小学奥数2-3-3 列不定方程解应用题.学生版

教学目标 1、 熟练掌握不定方程的解题技巧 2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3世纪就开始研究不定方程，因此常称 不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重 要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解 模块一、不定方程与数论 【例 1】 把 2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13 的倍数（要尽量大），求这 两个数． 【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18 的倍数，乙搬的砖数是 23 的倍数，两人共搬了 300 块砖．问： 甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？ 列不定方程解应用题 【巩固】 现有足够多的 5 角和8角的邮票，用来付 4.7 元的邮资，问8角的邮票需要多少张？ 【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16 倍，则满足条件的所有自然数之和为 ___________________. 模块二、不定方程与应用题 【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装 8千克油，小的能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油 桶．问：大、小油桶各几个？ 【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命 中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以 5 ，让冬冬把自己命中的次数乘以 4 ，再把两个 得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是 31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你 知道丁丁和冬冬各命中几次吗？ 【巩固】 某人打靶，8发共打了 53 环，全部命中在10 环、7 环和 5 环上．问：他命中10 环、7 环和 5 环各几 发？ 【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付130 元，每一位女宾付100 元，每带一个孩子付 60 元，现在有 1 3 的成人各 带一个孩子，总共收了 2160 元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？ 【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 1 3 的职工各带一个孩子参加．男职工 每人种13 棵树，女职工每人种10 棵树，每个孩子都种 6 棵树，他们一共种了 216 棵树，那么其中有 多少名男职工？ 【例 6】 张师傅每天能缝制 3件上衣，或者 9 件裙裤，李师傅每天能缝制 2 件上衣，或者 7 件裙裤，两人 20 天共缝制上衣和裙裤134 件，那么其中上衣是多少件？ 【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗 叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声 统计了15 天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15 天内它们共叫了 61声．问：波斯猫至少叫 了多少声？ 【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个 A 配件与一个 B 配件组成．甲每天生产 300 个 A 配件， 或生产 150 个 B 配件；乙每天生产 120 个 A 配件，或生产 48 个 B 配件．为了在 10 天内生产出更 多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？ 【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙车间每天能生产上 衣 18 件或裤子 24 件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？ 【例 8】 有一项工程，甲单独做需要 36 天完成，乙单独做需要 30 天完成，丙单独做需要 48 天完成，现在由 甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这 项工程也用了整数天，那么丙休息了 天． 【例 9】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共 306 人恰好坐满了 5 辆大巴车和 3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在 20 人到 25 人之间，求每辆 大巴车的载客人数． 【巩固】 实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共 306 人恰好坐满了 7 辆大巴车和 2 辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在 20 人到 25 人之间，求每辆 大巴车的载客人数． 【巩固】 每辆大汽车能容纳 54 人，每辆小汽车能容纳 36 人．现有 378 人，要使每个人都上车且每辆车都装 满，需要大、小汽车各几辆？ 【巩固】 小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡 兔共 24 条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？ 【例 10】一个家具店在 1998 年总共卖了 213 张床．起初他们每个月卖出 25 张床，之后每个月卖出 16 张床， 最后他们每个月卖出 20 张床．问：他们共有多少个月是卖出 25 张床？ 【例 11】五年级一班共有36 人，每人参加一个兴趣小组，共有 A 、 B 、C 、 D 、 E 五个小组．若参加 A 组 的有15 人，参加 B 组的人数仅次于 A 组，参加 C 组、 D 组的人数相同，参加 E 组的人数最少，只 有 4 人．那么，参加 B 组的有_______人． 【例 12】将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组．已知甲乙丙的平均年龄分为 37 ， 23 ， 41 .甲 乙两组人合起来的平均年龄为 29 ；乙丙两组人合起来的平均年龄为 33 ．则这一群人的平均年龄 为 . 【例 13】 14 个大、中、小号钢珠共重100 克，大号钢珠每个重12 克，中号钢珠每个重8克，小号钢珠每个重 5 克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？ 【巩固】 袋子里有三种球，分别标有数字 2 ， 3和 5 ，小明从中摸出 12 个球，它们的数字之和是 43 ．问： 小明最多摸出几个标有数字 2 的球？ 【例 14】公鸡 1 只值钱 5，母鸡一只值钱 3，小鸡三只值钱 1，今有钱 100，买鸡 100 只，问公鸡、母鸡、小 鸡各买几只？ 【巩固】 小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得5 分，套中小狗得 2 分．