教学目标
1、设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量
2、用代数法来表示各个量：利用“ ,x y ”表示出所有未知量或变量
3、找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）
知识精讲
一、列方程解应用题的主要步骤
⒈ 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；
⒉ 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；
⒊ 找到题目中的等量关系，建立方程；
⒋ 解方程；
⒌ 通过求到的关键量求得题目最终答案．
二、解二元一次方程（多元一次方程）
消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元．
模块一、列方程组解应用题
【例 1】 30 辆小车和 3辆卡车一次运货 75 吨，45 辆小车和 6 辆卡车一次运货120 吨。每辆卡车和每辆小
车每次各运货多少吨？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设每辆卡车和每辆小车每次各运货 x y、 吨，根据题意可得：
30 3 75
45 6 120
x y
x y
，解得 2
5
x
y
所以，每辆卡车每次运货 2 吨，每辆小车每次运货 5 吨。
【答案】每辆卡车每次运货 2 吨，每辆小车每次运货 5 吨
【巩固】 甲、乙二人 2 时共可加工 54 个零件，甲加工 3时的零件比乙加工 4 时的零件还多 4 个．问：甲每
时加工多少个零件？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲每小时加工 x 个零件，乙每小时加工 y 个零件.则根据题目条件有：
2 2 54
3 4 4
x y
x y
，解得 16
11
x
y
所以甲每小时加工16 个零件，乙每小时加工11个零件．
【答案】甲每小时加工16 个零件
【例 2】 已知练习本每本 0.40 元，铅笔每支 0.32 元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师
所给的 10 元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来 0.56 元，那么老师原
列方程组解应用题
来打算让小虎买多少本练习本？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设老师原本打算让小虎买 x 本练习本和 y 支铅笔，则由题意可列方程组：
0.4 0.32 10
0.4 0.32 10 0.56
x y
y x
，整理得 40 32 1000
40 32 944
x y
y x
，即 5 4 125 (1)
5 4 118 (2)
x y
y x
，
将两式相加，得 9( ) 243x y ，则 27 (2)x y ，
⑴ 4 ⑶，得 17x ．
所以，老师原打算让小虎买 17 本练习本．
【答案】老师原打算让小虎买 17 本练习本
【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共 45 双，胶鞋每双 3.5元，布鞋每双 2.4 元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多
10 元．问：两种鞋各多少双？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设布鞋有 x 双，胶鞋有 y 双．
45
3.5 2.4 10
x y
x y
，解得 20
25
x
y
所以布鞋有 20 双，胶鞋有 25 双．
【答案】布鞋有 20 双，胶鞋有 25 双
【例 3】 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采 20 个，雨天每天可以采12 个，它一连几天采了112 个松子，
平均每天采14 个，问这几天当中有几天是下雨天？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意，松鼠妈妈采的松子有晴天采的，也有雨天采的，总的采集数可以求得，采集天数也确
定，因此可列方程组来求解．
设晴天有 x 天，雨天有 y 天，则可列得方程组：
20 12 112 1
112 214
x y
x y
1 化简为 5 3 28x y ………… 3
用加减法消元： 2 5 3 得： 5( ) (5 3 ) 40 28x y x y
解得 6y .所以其中 6 天下雨.
【答案】其中 6 天下雨
【例 4】 运来三车苹果，甲车比乙车多 4 箱，乙车比丙车多 4 箱，甲车比乙车每箱少 3 个苹果，乙车比
丙车每箱少 5 个苹果，甲车比乙车总共多 3 个苹果，乙车比丙车总共多 5 个苹果，这三车苹果
共有多少个？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设乙车运来 x 箱，每箱装 y 个苹果，根据题意列表如下：
车别 甲 乙 丙
箱数 4x x 4x
每箱苹果数 3y y 5y
根据上表可列出如下方程：
4 3 3
4 5 5
x y xy
xy x y
，化简为 4 3 15 (1)
5 4 15 (2)
y x
x y
⑴ ⑵，得： 2 30x ，于是 15x ．
将 15x 代入⑴或⑵，可得： 15y ．
所以甲车运 19 箱，每箱 12 个；乙车运 15 箱，每箱 15 个；丙车运 11 箱，每箱 20 个．
三车苹果的总数是：19 12 15 15 11 20 673 (个)．
【答案】三车苹果的总数是： 673 个
【例 5】 有大、中、小三种包装的筷子 27 盒，它们分别装有18 双、12 双、8双筷子，一共装有 330 双筷
子，其中小盒数是中盒数的 2 倍．问：三种盒各有多少盒？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设中盒数为 x ，大盒数为 y ，那么小盒数为 2x ，根据题目条件有两个等量关系：
2 27
18 12 8 2 330
x x y
y x x
该方程组解得 6
9
x
y
，所以大盒有 9 个，中盒有 6 个，小盒有 12 个.
