专题 14 几何体的内切、外接球问题
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在三棱锥 A BCD 中， 5, 2, 2AC AD AB CD BC BD ，则这个三棱锥的外接球的半径
为（ ）
A． 2 10
5
B． 2 10
3
C． 2 5
3
D． 2 5
【解析】由 2, 2CD BC BD ，有 2 2 2BC BD CD ，即△CBD 为等腰直角三角形且 90CBD ，
若 E 为 CD 的中点， O 为三棱锥 A BCD 外接球的球心，连接 ,AE BE ，又 5AC AD ，
∴ ,AE CD BE CD ，又 BE AE E ，即知：CD 面 ABE 且CE DE ，
∴三棱锥 A BCD 外接球的球心 O 必在平面 ABE 内，
又由上知： 1, 2BE AB AE ，故
2 2 2 7cos 2 8
AB AE BEBAE AB AE
，即 15sin 8BAE ，过 A 作
AH BE 于 H ，过O 作OF AH 于 F ，由 1 1 sin2 2AH BE AB AE BAE ，得 15
2AH ，
1
2 2
BEEH OF ，若三棱锥 A BCD 外接球半径为 R，OE FH x ，
∴ 2 2 2 215 1( ) ( )2 4OA AH FH OF x ， 2 2 2 2 1OD OE DE x ，又 OA OD R ，∴
15
5x ，故 2 10
5R .故选：A.
2．已知点 , ,A B C 在半径为 2 的球面上，满足 1AB AC ， 3BC ，若 S 是球面上任意一点，则三棱
锥 S ABC 体积的最大值为（ ）
A． 3 2 3
12
B． 3 2 3
6
C． 2 3 3
12
D． 3 3
12
【解析】设 ABC 外接圆圆心为 O ，三棱锥 S ABC 外接球的球心为O ， 1AB AC ，设 D 为 BC 中
点，连 AD ，如图，
则 AD BC ，且O 在 AD 上， 2 2 1( )2 2
BCAD AB ，
设 ABC 外接圆半径为 r ， 2 2 2 23 1( ) ( ) ( )2 4 2
BCr AD r r ，解得 1r ，
2 2| | 2 3OO r ，要使 S ABC 体积的最大，需S 到平面 ABC 距离最大，
即S 为O O 的延长线与球面的交点，最大值为 3 2 ，
所以三棱锥 S ABC 体积的最大值为 1 1 1 1 3 2 3( 3 2) ( 3 2) 33 3 2 2 12ABCS
．故选：A
3．已知底面为矩形的四棱锥 P-ABCD 每个顶点都在球 O 的球面上，PA AD ，PA AB ， 2PB AB ，
且 2 2BC ，若球 O 的体积为 32
3
，则棱 PB 的中点到平面 PCD 的距离为（ ）
A． 6
2
B． 6
3
C． 3
2 D． 2 2
3
【解析】 PA AB ， 2PB AB ， 2 2 2PB AB PA ，
PA AB ，又 PA AD ， AD AB A ， AB Ì平面 ABCD， AD 平面 ABCD，
PA 平面 ABCD. 底面 ABCD 为矩形，侧棱 PC 为球 O 的直径，
设球 O 的半径为 R，则
34 32
3 3
R ，即 2R ，
又
2 2 2 28 2
2 2
AB AD AP ABR ，解得 2AB .
过 A 作 AG PD 于 G，取棱 PA 的中点 F，连接 EF.
易证CD 平面 APD，则CD AG ， AG PD ，CD AG ，CD PD D ，CD 平面 PCD，PD
平面 PCD， AG 平面 PCD.
P ACD A PCDV V ，即 1 1 1 1
3 2 3 2AB AD PA CD PD AG ，
可得 2 2 2 2 6
32 3
AG ，则 F 到平面 PCD 的距离为 1 6
2 3AG ，
//EF AB ， //AB CD ， //EF CD ，
则 E 到平面 PCD 的距离等于 F 到平面 PCD 的距离，
故棱 PB 的中点到平面 PCD 的距离为 6
3
.故选：B
4．正四面体 ABCD 的棱长为 1，点 P 是该正四面体内切球球面上的动点，当 PA PD 取得最小值时，点 P
到 AD 的距离为（ ）
A． 3 2 6
12
B． 6 3
12
C． 2 2 3
12
D． 2
4
【解析】因为四面体 ABCD 是棱长为 1 的正四面体，
所以其体积为 1 1 3 6 21 13 2 2 3 12
.
设正四面体 ABCD 内切球的半径为 r ，
则 1 1 3 24 1 13 2 2 12r ，得 6
12r .
