小学奥数2-3-2 列方程组解应用题.学生版

教学目标 1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量 2、用代数法来表示各个量：利用“ ,x y ”表示出所有未知量或变量 3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系） 知识精讲 一、列方程解应用题的主要步骤 ⒈ 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系； ⒉ 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量； ⒊ 找到题目中的等量关系，建立方程； ⒋ 解方程； ⒌ 通过求到的关键量求得题目最终答案． 二、解二元一次方程（多元一次方程） 消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元． 模块一、列方程组解应用题 【例 1】 30 辆小车和 3辆卡车一次运货 75 吨，45 辆小车和 6 辆卡车一次运货120 吨。每辆卡车和每辆小 车每次各运货多少吨？ 【巩固】 甲、乙二人 2 时共可加工 54 个零件，甲加工 3时的零件比乙加工 4 时的零件还多 4 个．问：甲每 时加工多少个零件？ 【例 2】 已知练习本每本 0.40 元，铅笔每支 0.32 元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师 所给的 10 元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来 0.56 元，那么老师原 来打算让小虎买多少本练习本？ 【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共 45 双，胶鞋每双 3.5元，布鞋每双 2.4 元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多 10 元．问：两种鞋各多少双？ 列方程组解应用题 【例 3】 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采 20 个，雨天每天可以采12 个，它一连几天采了112 个松子， 平均每天采14 个，问这几天当中有几天是下雨天？ 【例 4】 运来三车苹果，甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多 4 箱，甲车比乙车每箱少 3 个苹果，乙车比 丙车每箱少 5 个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多 5 个苹果，这三车苹果 共有多少个？ 【例 5】 有大、中、小三种包装的筷子 27 盒，它们分别装有18 双、12 双、8双筷子，一共装有 330 双筷 子，其中小盒数是中盒数的 2 倍．问：三种盒各有多少盒？ 【巩固】 用 62 根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有15 个.其中正方形的个数是三角 形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多少个？ 【例 6】 有1克、2 克、5 克三种砝码共16 个，总重量为 50 克；如果把1克的砝码和5 克的砝码的个数对 调一下，这时总重量变为 34 克.那么1克、 2 克、 5 克的砝码有多少个？ 【巩固】 某份月刊，全年共出12 期，每期定价 2.5 元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另 一些学生订全年，共需订费1320 元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年， 则共需订费1245 元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人． 【例 7】 有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转 移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出 20 筐，第二辆卡车转移出 30 筐，那么第一辆卡 车剩下的水果筐数是第二辆的1.2 倍，如果第一辆卡车转移出 21 筐，第二辆卡车转移出 25 筐， 那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上有多少筐水果？ 【巩固】 大、小两个水池都未注满水．若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5 吨水；若从大池抽水将小 池注满，则大池还剩 30 吨水．已知大池容量是小池的1.5 倍，问：两池中共有多少吨水？ 【例 8】 某公司花了 44000 元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了 480 千瓦时， 已知，计算机的价格为每台 5000 元，空调的价格为 2000 元，计算机每小时用电 0.2 千瓦时，平 均每天使用 5 小时，空调每小时用电 0.8 千瓦时，平均每天运行 5 小时，如果一个月以 30 天计， 求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？ 【巩固】 甲、乙两件商品成本共 600 元，已知甲商品按 45% 的利润定价，乙商品按 40% 的利润定价；后 来甲打 8折出售，乙打 9 折出售，结果共获利110 元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是 多少？ 【巩固】 某市现有 720 万人口，计划一年后城镇人口增涨 0.4% ，农村人口增长 0.7% ，这样全市人口增 加 0.6% ，求这个城市现在的城镇人口和农村人口． 【例 9】 某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给 40 分，每答对一题给 4 分，不答题不给分，答错扣 1分，另一种是先给 60 分，每答对一题给 3分，不答题不给分，答错扣 3分，小明在考试中只有 2 道题没有答，以两种方式计分他都得102 分，求考试一共有多少道题？ 【巩固】 某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是 先给 40 分，答对一题给 3分，不答不给分，答错扣1分．某考生按两种判分方法均得 81分，这 次比赛共多少道题？ 【巩固】 下表是某班 40 名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是 2.5 分，那么得 3分和 5 分的 各有多少人？ 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 ？ 8 ？ 