押题卷
数学（六）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 16 道小题，6 道大题，满分 150.考试时间 120 分钟.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设集合 * 2{ || 1 2}, 2 3 0A x x B x x x N∣ ∣ ,则
A
B （ ）
A. {0,1,2} B. {1,2} C. {0,1} D. {1,2,3}
2. 已 知 , ,ia b R R 是 虚 数 单 位 . 若
1
a
i
和 1 ib 互 为 共 轭 复 数 , 则 a b
（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
3.设 2 2: 0, :ln 1 ln 1p x y q x y , 则 p 是 q 的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若直线 : 2 0( )l ax y a a R 被圆 2 2: 2 3 0C x y x 截得的弦长等于圆 C 的半径长,
则 a （ ）
A. 2 B. 2
2
C. 2
2
D. 2
2
5.河北省、湖北省等八省从 2021 年开始,高考实行“3+1+2"模式: “3"是语文、数学、外
语,由全国统考; "1+2”为北水平选择性考试,其中“1”是在物理、历史 2 门学科中选择
1 门, "2”是在思想政治、地理、化学、生物 4 门学科中选择 2 门. 新高考地区某校上
学期期中考试后,学校为了让同学们有更大的进步,从期中考试的 9 门学科每科的第一名
中(每科只有一个第一名,每个学生只有一科得第一名)挑选 3 人做学习经验交流.若事件
A :数学学科的第一名被选中,事件 B：物理、历史至少有一科的第一名被选中,则
( )P B A ∣ （ ）
A. 1
28
B. 7
28
C. 13
28
D. 23
28
6. 2020 年 12 月 9 日起,山东省济南市对城市快速路、经十路、旅游路等在工作日早晚高
峰期采取限制外地号牌车辆通行措施. 限行开始后,通过调看经十路每天 7: 00—9: 00
的车辆提速情况,得到时间 x （天）与提速车辆所占的百分比 y 的散点图:
由此散点图估计在前十天中，最适宜作为提速车辆所占的百分比 y 和时间 x（天）的回归
方程类型的是 （ ）
A. y bx a B. 2y ax
C. lny a x b D. xy a b
7.已知 0, 0a b , 且 2 4a b , 则 1
2 4
a
b a
的最小值是 （ ）
A. 1
8
B. 1
4
. C. 1
2
D. 1
8.若抛物线 2 4y x 上一点 M 到焦点 F 的距离为 5, MN 垂直于 y 轴, N 为垂足,则 MNF
的外接圆的周长为 （ ）
A. 5 17
4
B. 5 17
2
C. 5 17 D. 85
二、选择题 : 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求. (山东新高考:全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分.
其他八省新高考 : 全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. )
9.已知平面四边形 , 3 ,| | 1ABCD AB DC CD , 且 0AB AD ，动点 P 满足
(0 1)AP AD , 则以下各数可以作为 ( 1)PB mPC m ∣ 的值的是 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D.6
10.如图,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 2 2 2AA AB AC ，AB AC , 点 ,E F 分别为
1,AA BC 的中点,则 （ ）
A. / /AF 平面 1B CE
B. 1AF B C
C. 1 1B C 与 CE 所成角的大小为 60
D. 三棱锥 1B B CE 的体积为 2
3
11.已知 , ,A B C 为 ABC 的三个内角,且 , ,A B C 成等差数列,
( ) sin cos 2sin( )cosf x x x x B x , 则 （ ）
A. 函数 ( )f x 的最小正周期为
B. 函数 ( )f x 的最小值为 3
C. 函数 ( )f x 在 0, 2
上单调递增
D. 直线
2x 为函数 ( )f x 的图像的一条对称轴
12.已知函数 ( )f x 对于任意 x R 都有 ( ) ( ) 0f x f x 成立,且当 0x 时,
1( ) e ( 2)xf x x ,则下列命题正确的是
（ ）
A. (1) 1f
B. ( ) 0f x 的解集为 ( 2,0) (2, )
C. 函数 ( )f x 既无最大值也无最小值
D. 若函数 ( ) ( )g x f x a 有三个零点,则实数 a 的取值范围为 ( 2 ,2 )e e
三、填空题 : 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知数列 na 的首项为 11, n na a n ,则 2021a _______________________.