如图，取 AD 的中点为 E ，则 ( ) ( )PA PD PE EA PE ED
2 2 1( ) 4PE PE EA ED EA ED PE
.
显然，当 PE 的长度最小时， PA PD 取得最小值.
设正四面体内切球的球心为 O ，可求得 6
4OA OD .
因为球心 O 到点 E 的距离
2 2
2 2 6 1 2
4 2 4d PA AE
，
所以球O 上的点 P 到点 E 的最小距离为 2 6 3 2 6
4 12 12d r ，
即当 PA PD 取得最小值时，点 P 到 AD 的距离为 3 2 6
12
.
故选：A.
5．已知三棱锥 P ABC 的底面是正三角形， PA a ，点 A 在侧面 PBC 内的射影 H 是 PBC 的垂心，
当三棱锥 P ABC 体积最大值时，三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为（ ）
A． 34 3a B． 23 a C． 33
2 a D． 212a
【解析】如下图所示，延长 PH 交 BC 于点 D ，连接 AD ，
H 为 PBC 的垂心，则 BC PD⊥ ，
AH 平面 PBC ， BC 平面 PBC ， BC AH ，
AH PD H ， BC 平面 PAD ， AD Q 平面 PAD ， BC AD ，
连接 BH 并延长交 PC 于点 E ，连接 AE ，
AH 平面 PBC ， PC 平面 PBC ， AH PC ，
BE PC ， AH BE H ， PC 平面 ABE ，
AB 平面 ABE ， AB PC ，
设点 P 在平面 ABC 内的射影为点O ，延长 CO交 AB 于点 F ，连接 PF ，
PO 平面 ABC ， AB Ì平面 ABC ， PO AB ，
PO PC P ， AB 平面 PCF ，
PFQ 、CF 平面 PCF ，则 PF AB ，CF AB ，
AD CF O ， O 为正 ABC 的中心，且 F 为 AB 的中点，
PO 平面 ABC ， OA 、 OB 、OC 平面 ABC ，
PO OA ， PO OB ， PO OC ，且OA OB OC ，
所以， POA POB POC ， PA PB PC a ，
当 PB PC 时， PBC 的面积取最大值，
当 PA 平面 PBC 时，三棱锥 P ABC 的体积取得最大值，
将三棱锥 A PBC 补成正方体 AEMN PBDC ，
所以，三棱锥 A PBC 的外接球的直径即为正方体 AEMN PBDC 的体对角线长，
设三棱锥 A PBC 的外接球直径为 2R ，则 2 2 22 3R PA PB PC a ，
因此，三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 22 24 2 3R R a .故选：B.
6．已知三棱锥 P ABC 的各个顶点都在球O 的表面上，PA 底面 ABC ，AB AC ， 6AB ， 8AC ，
D 是线段 AB 上一点，且 2AD DB .过点 D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为
25 ，则球O 的表面积为（ ）
A．128 B．132 C．144 D．156
【解析】 PA 平面 ABC ，AB AC ，将三棱锥 P ABC 补成长方体 PQMN ABEC ，如下图所示：
设 AE BC F ，连接 OF 、 DF 、OD ，可知点 O 为 PE 的中点，
因为四边形 ABEC 为矩形，AE BC F ，则 F 为 AE 的中点，所以， //OF PA 且 1
2OF PA ，设 2PA x ，
且 2 2 10AE AB BE ， 2 2 22 25PE PA AE x ，
所以，球 O 的半径为 21 252R PE x ，
在 Rt ABE△ 中，
2ABE ， 6AB ， 10AE ， 3cos 5
ABBAE AE
，
在 ADF 中， 2 43AD AB ， 5AF ，
由余弦定理可得 2 2 2 cos 17DF AD AF AD AF BAE ，
PA 平面 ABCD ， OF 平面 ABCD ，
DF 平面 ABCD ，则 OF DF ，
1
2OF PA x ， 2 2 2 17OD OF DF x ，
设过点 D 的球O 的截面圆的半径为 r ，设球心O 到截面圆的距离为 d ，设OD 与截面圆所在平面所成的角
为 ，则 2 2sind OD R r .
当 0 时，即截面圆过球心 O 时， d 取最小值，此时 r 取最大值，
即 2
max 25r R x ；
当
2
时，即 OD 与截面圆所在平面垂直时， d 取最大值，即 2
max 17d OD x ，
此时， r 取最小值，即 22
min max 2 2r R d .
由题意可得 2 2 2
max min 17 25r r x ， 0x > ，解得 2 2x .
所以， 33R ，因此，球 O 的表面积为 24 132S R .故选：B.
