第5辑数列（解析版）-备考2021年高考数学三轮复习之疯狂选择题30题

备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题 第 5 辑 数列 一、单选题 1．已知数列{ }na 满足 * 1 1 1( 2 )n n a n na    N≥ ， ，若 4 5 3a  ，则 1a =（ ） A．1 B． 3 2 C． 2 D． 8 5 【答案】A 【分析】 依次求出 3 2 1, ,a a a 得解. 【详解】 4n  时， 4 3 3 1 5 31 ,3 2a aa      ； 3n  时， 3 2 2 1 31 , 22a aa      ； 2n  时， 2 1 1 1 1 2, 1a aa      . 故选：A 【点睛】 本题主要考查利用递推公式求数列的项，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2．已知数列{ }na 满足： 1 1a  ， * 1 ( )2 n n n aa n Na   ．则 10a  （ ） A． 1 1021 B． 1 1022 C． 1 1023 D． 1 1024 【答案】C 【分析】 根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得 1 1 2 1 n na a   ，构造 1 1 na      为等比数列，求解出通项， 进而求出 10a . 【详解】 因为 1 2 n n n aa a   ，所以两边取倒数得 1 21 2 1n n n n a a a a    ，则 1 1 11 2 1 n na a        ， 所以数列 1 1 na      为等比数列，则 1 1 1 11 1 2 2n n na a          ， 所以 1 2 1n na   ，故 10 10 1 1 2 1 1023a   . 故选：C 【点睛】 方法点睛：对于形如  1 1n na pa q p    型，通常可构造等比数列 na x （其中 1 qx p   ）来进行求解. 3．设 nS 是数列 na 的前 n 项和，若 1 1 2a  ， 1 11n n a a   ，则 2021S  （ ） A． 2017 2 B．1009 C． 2019 2 D．1010 【答案】B 【分析】 推导出数列 na 是以3为周期的周期数列，由 2021 673 3 2   可得出 2021 3 3674S S a  ，代值计算即可 得解. 【详解】 在数列 na 中， 1 1 2a  ， 1 11n n a a   ，则 2 1 11 1a a     ， 3 2 11 2a a    ， 4 3 1 11 2a a    ， 以此类推可知，对任意的 n N ， 3n na a  ，即数列 na 是以3为周期的周期数列， 2021 3 673 2   ，因此， 2021 3 1 2 3 3 1673 674 674 1 2 2 10092S S a a S a               . 故选：B. 【点睛】 思路点睛：根据递推公式证明数列 na 是周期数列的步骤： （1）先根据已知条件写出数列 na 的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数 k ； （2）证明  n k na a k N     ，则可说明数列 na 是周期为 k 的周期数列. 4．记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 3 42, 7a S  ，则数列 na 的通项公式 na  （ ） A． 1n  B． 1 2 n  C． 2 4n  D．  1 2n n  【答案】B 【分析】 根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得 1,a d ，根据等差数列通项公式得到结果. 【详解】 设等差数列 na 的公差为 d ，则 3 1 4 1 2 2 4 34 72 a a d S a d       ，解得： 1 1 1 2 a d   ，  1 11 12 2n na n      . 故选：B. 5．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 11 22S  ，则 3 7 8a a a   （ ） A．18 B．12 C．9 D． 6 【答案】D 【分析】 根据等差数列前 n 项和公式及性质，可求得 6a 的值，利用性质即可求得答案. 【详解】 根据等差数列公式及性质可得 61 11 11 6 11 211( ) 11 222 2 aa aS a    ， 所以 6 2a  ， 所以 3 7 8 63 6a a a a    . 故选：D 6．等差数列 na 中， 3 6 10 20a a a   ，则 11 92a a 的值为（ ） A． 20 B． 10 C．10 D．2 【答案】A 【分析】 利用等差数列的性质即可求解. 【详解】 因为 na 是等差数列，由 3 6 10 720 20a a a a     ， 所以  11 9 11 7 11 72 20a a a a a a        . 故选：A 7．