14. 设 曲 线 3( ) ln 2f x x x 在 1x 处 的 切 线 为 l , 则 直 线 l 在 y 轴 上 的 截 距 为
________________________.
15. 已 知 双 曲 线 C 的 方 程 为 2 2 2( 4) 4mx m y m m , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为
_______________________.若双曲线 C 的离心率的最小值为 2 , 则 m 的最大值为
_______________________.
16.已知四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 4 的正方形,侧面 PAD 底面 ABCD , 且
5PA PD , 则以点 P 为球心, 2 为半径的球被底面 ABCD 截得的平面图形的面积为
________________________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）在① cos 3 sin ,a a C c A ② 3 ,a b c a b c ab
③ ( )sin( ) sin sina b B C b B c C 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知锐角三角形 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 3ABCS ,求 a 的取值范
围.
注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.
18. (12 分)在数列 na 中,已知 1 0a ,且 1 ( 1) 1n nna n a .
(1)求数列 na 的通项公式.
(2)求证 1 2
2: 1.2 2 2
n
n
aa a
19. (12 分) 如图,在三棱台 1 1 1ABC A B C 中,侧面 1 1ABB A , 1 1 1 1,BCC B ACC A 均为等腰梯形,
上、下底面均为等边三角形, 且 1 1 12 2 2 4.BC B C BB
(1)证明 1: AC BB .
(2)求直线 1 1A C 与平面 1ABC 所成角的正弦值.
20. (12 分)某乡镇加大投资建设美丽乡村,大力发展乡村旅游产业,显著提高了农民收入为
了提升旅游质量,打造特色旅游品牌,镇政府聘请有关专家和环保部门工作人员 50 人,
对 A,B 两个特色旅游村进行评价(满分 100 分),并得到 A 村评价分数 (单位:分)的频
数
分布表和 B 村评价分数的频率分布直方图,如下:
A 村评价分数的频数分布表
B 村评价分数的频率分布直方图
有关专家与环保部门工作人员对旅游村的评价分数的规定如下：
等级越高旅游资源开发越好,如 II 级好于 I 级.
(1) 估计 A 村评价分数的众数,并求 a 的值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表).
(2) 从参与评价的 50 人中随机抽取 1 人,估计该人对 A 村评价分数等级比 B 村评价分
数等级高的概率.
( 3 ) 以评价分数为依据,比较 A,B 两村旅游产业发展质量情况.
21. (12 分) 已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a b
a b
的焦点为 1 2( 2,0), ( 2,0)F F , 点 ,A B 是
C 上异于上、下顶点的两动点.当 2, ,A F B 三点共线时, 1ABF 的周长为 4 3 .
(1)求C 的标准方程.
(2)设 O 为原点,若点 D 满足四边形 OADB 为平行四边形, 且 2 2| | | | 8AB OD , 证明直
线 ,OA OB 的斜率之积的平方为定值.
22. ( 12 分 ) 已知函数 ( ) ln ( 0)f x x ax a .
(1)若函数 ( )f x 的最大值为 2 ,求 a 的值.
(2)若 2 3( ) ( ) 2g x f x ax , 且 ( )g x 的极大值点为 1x ,
求证 1: 2ln 2.g x
参考答案及深度解析
数学（六）
一、1. B【命题意图】本题考查集合的交集、一元二次不等式与绝对值不等式的解法,体现
了数学运算的核心素养.
【解析】因为 { || 1 2} { 2 1 2} | | 1A x x x x x x ∣ ∣
* 2 *3}, 2 3 0 ( 3)( 1) 0B x x x x x x N N∣ ∣
* 1 3 {1,2,3}x x N∣ ,所以 {1,2}A B . 故选 B .
2. B【命题意图】本题考查共轭复数的概念和复数的运算,体现了数学运算的核心素养.
【解析】因为 (1 i) i i1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
a a a a a a 和1 ib 互为共轭复数,所以
1,2
,2
a
a b
所以 2,
1,
a
b
所以 2 ( 1) 1.a b 故选 B.