7．如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面 ABC ，AB BC ，AD BP ，PA AC ，若三棱锥 P ABC
外接球的表面积为8 ，则三棱锥 P ACD 体积的最大值为（ ）
A． 2
3
B． 1
2 C． 3
4
D． 2
4
【解析】设 AB a= ，BC b ，由三棱锥 P ABC 外接球的表面积为8 ，得外接球的半径 2R .又 PA
平面 ABC ， AB BC ，
所以 22 2 2 2 2 22 2 8AB BC AP AC AP AP R ，所以 2AP ，
所以 2 2 4a b .因为 PA 平面 ABC ，AD PB ，所以 24PB a ，
2
24
aBD
a
，过 D 作 DE AB ，
垂足为 E，则 DE 平面 ABC ，
所以 //DE PA，所以 DE BD
PA BP
，所以
2
2
2
4
aDE a
，
所以
2
2
1 1 223 6 4P ABC D ABC ACP AC DD
aV V S PA DE ab aV
△ 2 2 2
4 4
3 4 3 2
ab ab
a a b
4 4 2
2 36 23 a b
b a
，当且仅当 2a b
b a
，
即 2 3
3a ， 2 6
3b 时，“=”成立，所以三棱锥 P ACD 体积的最大值为 2
3
.
故选：A.
8．已知球O 内接正四面体 P ABC ，E 为棱 PA 的中点，F 是棱 PB 上的一点，且 2FC EF ，则球O 与
四面体 P EFC 的体积比为（ ）
A．54 3 B． 27 3 C．18 3 D．9 3
【解析】如图，正四面体 P ABC 中，顶点 P 在底面的射影为 1O ，球心O 在 1PO 上.
设正四面体的棱长为 2a ，则正四面体高
2
22 2
1 1
2 3 2 62 3 3PO PC O C a a a
.
设外接球半径为 R ，在直角三角形 1OO C 中， 2 2 2
1 1OC OO O C ，
即
2 2
2 2 6 2 3
3 3R a R a
，解得 6
2R a .
令 PF ，在 PEF 中，由余弦定理得
2 2 2 2 22 cos60EF PE PF PE PF a a ①，同理，在 PFC△ 中，由余弦定理得
2 2 2 2 22 cos60 4 2FC PC PF PC PF a a ②.由题设 2FC EF ，解得 2
3
a .由于 P 到
平面 ABC 的距离与 C 到平面 PAB 的距离相等，都等于 1PO ， 21 3sin602 6PEFS PE PF a △ ，故
2 3
1
1 1 3 2 6 2
3 3 6 3 9P EFC PEFV S PO a a a △ ， 3 34 4 6 63 3 2OV R a a
球 .所以
3
3
6 9 3
2
9
P EFC
OV a
V a
球
.故选：D.
9．在四棱锥 P ABCD 中， //BC AD ，AD AB ， 2 3AB ， 6AD ， 4BC ， 4 3PA PB PD ，
则三棱锥 P BCD 外接球的表面积为（ ）
A． 60 B． 40 C．100 D．80
【解析】如图，取 AD 的两个三等分点 1O 、 E ，连接 BD 、 1O C 、CE ，
设 1BD O C H ，连接 PH 、 AH .
则 1
1 23AO AD ， 1 4O D BC ，又 //BC ADQ ， 1//BC O D ，
所以，四边形 1BCDO 为平行四边形， 1O C BD H ， H 为 BD 的中点，
所以， 1 1 12 36 2 32 2AH BH DH BD ，
由勾股定理可得 22 2 2
1 1 2 2 3 4O B AO AB ，则 1 1O B O D ，
在 1Rt O AB△ 中， 1
1
tan 3ABAO B AO
， 1 3AO B ，
//BC ADQ ， 1 3CBO ，又 1 1BC O D O B ，则 1O BC△ 为等边三角形，
1 1 1 4O C O B O D ，则 1O 是 BCD△ 的外接圆的圆心.
因为 4 3PA PB PD ， H 为 BD 的中点， PH BD ，
PA PB ， AH BH ， PH PH ， PAH PBH △ △ ，
2PHA PHB ，
PH AH ，又 PH BD ， AH BD H ， PH 平面 ABCD ，
且 2 22 2 4 3 2 3 6PH PA AH .
设O 为三棱锥 P BCD 外接球的球心，连接 1OO 、OP 、 OD ，过 O 作OF PH ，垂足为 F ，
则外接球的半径 R 满足 22 2 2 2
1 1 14 6R OO OO O H ，
设 1OO x ，则 22 16 6 4x x ，解得 2x ，
从而 2 2 24 20R x ，故三棱锥 P BCD 外接球的表面积为 24 80R .
故选：D.
