专题十 圆锥曲线
目 录
CONTENTS
考点一 椭圆
考点二 双曲线
考点三 抛物线
考点一 椭圆
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
必备知识 全面把握
1．椭圆的定义
(1)注意：若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a|F1F2|，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，
且a，c为常数}．
考点一 椭圆
2.椭圆的标准方程
考点一 椭圆
3．椭圆的几何性质
考点一 椭圆
7
考点一 椭圆
3．椭圆的几何性质
8
(1)椭圆的焦点总在长轴上；离心率表示椭圆的扁平程度．当e
越大时，椭圆越扁；当e越小时，椭圆越圆．
(2)椭圆的几何性质分类
①椭圆本身固有的性质(与坐标系无关)，如：长轴长、短轴长、焦距、
离心率等；
②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．
在解题时要特别注意第②类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆
的焦点在哪个坐标轴上，然后再进行求解．
考点一 椭圆
3．椭圆的几何性质
4．椭圆中的特殊量
考点一 椭圆
10
对于椭圆 由焦半径公式 可得，椭
圆上任一点P到焦点F1的最小距离为a－c，最大距离为a＋c，此时点P在长轴
的两端点处；由椭圆的对称性知，点P到焦点F2也有相同的结论．
(2)椭圆的焦点弦
当直线和椭圆相交时，截在椭圆内的线段(包括端点)叫做椭圆的弦．当弦过
焦点时，称其为焦点弦．
设 是椭圆 上两点，若弦AB过左焦点F1，则
考点一 椭圆
11
(3)椭圆的焦点三角形
设F1，F2为椭圆 的左、右焦点，P为椭圆上异于左、右顶点的点，
则△PF1F2为焦点三角形．
如图所示，
考点一 椭圆
12
⑥焦点三角形的周长是2(a＋c)．
⑦若焦点三角形的内切圆圆心为I，延长PI交线段F1F2于点Q，
(角平分线定理)，
所以 (和比定理)
(4)椭圆的通径长
过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径．设点
P(x0，y0)是椭圆通径的一个端点，将 代入相应的焦半
径公式，计算得 ，通径是最短的焦点弦．
考点一 椭圆
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核心方法 重点突破
方法1 求椭圆方程的方法
1．椭圆标准方程的求法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方
程．其中常用的关系有
①b2＝a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴端点到椭圆两焦点的距离相等且等于实半轴长a.
用此种方法求动点轨迹时，有时需根据题意舍去一些不符合题意的点，有
时可能要分类讨论，不要漏解
考点一 椭圆
14
(2)待定系数法
①如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方
程，然后根据条件确定出关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标
准方程(求得的方程可能是一个，也可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
②当焦点位置不确定时，有两种方法可以解决：一种是分类讨论，注意考虑要全
面；一种是已知椭圆的中心在原点，可以设椭圆的一般方程为mx2＋ny2＝1(m>0，
n>0，m≠n)．
求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究
一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点在x轴上还是在y轴上；所谓定量就
是求出椭圆的a，b，c，从而写出椭圆的方程．
考点一 椭圆
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2．椭圆系方程
考点一 椭圆
16
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－12，0)，(12，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和
等于26；
(2)焦点在坐标轴上，且经过点A( ，－2)和B(－2 ，1)；
(3)焦距是2，且经过点P(－ ，0)．
【分析】根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设椭圆的标准方程，求出椭圆
中的a，b即可．若判断不出焦点在哪个坐标轴上，可设椭圆的一般方程．
考点一 椭圆
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考点一 椭圆
18
考点一 椭圆
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考点一 椭圆
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考点一 椭圆
21
考点一 椭圆
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方法2 椭圆定义的应用
椭圆定义的应用类型及方法
(1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆；
(2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题．利用定义和余弦定
理可求得|PF1|·|PF2|，再结合 进行转化，进而求得
焦点三角形的周长和面积．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．
考点一 椭圆
23
考点一 椭圆
例3、
【答案】C
24
考点一 椭圆
例4、
【答案】D
25
考点一 椭圆
例5、
【答案】3
26
方法3 椭圆的几何性质
1．求椭圆离心率的方法
考点一 椭圆
27
2．求椭圆离心率的
取值范围的方法
考点一 椭圆
28
例6、(1)[安徽定远重点中学2018模拟]在等腰梯形ABCD中， AB∥CD, tan∠ABC＝
2, AB＝6, CD＝2.若以A，B为焦点的椭圆经过C，D两点，则此椭圆的离心率为( )
考点一 椭圆
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考点一 椭圆
30
考点一 椭圆
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考点一 椭圆
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【答案】(1) A (2) C (3) A
考点一 椭圆
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例7、(1)[河南名校2018压轴第二次考试]已知椭圆E： 的右焦
点为F，短轴的一个端点为M，直线l：5x－12y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|
＋|BF|＝6，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
(2)[江苏2018考前热身]已知 为椭圆
的两个焦点，P为椭圆上一点，且 则此椭圆离心率的取值范围是___.
