专题四 指数函数与对数函数及函数的应用
一、单选题
1．（2021·安徽高三二模（理））函数 n xf x x a ，其中 1a ， 1n ， n 为奇数，其图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分析 f x 在 0, 、 ,0 上的函数值符号，及该函数在 0, 上的单调性，结合排除法可得出合适
的选项.
【详解】
对任意 xR ， 0xa ，由于 1n ， n 为奇数，当 0x 时， 0nx ，此时 0f x ，
当 0x 时， 0nx ，此时 0f x ，排除 AC 选项；
当 0x 时，任取 1x 、 2 0,x 且 1 2x x ，则 1 2 0x xa a ， 1 2 0n nx x ，所以 1 2f x f x ，
所以，函数 f x 在 0, 上为增函数，排除 D 选项.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数 f x 为偶函数，且 2 2f x f x ，当 0,2x
时， 4xf x ，则 2021
2f
（ ）．
A．8 B．6 C．4 D． 4 2
【答案】A
【分析】
由题意可得函数 f x 是周期函数，且周期 4T ，从而 2021 3
2 2f f
，最后根据 0,2x 时，
4xf x 求解即可.
【详解】
由 2 2f x f x ，可得 4f x f x ，
又 f x 为偶函数，
所以 4f x f x f x ，
所以 f x 是周期函数，
且周期 4T ，
所以
3
22021 2021 3 3 34 253 4 82 2 2 2 2f f f f f
．
故选 A．
【点睛】
本题主要考查函数的对称性，周期性，奇偶性等，在求解函数值时往往要利用周期性将自变量转化到已知
区间内，根据已知区间上函数的解析式求解对应的函数值即可.
3．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数 ln 2 ln 4f x xx ，则（ ）．
A． f x 的图象关于直线 3x 对称 B． f x 的图象关于点 3,0 对称
C． f x 在 2,4 上单调递增 D． f x 在 2,4 上单调递减
【答案】A
【分析】
先求出函数的定义域.
A：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；
B：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；
C：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；
D：结合 C 的分析进行判断即可.
【详解】
f x 的定义域为 2,4x ，
A：因为 3 ln 1 ln 1 3f x x x f x ，
所以函数 f x 的图象关于 3x 对称，因此本选项正确；
B：由 A 知 3 3f x f x ，所以 f x 的图象不关于点 3,0 对称，因此本选项不正确；
C： 2ln 2 ln 4 ln( 6 8)x x xf x x
函数 2 26 8 ( 3) 1y x x x 在 2,3x 时，单调递增，
在 3,4x 时，单调递减，因此函数 f x 在 2,3x 时单调递增，在 3,4x 时单调递减，故本选项不
正确；
D：由 C 的分析可知本选项不正确，
故选：A
4．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））函数 xy b a 与 logay bx 的图像在同一坐标系中可能是（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．
【详解】
令 ( ) xf x b a= × ， logag x bx ，
对于 A 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且 00 >1f b a b ，所以 log >0a b ，而 1 log 0ag b ，所
以矛盾，故 A 不正确；
对于 B 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且 00 1f b a b ，所以 log 0a b ，而 1 log >0ag b ，所
以矛盾，故 B 不正确；
对于 C 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且 00 1f b a b ，所以 log 0a b ，又 1 log 0ag b ，
故 C 正确；
对于 D 选项：由 ( ) xf x b a= × 得 >1a ，且 00 >1f b a b ，而 logag x bx 中 0 1a ，所以矛
盾，故 D 不正确；
故选：C．
5．（2021·北京高三二模）已知函数
2 2,
,
x ax x af x x a x a
，若对于任意正数 k ，关于 x 的方程 f x k
都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数 a 的个数为（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．无数
【答案】B
【分析】
分 0a 、 0a 、 0a 三种情况讨论，作出函数 f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数 a 的等式与
不等式，进而可求得实数 a 的取值.
【详解】
当 0a 时，
2 2, 0
, 0
x xf x x x
，作出函数 f x 的图象如下图所示：
由图可知，当 0 2k 时，关于 x 的方程 f x k 有且只有一个实根，不合乎题意；
当 0a 时，
2 2,
,
,
x ax x a
f x x a a x a
x a x a
，如下图所示：
函数 f x 在 , a 上单调递减，在 ,a a 上单调递增，在 ,a 上单调递增，
由题意可得 2 2 2 2 2a a a a ，解得 1a ；
若 0a ，则
2 2,
,
x ax x af x
x a x a
，如下图所示：
函数 f x 在 ,a 单调递减，在 , 2
aa
上单调递减，在 ,2
a
上单调递增，
由题意可得
2 2
2
2 2
8 0
a a a
a
，此时 a 无解.
综上所述， 1a .
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
6．（2021·北京高三二模）已知指数函数 xf x a ，将函数 f x 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐
标扩大为原来的3倍，得到函数 g x 的图象，再将 g x 的图象向右平移 2 个单位长度，所得图象恰好与
函数 f x 的图象重合，则 a 的值是（ ）
A． 3
2 B． 2
3 C． 3
3
D． 3
【答案】D
【分析】
根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数 a 的等式，进而可求得实数 a 的
值.
【详解】
由题意可得 3 xg x a ，再将 g x 的图象向右平移 2 个单位长度，得到函数 23 xf x a ，
又因为 xf x a ，所以， 23x xa a ，整理可得 2 3a ，
因为 0a 且 1a ，解得 3a .
故选：D.
7．（2021·安徽黄山市·高三二模（理））设函数
2
2
4 , 4
log , 4
x x xf x
x x
，若函数 y f x 在区间 , 1m m
上单调递减，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 2,3 B． 2,3 C． 2,3 D． 2,3
【答案】A
【分析】
先画出 f x 的图像，求出 f x 的单调区间，再结合已知条件可得 2 m 且 1 4m ，从而可求出实数 m
的取值范围
【详解】
解：函数
2
2
4 , 4
log , 4
x x xf x
x x
的图像如图所示，
函数 f x 在 ,2 以及 4, 上递增，在 2,4 上递减，
故若函数 y f x 在区间 , 1m m 上单调递减，
需满足 2 m 且 1 4m ，
即 2 3m ，
故选：A．
8．（2021·天津高三月考）已知函数
2
2
2 6,( )
,
x mx x mf x
x x m
，其中 0m ，若存在实数 k ，使得关于 x
的方程 ( ) 0f x k 恰有三个不同的实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A． , 3 B． , 3
C． 3,0 D． 3,0
【答案】B
【分析】
在平面直角坐标系内画出图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
解：当 0m 时，作出函数
2
2
2 6,( )
,
x mx x mf x
x x m
的图象如下图所示，
当 x m 时， 2 2 2 2( ) 2 6 ( ) 6 6f x x mx x m m m ，
所以若要存在实数 k ，使得关于 x 的方程 ( ) 0f x k 恰有三个不同的实数根，
则必须 2 26 ( 0)m m m ，
解得 3m ，
所以 m 的取值范围是 , 3 .