若等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，则“ 2020 0S  ， 2021 0S  ”是“ 1010 1011 0a a  ”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 由 2020 0S  ， 2021 0S  ，利用求和公式及等差数列的性质可得： 1010 0a  ， 1011 0a  结合充分条件与必要条 件的定义可得出结论． 【详解】 若 2020 0S  ， 2021 0S  ， 1 2020 1010 1011 2020( ) 1010( ) 02 a a a a    ，即 1010 1011 0a a  ． 1 2021 10112021 2021 02 a a a   ． 1010 0a  ， 1011 0a  ，可得 1010 1011 0a a  ，充分性成立； 反之，若 1010 0a  ， 1011 0a  ，满足 1010 1011 0a a  ，不能推出“ 2020 0S  ， 2021 0S  ”，必要性不成立，故“ 2020 0S  ， 2021 0S  ”是“ 1010 1011 0a a  ”的充分不必要条件， 故选：B． 【点睛】 方法点睛：充要条件的判断问题，是高考不可少的内容，特别是充要条件可以和任何知识点相结合,充要条 件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法. 8．已知 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，满足 3 13a a ， 2 13 1a a  ，则数列 nS n     的前 10 项和为（ ） A． 55 2 B．55 C． 65 2 D．65 【答案】C 【分析】 由已知求出 na 的公差和首项，得到 nS n ，由等差数列的定义可判断 nS n     为等差数列，代入前 n 项和公式 可得答案. 【详解】 设等差数列 na 的公差为 d ，则 1 1 1 1 2 3 3 1 a d a a d a       ， 所以 1 1a  ， 1d  ，所以 ( 1) ( 1) 2 2n n n n nS n     ， 所以 1 2 nS n n  ，所以 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n nS S n n n n        ， 所以 nS n     是以 1 为首项， 1 2 为公差的等差数列， 数列 nS n     的前 10 项和   10 10 10 1 1 6510 2 2 2T      ， 故选：C. 9．已知数列 1 na       是公比为 1 2 的等比数列，且 2 4a  ，则 6a  （ ） A． 64 B．32 C． 1 4 D． 1 16 【答案】A 【分析】 利用等比数列的通项公式即可求 6 1 a ，进而可得 6a 的值. 【详解】 因为数列 1 na       是公比为 1 2 的等比数列， 2 4a  ，所以 2 1 1 4a  ， 所以 4 4 6 6 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 64a a                      ， 所以 6 64a  ， 故选：A. 10．等比数列 na 中， 2 52, 16a a   ，则数列 na 的前 6 项和为（ ） A．21 B．1 C．2 D．11 【答案】A 【分析】 求出公比 q，再利用公式可求前 6 项的和. 【详解】 因为 2 52, 16a a   ，故 3 8q   ，故 2q   ， 所以 1 1a   ，故前 6 项和为     61 1 2 211 2      . 故选：A. 11．数列 na 是各项均为正数的等比数列，3 2a 是 3a 与 2 4a 的等差中项，则 na 的公比等于（ ） A．2 B． 3 2 C．3 D． 2 【答案】B 【分析】 设首项为 1a ，公比为 q，根据等差中项的性质得到方程，解得即可； 【详解】 解：设首项为 1a ，公比为 q，因为 23a 是 3a 与 42a 的等差中项， 所以有 2 3 46 2a a a= + ，即 26 2q q= + ，从而解得 3 2q  或 2q   （舍去） 故选：B. 12．在各项均为正数的等比数列中 na ， 3 2 2a   ， 5 2 1a   ，则 1 5 2 6 3 72a a a a a a   （ ） A．1 B．9 C．5 2 7 D．3 2 9 【答案】B 【分析】 利用等比数列的性质：若 m n p q r r     ，则 m n p q r ra a a a a a    可解. 【详解】 因为 na 为各项为正的等比数列， 3 2 2a   ， 5 2 1a   ， 所以 1 5 2 6 3 7 3 5 5 2 2 2 2 3 3 5( ) (2 2 2 )2 2 1 9a a a a a a a a a a a a           故选：B 【点睛】 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质． 13．设 nS 为数列 na 的前 n 项和， *( ) (1 1 ),2 n n nnS a n N   ，则数列 nS 的前 7 项和为（ ） A． 1 256  B． 85 256  C． 1 1024  D． 341 1024  【答案】B 【分析】 由 1n  求得 1a ，在 2n  时，由 1n n na S S   得{ }na 的递推式，按 n 的奇偶分类讨论求得 na ．