【答案】大盒有 9 个，中盒有 6 个，小盒有 12 个
【巩固】 用 62 根同样长的木条钉制出正三角形、正方形和正五边形总共有15 个.其中正方形的个数是三角
形与五边形个数和的一半，三角形、正方形和五边形各有多少个？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设三角形的个数为 x ，五边形的个数为 y ，那么正方形的个数为
2
x y
，由此可列得方程组：
152
3 4 5 622
x yx y
x yx y
该方程组解得： 4
6
x
y
，所以 52
x y
，因此三角形、正方形、五边形分别有 4 、 5 、 6 个.
【答案】三角形、正方形、五边形分别有 4 、 5 、 6 个
【例 6】 有1克、2 克、5 克三种砝码共16 个，总重量为 50 克；如果把1克的砝码和5 克的砝码的个数对
调一下，这时总重量变为 34 克.那么1克、 2 克、 5 克的砝码有多少个？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 5 克砝码比1 克砝码每多1 个，对调后总重量将减少 5 1 4 克，所以 5 克砝码比1 克砝码多
50 34 4 4 （个）．
在原来的砝码中减掉 4 个 5 克砝码，此时剩下12 个砝码，且1克砝码与 5 克同样多，总重量为 30 克．
设剩下 1 克、5 克各 x 个，2 克砝码 y 个，则
2 12
(1 5) 2 30
x y
x y
，解得 3
6
x
y
所以原有 1 克砝码 3 个，2 克砝码 6 个，5 克砝码 3 4 7 个．
【答案】原有 1 克砝码 3 个，2 克砝码 6 个，5 克砝码 3 4 7 个
【巩固】 某份月刊，全年共出12 期，每期定价 2.5 元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另
一些学生订全年，共需订费1320 元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，
则共需订费1245 元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设订半年的 x 人，订全年的 y 人，则：
2.5 (6 12 ) 1320
2.5 (12 6 ) 1245
x y
x y
，得 2 88
2 83
x y
x y
，两式相加，得3( ) 171x y ，
所以 57x y ，即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 57 人．
【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有 57 人
【例 7】 有两辆卡车要将几十筐水果运到另一个城市，由于可能超载，所以要将两辆卡车中的一部分转
移到另外一辆车上去，如果第一辆卡车转移出 20 筐，第二辆卡车转移出 30 筐，那么第一辆卡
车剩下的水果筐数是第二辆的1.2 倍，如果第一辆卡车转移出 21 筐，第二辆卡车转移出 25 筐，
那么第三辆车上的水果筐数是前面两辆车水果筐数和的一半，求原来两辆车上有多少筐水果？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设第一辆卡车上的水果有 x 筐，第二辆卡车上的水果有 y 筐，
则有
20 30 1.2 (1)
21 25 21 25 2 (2)
x y
x y
，
由⑴得 1.2 16x y ，代入⑵得 2.2 62 92y ，解得 70y ，
所以 1.2 16 68x y ，原来两辆车上分别装有 68 筐水果和 70 筐水果．
【答案】两辆车上分别装有 68 筐水果和 70 筐水果
【巩固】 大、小两个水池都未注满水．若从小池抽水将大池注满，则小池还剩 5 吨水；若从大池抽水将小
池注满，则大池还剩 30 吨水．已知大池容量是小池的1.5 倍，问：两池中共有多少吨水？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设大池中有 x 吨水，小池中有 y 吨水.则根据题目条件，两池一共有 x y 吨水，大池可装 5x y
吨水，小池可装 30x y 吨水，所以可列得方程 5 ( 30) 1.5x y x y ，方程化简为
80x y ，所以两池中共有80 吨水．
【答案】两池中共有80 吨水
【例 8】 某公司花了 44000 元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了 480 千瓦时，
已知，计算机的价格为每台 5000 元，空调的价格为 2000 元，计算机每小时用电 0.2 千瓦时，平
均每天使用 5 小时，空调每小时用电 0.8 千瓦时，平均每天运行 5 小时，如果一个月以 30 天计，
求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设添置了 x 台计算机， y 台空调．
则有 5000 2000 44000 (1)