10．在边长为 2 的菱形 ABCD 中， 2 3BD ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ABC 平面
ACD ，则所得三棱锥 A BCD 的外接球表面积为（ ）
A． 8π
3 B． 14π
3 C． 20π
3 D． 32π
3
【解析】 在边长为 2 的菱形 ABCD 中， 2 3BD ，如图，
由已知可得， ABC 与 ACD△ 均为边长为 2 的等边三角形，
取 AC 中点G ，连接 BG ， DG ，则 BG AC ，
33 cos 2 6 3DG GDA GDA ADC ，
平面 ABC 平面 ACD ，交线为 AC ，
而 BG 平面 ABC ，则 BG 平面 ACD ，
分别取 BCD△ 与 ABD△ 的外心 E ， F ，
过 E ， F 分别作两面的垂线，相交于 O ，
则O 为三棱锥 A BCD 的外接球的球心，
由 BCAV 与 ACD△ 均为等边三角形且边长为 2，
可得 1 3
3 3OE OF DG ， 2 3
3DE DG GE ，
2 2 2 23 2 3 15( ) ( )3 3 3OD OE ED ，
即三棱锥外接球的半径： 15
3R OD ，
三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为： 2 215 204 4 ( )3 3R .
故选：C.
11．已知三棱锥 P ABC 的外接球的球心为O ，PA 平面 ABC ，AB AC ， 4AB AC ， 2PA ，
则球心 O 到平面 PBC 的距离为（ ）
A． 1
3 B． 6
3
C． 3
3
D． 3
【解析】
因为 , 4AB AC AB AC ，
故 ABC 为等腰直角三角形且 4 2BC ，而 E 为 BC 的中点.
故 E 为 ABC 的外心，故OE 平面 ABC .
因为 PA 平面 ABC ，所以 //OE PA ，故 , , ,P A E O 共面.
连接 PE 交OG 于 H 点，过O 作OD EH ，垂足为 D .
因为 ,AB AC BE EC ，故 AE BC ，
在直角三角形 PAC 中， 2, 4PA AC ，故 2 5PC ，同理 2 5PB ，
因为 BE EC ，故 PE BC ，而 PE AE E ，故 BC ⊥ 平面GAEO ，
因为 BC 平面 PBC ，故平面GAEO 平面 PBC .
因为平面GAEO平面 PBC EH ，OD EH ， OD 平面 GAEO ，
所以OD 平面 PBC .因为O 为三棱锥 P ABC 的外接球的球心，故OG PA ，
因为 PA 平面 ABC ， AE 平面 ABC ，故 PA AE ，
在平面 PAEO 中，因为 PA AE ，OG PA ，故 //OG AE ，
故四边形 AGOE 为矩形，且 1OE GA PG ， 1 2 22OG AE BC .
又因为 90 , ,PGH EOH PG OE PHG EHO ，
故 PGH EOH△ △ ，故 1 22OH GH .
在直角三角形 OEH 中， 1 2 6
31 2
OD
.故选：B.
12．点 P 为棱长是 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球 O 球面上的动点，点 M 为 1 1B C 的中点，若满足
DP BM ，则动点 P 的轨迹的长度为( )
A． 5
5
B． 2 5
5
C． 4 5
5
D． 8 5
5
【解析】根据题意,点 P 为棱长是 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球 O 球面上的动点,点 M 为 1 1B C 的
中点,设 1BB 中点为 N , 1AB 中点为 K ,如下图所示:
在平面 1 1BB C C 中,CN BM ，由题意可知 DP BM ,
CN 为 DP 在平面 1 1BB C C 内的射影,所以直线 DP 在过点 D 且与 BM 垂直的平面内
又因为 P 在正方体内切球的球面上
所以点 P 的轨迹为正方体的内切球与过 D 且与 BM 垂直的平面相交得到的小圆,即 P 的轨迹为过 , ,D C N
的平面即为平面CDKN 与内切球的交线
因为 , ,D O N 位于平面 1 1DD B B 内,
设O 到平面 CDKN 的距离为 h ，所以由 C DON O DCNV V ,可得
1
1 1 1 1 1 1
3 2 2 2 3 2ON DD AC CD CN h
，
代入可得 1 1 1 12 1 2 2 53 2 3 2 h ,解得 5
5h ，
正方体的内切球半径为 1R ，
由圆的几何性质可得所截小圆的半径为
2
5 2 51 5 5r
，
所以小圆的周长为 4 52 5C r ，
即动点 P 的轨迹的长度为 4 5
5
，故选:C
二．填空题
13．设 A B C D， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则三
棱锥 D ABC 体积的最大值为___________.