然后由已 知式计算 1( 1) 2 n n n nS a   ，再计算{ }nS 的前 7 项和． 【详解】 ∵ ( 1)1 2 n n nnS a  ， ∴ 1n  时， 1 1 1 2S a   ，即 1 1 1 2a a   ， 1 1 4a   ， 由已知 1( 1) 2 n n n nS a   ， 2n  时， 1 1 1 11 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2 2 2 n n n n n n n n n n nn n na S S a a a a                (*)， (*)式中 n 为偶数时， 1 1 2n n n na a a    ， 1 1 2n na    ，此时 1n  为奇数， ∴ n 为奇数时 1 1 2n na   (*)式中 n 为奇数时， 1 1 2n n n na a a     ， 1 12 2n nna a    ，即 1 1 1 1 1 12 2 2 2n n n na             ，此时 1n  为偶数， ∴ n 为偶数时， 1 2n na  ， ∴ 1 1 ,2 1 ,2 n n n n a n      为奇数 为偶数 ， 由 1( 1) 2 n n n nS a   ，得 n 为奇数时， 1 1 1 2 2n n nS   ， n 为偶数时， 1 1 02 2n n nS    ， ∴数列{ }nS 的前 7 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 16 8 64 32 256 128                             1 1 1 1 85 4 16 64 256 256        ． 故选：B． 【点睛】 关键点点睛：本题考查求数列的前 n 项和．解题关键是确定通项公式 na ，为此利用 2n  时， 1n n na S S   得递推关系，然后按 n 的奇偶分类计算求解．最后确定数列{ }nS 中的各项，求出前 7 项和． 14．已知等差数列 na 满足 5 12 7a a  ， 3 5a  ，则数列 1 1 n na a        的前 10 项的和为（ ） A． 22 23 B． 11 23 C． 20 21 D． 10 21 【答案】D 【分析】 首先根据题意得到 2 1na n  ，从而得到 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1n na a n n       ，再利用裂项法求前 10 项的和即可. 【详解】 因为 5 1 1 1 1 3 1 2 4 2 7 1 2 5 2 a a a d a a a a d d            ， 所以 2 1na n  . 所以   1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n na a n n n n          ， 数列 1 1 n na a        的前 10 项的和等于 1 1 1 1 1 1 1 1 101 + 12 3 3 5 19 21 2 21 21                                . 故选：D 【点睛】 本题主要考查裂项法求和，同时考查等差数列的通项公式，属于简单题. 15．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3=7，S6=63，则数列{nan}的前 n 项和为（ ） A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n 【答案】D 【分析】 利用已知条件列出方程组求解即可得 1,a q ，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】 设等比数列{an}的公比为 q，易知 q≠1， 所以由题设得     3 1 3 6 1 6 1 71 1 631 a q S q a q S q          ， 两式相除得 1+q3=9，解得 q=2， 进而可得 a1=1， 所以 an=a1qn-1=2n-1， 所以 nan=n×2n-1. 设数列{nan}的前 n 项和为 Tn， 则 Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1， 2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n， 两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=1 2 1 2 n  -n×2n=-1+(1-n)×2n， 故 Tn=1+(n-1)×2n. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 16．数列 na 的通项公式为 2 π1 sin 2n na n  ，前 n 项和为 nS ，则 100S  （ ） A．50 B．-2400 C． 4900 D． 9900 【答案】C 【分析】 由 πsin 2 ny  的周期为 4，可得 2 2 2 2 2 2 100 100 1 3 5 7 97 99S        ，利用并项求和可得解. 【详解】 2 1 1 1a   ， 2 1a  ， 2 3 1 3a   ， 4 1a  ，…，考虑到 πsin 2 ny  的周期为 4， 所以  2 2 2 2 2 2 100 100 1 3 5 7 97 99 100 2 1 3 5 7 99S               (1 99) 50100 2 49002       . 