3. A【命题意图】本题考查充分条件、必要条件的判断,体现了逻辑推理的核心素萊.
【 解 析 】 由 2 2ln 1 ln 1x y , 得 2 21 1x y , 即 2 2x y . 若 x 0y , 则
2 2x y ,所以 p 是 q的充分条件.取 2, 1x y ,则 2 2x y 成立,但 0x y 不成立,
所以 p 不是 q的必要条件. 所以 p 是 q的充分不必要条件. 故选 A.
4. D【命题意图】本题考查圆的弦长问题,体现了数学运算、直观想象等核心素养.
【 解 析 】 设 圆 C 的 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为 d , 圆 C 的 半 径 为 R . 由 题 意 可 知
2
2 3 .2 2
Rd R R
将 2 2 2 3 0x y x 化成圆的标准方程为
2 2( 1) 4x y , 所 以 圆 C 的 圆 心 为 (1,0) , 半 径 2R , 所 以 3 32d R , 所 以
2
| 0 2 | 3
1
a a
a
, 解得 2
2a . 故选 D.
5. C【命题意图】本题考查条件概率、组合,体现了数学运算、逻辑推理等核心素美.
【解析】由题意可得
2 2 1 1
8 2 2 6
3 3
9 9
C C C C( ) , ( )
C C
P A P AB , 所以
2 1
12 2
63 2 1 1
9 2 2 6
2 2
8 8
3
9
( ) 13( ) .( ) 28
C C C
C C C CP ABP B A P A C C
C
∣ 故选 C
6.C【命题意图】本题考查散点图与回归方程的拟合，体现了数学运算、数据分析等核心素
养.
【解析】由散点图中点的分布可知,所有的点分布在一个对数 函数的图像附近,故最适宜
作为提速车辆所占的百分比 y和时间 x (天)的回归方程类型的是 C.
7. A 【命题意图】本题考查利用基本不等式求最小值,考查转化与化归思想，体现了数学运
算、逻辑推理等核心素养.
【解析】设 1
2 4
at b a
, 则由 0, 0, 2 4a b a b ,得 1
2t b
4 4 4 1 4 1 11 ( 4 2 ) 14 4 2 4 2 8
a a ba a b a b
1 8 4 1 8 4 14 1 1 5 2 1 (58 4 2 8 4 2 8
b a b a
a b a b
4) 11 8
, 当且仅当 8 4
4 2
b a
a b
, 即 4
3a b 时取 “ ”, 即 1
2b
4
a
a
的最小值是 1
8
. 故选 A.
8. A 【命题意图】本题考查抛物线的定义、标准方程及其筒单几何性质, 正、余弦定理,
同角三角函数的基本关系,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
【解析】由题意,得抛物线的焦点坐标为 (1,0) .设 0 0,M x y , 则 0| | 1 5MF x ,所以
0 4x ,所以 0 4,| | 4.y MN 又 MF 2 25,| | 1 | 4| 17NF , 所以在 MNF 中,
由余弦定理, 得
2 2 2| | | | | |cos 2 | | | |
MN MF NFNMF MN MF
2 2 24 5 ( 17) 3
2 4 5 5
则 4sin 5NMF , 则 MNF 的外接圆半径
1 17 5 17
42 8
5
r , 故 MNF 的外接圆的周
长为 2 r 5 17 5 172 .8 4
故选 A .
二、9.CD 【命题意图】本题考查平面向量的运算、向量的模,考查数形结合思想,体现了数
学运算、直观想象等核心素养.
【解析】 3 , / / . 0,AB DC AB DC AB AD AB AD
四边形 ABCD为直角梯形, 且 3 3.AB CD 以 A 为原点,分别以 ,AB AD 所在直线为 x
轴、 y轴建立平面直角坐标系,如图.
设 AD b , 则 (3,0), (1, )B C b ,
(0, ), (3, ), (1P b PB b PC ),b b
(3, )PB mPC b (1, ) (3 , ( ))m b b m b m m
2 2 2| | (3 ) ( ) (0,1)PB mPC m b m m
,
2| | (3 ) 3PB mPC m m
,当且仅当 0m m , 即
(0,1)1
m
m
时 取 1, 3 4.m m “ ” 当 22, 3m 时 , | | 5;PB mPC 当
33, 4m 时,| | 6.PB mPC 故选 CD.
10. ABC【命题意图】本题考查直线、平面位置关系的判定,异面直线所成的角,三棱锥的体
积,体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.