考点一 椭圆
34
考点一 椭圆
35
方法4 有关直线与椭圆位置关系的问题
(1)位置关系的判断：直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一
元二次方程．
①直线与椭圆相交Δ>0；
②直线与椭圆相切Δ＝0；
③直线与椭圆相离Δb>0)的右焦点为 过
点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为 则E的方程为( )
考点一 椭圆
48
考点一 椭圆
49
【答案】D
考点一 椭圆
50
考法2 椭圆定义的应用
例2、[辽宁2014·15]已知椭圆 点M与C的焦点不重合．若M关于C的
焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________.
【答案】12
考点一 椭圆
51
考法3 椭圆的几何性质及其应用
例3、[课标全国Ⅱ2018·12]已知F1，F2是椭圆 的左、右焦
点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，
∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
考点一 椭圆
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考点一 椭圆
53
考点一 椭圆
考点二 双曲线
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
必备知识 全面把握
1．双曲线的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做
双曲线．两定点F1，F2是焦点，两焦点间的距离|F1F2|是焦距，用2c表示，常数用
2a表示．
(1)若|MF1|－|MF2|＝2a，则曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线．
(2)若|MF1|－|MF2|＝－2a，则曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线．
(3)若2a＝2c，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1，F2为端点向外的两条射线．
(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在．
特别地，若a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
考点二 双曲线
56
2．双曲线的标准方程
(1) 它表示焦点F1(－c，0)，F2(c，0)在x轴上的双曲线，
且c2＝a2＋b2.
(2) 它表示焦点F1(0，－c)，F2(0，c)在y轴上的双曲线，
且c2＝a2＋b2.
考点二 双曲线
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(1)通过比较两种不同类型的双曲线方程 和
可以看出，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如
果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．双曲线方程中a不一定大于b，因此不能
像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪个坐标轴上．这一点与椭圆的判断
方法不同．
(2)对于方程Ax2＋By2＝C(A，B，C均不为零)，只有当AB0，n＞0，m≠n时为椭圆(特别
地，当m＝n＞0时为圆)；当mn＜0时为双曲线，而m，n的符号决定了双曲线焦点
的位置．
考点二 双曲线
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3．双曲线的几何性质
考点二 双曲线
59
考点二 双曲线
60
(1)离心率e的取值范围为(1，＋∞).当e越接近于1时，双曲线开口越小；
e越接近于＋∞时，双曲线开口越大.
(2)双曲线的焦点永远在实轴上．
(3)双曲线的渐近线方程可以看成是将标准方程中等号右侧的1换成0后得到
的两个方程．双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．两条渐近线的倾
斜角互补，斜率互为相反数，且关于x轴、y轴对称．
考点二 双曲线
61
4．两种特殊的双曲线
(1)等轴双曲线
①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲
线叫做等轴双曲线．其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
②性质：a＝b；e＝ ；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离
是它到两焦点距离的等比中项．
(2)共轭双曲线
①定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那
么这两条双曲线互为共轭双曲线.
②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们离心率倒数的平方
和等于1.