故选：B.
9．（2021·全国高三专题练习（理））设 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，且 ( 2) (2 )f x f x 时，当 [ 2,0]x
时， 2 12
x
f x
，若在区间 2,6 内关于 x 的方程 ( ) log ( 2) 0( 0af x x a 且 1)a 有且只有
4 个不同的根，则实数 a 的范围是（ ）
A． (1 ,14 ) B． (1,4) C． (1,8) D． (8, )
【答案】D
【分析】
根据已知条件判断函数周期性，结合函数性质画出函数图象，把方程根的问题转化为两个函数图象的交点
问题，再利用数形结合的思想求得参数取值范围即可.
【详解】
∵ ( )f x 是偶函数，∴ (2 ) ( 2)f x f x ，又 ( 2) (2 )f x f x ，
∴对于任意的 xR ，都有 2 2f x f x ，
所以 4 2 2 2 2f x f x f x f x ，
所以函数 f x 是一个周期函数，且 4T ，
又因为当 2 0x ， 时， 2 12
x
f x
，且函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，
若在区间 2,6 内关于 x 的方程 log 2 0af x x 恰有 4 个不同的实数解，
则函数 y f x 与 log 2 1ay x a 在区间 2,6 上有四个不同的交点，作函数 y ( )f x 和
log ( 2)ay x 的图象，如图所示，需 1a ，
又 2 2 6 1f f f ，则对于函数 log 2ay x ，
由题意可得，当 6x 时的函数值小于 1，即 log 8 1a ，由此解得 8a ，所以 a 的范围是 8, .
故选：D.
【点睛】
方法点睛：
已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法：
（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；
（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函
数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组）解出参数取值范围即可.
10．（2021·天津河北区·高三一模）已知函数
2 4 1, 0
12 , 02
x
x x x
f x
x
，若关于 x 的方程
1 0f x f x m 恰有 5 个不同的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．（1，2） B．（1，5） C．（2，3） D．（2，5）
【答案】A
【分析】
作出函数图象， 1f x 有 2 个实根，故方程 f x m 有 3 个实根，结合函数图象即可得出参数的取值
范围.
【详解】
由 1 0f x f x m ，得 1f x 或 f x m ，
作出 y f x 的图象，如图所示，由图可知，方程 1f x 有 2 个实根，
故方程 f x m 有 3 个实根，故 m 的取值范围为 1,2 .
故选：A
【点睛】
方法点睛：
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解
11．（2021·江苏淮安市·高三二模）已知函数 1( ) ln 1
xf x x
，设 0.44a f ， 34( 5)b f ， 0.225c f ，
则（ ）
A． a b c B． a c b C．b c a D． c a b
【答案】C
【分析】
由解析式可判断 ( )f x 的定义域及其对应的单调区间，利用有理数指数幂的性质判断 3 0.2 0.44( 5) ,25 ,4 的大小
关系，根据 ( )f x 的区间单调性判断函数值的大小.
【详解】
3 0.754( 5) 5 ， 0.2 0.425 5 ，
∴ 3 0.2 0.44( 5) 25 4 1 ，
由函数解析式知：( 1)( 1) 0x x ，即 ( , 1) (1, )x ，又 2( ) ln(1 )1f x x
在 (1, ) 上单调递
增，
∴b c a .
故选：C.
12．（2021·河北秦皇岛市·高三二模）为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密､解密
原理如图： x t t y 加密密钥系统 发送 解密密钥系统明文 密文 密文 明文 ，现在加密密钥为
12 ( 0, 1)xt a a a ，解密密钥为 3 5y t ，如下所示：发送方发送明文“1”，通过加密后得到密文“18”，
再发送密文“18”，接受方通过解密密钥解密得明文“49”，问若接受方接到明文“4”，则发送方发送明文为
（ ）
A． 3log 2 B． 3
3log 12
C．162 D． 3
7log 12
【答案】A
【分析】
根据题目所给数据求得 a ，由此根据接收方收到明文“ 4 ”，求得发送方发送的明文.
【详解】
由其加密原理可知当 1x 时， 18t ，从而 3a ；
12 3xt .
由解密原理可知当 18t 时， 49y ；
若接受方接到明文为“4”则有 4 3 5t ， 3t ，从而有 13 2 3x ，解得 3 3
3log 1 log 22x ，
即发送方明文为 3log 2 .
故选：A
13．（2020·湖南长沙市·长郡中学（理））某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2016
年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加12% ，则该公司全年投入
的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ）(参考数据： lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 )
A．2021 年 B．2020 年 C．2019 年 D．2018 年
【答案】B
【分析】
设第 n 年开始超过 200 万元，则 2016130 (1 12%) 200n ，然后解出不等式即可.
【详解】
设第 n 年开始超过 200 万元，则 2016130 (1 12%) 200n ，
化为 ( 2016)lg1.12 lg 2n 0.30 0.11lg1.3, 2016 3.80.05n ，
取 2020n ，因此开始超过 200 万元的年份是 2020 年
故选：B
14．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））已知 2
5 16log 3, log 9, 0.3aa b c ，则 a，b，c 的大小关
系是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
【答案】D
【分析】
利用对数运算、指数运算化简 ,b c ，结合对数函数的性质比较三者的大小关系.
【详解】
2
2
4 44log 3 log 3 log 4 1b ，所以 0 1a b ，
5 5 5
5
3 25log log log 525 3log 3 22 3 10 10 100.3 0.3 110 3 3 3
ac
，
所以 c b a .
故选：D
15．（2021·四川资阳市·高三其他模拟（文））已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 ( ) (2 )f x f x ，当 [0,1]x
时， 2 2
x
x
af x ，则 f(101)+f(105)的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】
根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由 ( ) (2 )f x f x 求得函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，由
此可计算得选项．
【详解】
解：根据题意，函数 f(x)为 R 上的奇函数，则 f(0)=0，
又由 x∈[0，1]时， ( ) 2 2
x
x
af x ，则有 f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，则有 1( ) 2 2
x
xf x ，
又由 f(﹣x)=f(2+x)，即 f(x+2)=﹣f(x)，则有 f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数，
则 1 3 1 3(101) (1) 2 , (105) (1) 22 2 2 2f f f f ，
故有 f(101)+f(105)=3，
故选：A．
【点睛】
方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：
1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；
2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和
单调性求解.
16．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））设函数 2 , 0( )
1, 0
x xf x
x
，则满足 ( 1) (2 )f x f x 的 x 的取
值范围是（ ）
A． ( , 1] B． (0, ) C． ( 1,0) D． ( ,0)
【答案】D
【分析】
作出函数的图象，结合图象可得不等关系求解.