故选：C. 17．已知等比数列{ }na 的前 n 项和 3n nS a  （ a 为常数），则数列 2{ }na 的前 n 项和为（ ） A． 1 (9 1)2 n  B． 1 (9 1)4 n  C． 1 (9 )8 n a D． 3 (9 1)8 na  【答案】A 【分析】 由题意得到等比数列 na 的通项，数列 2 na 也是等比数列，结合等比数列前 n 项和公式得到结果. 【详解】 1 1 3a S a   ，当 2n  时， 1 1 2 3n n n na S S      ，所以3 2a  ，即 1a   . 所以 2 14 9n na   ，前 n 项和    4 1 9 1 9 11 9 2 n n nT     . 故选 A 【点睛】 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．若数列{ }na 满足 1 2a  ， 1 1 1 n n n aa a   *( )n N ，则该数列的前 2017 项的乘积是（ ） A．-2 B．-3 C．2 D． 1 2  【答案】C 【解析】 ∵数列{an}满足 a1=2, 1 1 1 n n n aa a   (n∈N ∗ )， ∴ 1 2 1 1 31 aa a    ,同理可得： 3 4 5 1 1, , 2,2 3a a a    . ∴an+4=an,a1a2a3a4=1. ∴该数列的前 2017 项的乘积=1504×a1=2. 本题选择 C 选项. 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这 个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳 猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累 加法、累乘法、迭代法求通项． 19．已知数列 na 的前 n 项和为 nS 且满足 1 1 13 0( 2), 3n n na S S n a    ，下列命题中错误的是（ ） A． 1 nS       是等差数列 B． 1 3nS n  C． 1 3 ( 1)na n n    D． 3nS 是等比数列 【答案】C 【分析】 由 1( 2)n n na S S n   代入得出{ }nS 的递推关系，得证 1 nS       是等差数列，可判断 A，求出 nS 后，可判断 B，由 1a 的值可判断 C，求出 3nS 后可判断 D． 【详解】 2n  时，因为 13 0n n na S S   ，所以 1 13 0n n n nS S S S    ，所以 1 1 1 3 n nS S    ， 所以 1 nS       是等差数列，A 正确； 1 1 1 3S a  ， 1 1 3S  ，公差 3d  ，所以 1 3 3( 1) 3 n n nS     ，所以 1 3nS n  ，B 正确； 1 1 3a  不适合 1 3 ( 1)na n n    ，C 错误； 13 1 3n nS  ，数列 1 1 3n     是等比数列，D 正确． 故选：C． 【点睛】 易错点睛：本题考查由数列的前 n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断， 在公式 1n n na S S   中 2n  ，不包含 1a ，因此由 nS 求出的 na 不包含 1a ，需要特别求解检验，否则易出 错． 20．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a  ， 1 2 1n nS S   ，则 7S  （ ） A．63 B．127 C．128 D．256 【答案】B 【分析】 由 1( 2)n n na S S n   求得{ }na 的递推关系，得{ }na 是等比数列，从而易得 7S ． 【详解】 通解： 1 2 1n nS S   中，令 1n  ，得 2 3S  ，所以 2 2a  . 由 1 2 1n nS S   得 2 12 1n nS S   ， 两式相减得 2 12n na a  ，即 2 1 2n n a a    . 又 1 1a  ， 2 1 2a a  ， 所以数列 na 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 7 7 1 2 1271 2S   . 故选：B. 【点睛】 结论点睛：本题考查求等比数列的前 n 项和，解题方法是由 1( 2)n n na S S n   求得{ }na 的递推关系，得 等比数列后求得前 7 项的和，实际上可以直接用下列方法直接求 7S ： 求解形如 1n na pa q   ( 0p  且 1p  ， 0q  ， *Nn )的数列 na 的通项时，可将其交形为  1n na t p a t    (可用待定系数法求 t )，则可得以 p 为公比的等比数列 na t 的通项公式，从而可求. 21．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋an＝2n(n∈N*)，则 a7＝（ ） A． 7 3 B． 127 64 C． 321 32 D． 385 64 【答案】B 【分析】 由 Sn＋an＝2n，可得当 n≥2 时，Sn－1＋an－1＝2n－2,两式相减可得{an－2}是首项为 a1－2，公比为 1 2 的等比 数列，从而可得结果. 