考点二 双曲线
62
5．双曲线中的特殊量
(1)双曲线的焦半径
双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1，或右(上)焦点F2之间的线段长度称作
焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
① 若点P在右支上，则 若点P在左支
上，则
② 若点P在上支上，则 若点P在下支
上，则
考点二 双曲线
63
(2)双曲线的通径
过双曲线的焦点与双曲线实轴所在直线垂直的直线被双曲线截得的线段，称为
双曲线的通径，其长为
(3)双曲线的焦点三角形
设F1，F2为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上异于顶点的点，
则△PF1F2为焦点三角形，如图所示．
考点二 双曲线
64
考点二 双曲线
65
考点二 双曲线
66
(1)椭圆焦点位置与双曲线焦点位置的判断：判断椭圆
的焦点位置是看分母的大小，双曲线的焦点位置由二次项系数
的正负来确定．
(2)椭圆中a，b，c与双曲线中a，b，c的关系：椭圆中a，b，c
的关系是a2＝b2＋c2，其中a>b，a>c；双曲线中a，b，c的关系是
c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b之间没有大小要求．
考点二 双曲线
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核心方法 重点突破
双曲线和椭圆一样，都是解析几何的重要部分，双曲线的学习可通过与
椭圆的对比去掌握．它与直线、圆联系密切，涉及距离公式、弦长问题、面
积公式及方程中根与系数的关系等知识，也是高考的重点内容．
方法1 求双曲线方程的方法
1．定义法
根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常
用的关系有：
①c2＝a2＋b2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点距离的差的绝对值等于2a.
求轨迹方程时，满足条件：|PF1|－|PF2|＝2a(0|k0|时，直线l与双曲线没有交点．
(2)过双曲线上点的切线方程
过双曲线C： 上一点Q(x0，y0)的切线方程为
(3)点差法求斜率
若直线AB(不过坐标原点)是双曲线 的不平行于对称
轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，则 整理可得
考点二 双曲线
82
例7、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范
围是( )
【答案】D
考点二 双曲线
83
例8、已知双曲线 过点A(1，1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两
点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
考点二 双曲线
84
考法1 求双曲线的方程
例1、[天津2018·7]已知双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且
垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距
离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
考点二 双曲线
考法例析 成就能力
85
考点二 双曲线
86
例2、[课标全国Ⅲ2017·5]已知双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线方程为
且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为( )
考点二 双曲线
87
【答案】B
考点二 双曲线
88
考法2 双曲线的定义和性质
例3、[课标全国Ⅰ2016·5]已知方程 1表示双曲线，且该双曲线两焦
点间的距离为4，则n的取值范围是( )
【答案】A
考点二 双曲线
89
例4、[课标全国Ⅰ2017·15]已知双曲线C： (a>0，b>0)的右顶点为A，以A
为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．
若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
【答案】
考点二 双曲线
90
考法3 有关双曲线的综合问题
例5、[北京2018·14]已知椭圆M： (a>b>0)，双曲线N： 若双曲
线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶
点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
【答案】
考点二 双曲线
91
例6、[山东2015·15]平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： 的渐
近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则
C1的离心率为________．
考点二 双曲线
92
【答案】
考点二 双曲线
考点三 抛物线
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
必备知识 全面把握
1．抛物线的定义
平面上到定点F和到定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点
F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
与椭圆和双曲线不同的是，在抛物线中，只有一个焦点和一条准线．
(1)定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，
叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F
的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l
的一条直线．如：到点F(1，0)和到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方
程为x－y－1＝0，轨迹是一条直线．
(3)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故
二者可以相互转化，这一转化在解题中有着重要作用．
考点三 抛物线
95
2．抛物线的标准方程、类型及几何性质
考点三 抛物线
96
考点三 抛物线
97
(1)抛物线的标准方程y2＝±2px(p＞0)或x2＝±2py(p＞0)的特点是等号一
边是某变元的平方，等号另一边是另一变元的一次项．这个形式与位置特征相
对应：当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指出了抛物
线的开口方向，即开口向着x轴的正方向时，该项取正号，开口向着x轴的负方
向时，该项取负号．当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符
号指出了抛物线的开口方向．可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方
向”．
(2)准线与焦点所在的坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距
离都等于一次项系数绝对值的 ，即 .