【详解】
当 0x 时，函数 ( ) 2 xf x 是减函数，则 ( ) (0) 1f x f ，作出 ( )f x 的大致图象如图所示，
结合图象可知，要使 ( 1) (2 )f x f x ，则需
1 0
2 0
2 1
x
x
x x
或 1 0
2 0
x
x
，解得 1x 或 1 0x ，所以
0x ，
故选：D．
17．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（理））已知奇函数 y f x x R ，当 0,2x 时， 22f x x x ，
且对任意 xR 都有 2f x f x 成立.若方程 0 0f x ax a 在 0, 仅有 2 个不相等的实
根，则 a 的值为（ ）
A． 60, 12a
B． 13
13a C． 1
5a D． 6
12a
【答案】D
【分析】
利用奇函数的性质和已知 2f x f x 判断出函数的周期性，画出函数 y f x 在 0,6x 上的图
象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
解：由题意， y f x 是奇函数， 2f x f x f x
∴ 4 2f x f x f x
可得周期 4T ，
当 2,4x 时， 2 22 2( 2) ( 2) 6 8f x f x x x x x ，
当 [4,6]x 时， 2 22 4 4 10 24f x x x x x ，
作出 f x 的图象如下图所示：
由图象可知，要使 f x ax 仅有 2 个交点，
即 2 10 24x x ax 在 4,6x 只有一个解.
∴ 2 21 10 24 0a x x ，
由 0 ，即 2100 96 1 0a
解得 6
12a ，此时 24
5x 满足题意.
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是通过奇函数的性质和已知 2f x f x 求出函数的周期，进而利用数形结合
思想进行求解.
18．（2021·上海普陀区·高三二模）已知函数 3( ) 1 3
x
xf x
，设 ix（ 1,2,3i ）为实数，且 1 2 3 0x x x ．给
出下列结论：
①若 1 2 3 0x x x ，则 1 2 3
3( ) ( ) ( ) 2f x f x f x ；
②若 1 2 3 0x x x ，则 1 2 3
3( ) ( ) ( ) 2f x f x f x ．
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
【答案】A
【分析】
令 1( ) 2g x f x ，得到 g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设 1 2 30, 0, 0x x x ，结合
1 2 1 2( , ( ))A x x f x x ，利用直线 OA 的方程得到 1 2 1 2( )g x g x g x x ，进而得到
1 2 3( ) 0g x g x g x ，可判断①正确；②中，不妨设 1 2 30, 0, 0x x x ，得到点
2 3 2 3( , ( ))B x x f x x ，利用直线OB 的方程得到 2 3 2 3( )g x g x g x x ，进而得到
1 2 3( ) 0g x g x g x ，可判定②正确.
【详解】
令函数
1 3 1 3 1 1 1
2 1 3 2 2 1 32 1 3
x x
x xxg x f x ，
可得函数 g x 为单调递增函数，
又由 3 1 3 1( ) ( ) 02(1 3 ) 2 )(1 3
x x
x xg x g x
，即 ( ) ( )g x g x ，
所以函数 g x 为奇函数，图象关于点 (0,0) 对称，如图（1）所示，
①中，因为 1 2 3 0x x x ，且 1 2 3 0x x x ，则 3 1 2( )x x x ，
不妨设 1 2 30, 0, 0x x x ，
则点 1 2 1 2( , ( ))A x x f x x ，此时直线 OA 的方程为 1 2
1 2
( )f x xy xx x
，
可得 1 2 1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ),g x x g x xg x x g x xx x x x
，
则 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )g x x g x xg x g x x x g x xx x x x
，
可得 1 2 1 2( ) 0g x g x g x x ，
又由 3 1 2 1 2[ ( )] ( )g x g x x g x x ，所以 1 2 3( ) 0g x g x g x ，
即 1 2 3
1 1 1( ) 02 2 2f x f x f x ，即 1 2 3
3( ) ( ) ( ) 2f x f x f x ，所以①正确；
②中，若 1 2 3 0x x x ，不妨设 1 2 3 0x x x ，则 1 2 3( )x x x ，
不妨设 1 2 30, 0, 0x x x ，
则点 2 3 2 3( , ( ))B x x f x x ，此时直线OB 的方程为 2 3
2 3
( )f x xy xx x
，
可得 2 3 2 3
2 2 3 3
2 3 2 3
( ) ( ),g x x g x xg x x g x xx x x x
，
则 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
2 3 2 3
( ) ( ) ( )g x x g x xg x g x x x g x xx x x x
，
可得 2 3 2 3( ) 0g x g x g x x ，
又由 1 2 3 2 3[ ( )] ( )g x g x x g x x ，所以 1 2 3( ) 0g x g x g x ，
即 1 2 3
1 1 1( ) 02 2 2f x f x f x ，即 1 2 3
3( ) ( ) ( ) 2f x f x f x ，
所以②正确.
故选：A.
【点睛】
方法点拨：令函数 1( ) 2g x f x ，得到函数 g x 为递增函数，且为奇函数，求得点 1 2 1 2( , ( ))A x x f x x
和 2 3 2 3( , ( ))B x x f x x ，结合直线 OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.
19．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·高三二模（文））已知函数 2
2( ) log 16f x x mx 在[ 2,2] 上单调递减，
则 m 的取值范围是（ ）
A．[4, ) B． ( 6,6) C． ( 6,4] D．[4,6)
【答案】D
【分析】
令 2( ) 16g x x mx ，问题转化为：求 ( )g x 在[ 2,2] 上单调递减，且 ( ) 0g x 恒成立时 m 的范围.
【详解】
令 2( ) 16g x x mx ，因为 2logy x 是增函数，所以，要使 ( )f x 在[ 2,2] 上单调递减，只需 ( )g x 在
[ 2,2] 上单调递减，且 ( ) 0g x 恒成立.
故
min( ) (2) 4 2 16 0
22
g x g m
m
，解得 4 6m ．
故选：D.
20．（2021·江西南昌市·高三二模（理））已知
2 (0,1)( )
log , [1,2)a
ax xf x
x x
，
，若 ( ) 2
af x 有两解，则 a 的取值
范围是（ ）
A． 10, 2
B． 10, 2
C． (1,2] D． (1,2)
【答案】D
【分析】
首先求解 0,1x 时的实数根，再根据函数图象，判断 1,2x 时，方程有一个解时， a 的取值范围.
【详解】
由条件可知 0a 且 1a ，当 0,1x 时， 2
2
aax ，解得： 2
2x ，成立，
当 1,2x 时，若 0 1a ， log 0a x ， 02
a ， log 2a
ax ，
log 2a
ax 有解，则 1a ，
如图，
当 log 2 2a
a 时，有交点， a 越大， log 2a 越小，
2
a 越大，当 2a 时， log 2 2a
a ，
1,2a
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题考查分段函数，以及根据方程实数根的个数，求参数的取值范围，本题的关键是数形结
合分析，当 1,2x 时， log 2a
ax 有解，求参数的取值范围.
21．（2021·江西上饶市·高三二模（文））已知函数 21( ) ln 12f x x x ，若 ( ) 0f x kx 恰有 3 个正整数
解，则 k 的取值范围为（ ）
A． ln 2 7 ln3 7,2 4 3 6
B． ln 2 7 ln3 7,2 4 3 6
C． ln 2 7 ln3 7,2 4 3 6
D． ln 2 7 ln3 7,2 4 3 6
【答案】B
【分析】
不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可.