【解析】对于 A:如图,取 1B C 的中点 D ,连接 ,DE DF
则 DF 1
1 .2 B B AEDF为平行四边形，
AF ∥ .DE 又 AF 平面 1 ,B CE DE 平面
1 , / /B CE AF 平面 1B CE , 故 A 正确. 对于 B:方法一 由 ,AB AC F 为 BC 的中点,得
.AF BC 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 为 直 三 棱 柱 , 1BB 平 面 .ABC AF 平 面
1, .ABC AF B B 又 1B B ⋂
1,BC B BB 平面 1 1BB C C , BC 平面 1 1 ,BB C C AF 平面
1 1 1.BB C C B C 平面
1 1 1,BB C C AF B C , 故 B 正确.
方法二 在 1B CE 中,由 E 为 1A A 的中点及 AB AC 易得 1 .B E EC 又 D 为 1B C 的中
点, 1DE B C . 由 A 知 / /DE AF , 1AF B C , 故 B 正确.
对于 C :由 1 1/ /BC B C , 得 BCE 即为 1 1B C 与 CE 所成的角.
1, , 2.AB AC AB AC BC 又 CE EB
2 2 2, , 60AB AE BE EC BC BCE ,即 1 1B C 与 CE 所成角的大小为 60 ,故
C 正确.
对于 D: 方法一 / / ,AF DE AF 平面 1 1 ,BB C C DE 平面 1 1 .BB C C
又
1 1
2 1,2 3B B CE E B BC
AB ACDE AF V VBC
.
1BC
1 1 2 12 23 2 2 3BS DE , 故 D 错误.
方法二 1 1 1 1 1 1 11 1
1 11 1 22 3B B CE ABC B C B AEC B ECCV V V V
1 1 1 11 1 1 (2 1) 1 12 3 2 3
, , 故 D 错误.选 ABC.
11. AD【命题意图】本题考查等差数列的概念、二倍角公式、两角差的正亥公式、三角函数
的图像和性质,体现了数学运算、直观想象等核心素养.
【解析】 , ,A B C 成等差数列, 2 .B A C 又 A B C ,
( ) sin cos 2sin cos sin cos3 3B f x x x x x x x
21 3 3 32 sin cos cos 3cos cos2 , ( )2 2 2 2x x x x x f x
的最小正周期为
2 , A2
正确. 1 cos2 1x ,
3 3 3 3 3cos 2 , 0 cos 2 32 2 2 2 2x x ,即 0 ( ) 3, Bf x 错误.令
2 2 2 2 ,k x k k Z , 则
2
, , ( )k x k k f x Z 的 单 调 递 增 区 间 为
, , , C2k k k Z 错误.令 2 ,x k k Z , 则 x , , ( )2
k k f x Z 的图像的对称
轴为直线 , .2
kx k Z 当 k 1 时, , D2x 正确. 故选 AD .
12. BC【命题意图】本题考查函数的单调性、奇偶性,函数的零点，利用导数研究函数的最
值，考查转化与化归思想、属性集合思想,体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心
素养.
【解析】 x R 都有 ( ) ( ) 0, ( )f x f x f x 是奇函数,
1 1(1) ( 1) e ( 1 2) 1,Af f 错误.当 0x 时， 1e 0x ,当 2x 时,
( ) 0f x ,当 2 0x 时， ( ) 0.f x 根据奇函数的性质,得当 0 2x 时, ( ) 0f x , 当
2x 时, ( ) 0f x .故 ( ) 0f x 的解集是 ( 2,0) (2, ), B 正确. 当 0x 时,对函数
1( ) e ( 2)xf x x 求导,得 1( ) e ( 3)xf x x . 当 3x 时, ( ) 0f x , 当 3 0x 时，
( ) 0, ( )f x f x 在 ( , 3) 上 单 调 递 减 , 在 ( 3,0) 上 单 调 递 增 , 当 0x 时 ，
min( ) ( 3)f x f 3 1 2e ( 3 2) e . 当 0, 0x x 时， ( ) 2e.f x 根据奇函数的
性质,得当 0x 时， 2
max( ) e , 0f x x 时, 2( ) 2e. ef x 22e,e 2e, 函数 ( )f x
既无最大值也无最小值, C 正确.令 1 2( ),y f x y a , 则 ( ) ( )g x f x a 的零点个数即函
数 1y ( )f x 与 2y a 图像的交点个数.由 C 的分析知,当 a 22e, e ⋃ 2e ,2e 时,直线
2y a 与 1 ( )y f x 的图像有一个交点,即函数 ( )g x 有一个零点, D 错误. 故选 BC.