考点三 抛物线
98
3．抛物线的焦点弦
考点三 抛物线
99
考点三 抛物线
100
4．抛物线的通径
过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线相交于两点，连接这两
点的线段叫做抛物线的通径．对于抛物线y2＝2px(p＞0)，将 代入y2＝2px
得y＝±p， 这就是抛物线标准方程中2p的一
种几何意义．通径是所有焦点弦中最短的弦．
考点三 抛物线
101
核心方法 重点突破
方法1 利用抛物线的定义解决有关问题的方法
抛物线是到定点与到定直线的距离相等的点的轨迹，利用抛物线的定义解决
问题时，可以巧妙运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转
化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，是解决抛物线焦点弦等有关
问题的有效途径．
总体来说，利用抛物线的定义可解决如下两类问题．
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹
是否为抛物线．
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注
意在解题中利用两者之间的等价转化．
考点三 抛物线
102
例1、[福建厦门2018第二次质量检查]已知拋物线C：y2＝4x的焦点为F，过点
F的直线与曲线C交于A，B两点，|AB|＝6，则AB中点到y轴的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝
(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，从而求出中点横坐标，进而可得结果．
【解析】由y2＝4x，得F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|等于点A到准线
x＝－1的距离x1＋1；同理，|BF|等于点B到准线x＝－1的距离x2＋1.所以|AB|＝
|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝6，得x1＋x2＝4，中点横坐标为x0＝
所以AB中点到y轴的距离是|x0|＝2，故选B.
【答案】B
考点三 抛物线
103
方法2 求抛物线标准方程的方法
在学习抛物线及其标准方程时，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已
知某些性质求抛物线的方程是考查的重点．主要方法有定义法、待定系数法等．
(1)定义法
根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，
求出抛物线方程．抛物线标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝2px(p>0)和y2＝－
2px(p>0)两种情况求解．
②焦点在x轴上的抛物线方程可设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m0，则直线与抛物线相交；
②若方程的判别式Δ＝0，则直线与抛物线相切；
③若方程的判别式Δ0)的
直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
考点三 抛物线
125
考点三 抛物线
考点四 曲线与方程
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
必备知识 全面把握
1．曲线与方程的关系及定义
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作符合某种条件的点的集合或轨迹)上
的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，
这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
考点 曲线与方程
128
①“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方
程的点，也就是说，曲线上所有点的坐标都符合这个方程而毫无例外(纯粹性)．
“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有的点都在
曲线上而毫无遗漏(完备性)．
如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是
f(x0，y0)＝0.
只有满足了上面两个条件，才能称“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”和“曲线C
是方程f(x，y)＝0的曲线”．
②求曲线的方程与求点的轨迹是有不同要求的，求“轨迹”时，首先要求出“轨
迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形是什么样的、在何处，即图形的形状、位置、
大小都需说明，最后补漏和去掉多余的点，若轨迹有不同的情况，则应分类讨论，
以保证它的完整性．
考点 曲线与方程
2．曲线的交点与方程组的关系
两条曲线有交点的充要条件是这两条曲线的方程组成的方程组有实数解，方
程组解的组数，就是两曲线交点的个数；两曲线若无交点，则方程组也必无解．
点P0(x0，y0)既在曲线C1：f(x，y)＝0上，又在曲线C2：g(x，y)＝0上的充要条件
是点P0的坐标是方程组 的解.
考点 曲线与方程
3．曲线的交点与方程组的关系
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
其中步骤(2)和(5)可以省略．因此，求曲线方程的步骤可简化为：
（1）建系设标；（2）列式表标；（3）化简求果.如果化简的过程是恒等变
形，那么证明的过程往往可以省略，如果不是恒等变形，则应剔除不合条件
的点，增添漏掉的点．另外，写条件这一步，如果比较简单，或包含在坐标
之中，亦可省略．
考点 曲线与方程
131
求轨迹时，如果题设条件中未给出坐标，要建立适当的坐标系，选择
适当坐标系的原则是“避繁就简”，一般地，
①若条件中只出现一个定点，常以该点为坐标原点；
②若已知两定点，常以这两定点连线的中点为原点，以两定点的连线所在的
直线为x轴建立直角坐标系；
③若已知两条互相垂直的直线，常以它们为坐标轴建立直角坐标系；
④若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以
点到直线的垂线段所在直线为x轴建立直角坐标系；
⑤若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线所在的直线为x轴
建立直角坐标系.