【详解】
解：由题意， ( ) 0f x kx 恰有 3 个正整数解，转换为 lny x 的图象与 21 12y x kx 的图象交点问题，
作出 lny x 和 21 12y x kx 的图象，如图：
要使 21ln 12x x kx 恰有 3 个正整数解，
则需满足：
9ln3 1 3k2
ln 4 7 4k
，
解得： ln 2 7 ln3 7
2 4 3 6k ，
故选：B．
【点睛】
方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.
22．（2021·全国高三专题练习（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等
与亮度满足 1
2 1
2
5 lg2
Em m E
，其中星等为 km 的星的亮度为 kE （ 1k 、 2 ）.已知太阳的星等是 26.7 ，
天狼星的星等是 1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A． 0.110 B． 0.110
C． lg0.1 D． 10.110
【答案】D
【分析】
由题意得到关于 1 2,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
设太阳的星等是 1 26.7m ，天狼星的星等是 2 1.45m ，
由题意可得： 1
2
51.45 ( 26.7) lg2
E
E
，
∴ 1
2
50.5lg 10.15
E
E
，则 10.11
2
10E
E
，
故选：D
23．（2021·江西南昌市·高三二模（理））已知 2( ) 1xf x e
，则“ 1 2 0x x ”是“ 1 2 2f x f x ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
利用等价转化的方式探讨“ 1 2 0x x ”与“ 1 2 2f x f x ”的关系而得解.
【详解】
因为 2( ) 1xf x e
，
所以 1 11 2 2 1 1 2 1 1
2 20 1 1x xx x x x f x f x f x f x e e
1 1 1 1
1 1 1 1
2( 1) 2( 1) 2(2 ) 2( 1)( 1) 2
x x x x
x x x x
e e e e
e e e e
，
从而有“ 1 2 0x x ”是“ 1 2 2f x f x ”充要条件.
故选：C.
24．（2021·陕西汉中市·高三二模（文））在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当
基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，
当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传
染病的基本传染数为 0R ，1个感染者在每个传染期会接触到 N 个新人，这 N 个人中有V 个人接种过疫苗
（ V
N
称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为 0R N VN
．已知新冠病毒在某地的基本传染数 0 5R ，
为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．50% B． 60% C． 70% D．80%
【答案】D
【分析】
根据已知条件可得出关于 V
N
的不等式，由此可得出结果.
【详解】
由题意可得 5 5 1 1VN VN N
，解得 4
5
V
N
，因此，该地疫苗的接种率至少为80%.
故选：D.
25．（2021·陕西汉中市·高三二模（文））定义域为 R 的函数 2log 4 4( ) 1 4
x xf x x
，
， ，若关于 x 的方程
2 0f x mf x n 恰有 5 个不同的实数解 x1，x2，x3，x4，x5，则 1 2 3 4 5f x x x x x （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
设 ( )t f x ，作出函数 ( )f x 的图象，根据关于 x 的方程 2 0f x mf x n 恰有 5 个不同的实数解，得
到t 的取值情况，利用对称性，即可求出结论．
【详解】
设 ( )t f x ，则关于 x 的方程 2 0f x mf x n 等价为 2 m n 0t t ，
作出 ( )f x 的图象如图：
由图象可知当 1t 时，方程 ( ) 1f x 有三个根，
当 1t 时方程 ( )f x t 有两个不同的实根，
若关于 x 的方程 2 0f x mf x n 恰有 5 个不同的实数解 1x ， 2x ， 3x ， 4x ， 5x ，
则等价为 2 m n 0t t 有两个根，一个根 1t ，
另外一个根 1t ，
不妨设 1 2 3 4 5x x x x x ，
对应的两个根为 1x 与 5x ， 1x 与 2x ，分别关于 4x 对称，
则 3 4x ，
则 1 5 8x x ，且 2 4 8x x ，
则 1 2 3 4 5 20x x x x x ，
则 1 2 3 4 5 20 4f x x x x x f ，
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查方程根的个数的应用，利用换元法将方程转化为一元二次方程，根据一元二次
方程根的分布是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．
26．（2021·天津和平区·高三二模）已知函数 ( )f x 满足对任意的 xR 都有 f(x+2)=f(x)，且当 1 1x
时.
3,( )
,x
x x Zf x
e x Z
，函数
log , 0
( ) 1 , 0
a x x
g x
xx
，若关于 x 的方程 ( ) ( )f x g x 在[ 1, ) 恰有 5 个互
异的实数解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． 7,9 B． 1 1, 7,99 7
C． 1 1, 9,1111 9
D． 1 1 1 1, , 9,10 10,1111 10 10 9
【答案】D
【分析】
方程 ( ) ( )f x g x 在[ 1, ) 恰有 5 个互异的实数解可转化为函数 ( )f x 与 ( )g x 的图象有 5 个交点，利用图
象数形结合，建立不等式求解即可.
【详解】
因为 f(x+2)=f(x)，
所以 ( )f x 的周期 2T ，
作出
3,( )
,x
x x Zf x
e x Z
与
log , 0
( ) 1 , 0
a x x
g x
xx
的图象如下，
当 0x 时， ( )f x 与 ( )g x 无交点，
故 5 个交点同在 y 轴的右侧，
由图象可知， ( )y f x 与 ( )y g x 在 (0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9) 这些区间中共
有 5 个交点，
故 ( )y g x 会在 (9,10) 或 (10,11]内与 1y 相交
需满足 log 9 1
log 10 1
a
a
或 log 9 1
log 11 1
a
a
解得
11 0 9
11 10 110
a a
a a
或
或
或
19 0 9
11 11 111
a a
a a
或
或
，
即 1 1
11 10a 或 1 1
10 9a 或9 10a 或10 11a ，
综上可知 1 1 1 1, , 9,10 10,1111 10 10 9a
，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：根据方程的根的个数，转化为图象交点的个数，利用数形结合的思想，根据交点个数建立不
等式，是解决本题的关键所在，属于较难题目.
27．（2021·陕西西安市·高三月考（文））已知函数 lnf x x＝ ， 2
0,0 1,
( ) 4 2, 1
x
g x x x
若关
于 x 的方程 f x m g x 恰有三个不相等的实数解，则 m 的取值范围是( )
A． 0,ln 2 B． 2 ln 2,0 C． 2 ln 2,0 D． 0,2 ln 2
【答案】C
【分析】
设 ( ) ( )h x f x m ，则 ( )h x 是 ( )f x 的图象上下平移得到，分析函数 ( )h x 与 ( )g x 的图象，利用图象关系确
定两个函数满足的条件进行求解即可．
【详解】
解：设 h(x)＝f(x)+m，
作出函数 f(x)和 g(x)的图象如图：
则 h(x)是 f(x)的图象上下平移得到，
由图象知 B 点的纵坐标为 1 1 ln1h f m m m ＝ ，
A 点的纵坐标为 2 2g ，
当 x＝2 时， 2 ln 2 ,h m
1 0g ＝ ，
结合对数函数和二次函数的图象与性质，可知要使方程 f x m g x ＝ 恰有三个不相等的实数解，必须且
只需 h x 与 g x 的图象有三个不同的交点，必须且只需
1 1
2 2
h g
h g
，即 0
ln 2 2
m
m
,解得
2 ln 2 0m ，
即实数 m 的取值范围是 2 ln 2,0 ,
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的图像和性质的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握
水平和分析推理能力.关键在于数形结合思想的运用，其中在 x≥2 的部分，二次函数部分增长率越来越大，
对数型函数部分增长率越来越慢，起到了重要的作用.
