小学奥数2-3-3 列不定方程解应用题.教师版

教学目标 1、 熟练掌握不定方程的解题技巧 2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程 3、 学会解不定方程的经典例题 知识精讲 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3世纪就开始研究不定方程，因此常称 不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来． 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重 要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解 模块一、不定方程与数论 【例 1】 把 2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13 的倍数（要尽量大），求这 两个数． 【考点】列不定方程解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ，则有：11 13 2001x y  ，要让 x 取最小值， y 取最大值． 可把式子变形为： 2001 11 13 153 12 13 2 12 215313 13 13 x x x xy x          ，可见 12 2 13 x 是整数， 满足这一条件的 x 最小为 7，且当 7x  时， 148y  ． 则拆成的两个数分别是 7 11 77  和148 13 1924  ． 【答案】则拆成的两个数分别是 77 和1924 ． 【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18 的倍数，乙搬的砖数是 23 的倍数，两人共搬了 300 块砖．问： 列不定方程解应用题 甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？ 【考点】列不定方程解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设甲搬的是18x 块，乙搬的是 23y 块．那么18 23 300x y  ．观察发现18x 和 300 都是 6 的倍数，所 以 y 也是 6 的倍数．由于 300 23 13y    ，所以 y 只能为 6 或 12． 6y  时18 162x  ，得到 9x  ； 12y  时18 24x  ，此时 x 不是整数，矛盾． 所以甲搬了162 块，乙搬了138 块，甲比乙搬得多，多 24 块． 【答案】甲比乙搬得多，多 24 块 【巩固】 现有足够多的 5 角和8角的邮票，用来付 4.7 元的邮资，问8角的邮票需要多少张？ 【考点】列不定方程解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设 5 角和8角的邮票分别有 x 张和 y 张，那么就有等量关系： 5 8 47x y  ． 尝试 y 的取值，当 y 取 4 时，x 能取得整数3，当 y 再增大，取大于等于 6 的数时，x 没有自然数解．所 以8角的邮票需要 4 张． 【答案】 8角的邮票需要 4 张 【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16 倍，则满足条件的所有自然数之和为 ___________________. 【考点】列不定方程解应用题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】，资优博雅杯 【解析】若是四位数 abcd ，则  16 16 36