0.2 5 30 0.8 5 30 480 (2)
x y
x y
⑵式整理得 4 16x y ，则 16 4x y ；
代入⑴得 5000 16 4 2000 44000y y ，解得 2y ，则 8x ，
所以公司一共添置了 8 台计算机和 2 台空调．
【答案】8 台计算机和 2 台空调
【巩固】 甲、乙两件商品成本共 600 元，已知甲商品按 45% 的利润定价，乙商品按 40% 的利润定价；后
来甲打 8折出售，乙打 9 折出售，结果共获利110 元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是
多少？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲、乙两件商品成本分别为 x 元、 y 元.
根据题意，有方程组：
600
(1 45%) 0.8 (1 40%) 0.9 600 110
x y
x y
，解得 460
140
x
y
所以成本较高的那件商品的成本是 460 元．
【答案】成本较高的那件商品的成本是 460 元
【巩固】 某市现有 720 万人口，计划一年后城镇人口增涨 0.4% ，农村人口增长 0.7% ，这样全市人口增
加 0.6% ，求这个城市现在的城镇人口和农村人口．
【解析】假设这个城市现在的城镇人口是 x 万人，农村人口是 y 万人，得：
720
0.4% 0.7% 720 0.6%
x y
x y
，解得 240
480
x
y
，
即这个城市现在的城镇人口有 240 万，农村人口有 480 万．
【答案】城镇人口有 240 万，农村人口有 480 万
【例 9】 某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给 40 分，每答对一题给 4 分，不答题不给分，答错扣
1分，另一种是先给 60 分，每答对一题给 3分，不答题不给分，答错扣 3分，小明在考试中只有
2 道题没有答，以两种方式计分他都得102 分，求考试一共有多少道题？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设小明答对了 x 道题，答错了 y 道题.由题目条件两种计分方式，他都得102 分，可得到两条等量
关系式：
40 4 102
60 3 3 102
x y
x y
解得 16
2
x
y
，所以考试一共有16 2 2 20 道题.
【答案】考试一共有16 2 2 20 道题
【巩固】 某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是
先给 40 分，答对一题给 3分，不答不给分，答错扣1分．某考生按两种判分方法均得 81分，这
次比赛共多少道题？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设答对 a 道题，未答b 道题，答错 c 道题，由条件可列方程
5 2 81 1
40 3 81 2
a b
a c
由 1 式知， a 是奇数，且小于17 ． 2 式可化简为
3 41 3c a
由 3 式知， a 大于13 ．综合上面的分析， a 是大于13 小于17 的奇数，所以 15a ．
再由 1 3 式得到 3b ， 4c ． 15 3 4 22a b c ，所以共有 22 道题．
【答案】共有 22 道题
【巩固】 下表是某班 40 名同学参加数学竞赛的分数表，如果全班平均成绩是 2.5 分，那么得 3分和 5 分的
各有多少人？
分数 0 1 2 3 4 5
人数 4 7 10 ？ 8 ？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意，只要设得 3分和5 分的各有多少人，即可利用总人数和总分数而列方程组求解,等量关
系有两条：一是各分数段人数之和等于总人数，各分数段所有人得分之和等于总分数.设得 3 分的
人数有 x 人，得5 分的人数有 y 人,那么：
4 7 10 8 40
1 7 2 10 3 4 8 5 40 2.5
x y
x y
，化简为：
11 1
3 5 41 2
x y
x y
2 1 3 ，得到 2 8y ，即 4y ，再代入 1 ，最后得到方程组得解 4
7
x
y
，所以 40 名学生当
中得 3分的有 7 人，得5 分的有 4 人．
【答案】得 3分的有 7 人，得 5 分的有 4 人
【例 10】在 S 岛上居住着100 个人，其中一些人总是说假话，其余人则永远说真话，岛上的每一位居民
崇拜三个神之一：太阳神、月亮神和地球神．向岛上的每一位居民提三个问题：⑴您崇拜太阳
神吗？⑵您崇拜月亮神吗？⑶您崇拜地球神吗？对第一个问题有 60 人回答：“是”；对第二个问
题有 40 人回答：“是”；对第三个问题有 30 人回答：“是”．他们中有多少人说的是假话？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】我们将永远说真话的人称为老实人，把总说假话的人称为骗子.每个老实人都只会对一个问题“是”.