28．（2021·陕西西安市·高三一模（文））已知 2 5
1 log 3, 2log 2, 0.752a b c ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ）
A． c a b B． a b c C．b c a D．b a c
【答案】D
【分析】
利用换底公式将 a，b，c 转化为
2lg1 312 lg2a
，
5lg1 1612 lg5b
， 1.51 lg 22c ，再利用对数函数的单
调性判断.
【详解】
2
2lg1 1 lg3 1 3log 3 12 2 lg2 2 lg2a
，
5 5 5
5lg1 1 1 lg16 1 162log 2 4log 2 log 16 12 2 2 lg5 2 lg5b
，
因为 2 5
3 16
，所以 2 5lg lg3 16
，
又因为 lg 2 lg5 ，所以
2 5lg lg3 16
lg 2 lg5
，
所以 a b ，
而 1.51 10.75 1.5 lg 22 2c ，
因为 1.52 8 9 3 ，
所以 1 lg32c a ，
所以 , ,a b c 的大小关系为 b a c
故选：D
29．（2021·安徽宣城市·高三二模（理））已知关于 x 的方程 2
2
1 11 4m x m xx x
有三个不同的根，
分别为 1 2 3, ,x x x ，则 1 2 3x x x ＝（ ）
A．3 B．5 C．3m D．5m
【答案】B
【分析】
令 1 , ( , 2] [2, )t x tx
，将方程 2
2
1 11 4m x m xx x
有三个不同的根，转化为
2 4 2 1 0mt mt m 有 2 个不同的根，且 1 22, 2t t 或 2 2t ，或 1 2t ， 2 2t 或 2 2t ，即关
于t 的方程的其中 1 个根必须为 2 或﹣2 求解.
【详解】
令 1 , ( , 2] [2, )t x tx
，
如图所示：
令
2
2
2
1 1 1( ) 1 4 2 4 1f x m x m x m x m mtx x x
，
要使 ( )f x 有不同的零点，则 2 4 2 1 0mt mt m 有 2 个不同的根，
则 1 22, 2t t 或 2 2t ，或 1 2t ， 2 2t 或 2 2t ，
故当 0x 时， min 2t ，当 0x 时， 2m xt ，
故关于t 的方程的其中 1 个根必须为 2 或﹣2，
此时直线 2t 或直线 2t 时刚好与函数 1t x x
相切，
当 0m 时，不合题意，
由 2( 2) 6 1 0m t t ，得 2 1( 2) 6t m
，
若 16 0m
，则该方程无解，不合题意，
由 2 1( 2) 6t m
，得： 1 2
1 12 6 , 2 6t tm m
，
当 1 2t ，此时 2 2t ，不合题意，
当 1 2t ，此时 2 6t ，解得： 1
10m ，
由 1t x x
，当 1
1x tx
，解得： 1 1x ，
当 2
1x tx
，整理得 2 6 1 0x x ，故 2 3 6x x ，
故 1 2 3 5x x x ，
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题关键是理解对勾函数，将问题转化为方程 2 4 2 1 0mt mt m 有 2 个不同的根且 1 个
根必须为 2 或﹣2 而得解.
30．（2021·江苏高三月考）用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.
根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位： mol/L )之比为常数 K ，
并称 K 为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行 n 次萃取，每次萃取后溶质在
水溶液中的残留量为原物质的量的 10
10 K
倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为 1.0 mol/L ，该溶质在
水和有机溶剂中的分配常数为 20 ，则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于
5 1.0 10 mol/L ？（ ）(假设萃取过程中水溶液的体积不变.参考数据： ln 3 1.099≈ ， ln10 2.303≈ .)
A． 9 次 B．10 次 C．11次 D．12 次
【答案】C
【分析】
审题确定常数，分配常数 20K ，根据每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的 10
10 K
倍，建
立函数模型与不等关系，利用参考数据求解即可.
【详解】
由题意知， 20K ，则 10 1
10 3K
，
设经过 n 次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于
5 1.0 10 mol/L ，
则 51( ) 103
n ，解得
5
1
3
log 10n ，
由换底公式得
5
5
1
3
ln10 5ln10 5 2.303log 10 10.481 ln3 1.099ln 3
.
则至少经过 11 次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于
5 1.0 10 mol/L .
故选：C.
【点睛】
解决实际应用问题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.
31．（2021·天津高三二模）函数 3x
xf x x
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
化简函数解析式，由此可得出合适的选项.
【详解】
函数 3x
xf x x
的定义域为 0x x ，且
1 , 03
3 1 , 03
x
x x
x
xf x x
x
，
因此，函数 3x
xf x x
的图象为选项 D 中的图象.
故选：D.
32．（2021·济南市·高二月考）设 11, ( ) ln , ( ) 1 , ( ) 1x f x x g x h x xx
，三个函
数的图象如图所示，则 ( )f x ， ( )g x ， ( )h x 的图象依次为图中的（ ）
A． 1 2 3, ,C C C B． 1 3 2, ,C C C
C． 2 3 1, ,C C C D． 3 2 1, ,C C C
【答案】C
【分析】
算出 , ,f e g e h e ，比较出它们的大小，可选出答案.
【详解】
因为 11, 1 1, 1 1f e g e h e ee
所以 ( )f x ， ( )g x ， ( )h x 的图象依次为图中的 2 3 1, ,C C C
故选：C
33．（2021·云南昆明市·高三其他模拟（理））设定义在 R 的函数 ( )f x ，其图象关于直线 1x 对称，
且当 1x 时， ( ) ln 1f x x ，则 1
3f
， 2
3f
， 3
2f
的大小关系为（ ）
A． 1 2 3
3 3 2f f f B． 1 3 2
3 2 3f f f
C． 3 2 1
2 3 3f f f D． 3 1 2
2 3 3f f f
【答案】B
【分析】
根据函数的对称性，函数的单调性进行求解即可.
【详解】
当1 x e 时， ( ) ln 1 1 lnf x x x ，此时函数单调递减，而函数图象关于直线 1x 对称，因此函数
在 2 ,1e 上单调递增，而 1 3( )= ( )2 2f f ，
又因为 1 1 22 13 2 3e ，所以 1 1 2( ) ( ) ( )3 2 3f f f ，所以 1 3 2( ) ( ) ( )3 2 3f f f ，
故选：B
34．（2021·江西南昌市·高三二模（文））已知
2 , 0,1
log , 1,2a
ax xf x x x
，若 1f x 有两解，则 a 的取值
范围是（ ）
A． 10, 2
B． 10, 2
C． 1,2 D． 1,2
【答案】D
【分析】
解方程 1f x ，根据该方程有两解可得出关于 a 的不等式组，由此可得出实数 a 的取值范围.