【详解】 当 n≥2 时，Sn－1＋an－1＝2n－2，又 Sn＋an＝2n， 所以 2an－an－1＝2，所以 2(an－2)＝an－1－2， 故{an－2}是首项为 a1－2，公比为 1 2 的等比数列， 又 S1＋a1＝2，故 a1＝1，所以 an＝－ 11 2 n     ＋2， 故 a7＝2－ 1 64 ＝127 64 ， 故选:B. 【点睛】 本题主要考查利用推关系求数列通项公式,考查了等比数列通项公式，考查计算推理能力,是基础题 22．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1 5a  ， 1 1 6( 2)2n na a n    ，若对任意的 *n N ， 1 ( 4 ) 3np S n   恒成立，则实数 p 的取值范围为（ ） A． (2,3] B．[2,3] C． (2,4] D．[2,4] 【答案】B 【解析】 由数列的递推公式可得 ：  1 14 42n na a     ， 则数列 4na  是首项为 1 4 1a   ，公比为 1 2  的等比数列， 1 11 14 1 , 42 2 n n n na a                   ， 分组求和可得： 2 11 43 2 n nS n            ， 题中的不等式即 2 11 1 33 2 n p             恒成立， 结合恒成立的条件可得实数 p 的取值范围为  2,3 本题选择 B 选项. 23．问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共 织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（ ） A．90 尺 B．93 尺 C．95 尺 D．97 尺 【答案】A 【解析】 由已知可得该女子三十日每日织布数组成一个等差数列，设为 na ，且 1 305, 1, 30a a n   ，则   30 30 5 1 902S    ，故选 A. 二、多选题 24．设 na 是等差数列， nS 是其前 n 项的和，且 5 6S S ， 6 7 8S S S  ，则下列结论正确的是（ ） A． 0d  B． 7 0a  C． 9 5S S D． 6S 与 7S 均为 nS 的最大值 【答案】BD 【分析】 设等差数列 na 的公差为 d ，依次分析选项即可求解. 【详解】 根据题意，设等差数列 na 的公差为 d ，依次分析选项：  na 是等差数列，若 6 7S S ，则 7 6 7 0S S a   ，故 B 正确； 又由 5 6S S 得 6 5 6 0S S a   ，则有 7 6 0d a a   ，故 A 错误； 而 C 选项， 9 5S S ，即 6 7 8 9 0a a a a    ，可得  7 82 0a a  ， 又由 7 0a  且 0d  ，则 8 0a  ，必有 7 8 0a a  ，显然 C 选项是错误的. ∵ 5 6S S ， 6 7 8S S S  ，∴ 6S 与 7S 均为 nS 的最大值，故 D 正确； 故选：BD. 【点睛】 本题考查了等差数列以及前 n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 25．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 8 31a  ， 10 210S  ，则（ ） A． 19 919S a B．数列 22 na 是公比为 8 的等比数列 C．若  1 n n nb a   ，则数列 nb 的前 2020 项和为 4040 D．若 1 1 n n n b a a   ，则数列 nb 的前 2020 项和为 2020 24249 【答案】CD 【分析】 由等差数列性质可判断 A；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及 22 na ，结合等比 数列的定义可判断 B；写出 nb ，由定义写出 2020T 的表达式，进行分组求和即可判断 C； 1 1 1 4 4 1 4 3nb n n       ，裂项相消即可求和. 【详解】 由等差数列的性质可知， 19 1019S a ，故 A 错误；设 na 的公差为 d ，则有 8 1 10 1 7 31 10 45 210 a a d S a d        ，解 得 1 3a  ， 4d  ，故 4 1na n  ， 2 8 12 2na n ， 则数列 22 na 是公比为 82 的等比数列，故 B 错误；若      1 1 4 1n n n nb a n       ， 则 nb 的前 2020 项 2020 3 7 11 15 8079 4 1010 4040T          ，故 C 正确； 若    1 1 1 1 4 1 4 3 4 4 1 4 3nb n n n n          ，则 nb 的前 2020 项和 2020 1 1 1 1 1 1 1 2020 4 3 7 7 11 8079 8083 24249T            ，故 D 正确． 故选:CD． 【点睛】 方法点睛: 求数列的前 n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列  等比数 列时，常采取分组求和法；3、等差数列 等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法. 26．