小明共套了10 次，每 次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10 次共得 61分．问：小明至多套中小鸡几次？ 【例 15】开学前，宁宁拿着妈妈给的 30 元钱去买笔，文具店里的圆珠笔每支 4 元，铅笔每支 3元．宁宁买完 两种笔后把钱花完．请问：她一共买了几支笔？ 【巩固】 小华和小强各用 6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一支和 7 分一支的两种，而 且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔多少支． 【例 16】蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有100 名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确 定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的 20% ；参加决赛的 女选手的人数，占初赛的女选手人数的12.5% ，而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、 女选手各有多少人？ 【巩固】 今有桃 95 个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有 2 9 是坏的，其他是好的；乙班分到的桃有 3 16 是坏的，其他是好的．甲、乙两班分到的好桃共有几个？ 【例 17】甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到 20 粒．如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的 2 倍； 如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的 3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？ 【巩固】 有两小堆砖头，如果从第一堆中取出100 块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍．如果 相反，从第二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的 6 倍．问：第一堆中的砖 头最少有多少块？ 【例 18】甲乙丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐 6 册，有 2 人各捐 7 册，其余都各捐11册， 乙班有1人捐 6 册，3人各捐 8册，其余各捐10 册；丙班有 2 人各卷 4 册，6 人各捐 7 册，其余各捐 9 册。已知甲班捐书总数比乙班多 28 册，乙班比丙班多101 册，各班捐书总数在 400 册与 550 册之 间，问各班各有多少人？ 【例 19】在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17 分、 11分和 4 分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在 两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好 投中120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖． 模块三、不定方程与生活中的应用题 【例 20】某地用电收费的标准是：若每月用电不超过 50 度，则每度收 5 角；若超过 50 度，则超出部分按每 度8角收费．某月甲用户比乙用户多交 3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？ 【巩固】 某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10 度的部分，按每度 0.45 元收费；超过10 度 而不超过 20 度的部分，按每度 0.80 元收费；超过 20 度的部分按每度1.50 元收费．某月甲用户比乙 用户多交电费 7.10 元，乙用户比丙用户多交 3.75 元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用 电都按整度数收费) 【例 21】马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金 470 元，乙公司每月付给 他薪金 350 元．年终，马小富从两家公司共获薪金 7620 元．他在甲公司打工 个月，在乙公 司兼职 个月． 【例 22】甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10 分(成绩都是整数)的测验．已知：甲得了 4 分，乙得了最 高分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多 2 分．求乙、 丙、丁、戊的成绩． 【巩固】 有两个学生参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分的整数．他们又参加了第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分．求第 5 次测验两人的得分．(每次测验满分为 100 分) 【例 23】小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有 100 道题，每个人各解出其中的 60 道题，有些 题三人都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题 只有一人解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出，则难题比容易题 多 道． 【例 24】甲、乙两个同学在一次数学擂台赛中，试卷上有解答题、选择题、填空题各若干个，而且每个小 题的分值都是自然数．结果公布后，已知甲做对了 5 道解答题，7 道选择题，9 道填空题，共得 52 分；乙做对了 7 道解答题，9 道选择题，11 道填空题，共得 68 分．问：解答题、选择题、填空题 的每道小题各多少分？ 【例 25】甲乙丙三人参加一个共有 30 个选择题的比赛，计分办法是在 30 分的基础上，每答对一题加 4 分， 答错一题扣1分，不答既不扣分也不加分．赛完后发现根据甲所得总分可以准确算出他答对的题数， 乙、丙二人所得总分相同，仅比甲少1分，但乙丙答对的题数却互不相同．由此可知，甲所得总分 最多为 ． 【例 26】某男孩在 2003年 2 月16 日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是111 ．” 请问：他是在哪一天出生的？ 【例 27】某次演讲比赛，原定一等奖10 人，二等奖 20 人，现将一等奖中的最后 4 人调整为二等奖，这样得 二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了 3分，那么原来一等奖平均分 比二等奖平均分多________分． 【例 28】某次数学竞赛准备了 35 支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给 6 支， 二等奖每人发给 3支，三等奖每人发给 2 支，后来改为一等奖每人发13 支，二等奖每人发 4 支，三 等奖每人发1支．那么获二等奖的有 人．