【详解】
由题意可知 0a 且 1a .
当1 2x 时，由 log 1af x x ，可得 x a ；
当 0 1x 时，由 2 1f x ax ，可得 1x
a
.
由于方程 1f x 有两解，则
1 2
10 1
a
a
，解得1 2a .
因此，实数 a 的取值范围是 1,2 .
故选：D.
35．（2021·浙江高三专题练习）函数 lg 1y x 的图象是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】
将函数 lgy x 的图象进行变换可得出函数 lg 1y x 的图象，由此可得出合适的选项.
【详解】
将函数 lgy x 的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数 lg 1y x 的图象，
再将所得函数图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴翻折，位于 x 轴上方图象不变，可得到函数 lg 1y x 的
图象.
故合乎条件的图象为选项 C 中的图象.
故选：C.
【点睛】
结论点睛：两种常见的图象翻折变换：
x x xf x f x保留 轴上方，将 轴下方的图象沿 轴对称 ，
y y yf x f x保留 轴右方图像，将 轴右方图象沿着 轴对称 .
二、多选题
36．（2021·江苏高三月考）设函数
3
2
ln 2( ) lne x
x axf x b x ，下列说法正确的是（ ）
A．若 0a b= = ， ( )f x 是奇函数
B．若 1a ， 0b ， ( )f x 在 3( )2
, 单调递减
C．若 0a ， 1b ， ( )f x 在 (1 )
, 有且仅有一个零点
D．若 0a≥ ， 0b≥ ，
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)f x f x f x f x x xx x x x
＞ ＞ ＞
【答案】BC
【分析】
,a b 取不同的值时，对每一个选项逐个判断.
【详解】
选项 A，若 0a b= = 时，
3
2( ) x
xf x e
， xR ，又
3
3 2
2( ) ( )x
x
xf x x e f xe
，故 A 不下正确；
选项 B， 1, 0a b 时，
3
2
ln 2( ) x
x xf x e
，
3 2
2
2 3 2 ln 2 ln 2( ) x
x x xf x e
， 3( , )2x ， ( ) 0f x ，
故 B 正确；
选项 C， 0, 1a b 时，
3
2( ) lnx
xf x xe
，
3 2
2
2 3 1( ) 0x
x xf x e x
，
函数在 R 上单调递减， (1) 0, ( ) 0f f e ，所以函数在 (1, ) 有且仅有一个零点；
选项 D，取 0, 1a b ，
3
2( ) lnx
xf x xe
，
当 1 2 1x x 时，若 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x
x x x x
成立，即 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
成立.
令
2
2
( ) ln( ) x
f x x xh x x e x
， 2 2
2 ( 1) 1 ln( ) x
x x xh x e x
，
(1) 1 0h ，所以 0(1, )x x ， ( ) 0h x 故 ( )( ) f xh x x
在 0(1, )x 是单调递增，
所以 0 1 2 1x x x 时， 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
不成立.
故选：BC.
37．（2021·湖南高三月考）设函数 2( ) lg 1f x x x ，则（ ）
A． 8
7 log 59f f B． 8
2 log 53f f
C． 8
7log 5 9f f D． 2 7
3 9f f
【答案】AB
【分析】
先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后结合换底公式进行判断即可.
【详解】
解：函数 2( ) lg 1f x x x ，定义域为 R ，
2 2
2
1( ) lg 1 lg lg 1 ( )
1
f x x x x x f x
x x
，
所以 ( )f x 为奇函数，所以 2 2
3 3f f
，
当 0,x 时，由复合函数的单调性可知 2( ) lg 1f x x x 单调递增，
因为
3 7
8 8 3 9 9
2 lg5 lg5 lg125 lg2 7log 4 log 53 lg8 lg8 lg2 lg2 9
，
所以 8
2 7log 53 9f f f
，
结合选项可知 A，B 正确.
故选：AB.
【点睛】
方法点睛：比较函数值的大小一般从函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等性质方面进行判断.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题
38．（2021·安徽马鞍山市·高三三模（理））设函数
2
1 2 , 1,
log 1,0 1.
x xf x
x x
则
2
1 log 32f f _____________.
【答案】 2
【分析】
根据解析式分别求得 1
2f
和 2log 3f ，进而得到结果.
【详解】
2
1 1log 1 1 1 02 2f ， 2log 3
2log 3 1 2 1 3 2f ，
2
1 log 3 22f f .
故答案为： 2 .
39．（2021·江苏南通市·高三月考）设 0a ，函数 1af x x x
在定义域上有两个零点 m ， n ，函数
ln 1a xg x xx
有两个零点 p ，q， e 为自然对数的底数，若 m p n q ，则实数 a 的取值范围是
___________.
【答案】 2 ,e e
【分析】
分别令 0f x 和 0g x ，可得到所求零点即为 ay x
， lna xy x
和 1y x 的交点，又 ay x
与
lna xy x
交于点 , aA e e
，画出图像，可得到满足条件的关系式.
【详解】
由题意可知，令 0f x ，可得 1 0ax x
，即 1a xx
，
令 0g x ，可得 ln 1 0a x xx
，即 ln 1a x xx
，且 1x ，是 0g x 的一个根
因为 ay x
与 lna xy x
交于点 , aA e e
，
所以若 q n ，只需满足且 1 ae e
，所以 2a e e ，则实数 a 的取值范围是 2 ,e e .
故答案为： 2 ,e e .
【点睛】
思路点睛：（1）求函数的零点，经常将所求函数拆分成两个函数的交点.（2）多个函数零点的比较，可以将
函数拆分成多个函数与同一个函数相交，然后比较交点的位置.
40．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））设函数
3
2 1, 1
log 3 , 1
x
a
xf x
x x
，若 1 4f f ，则实数 a
的取值范围___________.
【答案】 (1, ) .
【分析】
由函数的解析式，求得 1 3f ，得到 1 1 3af f ，根据题意，得出不等式1 3 4a ，即可求解.
【详解】
由题意，函数
3
2 1, 1
log 3 , 1
x
a
xf x
x x
，可得 11 2 1 3f ，
所以 31 3 log 3 3 1 3a af f f ，
因为 1 4f f ，可得1 3 4a ，即3 3a ，解得 1a ，
即实数 a 的取值范围为 (1, ) .
故答案为： (1, ) .