【例 10】在 S 岛上居住着100 个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民 崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳 神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有 60 人回答：“是”；对第二个问 题有 40 人回答：“是”；对第三个问题有 30 人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？ 【例 11】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个 A 配件与一个 B 配件组成．甲每天生产 300 个 A 配 件，或生产 150 个 B 配件；乙每天生产 120 个 A 配件，或生产 48 个 B 配件．为了在 10 天内生 产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙车间每天能生 产上衣 18 件或裤子 24 件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？ 【例 12】一片青草，每天长草的速度相等，可供10 头牛单独吃 20 天，供 60 只羊单独吃10 天．如果1头 牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么，10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃________天． 【例 13】甲、乙、丙沿着环形操场跑步，乙与甲、丙的方向相反．甲每隔19 分钟追上丙一次，乙每隔 5 分 钟与丙相遇一次．如果甲 4 分钟跑的路程与乙 5 分钟跑的路程相同，那么甲的速度是丙的速度 的多少倍？甲与乙多长时间相遇一次？ 【例 14】甲、乙二人从相距 60 千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行， 6 小时后在途中相遇．如 果两人每小时所行走的路程各增加1千米，则相遇地点距前一次地点差1千米.求甲、乙两人的速 度． 【例 15】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶 20 千米， 下坡时每小时行驶 35 千米．车从甲地开往乙地需 9 小时，从乙地到甲地需 7.5 小时，问：甲乙 两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 【巩固】 从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路， C 村至 B 村为下坡路， A 村至 B 村的 总路程为 20 千米．某人骑自行车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了1小时 45 分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍．求 A 、 C 之间的路程及自行车上坡时的速度． 【巩固】 华医生下午 2 时离开诊所出诊，走了一段平路后爬上一个山坡，给病人看病用了半小时，然后 原路返回，下午 6 时回到诊所．医生走平路的速度是每小时 4 千米，上山的速度是每小时 3 千 米，下山的速度是每小时 6 千米，华医生这次出诊一共走了 千米． 【例 16】小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前 1 3 时间 乘车，后 2 3 时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多 2 小时．已知小明步行每小时 行 5 千米，乘车每小时行15 千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米? 【例 17】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)米老鼠从 A 到 B ，唐老鸭从 B 到 A ，米老鼠与唐老鸭行走 速度之比是 6 5∶ ，如下图所示． M 是 A 、 B 的中点，离 M 点 26 千米的 C 点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速 25%，离 M 点 4 千米的 D 点有一个仙人，谁从它处经过就能加速 25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到 达，那么 A 与 B 之间的距离是 千米． 【例 18】甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点.如果甲速度不变，乙每 小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A 、 B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点10 千米．如 果乙速度不变，甲每小时多行 3千米，且甲、乙还从 A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E 距 C 点 5 千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【例 19】甲、乙二人共存款100 元，如果甲取出 4 9 ，乙取出 2 7 ，那么两人存款还剩 60 元.问甲、乙二人各 有存款多少元？ 【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液 2600 克,从甲容器取出 1 4 的溶液，从乙容器取出 1 5 的溶液，结果两个容 器共剩下 2000 克.问：两个容器原来各有多少溶液？ 【例 20】某班有 45 名同学，其中有 6 名男生和女生的 1 7 参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等. 问：这个班有多少名男生？ 【巩固】 甲、乙两班人数都是 44 人，两班各有一些同学参加了数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是 乙班未参加人数的 1 3 ，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的 1 4 ，那么共有多少人未参加数 学小组？ 【例 21】一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多 5 顶； 在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的 2 倍．问：男孩、女孩各有多少人？ 【巩固】 有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿 出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的 3倍.