考点 曲线与方程
132
核心方法 重点突破
方法1 定义法求轨迹方程
若动点运动的几何条件恰好与某圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立
动点的轨迹方程．用定义法求解可先确定曲线的类型与方程的具体结构式，再
用待定系数法求之．
例1、已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，建立适当的坐
标系，求顶点A的轨迹方程．
【分析】在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐
标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出简图．如图，由△ABC的周长等于
16，|BC|＝6可知，点A到B，C两点的距离的和是常数，即|AB|＋|AC|＝16－6＝
10，因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出简
图．
考点 曲线与方程
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考点 曲线与方程
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例2、已知动圆过定点 且与直线 相切，其中p＞0.求动圆圆心的轨
迹方程．
考点 曲线与方程
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方法2 直接法求轨迹方程
直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点坐标所满足的
关系式，得方程f(x，y)＝0，即为所求动点的轨迹方程，用直接
法求解问题，列式容易，但在对等式进行等价变形与化简过程中，
应特别留心是否需要讨论．
考点 曲线与方程
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例3、动点P与两定点A(a，0)，B(－a，0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨
迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．
【分析】本题考查曲线方程的求法，可用直接法．
考点 曲线与方程
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方法3 参数法求轨迹方程
如果动点P(x，y)的坐标x，y之间的关系不易找到，可先考虑将x，y用
一个或几个参数表示，再消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．参数
法中常选变角、变斜率等为参数．
注意参数的取值范围对方程中的x和y的范围的影响．
考点 曲线与方程
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例4、已知MN是椭圆 中垂直于长轴的动弦，A，B是椭圆长轴
的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程．
【分析】依题意，点P的坐标满足直线MA与NB的方程，点A，B的坐标已知，
可先设参数将点M，N的坐标表示出来，再根据点M，N在椭圆上，坐标满足椭
圆方程从而可消去参数．
考点 曲线与方程
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例5、已知∠MON＝60°，边长为a的等边三角形ABP在∠MON内滑动，A，B，P
三点按逆时针方向排列，使A始终在OM上，B在ON上，点P，O分别在直线AB
两侧，建立适当的坐标系，求△ABP的顶点P的轨迹方程．
考点 曲线与方程
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方法4 相关点法(代入法)求轨迹方程
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点
Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后
代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹
方程的方法叫做相关点法(又称代入法)．
考点 曲线与方程
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例6、如图，设抛物线C：y＝x2的焦点为F，动点P在直线l：x－y－2＝0上运动，
过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点．求
△APB的重心G的轨迹方程．
考点 曲线与方程
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方法5 交轨法求轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问
题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消
去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用.
考点 曲线与方程
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例7、[河北唐山2018第二次模拟]已知两点P(－2，2)，Q(0，2)以及一条直线l：y
＝x，设长为 的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
考点 曲线与方程
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求轨迹方程是解析几何的基本题型，也是高考考查的一个重点．对所求
的曲线进一步研究它的相关问题，或者与其他问题结合形成一个新题目，使
得整个题目具有综合性，是高考命题常用的手段．试题难度较大．
曲线与方程的两个方面：一是求曲线的方程，二是由方程研究曲线的性
质．这两方面的问题在高考中常常出现，且常为压轴题．在学习中应培养善
于运用坐标法解题的能力，重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化
解题思维、简化解题过程的目的．
考法例析 成就能力
考法 曲线与方程
考点 曲线与方程
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例1、[课标全国Ⅱ2017·20]设O为坐标原点，动点M在椭圆C： 上，过M作
x轴的垂线，垂足为N，点P满足
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且 证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的
左焦点F.
考点 曲线与方程
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考点 曲线与方程
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例2、[课标全国Ⅰ2016·20]设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，
0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明：|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A
交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
考点 曲线与方程
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考点 曲线与方程
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