41．（2021·上海高三二模）已知函数 ( )f x 的定义域为 R ，函数 ( )g x 是奇函数，且 ( ) ( ) 2xg x f x ，若
(1) 1f ，则 ( 1)f ___________．
【答案】 3
2
【分析】
通过计算 (1) ( 1)g g 可得．
【详解】
因为 ( )g x 是奇函数，所以 (1) ( 1) 0g g ，
即 1(1) 2 ( 1) 02f f ，所以 5 3( 1) 1 2 2f ．
故答案为： 3
2
．
42．（2021·上海杨浦区·高三二模）方程 5 5log 4 11 1 log 2 3x x 的解为 x ___________．
【答案】 2
【分析】
结合对数运算以及指数运算，解方程求得 x 的值.
【详解】
依题意 5 5log 4 11 1 log 2 3x x ，
5 5
4 11log log 2 35
x
x
，
4 11 2 3 05
x
x ，
2
2 5 2 4 0x x ，
2 1 2 4 0x x ，
即 2 1x 或 2 4x ，
解得 0x 或 2x ，
当 0x 时， 2 3 2 0x ，不符合题意，舍去.
所以 2x .
故答案为： 2
43．（2021·上海高三二模）已知 a 、b 、c 为正整数，方程 2 0ax bx c 的两实根为 1 2,x x ，且 1 2| | 1,| | 1x x ，
则 a b c 的最小值为___________.
【答案】 9．
【分析】
依题意
2
1 2
1 2
4 0
0
0
b ac
bx x a
cx x a
从而可得 1x ， 2 ( 1,0)x ，则有
2 2
1 2
4 0 4
( 1) 0
.1.
b ac b ac
f a b c b a c
c c ax x a
结合 a ，b ，
c 为正整数可求 a b c 得最小值
【详解】
依题意，可知
2
1 2
1 2
4 0
0
0
b ac
bx x a
cx x a
，
从而可知 1x ， 2 ( 1,0)x ，
所以有
2 4 0
( 1) 0
1
b ac
f a b c
c
a
，
故
2 4b ac
b a c
c a
，
又 a ，b ， c 为正整数，取 1c ，则 1a b a b
，
所以 2 2 4 4 4a b ac a a
，
所以 2 4 16b ac
．
又 4 1 5b ，所以 4b ，因此 a b c 有最小值为 9．
故答案为：9
【点睛】
方法点睛：二次方程的根的分布常从以下几个方面考虑：（1）抛物线的开口方向；（2）对称轴的问题；（3）
判别式的大小；（4）与坐标轴的交点位置；（5）端点函数值的大小. 要结合已知条件灵活分析解答.
44．（2021·上海高三二模）方程 2
3 9(log ) log 3 2x x 的解集为__________.
【答案】 33, 9
【分析】
对 2
3 9log log 3 2x x 变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可．
【详解】
2
3 9log log 3 2x x ，
2 2
3 3 3 3 3
1 1log log 3 log log 3 log 22 2x x x x
即： 2
3 3
1 3log log 02 2x x ，令 3logt x ，
则方程可化为 2 1 3 02 2t t ，解得： 1t 或 3
2t ，
3x 或 3
23x
3x 或 3
9x
方程 2
3 9log log 3 2x x 的解集是： 33, .9
故答案为： 33, 9
.
【点睛】
关键点睛：本题的关键一是对数运算性质及转化思想，二利用换元方法求解．
四、解答题
45．（2021·上海金山区·高三二模）设 m 为给定的实常数，若函数 ( )y f x 在其定义域内存在实数 0x ，使
得 0 0( ) ( ) ( )f x m f x f m 成立，则称函数 ( )f x 为“ ( )G m 函数”．
（1）若函数 ( ) 2xf x 为“ (2)G 函数”，求实数 0x 的值；
（2）若函数 2( ) lg 1
af x x
为“ (1)G 函数”，求实数 a 的取值范围；
（3）已知 ( )f x x b ( bR )为“ (0)G 函数”，设 ( ) | 4 |g x x x .若对任意的 1 2, [0, ]x x t ，当 1 2x x 时，
都有
2
21
1
( ) ( ) 2( ) ( )
g x g x
f x f x
成立，求实数t 的最大值．
【答案】（1） 2
4log 3
；（2）[3 5,3 5] ；（3）1.
【分析】
（1）由题意可得 0 0( 2) ( ) (2)f x f x f ，根据解析式即可求解.
（2）由题意可得 0 0( 1) ( ) (1)f x f x f ，根据解析式整理可得 2
0 0( 2) 2 2 2 0a x ax a ，讨论 2a
或 2a ，使方程有根即可求解.
（3）根据 (0)G 函数，求出 0b ， ( )f x x ，设 1 2x x ，从而可得 21
1 2
( ) ( ) 2g x g x
x x
，得出
1 1 2 2( ) 2 ( ) 2g x x g x x ，构造函数 ( ) ( ) 2F x g x x ，使其在区间[0, ]t 上单调递增即可.
【详解】
解：（1）由 ( ) 2xf x 为“ (2)G 函数”，得 0 0( 2) ( ) (2)f x f x f
即 0 02 22 2 2x x ，解得 0 2
4log 3x ，故实数 0x 的值为 2
4log 3
；
（2）由函数 2( ) lg 1
af x x
为“G(1)函数”可知，存在实数 0x ，
使得 0 0( 1) ( ) (1)f x f x f ， 2 2
0 0
lg lg lg( 1) 1 1 2
a a a
x x
，
即
2
2 2
0 0( 1) 1 2( 1)
a a
x x
；
由 2 01
a
x
，得 0a ， 整理得 2
0 0( 2) 2 2 2 0a x ax a .
① 当 2a 时， 0
1
2x ，符合题意；
② 当 2a 时，由 24 4( 2)(2 2) 0a a a ，即 2 6 4 0a a ，
解得 3 5 3 5a 且 2a ；
综上，实数 a 的取值范围是[3 5,3 5] ；
（3）由 ( )f x x b 为“ (0)G 函数”，得 0 0( 0) ( ) (0)f x f x f ，
即 (0) 0f ，从而 0b ， ( )f x x ，
不妨设 1 2x x ，则由
2
21
1
( ) ( ) 2( ) ( )
g x g x
f x f x
，即 21
1 2
( ) ( ) 2g x g x
x x
，
得 1 1 2 2( ) 2 ( ) 2g x x g x x ，
令 ( ) ( ) 2F x g x x ，则 ( )F x 在区间[0, ]t 上单调递增，
又
2
2
6 , 4( ) 4 2
2 , 4
x x xF x x x x
x x x
，
如图，可知 0 1t ，故实数t 的最大值为 1.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数 ( )f x 为“ ( )G m 函数”的定义，对于（3）将
问题转化为 ( ) ( ) 2F x g x x 在区间[0, ]t 上单调递增，考查了分析能力、转化能力.
46．（2021·浙江高一期末）已知二次函数 ( )y f x 的图象与直线 1y 只有一个交点，满足 (0) 0f 且函
数 ( 1)f x 是偶函数．
（1）求二次函数 ( )y f x 的解析式；
（2）若函数 7 2
( ) 7
x
x
f
g x
与 ( ) 2 7 4 2xh x t t 的图象有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围．
【答案】（1） 2 2f x x x ；（2） 3 1 1[ , )2 2
.