【解析】 ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则 23 9 3
4ABCS AB
， 6AB
如图所示，设点 M 为 ABC 的重心，E 为 AC 中点，
当点 D 在平面 ABC 上的射影为 M 时，三棱锥 D ABC 的体积最大，此时， 4OD OB R ， 点 M
为三角形 ABC 的重心， 2 2 33BM BE ，
Rt OMB 中，有 2 2 2OM OB BM ， 4 2 6DM OD OM ，
所以三棱锥 D ABC 体积的最大值 1 9 3 6 18 33D ABCV
14．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ，其内有 2 个不同的小球，球 1O 与三棱锥 1 1A CB D 的
四个面都相切，球 2O 与三棱锥 1 1A CB D 的三个面和球 1O 都相切，则球 2O 的表面积等于________．
【解析】因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ，
所以三棱锥 1 1A CB D 是边长为 2 6 的正四面体， 1 1CB D 的高为 3 2 6 3 22
，
设底面 1 1CB D 的中心为O ，连接 CO ，则 2 3 2 2 23CO ， 24 8 4AO ，
则球 1O 是三棱锥 1 1A CB D 的内切球,设其半径为 1R ，
则 1 1 1 1 1
4A CB D O CB DV V ，所以
1 1 1 1 1
1 143 3CB D CB DS AO S R △ △ ，
所以 1
1 14R AO ， 又球 2O 与三棱锥 1 1A CB D 的三个面和球 1O 都相切，
则设面 / /MNP 平面 1 1CB D ，且球 1O 和球 2O 均与平面 MNP 相切于点 E，
如图所示，
则球 2O 是三棱锥 A MNP 的内切球，设其半径为 2R ，故 12 2AE AO R ，
因此在正四面体 A MNP 中，利用求 1R 的方法可求得 2
1 1
4 2R AE ，
所以球 2O 的表面积为 .
15．已知三棱锥 P ABC 的顶点 P 在底面的射影 O 为 ABC 的垂心，若 2
ABC OBC PBCS S S △ △ △ ，且三棱
锥 P ABC 的外接球半径为 3，则 PAB PBC PACS S S △ △ △ 的最大值为________．
【解析】连 AO 交 BC 于 D ，顶点 P 在底面的射影 O 为 ABC 的垂心，
AD BC ，又 PO 平面 ABC ， PO BC ，
PO AD O ， BC 平面 , ,PAD BC PA BC PD ，
同理可证 ,PC AB PB AC ，
由 2
ABC OBC PBCS S S △ △ △ ，得 2 , AD PDAD OD PD PD OD
，
, , 90PDO PDA POD APD APD POD △ △ ，
PA PD ，又 , ,PA BC BC PD D PA 平面 PBC ，
,PA PB PA PC ，又 , ,PC AB PA AB A PC 平面 PAB ，
, , ,PC PB PA PA PC 两两互相垂直，
三棱锥 P ABC 的外接球为 , ,PA PB PC 为棱的长方体的外接球，
又三棱锥 P ABC 的外接球半径为 3，
2 2 2 2(2 3) 36PA PB PC ，
1 1 1
2 2 2PAB PBC PAC PA PB PB PC PC PAS S S △ △ △
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 184
PA PB PB PC PC PA ，
当且仅当 2 3PA PB PC 时，等号成立.故答案为：18.
16．在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形， / / ,AB CD AB AD ，
2 2CD AD AB ，若动点 Q 在平面 PAD 内运动，使得 CQD 与 BQA 相等，则三棱锥 - Q ACD
的体积最大时的外接球的体积为_____．
【解析】
因为 PA 平面 ABCD ，所以平面 PAD 平面 ABCD ，
因为 / /AB CD ， AB AD ，所以 AB 平面 PAD ，CD 平面 PAD ，
因为 Q 在 PAD△ 内及边上，所以 QA、QD 在平面 PAD 内，
所以 AB QA ，CD QD ，
所以在 Rt CDQ△ 内， tan CDCQD DQ
，在 Rt ABQ△ 内， tan ABBQA QA
，
因为 CQD BQA ，所以 CD AB
DQ QA
，因为 2, 2CD AB ，
所以 2QD AQ ，在平面 PDA内，以 DA 的中点为原点 O，线段 DA 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系：则 ( 1,0)D ， (1,0)A ，设 ( , )P x y ，
则 2 2| | ( 1)DQ x y ， 2 2| | ( 1)QA x y ，
由 2QD AQ 得 2 2 2 2( 1) 2 ( 1)x y x y ，化简得 2 2( 3) 8x y ，
所以动点 Q 在平面 PAD 内运动，Q 点轨迹是圆 2 2( 3) 8x y ，如图所示，
当Q 在过圆心的垂线时点 Q 到 DA 的距离最大为半径 2 2 ，也就是三棱锥Q ACD 的高的最大值为 2 2 ，
下面的计算不妨设点Q 在 x 轴上方， QAD 外接圆圆心在 DA 中垂线上，即 y 轴上，设外接圆圆心 N，半
径 r，则 2 sin
DQr DAQ
，而 2 2, 2, 4QS AS DS ，
故 2 22 22 2 2 2 3, 4 2 2 2 6AQ DQ ，
2 2 2sin sin
2 3 3
QSDAQ QAS AQ
，所以 32 2 6 6sin 2
DQr DAQ
，故 3AN r ，
则 2 23 1 2 2ON .