三、13.1 011【命题意图】本题考查数列的递推公式、等差数列的判定与通项公式，体现了
数学运算、逻辑推理等核心素养.
【解析】 1n na a n ① 1 2, 1n na a n ②. ②-①,得 2na
1 3 51, , , ,na a a a 是首项为 1 , 公差为 1 的等差数列，
2021 1
2021 1 1 1 1 1010 10112a a
14. -3 【命题意图】本题考查导数的几何意义、直线的纵截距, 体现了数学运算、直观想
象等核心素养.
【解析】由 3( ) ln 2f x x x , 得 2 1( ) 3f x x x
,所以曲线 ( )f x 在 1x 处的切线的斜率
为 (1) 2.f 又 (1) 1f ,所以切线 l 的方程为 1 2( 1).y x 令 0x ,则 3y , 即切
线 l 在 y 轴上的截距为-3.
15. ( 4,0) 3 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，体现了数学运
算、逻辑推理等核心素养.
【解析】 2 2( 4) ( 4)mx m y m m 为双曲线 C 的方程,
0m 且
2 2
4, 1,. ( 4) 04
x ym m mm m
,即 4 m 0. 4 0,m 双曲线 C
的焦点在 x 全上, 4 2c m m .
双曲线的离心率 2
4 4
ce
m m
, 则 2 2, 0
4
m
m
4 1, 4 3.m 故 m 的最大值为 3.
16. 3
2
【命题意图】本题考查面面垂直的性质定理、球的截面问题,体现了逻辑推理、数
学运算、直观想象等核心素养.
【解析】如图,取 AD 的中点 O , 连接 PO ,则 PO AD . 又平面 PAD 平面 ABCD ,平
面 PAD ⋂平面 ,ABCD AD PO 平面 ,PAD PO
平面 ABCD .由 5, 4PD AD ,得 PO
2
2 2 2 1
2PD DO PD AD
2 2( 5) 2 1. 可知以点 P 为球心, 2 为半径的球被底面 ABCD 截得的平面图形是以 O
为圆心, 2 22 1 3 为半径的半圆,截得的平面图形的面积为 21 3( 3)2 2
.
四,17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式、诱导公式、同角三
角函数的基本关系、两角差的正弦公式,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
【解】选择条件①. cos 3 sina a C c A ,
由正弦定理,得sin sin cos 3sin sin .A A C C A
0 , sin 02A A ，
1 cos 3sin , 3sin cos 1C C C C ， （2 分）
3 1 1 1sin cos , sin2 2 2 6 2C C C
.
0 , , .2 6 6 3C C C （4 分）
1 1 3sin 3, 4.2 2 2BCS ab C ab ab （5 分）
ABC 为锐角三角形, 且
3C ,
2 20, , .3 2 6 3A B B
又 30 , , tan2 6 2 3B B B . （6 分）
由正弦定理
sin sin
a b
A B
, ,得 sin
sin
b Aa B
,
2
3 12 4 cos sinsin 2 2 2 33 2sin sin tan
B Bab B
a B B B
， （8 分）
22 8, 2 2 2a a ,
即 a 的取值范围为 ( 2,2 2). （10 分）
选择条件②.
由 3 ,a b c a b c ab 得 2 2 2 2 22a b c a b ab c
2 2 23 ,ab a b c ab . （2 分）
则由余弦定理,得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
.
0 ,2 3C C . （4 分）
以下解法同选择条件①的.
选择条件③.
,A B C B C A ,
结合 ( )sin( ) sin sina b B C b B c C , 得 ( )sina b A b .
sin sinB c C .
由正弦定理,得 2 2( )a b a b c , 即 2 2 2a b c ab . （2 分）
则由余弦定理,得
2 2 2 1cos 2 2 2
a b c abC ab ab
.
0 ,2 3C C . （4 分）
以下解法同选择条件①的.