大、小两盘苹果原来各有多少个？ 【巩固】 教室里有若干学生，走了10 名女生后，男生是女生人数的 2 倍，又走了 9 名男生后，女生是男 生人数的 5 倍。问：最初有多少名女生？ 【例 22】一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊 与母羊的只数比是 9 : 7 ；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又 数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 7 :5 ．这群羊原来有多少只？ 【巩固】 口袋中有若干红色和白色的球．若取走一个红球，则口袋中的红球占 2 7 ；若取出的不是一个红 球而是两个白球，则口袋中的白球占 2 3 .原来口袋中白球比红球多多少个？ 【例 23】甲、乙两种商品的原来价格比是 7 :3 ．如果它们的价格各自上涨 70 元，它们的价格比变为 7 : 4．求甲乙两种商品的原价各是多少元？ 【巩固】 兄弟两人每月收入比 4 :3 ，支出钱数比18:13 ，他们每月都节余 360 元，求兄弟两人月收入各多 少？ 【例 24】小明用 8 个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图 案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是 2 cm 的正方形小洞．求小长方形的长和 宽？ 乙 甲 【例 25】如图，图中 5 、8和10 分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含 X 这个字母的四 边形面积是多少？ X 8 10 5 b a X 8 10 5 【例 26】图中的三角形都是等边三角形，三角形 A 的边长是 24.7 ，三角形 B 的边长是 26 ．问：所夹三角 形 C 的边长是多少? C B A y x 4 3 2 1 C B A 【例 27】甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人 所拿的自然数得分，重复玩了 3次后，甲共得19 分，乙和丙各得13 分，那么这三张牌上写的数 是哪三个数？ 【例 28】三张卡片上分另标有 p 、q 、r 数码(整数)且 0 p q r   ，游戏时将三张卡片随意分发给 A 、B 、 C 三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干 轮，结果 A 、 B 、三人得分总数分别为 20、10、9．已知 B 在最后一轮的得分是 r ，那么 ⑴ 在第一轮得分是 q ； ⑵ p 、 q 、 r 分别是 、 、 ． 【例 29】某校五年级共有 110 人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加 语言语小组的有 52 人，只参加语文小组的有 16 人；参加英语小组的有 61 人，只参加英语小组 的有 15 人；参加数学小组的有 63 人，只参加数学小组的有 21 人．那么三组都参加的有 人． 【巩固】 有甲、乙、丙、丁 4 个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29 ，23 ，21 和 17 ，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少？ 模块二、设而不求 【例 30】 10 位小学生的平均身高是1.5 米，其中有些低于1.5 米的，他们的平均身高是1.2 米；另一些高 于1.5 米的，平均身高是1.7 米，那么最多有________位同学的身高恰好是1.5 米． 【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头， 29 个小和尚每天共 吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头．问：庙里至少有多少个和尚？ 【巩固】 在一次团体知识竞赛中，某学校的平均分是 88 分，其中女生的平均成绩比男生高10% ，而男生 的人数比女生多10% ．问男、女生的平均成绩各是多少分？ 【例 31】某次演讲比赛，原定一等奖10 人，二等奖 20 人，现将一等奖中的最后 4 人调整为二等奖，这样 得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了 3分，那么原来一等奖平 均分比二等奖平均分多多少分？ 【例 32】有两个学生参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分的整数．他们又参加了 第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分．求第 5 次测验两人的得分．(每次测验满 分为 100 分) 【例 33】购买 3 斤苹果，2 斤桔子需要 6.90 元；购买 8 斤苹果，9 斤桔子需要 22.80 元，那么苹果、桔子 各买 1 斤需要 元. 【例 34】有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件、乙 7 件、丙1件，共需 20 元；若购甲 4 件、乙10 件、丙1 件，共需 27 元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要 元。 【例 35】假设五家共用一井取水，甲用绳 2 根不够，差乙家绳子1根；乙用绳 3根不够，差丙家绳子1根； 丙用绳子 4 根不够。差丁家绳子1根；丁用绳子 5 根不够，差戊家绳子1根；戊用绳 6 根不够， 差甲家绳子1根．如果各得所差的绳子1根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为 小于1000 的整数） 【例 36】在同一路线上有 4 个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑 自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12 时追上乘助力车的，14 时遇到骑自行车的，而与 开摩托车的相遇是16 时．开摩托车的遇到乘助力车的是17 时，并在18 时追上骑自行车的，问 骑自行车的几时遇见乘助力车的？ 【例 37】河水是流动的，在 Q 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q ，然后穿过湖到 R ， 共用 3小时．若他由 R 到 Q 再到 P ，共需 6 小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度， 那么从 P 到 Q 再到 R 需 5 2 小时．问在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需几小时？