如图三棱锥Q ACD ，CD 平面 PAD ， 2CD AD ， ACD△ 的外接圆圆心在斜边中点 M 上，过 M，
N 作平面 ACD 和平面QAD 的垂线，交于点 I，即是三棱锥外接球球心，因为
1 2, 2 22DM AC IM ON ，
所以三棱锥Q ACD 外接球半径 2 22 2 2 2 2 10R DI DM IM ，
所以三棱锥Q ACD 的外接球的体积为 334 4 40 10103 3 3V R .
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图甲，在矩形 ABCD 中， E 是CD 的中点， 2AB ， 2BC ，以 AE 、 BE 为折痕将 ADE 与
BCF△ 折起，使 D ，C 重合（仍记为 D ），如图乙.
（1）探索：折叠形成的几何体中直线 DE 的几何性质（写出一条即可，不含 DE DA ， DE DB ，说
明理由）；
（2）求翻折后几何体 E ABD 外接球的体积
【解析】（1）性质 1： DE 平面 ABD .证明如下：
翻折前， DE DA ， DE BC ，翻折后仍然有 DE DA ， DE DB ，且 DA DB D ，则 DE 平
面 ABD .
性质 2： DE AB .
证明如下：与性质 1 证明方法相同，得到 DE 平面 ABD .
又因 AB Ì平面 ABD ，则 DE AB .
性质 3： DE 与平面 ABD 内任一直线都垂直.证明如下：
与性质 1 证明方法相同，得到 DE 平面 ABD ，从而 DE 与平面 ABD 内任一直线都垂直.
性质 4：直线 DE 与平面 ABE 所成角等于
4
.
证明如下：如图，取 AB 的中点 F ，连接 DF ， EF ，
由 DA DB ，得 DF AB ，
与性质 2 证明相同，得 DE AB ， DE DF ，
再因 DE DF D ，则 AB 平面 DEF ，进而平面 DEF 平面 ABE .
作 DH EF 于 H ，则 DH 平面 ABE ， DEF 就是直线 DE 与平面 ABE 所成的角，
1DE ， 2EF ， 1 2cos 22
DEDEF EF
，
4DEF .
（2）解法一： 2AD BD ， 2AB ，则 ABD△ 是等腰直角三角形，
如图，取 AB 的中点 F ，则 F 是 ABD△ 的外心.
设几何体 E ABD 外接球的球心是O ，则OF 平面 ABD .
作OM DE 于 M ，则 M 是 DE 的中点，OFDM 是矩形， 1
2OF DM ， 1 12DF AB ，几何体
E ABD 的外接球半径 2 2 1 514 2R OF FD ，
则外接球的体积 34 5 5
3 6OV R .
解法二：证明 DA ， DB ， DE 两两垂直后，几何体 E ABD 外接球就是以 DA ， DB ， DE 相邻的棱的
长方体的外接球， 2 2 2 22 2 2 1 5R DA DB DE ，解得 5
2R ，则外接球的体积
34 5 5
3 6OV R .
18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PBC 平面 ABCD ， 90PBC ， //AD BC ， 90ABC ，
2 2 2 2AB AD CD BC .
（1）求证：CD 平面 PBD ；
（2）若直线 PD 与底面 ABCD 所成的角的余弦值为 3
3
，求三棱锥 A PBD 的外接球表面积.