18.【命题意图】本题考查数列的通项公式、前 n 项和,体现了数学运算、逻辑推理等核心素
养.
(1) 【 解 】 因 为 1 ( 1) 1n nna n a , 给 等 号 两 边 同 时 除 以 1n n 并 整 理 , 得
1 1 1 1
1 ( 1) 1
n na a
n n n n n n
， （2 分）
所以 1 1 2 3 21 1 1 1, , ,1 1 1 2 2 1 3 2
n n n na a a a a a
n n n n n n n n
2 11 1 1 1,2 3 2 1 1 2
a a .
累加, 得 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 3 2 1
na a
n n n
1 1 1 111
n
n n n n
. （5 分）
又 1 0a , 所以 1.na n （6 分）
(2)【证明】设 1 2
22 2 2
n
n n
aa aS ,
则 2 3 1
1 2 2 1
2 2 2 2n n n
n nS
①.
所以 3 4 1
1 1 2 2 1
2 2 2 2 2n n n
n nS
②. （8 分）
①-②,得 2 3 4 1
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2n n n
nS
3 2
2 1
1 111 12 2
12 21 2
n
n
n
1
1 1.2 2n
n
（11 分）
所以 11 1.
2n n
nS （12 分）
19.【命题意图】本题考查线线垂直的证明、线面教的求法，考查转化与化归思想，体现了
直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
方法一 (1)【证明】如图 (1), 取 BC 的中点 D ,
连接 1 .C D 在三棱台 1 1 1ABC A B C 中,
/ /BD 1 1B C 且 1 1BD B C ，
所以四边形 1 1BDC B 为平行四
边形, 所以 1 1 1 1/ / , .BB C D BB C D （1 分）
又侧面 1 1BCC B 为等腰梯形, 1 1 12 2 2 4BC B C BB ,
所以 1 12, 2CD C D CC ,
所以 2 2 2
1 1CD C D CC ,所以 1 1C D CC ,所以 1 1BB CC . （2 分）
同理可得 1 1.BB AA （3 分）
根据三棱台的概念可知,直线 1AA 与 1CC 相交, 所以 1BB 平面 1 1.ACC A 又 AC 平面
1 1ACC A ,所以 1.AC BB （5 分）
(2)【解】如图(1)，分别取 1 1,AB A B 的中点 , ,E F 连接 1, ,CE C F EF .
由三棱台的性质可知,直线 EF 与 1CC 相交,所以 1, , ,E F C C 四点共面.
因为上、下底面均为等边三角形,所以 1 1 1,CE AB C F A B , 且
12 3, 3CE C F .
因为点 ,E F 分别为 1 1,AB A B 的中点,侧面 1 1ABB A 为等腰梯形, 所以 .EF AB （6 分）
又 EF ⋂CE E ,所以 AB 平面 1 .EFC C 又 AB 平面 ABC , 所以平面 ABC 平面
1 .EFC C 过点 1,F C 分别作 1,FM CE C N CE ,垂足分别为 ,M N 则 FM 平面 ABC ,
且 1FM C N .因为 1 3ME CN CE C F ,所以 2 2EF MF
2 2 2 2 2 2
1 1 1 ( 2) 3C C C N MF MF ,解得 MF 6
3
, 则
3
3ME . （8 分）
以 E 为原点 ,分别以 ,EB EC
的方向为 x 轴、 y 轴的正方向,建立如图(1)的空间直角坐
标系，则 1
4 3 6( 2,0,0), (2,0,0), (0,2 3,0), 0, ,3 3A B C C
所以
1
4 3 6(4,0,0), 2, ,3 3AB AC
. （9 分）
设平面 1ABC 的法向量为 ( , , )m x y z ,
1
0,
0,
AB m
AC m
即
4 0,
4 3 62 0.3 3
x
x y z
令 2y ,则 4z ,所以 (0, 2, 4).m (10 分)
因为 1 1 / /A C AC ,
所以直线 1 1A C 与平面 1ABC 所成的角和直线 AC 与平面 1ABC 所成的角相等. （11 分）
设直线 AC 与平面 1ABC 所成的角为 . 因为 (2,2 3,0)AC ,所以
2 6 3sin 6| || | 4 3 2
AC m
AC m
;
故直线 1 1A C 与平面 1ABC 所成角的正弦值为 3 .6
（12 分）
方法二 (1)【证明】如图(2)取
1 1A C 的中点 ,M AC 的中点 N ,连接 1, , .MN B M BN
由棱台的性质知 1 1
1 ,2 B M BN B ,
, ,M N B 四点共面.因为 ABC 为正三角形,
N 为 AC 的中点,所以 AC BN . （3 分）
在等腰梯形 1 1ACC A 中, MN AC .