已知{ }na 为等比数列，下面结论中错误的是 ( ) A． 1 3 22a a a … B． 2 2 2 1 3 22a a a … C．若 1 3a a ，则 1 2a a D．若 3 1a a ，则 4 2a a 【答案】ACD 【分析】 根据等比数列的通项公式对各选项一一分析即可判断； 【详解】 解：设等比数列的公比为 q，则 2 1 3 2 aa a a qq    ， 当 2 0a  ， 0q  时， 1 3 22a a a  ，故 A 不正确； 2 2 2 2 22 1 3 2 2( ) ( ) 2aa a a q aq    … ， 2 2 2 1 3 22a a a … 当且仅当 1 3a a 时取等号，故 B 正确； 若 1 3a a ，则 2 1 1a a q ， 2 1q  ， 1q   ， 1 2a a  或 1 2a a  ，故C 不正确； 若 3 1a a ，则 2 1 1a q a ， 2 4 2 1 ( 1)a a a q q    ，其正负由 q的符号确定，故 D 不正确 故选：ACD． 27．已知 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 1 2 1a a  ，  1 22 3n n na a a n    ，则下列结论正确的是（ ） A．数列 1n na a  为等比数列 B．数列 1 2n na a  为等比数列 C．  12 1 3 nn na    D．  10 20 2 4 13S   【答案】ABD 【分析】 根据已知递推公式进行变形求解判断 AB．求出数列{ }na 前几项，验证后判断 C，求出前 20 项和可判断 D， 【详解】 因为  1 22 3n n na a a n    ，所以 1 1 2 1 22 2 2( )n n n n n na a a a a a         ， 又 1 2 2 0a a   ，所以 1{ }n na a  是等比数列，A 正确； 同理 1 1 2 1 1 2 1 22 2 2 2 ( 2 )n n n n n n n n na a a a a a a a a                 ，而 2 12 1a a   ， 所以 1{ 2 }n na a  是等比数列，B 正确； 若 12 ( 1) 3 n n na    ，则 3 2 2 2 ( 1) 33a    ，但 2 1 3a   ，C 错； 由 A 1{ }n na a  是等比数列，且公比为 2， 因此数列 1 2 3 4 5 6, , ,a a a a a a   仍然是等比数列，公比为 4， 所以 10 10 20 1 2 3 4 19 20 2(1 4 ) 2( ) ( ) ( ) (4 1)1 4 3S a a a a a a           ，D 正确． 故选：ABD． 【点睛】 方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得 证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验． 28．已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，若对于任意的 m ， *n N ，都有 m n m na a a   ，则下列结论正 确的是（ ） A． 1 12 8 5a a a a   B． 5 6 1 10a a a a C．若该数列的前三项依次为 x ，1 x ，3x ，则 10 10 3a  D．数列 nS n     为递减的等差数列 【答案】AC 【分析】 令 1m  ，则 1 1n na a a   ，根据 1 0a  ，可判定 A 正确；由 2 5 6 1 10 20 0a a a a d   ，可判定 B 错误；根 据等差数列的性质，可判定 C 正确； 12 2 n d dn an S       ，根据 02 d ，可判定 D 错误. 【详解】 令 1m  ，则 1 1n na a a   ，因为 1 0a  ，所以 na 为等差数列且公差 0d  ，故 A 正确； 由    2 2 2 2 5 6 1 10 1 1 1 19 20 9 20 0a a a a a a d d a a d d        ，所以 5 6 1 10a a a a ，故 B 错误；根据等差数 列的性质，可得  2 1 3x x x   ，所以 1 3x  ， 21 3x  ， 故 10 1 1 1093 3 3a     ，故 C 正确； 由   1 1 1 2 2 2 n n nna dS d dn an n         ，因为 02 d ，所以 nS n     是递增的等差数列，故 D 错误. 故选：AC. 【点睛】 解决数列的单调性问题的三种方法； 1、作差比较法：根据 1n na a  的符号，判断数列 na 是递增数列、递减数列或是常数列； 2、作商比较法：根据 1 ( 0n n n a aa   或 0)na  与 1 的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断. 29．