小学奥数2-2-3 不定方程与不定方程组.教师版

教学目标 1.利用整除及奇偶性解不定方程 2.不定方程的试值技巧 3.学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3世纪就开始研究不定方程，因此常称 不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重 要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、不定方程基本定义 1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被 2、3、5 等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 例题精讲 模块一、利用整除性质解不定方程 【例 1】 求方程 2x－3y＝8 的整数解 【考点】不定方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】方法一：由原方程，易得 2x＝8＋3y，x＝4＋ 3 2 y，因此，对 y 的任意一个值，都有一个 x 与之对应， 并且，此时 x 与 y 的值必定满足原方程，故这样的 x 与 y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为： 不定方程与不定方程组 34 2x k y k      ，其中 k 为任意数．说明 由 y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道 2x 是偶数，8 为偶数，所以若想 2x－3y＝8 成立，y 必为偶数， 当 y＝0，x＝4；当 y＝2，x＝7；当 y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】 求方程 2x＋6y＝9 的整数解 【考点】不定方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为 2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论 x 和 y 取何整数，都有 2|2x＋6y，但 2 Œ 9，因此，不论 x 和 y 取什么整数，2x＋6y 都不可能等于 9，即原方程无整数解． 说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【答案】无整数解 【例 2】 求方程 4x＋10y＝34 的正整数解 【考点】不定方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】因为 4 与 10 的最大公约数为 2，而 2|34，两边约去 2 后，得 2x＋5y＝17，5y 的个位是 0 或 5 两种 情况，2x 是偶数，要想和为 17，5y 的个位只能是 5，y 为奇数即可；2x 的个位为 2，所以 x 的取值 为 1、6、11、16…… x＝1 时，17－2x＝15，y＝3， x＝6 时，17－2x＝ 5，y＝1， x＝11 时，17－2x＝17 －22，无解 所以方程有两组整数解为： 1 6,3 1 x x y y        【答案】 1 6,3 1 x x y y        【巩固】 求方程 3x＋5y＝12 的整数解 【考点】不定方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】由 3x＋5y＝12，3x 是 3 的倍数，要想和为 12（3 的倍数），5y 也为 3 的倍数，所以 y 为 3 的倍数即 可，所以 y 的取值为 0、3、6、9、12…… y＝0 时，12－5y＝12，x＝4， x＝3 时，12－5y＝12－15，无解 所以方程的解为： 4 0 x y    【答案】 4 0 x y    【巩固】 解不定方程： 2 9 40x y  （其中 x,y 均为正整数） 【考点】不定方程 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】方法一：2x 是偶数，要想和为 40（偶数），9y 也为偶数，即 y 为偶数，也可以化简方程 2 9 40x y  ， 40 9 20 52 2 x yx y    知道 y 为偶数，所以方程解为： 11 2,2 4 x x y y        【答案】 11 2,2 4 x x y y        模块二、利用余数性质解不定方程 【例 3】 求不定方程 7 11 1288x y  的正整数解有多少组？ 【考点】不定方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】本题无论 x 或是 y ，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知 1288 是 7 的倍数，所以11y 也是 7 的倍数，则 y 是 7 的倍数． 设 7y z ，原方程可变为 11 184x z  ， z 可以为 1，2，3，……16．由于每一个 z 的值都确定了原 方程的一组正整数解，所以原方程共有 16 组正整数解． 【答案】16 组 【例 4】 求方程 3x＋5y＝31 的整数解 【考点】不定方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得 x＝ 31 5 3 y ，即 x＝10－2y＋ 1 3 y ，要使方程有整数解 1 3 y 必须为整数． 取 y＝2，得 x＝10－2y＋ 1 3 y ＝10－4＋1＝7，故 x＝7，y＝2 当 y＝5，得 x＝10－2y＋ 1 3 y ＝10－10＋2＝2，故 x＝2，y＝5 当 y＝8，得 x＝10－2y＋ 1 3 y ＝10－16＋3 无解 所以方程的解为： 7 2,2 5 x x y y        方法二：利用余数的性质 3x 是 3 的倍数，和 31 除以 3 余 1，所以 5y 除以 3 余 1（2y 除以 3 余 1），根据这个情况用余数的和 与乘积性质进行判定为： 取 y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍） y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意） y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍） y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍） y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意） y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍） 当 y＞6 时，结果超过 31，不符合题意。 所以方程的解为： 7 2,2 5 x x y y        【答案】 7 2,2 5 x x y y        【巩固】 解方程 7 4 89x y  ，（其中 x、y 均为正整数） 【考点】不定方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一： 7 4 89x y  ，4y 是 4 的倍数，和 89 除以 4 余 1，所以 7x 除以 4 余 1（7÷4≡3），可以看成 3x 除以 4 余 1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13） x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍） x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍） x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意） x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍） x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍） x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍） x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意） x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍） x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍） x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍） x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意） x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍） 所以方程的解为： 3 7 11, ,17 10 3 x x x y y y             方法二：利用欧拉分离法，由原方程， 89 7 122 24 4 x xy x     ，  1x  的取值为 4 的倍数即可， 所以方程的解为： 3 7 11, ,17 10 3 x x x y y y             【答案】 3 7 11, ,17 10 3 x x x y y y             模块三、解不定方程组 【例 5】 解方程 1800 1200 800 16000 15 a b c a b c        （ 其中 a、b、c 均为正整数 ） 【考点】不定方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得 9 6 4 80 15 a b c a b c        ，根据消元的思想将第二个式子扩大 4 倍相 减后为：(9 6 4 ) 4( ) 80 4 15a b c a b c        ，整理后得5 2 20a b  ，根据等式性质，2b 为偶数， 20 为偶数，所以5a 为偶数，所以 a 为偶数，当 2a  时，5 2 2 20b   ， 5b  ，所以 8c  ，当 4a  时， 5 4 2 20b   ， 5b  ，所以无解。所以方程解为 2 5 8 a b c      【答案】 2 5 8 a b c      【例 6】 解不定方程 15 3 1003 100 x y z x y z         (其中 x、y、z 均为正整数) 【考点】不定方程 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得 15 9 300 100 x y z x y z        ，根据消元思想与第二个式子相减得 14 8 200x y  ，根据等式的性质两边同时除以 2 得： 7 4 100x y  ，根据等式性质 4y 为 4 的倍数， 100 为 4 的倍数，所以 7y 为 4 的倍数，所以 y 为 4 的倍数试值如下 4 8 12 18, 11, 4 78 81 84 x x x y y y z z z                    【答案】 4 8 12 18, 11, 4 78 81 84 x x x y y y z z z                   