【解析】（1）证明：在四边形 ABCD 中， //AD BC ， 90ABC ， 2 2 2 2AB AD CD BC ，
所以 ABD△ ， BCD△ 为等腰直角三角形，即CD DB ，
又因为平面 PBC 平面 ABCD ， 90PBC ，平面 PBC 平面 ABCD BC ，所以直线 PB 平面
ABCD ，即 PB CD ，
因为 BD PB B ，所以直线CD 平面 PBD 得证；
（2）由于 PB 平面 ABCD ，所以 BDP 是直线 PD 与底面 ABCD 所成的角，故 3cos 3BDP ，且
2BD ，由于 AD AP ，所以三棱锥 A PBD 的外接球球心在棱 PD 中点，设外接圆半径为 r
∴ 6 2cos
BDPD rBDP
，即表面积为 24 6r
19．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 90 , , 60ADP PD AD PDC ，
E 为 PD 的中点．
（1）证明：CE 平面 PAD ．
（2）求三棱锥 E ABC 外接球的体积．
【解析】（1）由 90ADP 知： AD DP ，底面 ABCD 是正方形有 AD DC ，又 DP DC D ，∴
AD 面 DPC ，而CE 面 DPC ，即 AD CE ，
∵ PD AD DC ， 60PDC ，
∴ PDC△ 为等边三角形，E 为 PD 的中点，故 CE DP ，∵ DP AD D ，
∴CE 平面 PAD ．
（2）由（1）知： ABC 为等腰直角三角形且 2AB BC ，有 2 2AC ，
在 AEC 中 3, 5CE AE ，即 2 2 2AC CE AE ，故 AE CE ，
∴由上知： ABC 、 AEC 都是以 AC 为斜边的直角三角形，由直角三角形斜边中点 O 到三顶点距离相
等知：OE OC OA OB ，即 O 为三棱锥 E ABC 外接球的球心，∴外接球的半径为 22
AC ，
所以三棱锥 E ABC 外接球的体积为 34 8 2( 2)3 3V .
20．如图，四棱锥 S ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形， 2 2AB ， 2BC SC SD ， BC SD .
（1）求证： SC 平面 SAD ；
（2）求四棱锥 S ABCD 外接球的体积.
【解析】（1）证明： BC SD ， BC CD ， SD CD D , ,SD CD 平面 SDC
BC 平面 SDC ，又 //AD BC ， AD 平面 SDC ，
SC 平面 SDC ， SC AD ，
又在 SDC△ 中， 2SC SD ， 2 2DC AB ，
故 2 2 2SC SD DC ，∴ SC SD ，
SD AD D ， ,SD AD 面 SAD ，∴ SC 平面 SAD ，
（2）设 G 为矩形 ABCD 的对角线的交点，则 3AG BG CG DG
作 SO CD 于 O，因为 BC ⊥ 平面 SDC ， BC 平面 ABCD ，
所以平面 ABCD 平面 SDC ，平面 ABCD 平面 SDC CD ， SO 平面 SDC ，
故 SO 平面 ABCD ， OG 平面 ABCD ， OG SO ，
连结OG ， SG ，则 2 2 2 1 3SO GOSG ，
所以 G 为四棱锥 S ABCD 外接球的球心，且球的半径为 3 ，
故所求的球的体积为 34 ( 3) 4 33V
21．如图，将斜边长为 4 2 的等腰直角 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成直二面角 B AD C ，E 为 AD
中点.
（1）求二面角 A BC E 的余弦值；
（2）M 为线段 BC 上一动点，当直线 DM与平面 BCE 所成的角最大时，求三棱锥 M CDE 外接球的体
积.
【解析】解法一：（1）设 F 为 BC 中点，连接 EF ､ AF .
∵ ABC 为等腰直角三角形，且二面角 B AD C 为直二面角，
∴ BD 平面 ADC ，∴ 2 2AD BD CD ， 4AB BC CA ，
由平面几何可知， 10BE CE ，∴ EF BC ， AF BC ，
∴ EFA 就是二面角 A BC E 的平面角，
在 EFA△ 中， 2AE ， 2 24 2 2 3AF ， 10 4 6EF ，
∴
2 2 2 16 2 2cos 2 312 2
EF AF AEEFA EF AF
，
∴二面角 A BC E 的余弦值为 2 2
3
.
（2）设直线 DM与平面 BCE 所成的角为 ，点 D 到平面 BCE 的距离为 d ，
则sin d
DM
，在三棱锥 B CDE 中， 1 2 62BCES BC EF △ ，
由 B CDE D BCEV V 三棱锥 三棱锥 ，求得 2 3
3d ，
∴当 DM最小时，直线 DM与平面 BCE 所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，
∴当 M 为 BC 中点时，直线 DM与平面 BCE 所成的角最大，此时 2DM .
由平面几何知识可知， CDE△ 和 CME△ 都是直角三角形，设 N 为CE 的中点，
则 1 10
2 2ND NE NC NM CE ，
∴三棱锥 M CDE 外接球的半径为 10
2
，
∴外接球的体积
3
4 10 5 10
3 2 3V
.
