小学奥数2-2-2 方程组解法综合.教师版

教学目标 1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题 知识精讲 知识点说明： 一、 方程的历史 同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元 263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一 书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出 的“方程”如图所示。 方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到 清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程” 就叫做“方程组”了。 二、 学习方程的目的 使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数 学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。 三、 解二元一次方程组的一般方法 解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。 消元方法：代入消元法和加减消元法 代入消元法： ⒈ 取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①； ⒉ 将①代入另一个方程，得一元一次方程； ⒊ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ⒋ 将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 加减消元法： ⒈ 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）； ⒉ 将两条方程相加或相减消元； 方程组解法综合 ⒊ 解一元一次方程； ⒋ 代入法求另一未知数． 加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入． 例题精讲 模块一、二元一次方程组 【例 1】 解方程 5 1 x y x y      （ ,x y 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 ( ) ( ) 5 1x y x y     2 6x  3x  3 2 x y    方法二：解 代入消元法，由 5x y  得到 5x y  ，代入方程 1x y  中，得到  5 1y y   ，整理得 2y  ， 所以 3x  ，所以方程的解为 3 2 x y    【答案】 3 2 x y    【例 2】 解方程 9 2 20 3 4 10 u v u v      （ ,u v 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 方法一：加减消元法 化 v 的系数相同，加减消元法计算得 2(9 2 ) (3 4 ) 2 20 10u v u v      去括号和并同类项得 18 3 20u u  15 30u  2u  2 1 u v    方 法 二 ： 代 入 消 元 法 由 9 2 20u v  得 到 10 4.5v u  ， 代 入 方 程 3 4 10u v  中 得 到  3 4 10 4.5 10u u   ，整理得 2u  ， 1v  ，所以方程解为 2 1 u v    【答案】 2 1 u v    【例 3】 解方程组 5 0 3 2 17 x y x y      （ ,x y 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】加减消元，若想消掉 y ，应将 y 的系数统一，因为 2,5 10 ，所以第一个方程应该扩大 2 倍，第 二个式子应该扩大 5 倍，又因为 y 的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下： 2( 5 ) 5(3 2 ) 2 0 5 17x y x y       ，17 85x  得 5x  ，所以 5 5 0y  ，解得 1y  。 【答案】 5 1 x y    【例 4】 解方程组 3 7 5 2 8 x y x y      （ ,x y 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】将第一个式子扩大 2 倍和二式相减得 2(3 ) (5 2 ) 2 5 12x y x y      ，去括号整理11 22x  解得 2x  ，所以方程的解为 2 1 x y    【例 5】 解方程组 2( 150) 5(3 50) 0.1 0.06 0.085 800 x y x y        （ ,x y 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理得： 2 15 550 5 3 8.5 400 x y x y       ，若想消掉 y ，将方程二扩大 3 倍，又因为 y 的系数符号不同，所以应该用加 消元，计算结果如下：(2 15 ) 5(5 3 ) 550 5 8.5 400x y x y       ，去括号整理得 27 17550x  ，解 得 650x  ，所以方程的解为 650 50 x y    【例 6】 【答案】 650 50 x y    解下面关于 x 、 y 的二元一次方程组： 4 3 2 0 41 3 x y y x       【考点】二元一次方程组 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】整理这个方程组里的两个方程，可以得到： 4 3 2 0 4 3 3 0 x y x y        ， 可以看出，两个方程是不可能同时 成立的，所以这是题目本身的问题，无解 【答案】无解 【例 7】 解方程组 3 4 34 1 9 2 24 1 x y x y           （ ,x y 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将 4x  与 1y  看出相应的未知数，因为每一项的分 母不同，所以先将分母系数化成同样的，所以第二个式子等号两边同时乘以 2 整理得： 3 4 9 2( ) 2( ) 3 2 24 1 4 1x y x y          ，去括号整理后得到 21 74x  ，根据分数的性质计算得 7x  ，所以方程的解为： 7 3 x y    模块二、多元一次方程 【例 8】 解方程组 3 4 7 2 3 9 5 9 7 8 x z x y z x y z           （ , ,x y z 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】观察 , ,x y z 的系数发现，第二个式子与第三个式子中 y 的系数是 3 倍关系，所以将第二个式子扩 大 3 倍 与 第 三 个 式 子 相 减 得 到 ： 3(2 3 ) (5 9 7 ) 3 9 8x y z x y z        ， 去 括 号 整 理 得 11 10 35x z  ，与第一个式子整理得 3 4 7 11 10 35 x z x z      ，若想消掉 z ，，因为 4,10 20 ，所以第一 个方程应该扩大 5 倍，第二个式子应该扩大 2 倍，又因为 z 的系数符号相同，所以应该用减消元， 计算结果如下：2(11 10 ) 5(3 4 ) 2 35 5 7x z x z       ，去括号整理得 7 35x  ， 5x  ，所以方程 解为 5 7 2 x y z      【巩固】 解方程组 2 7 2 8 2 9 x y z x y z x y z            （ , ,x y z 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】将一式与二式相减得 ( 2 ) (2 ) 8 7x y z x y z       去括号整理后得 1y x  ；将二式扩大 2 倍与 三式相减得 2( 2 ) ( 2 ) 2 8 9x y z x y z        ，去括号整理后得 3 7y x  ；最后将两式相加计 算结果如下： ( ) (3 ) 1 7y x y x     ，整理得 4 8y  ， 4y  所以方程的解为： 1 2 3 x y z      【例 9】 解方程组 1 2 5 2 7 x y z y z u z u v u v x v x y                  （ , , , ,x y z u v 为正整数） 【考点】二元一次方程组 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】将 5 个式子相加得 17x y z u v     ，将 1 式与 2 式相加得 3x u  ，将 2 式与 3 式相加得 7y v  ，同理连续相加得到 3 7 7 9 8 x u y v z x u y v z             ，整理后解为 0 6 7 3 1 x y z u v        【答案】 0 6 7 3 1 x y z u v       