又 MN ⋂ BN N ，
所以 AC 平面 1BNMB .
又 1BB 平面 1BNMB , 所以 1.AC BB (5 分)
(2)【解】如图 (2),延长 1 1 1, ,AA BB CC ,则三条线必交于一点,设此点为 P ,则三棱锥
P ABC 为正三棱锥.设顶点 P 在底面三角形 ABC 内的射影为点 O , 则点 O 为底面三
角形 ABC 的中心. 在底面三角形 ABC 内,过点 O 作 / /OH AC 交 BC 于点 H ,则 H 为线
段 BC 上靠近点 C 的三等分点,且 OH BN .连接 .OP 以 O 为原点,直线 OB 为 x 轴,直
线 OH 为 y 轴,直线 OP 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 4 3 ,0,03B
,
2 3 2 3, 2,0 , ,2,03 3A C
, 所以 (2 3,2,0)AB . （7 分）
由 1 1 / / / /A C AC y 轴,可取 1 1A C 的方向向量为 (0,1,0).a (8 分)
在 Rt POB 中, 1
4 32 2 2, 3PB B B OB ,
所以 2 2 2 6
3PO PB OB , 则 2 60,0, 3P
.
又 1C 为 PC 的中点,所以 1
3 6,1,3 3C
,
所以 1
3 6,3,3 3AC
.
设平面 1ABC 的法向量为 ( , , )n x y z ,
1
0,
0,
n AB
n AC
所以
2 3 2 0,
3 63 0,3 3
x y
x y z
令 1x ,则 3, 4 2y z , 所以 (1, 3,4 2).n （10 分）
设直线 1 1A C 与平面 1ABC 所成的角为 ,则 sin cos , I a n∣
1 3 3
61 1 3 32
∣ .
故直线 1 1A C 与平面 1ABC 所成角的正弦值为 3
6
. （12 分）
20.【命题意图】本题考查频数分布表、频率分布直方图的应用, 独立事件的概率, 众数、
概率的估计,体现了数枯分析、数学建模、数学运算等核心素养.
【解】(1) 因为 A 村评价分数频数最多的出现在[80,85) , 所以估计 A 村评价分数的众数
为 80 85 82.5(2
分 ). （1 分）
由 5 (0.012 2 0.020 0.024 2 0.036 0.040) 1a , 解得 0.028a . (3 分)
(2)设从参与评价的 50 人中随机抽取 1 人,该人"对 A 村评价分数等级为 II "的事件为
2A , 对 A 村评价分数等级为 III" 的事件为 3;A “对 B 村评价分数等级为 I ”的虽件为
1B , "对
B 村评价分数等级为 II"的事件为 2B .