解法二：（1）∵ ABC 为等腰直角三角形，且二面角 B AD C 为直二面角，
∴ BD 平面 ADC ，∴ BD CD ，
∴以 D 为坐标原点，以 DA ､ DC ､ DB 所在直线为 x 轴､ y 轴､ z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵在平
面图形中， ABC 是斜边为 4 2 的等腰直角三角形，且 E 为高 AD 的中点，∴ (0,0,0)D ， (2 2,0,0)A ，
(0,0,2 2)B ， (0,2 2,0)C ， ( 2,0,0)E ，
∴ ( 2 2,2 2,0)AC ， (0,2 2, 2 2)BC ， ( 2,2 2,0)EC ，
设平面 ABC 的一个法向量为 1 1 1, ,m x y z ，平面 BCE 的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z ，由 0
0
m BC
m AC
，
得 1 1
1 1
2 2 2 2 0
2 2 2 2 0
y z
x y
，令 1 1x ，则 1 1 1y z
∴ (1,1,1)m ，同理可求得 (2,1,1)n ，
∴ 4 2 2cos , 33 6
m nm n
m n
，∴二面角 A BC E 的余弦值为 2 2
3
.
（2）如图，设 (0 1)BM BC ，可得 (0,2 2 ,2 2 2 2 )M ，
∴ (0,2 2 ,2 2 2 2 )DM ，
又由（1）可知平面 BCE 的法向量为 (2,1,1)n ，∴
2 2
2 2 1cos ,
2 4 4 2 6 3 (2 1) 1
DM n
，
即直线 DM与平面 BCE 所成的角的正弦值为 2
1
3 (2 1) 1 ，
∵ 0 1 ，∴ 2
1 3
33 (2 1) 1 ，当且仅当 1
2
时，等号成立.
∴当 M 为 BC 中点时，直线 DM与平面 BCE 所成的角最大，此时 2DM .
由平面几何知识可知， CDE△ 和 CME△ 都是直角三角形，设 N 为CE 的中点，
则 1 10
2 2ND NE NC NM CE ，
∴三棱锥 M CDE 外接球的半径为 10
2
，
∴外接球的体积
3
4 10 5 10
3 2 3V
.
22．设三棱锥 P ABC 的每个顶点都在球 O 的球面上， PAB 是面积为3 3 的等边三角形， AC BC ，
AC BC ，且平面 PAB 平面 ABC .
（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面 POC 平面 ABC .
（2）与侧面 PAB 平行的平面 与棱 AC ， BC ， PC 分别交于 D ， E ， F ，求四面体ODEF 的体积的
最大值.
【解析】（1）证明：取 AB 的中点G ，连接 PG ，取点O 为 PG 的三等分点且 2PO O G ，连接
, , ,O A O B O C GC .因为 PA PB ，所以 PG AB .
又平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC AB ， PG 平面 PAB ，
所以 PG 平面 ABC .因为GC 平面 ABC ，故 PG GC .
因为 ABC 为等腰直角三角形，G 为 AB 的中点，故 AG GC ，
因为O G O G ， 90O GA O GC ，
故 O GA O GC ，故O A O C ，同理O B O C ，
因为 PAB 是等边三角形，故 O 为 PAB 的中心，故O P O A O B ，
故O 为三棱锥 P ABC 的外接球的球心，
故O 与 O 重合即O 在线段 PG 上且 2PO OG .
因为 O 在 PG 上，所以 PO 平面 ABC ，
又 PO 平面 POC ，所以平面 POC 平面 ABC .
（2）由题意得 23 3 34 AB ，解得 2 3AB ，
因为 ABC 为等腰直角三角形，G 为 AB 的中点，故CG AB ，
而平面 PAB 平面 ABC ，平面 PAB 平面 ABC AB ，
CG 平面 ABC ，故 CG 平面 PAB ，故 CG 为点 C 到平面 PAB 的距离.
在等腰直角三角形 ABC 中， 1 32CG AB 即C 到平面 PAB 的距离 3CG .
设 0 1CD CA ，C 到平面 DEF 的距离为 h .
因为平面 //PAB 平面 DEF ，平面 PAC 平面 PAB PA ，平面 PAC 平面 DEF DE ，故 //PA DE ，
同理 //PB EF ，因为 ,APB DFE 方向相同，故 APB DFE ，同理 ABP DEF ，
所以 DEF ABP ，则 DEF 的面积为 23 3 .
又 3h ，所以 O 到平面 DEF 的距离为 3 3 ，
所以四面体ODEF 的体积 2 21 3 3 3 3 3 13O DEFV V .
设 23 1 0 1f ， 3 2 3f ，
当 20 3
时， 0f ；当 2 13
时， 0f .
所以 f 在 20, 3
为增函数，在 2 ,13
为减函数，
所以 max
2 4
3 9f f
，即四面体ODEF 的体积的最大值为 4
9 .
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