【分析】
（1）根据 ( 1)f x 是偶函数和二次函数的图象与直线 1y 只有一个交点，设 21 1f x a x ，再
由 (0) 0f 求解；
（2）根据 ( )g x 与的 ( )h x 图象有且只有一个公共点，令 7 0xm ，转化为方程 22 1 4 2 0m mt t
在 0, 上只有一个根求解.
【详解】
（1）因为 ( 1)f x 是偶函数，
所以 ( 1) ( 1)f x f x ，
所以 f x 的图象关于 1x 对称，
又二次函数 ( )y f x 的图象与直线 1y 只有一个交点，
设 21 1f x a x ，
又因为 0 1 0f a ，
解得 1a ，
所以 2 21 1 2f x x x x .
（2）函数 2
7 2 7 2 7 2
7 7
x x x
x x
f
g x
，
因为 ( )g x 与的 ( )h x 图象有且只有一个公共点，，
即方程 2
2 1 7 4 7 2 0x xt t 只有一个根，
令 7 0xm 即方程 22 1 4 2 0m mt t 在 0, 上只有一个根，
当 2 1 0t 时， 1
2t ， 1m ，
当 2 1 0t 时，则方程有两个正的重根或一正一负两个根，
则
0
4 02 1
2 02 1
t
t
t
或
0
2 02 1t
，
解得 3 1
2t 或 1
2t ，
综上：实数 t 的取值范围是 3 1 1[ , )2 2
.
【点睛】
方法点睛：解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的
判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．
47．（2021·上海高三二模）设常数 aR ，函数 13 3
x
xf x a ．
（1）若函数 f x 是奇函数，求实数 a 的值；
（2）若函数 2y f x a 在 0,1x 时有零点，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1） 1 ；（2） 1 1,3 15
.
【分析】
（1）根据奇函数定义可构造方程求得结果；
（2）将问题转化为 13 2 03
x
xa a 在 0,1 上有实数解，令 3xt ，可将问题进一步转化为
2 2 1 0at at 在 1,3 有实数解，通过分离变量法可得 21 2 1,3t t ta
，由 2 2 1,3y t t t
的值域可构造不等式求得 a 的范围.
【详解】
（1）由题意知：函数 f x 的定义域为 R ，
f x 是奇函数， f x f x ，即 1 13 33 3
x x
x xa a
，
即 13 33 3
x x
x x
a a
，整理可得： 1 9 1 0xa ，对任意 xR 都成立，
1 0a ，解得： 1a ．
（2）将问题转化为 2 0f x a 在区间 0,1 上有实数解，
即关于 x 的方程 13 2 03
x
xa a 在区间 0,1 上有实数解．
设 3xt ， 0,1x ， 1,3t ，
则原问题等价于关于t 的方程 2 2 1 0at at （*）在区间 1,3 上有实数解．
当 0a 时，方程（*）不成立， 0a ，
则方程（*）可化为： 21 2 1,3t t ta
，
即函数 1 y a
与函数 2 2 1,3y t t t 的图象有公共点．
函数 2 2 1,3y t t t 为增函数，则该函数的值域为 3,15 ，
13 15a
，解得： 1 1
3 15a ，即实数 a 取值范围为 1 1,3 15
.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
五、双空题
48．（2021·天津高三二模）设函数 2 , 1( )
4( )( 2 ), 1
x a xf x
x a x a x
，若 1a ，则 f x 的最小值为______；
若 f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是__________．
【答案】 1 1 12 a 或 2a
【分析】
找分段函数各段上的取值范围即可；按分段函数左段和右段零点个数为“1+1 型”、“0+2 型”讨论.
【详解】
当 1a 时，
2 1 1( ) 4( 1)( 2) 1
x xf x x x x
，
1x ， 2 1 1xf x ， 1x ，
234 1 2 4 1 12f x x x x
所以 f x 的最小值为 1 .
设 f x 的零点为 1x 、 2x ，
若 1 ,1x ， 2 1x , ，则
2 0
0
1 2
a
a
a a
，得 1 12 a
若 1 2, 1,x x ，则
0
2 0
1
a
a
a
，得 2a ，
综上: 1 12 a 或 2a .
故答案为: 1 ； 1 12 a 或 2a .
49．（2021·天津河西区·高三二模）设函数
2 , 1
4 2 1
x a xf x x a x a x
，若 1a ，则 f x 的最小值
为___________；若 f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是___________.
【答案】 1 1 ,1 2,2
【分析】
f x 在 ,1 , 1, 上的取值范围，从而确定出 f x 的最小值；
利用指数函数的图象和性质，考察函数 2xy a 在 ,1 上的零点个数的不同情况，对应研究
4 2y x a x a 在 1, 上的零点个数情况，从而求解出 a 的取值范围.
【详解】
2 1, 1
4 1 2 , 1
x xf x x x x
，
当 1x 时， 2 1 0 1 1xy ；
当 1x 时， 4 1 2y x x 的对称轴为 3
2x ，
所以 min
3 34 1 2 12 2y
，
所以 f x 的最小值为 1 ；
若 f x 恰有 2 个零点，
当 2xy a 在 ,1 上有1个零点时，即 2 0
0
a
a
，即 0 2a 时，
此时必须且只需 4 2y x a x a 在 1, 上有1个零点，即 1
2 1
a
a
，
所以 1 12 a ，所以此时 1 ,12a
；
当 2xy a 在 ,1 上没有零点，即 2a 或 0a 时，
此时必须且只需 4 2y x a x a 在 1, 上有 2 个零点，所以 1a ，
所以此时 2,a .
综上， a 的取值范围是 1 ,1 2,2
，
故答案为： 1 ； 1 ,1 2,2
.
【点睛】
本题考查分段函数的最值、零点问题，涉及指数函数的图象和性质以及分类讨论思想，关键是分段分类讨
论求解.
50．（2021·浙江高二期末）
lg
lg
a
b
b
a
_________；若 lg 1
2
ab ，则
lg
2lg lg 1
a
b a
b
a b
的取值范围为________．
【答案】1 0,1
【分析】
根据对数运算法则可化简得到 lg lg lg lg10a b a bb a ，由此得到
lg
lg 1
a
b
b
a
；令 lgat b ，可将所求式子化为
2 1
t
t t
，利用函数值域的求法可求得取值范围.
【详解】
lglg lg lg lg10 10aa b b ab ， lglg lg lg lg10 10bb a a ba ，
lg
lg 1
a
b
b
a
；
2 22lg lg lgb b aa a b ，
lg lg
22lg lg lg lg1 1
a a
b a a a
b b
a b b b
，
令 lg 1
2
at b ，则原式 2
1
11 1
t
t t t t
，
1 2t t
（当且仅当 1t t
，即 1t 时取等号），
10 11 1t t
，
即
lg
2lg lg 1
a
b a
b
a b
的取值范围为 0,1 .
故答案为：1， 0,1 .
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