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列， 再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列 1,2 进行构造，第 1 次得到数列 1,3,2；第 2 次得 到数列 1,4,3,5,2；…；第  *n nN 次得到数列 1， 1 2 3, , , , kx x x x ，2；…记 1 21 2n ka x x x      ， 数列 na 的前 n 项为 nS ，则（ ） A． 1 2nk   B． 1 3 3n na a   C．  23 32na n n  D．  13 3 2 34 n nS n   【答案】ABD 【分析】 根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】 由题意可知，第 1 次得到数列 1,3,2，此时 1k  第 2 次得到数列 1,4,3,5,2，此时 3k  第 3 次得到数列 1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k  第 4 次得到数列 1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时 15k  第 n 次得到数列 1， 1 2 3, , , , kx x x x ，2 此时 2 1nk   所以 1 2nk   ，故 A 项正确； 结合 A 项中列出的数列可得： 1 2 3 4 3 3 3 3 9 3 3 9 27 3 3 9 27 81 a a a a                 1 23 3 3 3 ( *)n na n N       用等比数列求和可得  3 3 1 3 2 n na    则  1 2 1 3 3 1 3 33 32 2 n n na         23 3 2 2 n   又  3 3 1 3 3 3 3 3 92 n na            2 23 9 3 332 2 2 2 n n       所以 1 3 3n na a   ，故 B 项正确； 由 B 项分析可知    3 3 1 33 3 12 2 n n na      即  23 32na n n  ，故 C 项错误. 1 2 3n nS a a a a     2 3 13 3 3 3 2 2 2 2 n n           23 1 3 31 3 2 2 n n    23 3 9 4 2 4 n n     13 3 2 34 n n   ，故 D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】 本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚 指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们 应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想. 30．在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志 性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初 日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快， 从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织 5 尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起， 每天比前一天多织多少尺布？”.已知 1 匹 =4 丈，1 丈 =10 尺，若这一个月有 30 天，记该女子这一个月中的 第 n 天所织布的尺数为 na ， 2 na nb  ，对于数列 na 、 nb ，下列选项中正确的为（ ） A． 10 58b b B． nb 是等比数列 C． 1 30 105a b  D． 3 5 7 2 4 6 209 193 a a a a a a     【答案】BD 【分析】 由题意可知，数列 na 为等差数列，设数列 na 的公差为 d ，求出 16 29d  ，再证明数列 nb 是等比数列， B 选项正确； 10 58b b ，A 选项错误； 21 1 30 5 2 105a b    ，C 选项错误； 3 5 7 5 5 2 4 6 4 4 3 209 3 193 a a a a a a a a a a       ， D 选项正确. 【详解】 由题意可知，数列 na 为等差数列，设数列 na 的公差为 d ， 1 5a  ， 由题意可得 1 30 2930 3902 da   ，解得 16 29d  ，  1 16 1291 29n na a n d      ， 2 na nb Q ， 1 11 2 2 22 n n n n a a a dn a n b b       （非零常数）， 则数列 nb 是等比数列，B 选项正确； 16 805 5 329 29d     ，  5 5 310 5 2 2 2d db b    ， 10 58b b  ，A 选项错误； 30 1 29 5 16 21a a d     ， 21 1 30 5 2 105a b    ，C 选项错误； 4 1 16 1933 5 3 29 29a a d      ， 5 1 16 2094 5 4 29 29a a d      ， 所以 3 5 7 5 5 2 4 6 4 4 3 209 3 193 a a a a a a a a a a       ，D 选项正确； 故选：BD.