由题表可知, 2 3
10 14 6 4 10.6, 0.1.50 50P A P A (4 分)
由题图可知, 1 (0.012 0.020 0.028) 5 0.3P B ,
2 (0.036 0.040 0.024) 5 0.5.P B （5 分）
A 村评价分数等级比 B 村评价分数等级高的概率为
2 1 3 1 3 2 2 1 3P A B P A B P A B P A P B P A
1 3 2 0.6 0.3 0.1 0.3 0.1 0.5 0.26P B P A P B
所以该人对 A 村评价分数等级比 B 村评价分数等级高的概率估计值为0.26 . （8 分）
(3) A 村评价分数的平均数
2 5 8 10 14 662.5 67.5 72.5 77.5 82.550 50 50 50 50 50Ax
4 187.5 92.5 97.5 79.350 50
分 . （9 分）
B 村评价分数的平均数
B 5 [0.012 (62.5 97.5) 0.020 67.5 0.028 (72.5x
92.5) 0.036 77.5 0.040 82.5 0.024 87.5] 80.4 分 . （11 分）
因为 Bx x ,所以从评价分数来看, B 村旅游产业发展质量要高于 A 村. （12 分）
21.【命题意图】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,考查转化
与化归思想、数形结合思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
(1)【解】由题意可知 2c .因为当 2, ,A F B 三点共线时, 1ABF 的周长为 4 3 , 所以
4 4 3a , 所以 3a ， (2 分)
所以 2 2 2 1b a c . （3 分）
故 C 的标准方程
2
2 1.3
x y （4 分）
(2)【证明】设 1 1 2 2, , ,A x y B x y , 则 2 2 2 2
1 1 2 23 3, 3 3x y x y ,
所以 2 2 2 2
1 1 2 23 3 , 3 3x y x y ,两式相乘，得 2 2
1 23 3x x 2 2
1 29y y ， （6 分）
所以 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 23 9 9x x x x y y .① （7 分）
因为四边形 OADB 为平行四边形,所以 OD OA OB , 所以
2 2 2 2 2 2| | | | | | | | ( ) ( )AB OD AB OD OB OA OA OB
2 2 2 2 2 2
1 1 2 22 | | | | 2 8OA OB x y x y , （9 分）
所以 2 2 2 2
1 1 2 2 4.x y x y
又因为 2 2 2 2
1 1 2 2
1 11 , 13 3y x y x ,
所以 2 2
1 2
2 23 x x , 所以 2 2
1 2 3.x x ② （10 分）
将②代入①,得 2 2 2 2
1 2 1 29x x y y , 所以
2 2
1 2
2 2
1 2
1
9
y y
x x
, 即
2
1 2
1 2
0 0 1
0 0 9
y y
x x
. （11 分）
故直线 ,OA OB 的斜率之积的平方为定值. （12 分）
22.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、取值,不等式的证明,考查分
类讨论思想、转化与化归思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
【解】由题意得 1 1( ) ( 0)axf x a xx x
. （1 分）
0a , 令 ( ) 0f x , 得 1x a
,
当 10,x a
时, ( ) 0f x , 此时函数 ( )f x 单调递增;
当 1 ,x a
时, ( ) 0f x , 此时函数 ( )f x 单调递减. （3 分）
max
1 1( ) ln 1 2f x f a a
,解得 3ea . （4 分）
(2)【证明】 2 23 3( ) ( ) ln ( 0)2 2g x f x ax x a x x x ,
21 2 1( ) (2 1) ax axg x a xx x
. （5 分）
令 2( ) 2 1h x ax ax , 则函数 ( )h x 的图像的对称轴为直线 1
4x .
可得关于 x 的方程 22 1 0ax ax 的 2 8 .a a （6 分）
①当 0 ,即 0 8a 时, ( ) 0h x
恒成立,故 ( ) 0g x
恒成立, 当且仅当 18, 4a x
时, ( ) 0g x , ( )g x 在 (0, ) 上单调递增,此时 ( )g x 无极大值.
② 当 0 , 即 8a 时 1 1 8, (0) 1 0,2 4 8
ah h h 0, 函 数 ( )h x 在 区 间
10, 2
上有两个零点 2 3, .x x （8 分）
不妨设 2 3
1 10 4 2x x ,
则当 20 x x 时, ( ) 0h x ,此时 ( ) 0;g x 当 2 3x x x 时, ( ) 0h x ,此时 ( ) 0;g x 当
3x x 时, ( ) 0h x , 此时 ( ) 0.g x
( )g x 在 20, x 上单调递增,在 2 3,x x 上单调递减,在 3,x 上单调递增.
函数 ( )g x 有唯一的极大值点,为 2x , 且 2
10 4x .
由题意知 1 2x x . 1 2
1 1
10,
2
h x a
x x
2 1
1 1 1 1 12
11 1
1 3 1ln ln2 2 1 22
xg x x x x x xx x
. （10 分）
令 1( ) ln 2 1 2
tt t t
，
则
2
2 2 2
1 1 4 5 1 (4 1)( 1)( )
(2 1) (2 1) (2 1)
t t t tt t t t t t t
，
当 10 4t 时, ( ) 0t ,
( )t 在 10, 4
上单调递增. （11 分）
1
1 1 14( ) ln 2ln 214 4 22 14
t
，
即 1 2ln 2g x . （12 分）
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