而每个骗子则都对两个问题答“是”.将老实人的数目计为 x ，将骗子的数目计为 y .于是
2 130x y ．又由于在 S 岛上居住着100 个人，所以 100x y ，联立两条方程，解得 30y .所
以岛上有 30 个人说的是假话．
【答案】 30 个人说的是假话
【例 11】甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个 A 配件与一个 B 配件组成．甲每天生产 300 个 A 配
件，或生产 150 个 B 配件；乙每天生产 120 个 A 配件，或生产 48 个 B 配件．为了在 10 天内生
产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】假设甲、乙分别有 x 天和 y 天在生产 A 配件，则他们生产 B 配件所用的时间分别为 (10 )x 天和
(10 )y 天，那么 10 天内共生产了 A 配件 (300 120 )x y 个，共生产了 B 配件
150 (10 ) 48 (10 ) 1980 150 48x y x y 个．
要将它们配成套， A 配件与 B 配件的数量应相等，即 300 120 1980 150 48x y x y ，得到
75 28 330x y ，则 330 28
75
yx ．
此时生产的产品的套数为 330 28300 120 300 120 1320 875
yx y y y ，要使生产的产品最多，
就要使得 y 最大，而 y 最大为 10，所以最多能生产出1320 8 10 1400 套产品．
【答案】最多能生产出1400 套产品
【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣 16 件或裤子 20 件；乙车间每天能生
产上衣 18 件或裤子 24 件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作 21 天，最多能生产多少套衣服？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为 x 天和 y 天，则他们用于生产裤子的天数分别为
(21 )x 天和 (21 )y 天，那么总共生产了上衣 (16 18 )x y 件，生产了裤子
20 (21 ) 24 (21 ) 924 20 24x y x y 件．
根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以 16 18 924 20 24x y x y ，即 6 7 154x y ，即
154 7
6
yx ．那么共生产了 154 7 2 216 18 16 18 4106 3 3
yx y y y 套衣服．要使生产的衣服
最多，就要使得 y 最小，则 x 应最大，而 x 最大为 21，此时 4y ．故最多可以生产出
2 2410 4 4083 3
套衣服．
【答案】最多可以生产出 408套衣服
【例 12】一片青草，每天长草的速度相等，可供10 头牛单独吃 20 天，供 60 只羊单独吃10 天．如果1头
牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么，10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃________天．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】把1只羊每天的吃草量当作单位“1”，则1头牛每天的吃草量为 4 ，设原有草量为 x ，每天的长草
量为 y ，那么：
20 4 10 20
10 1 60 10
x y
x y
解得 400x ， 20y ，
如果10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃 400 (4 10 1 60 20) 5 (天)．
【答案】 5
【例 13】甲、乙、丙沿着环形操场跑步，乙与甲、丙的方向相反．甲每隔19 分钟追上丙一次，乙每隔 5 分
钟与丙相遇一次．如果甲 4 分钟跑的路程与乙 5 分钟跑的路程相同，那么甲的速度是丙的速度
的多少倍？甲与乙多长时间相遇一次？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】把环形操场的周长看作 1，设甲每分钟跑的路程为 x ，丙每分钟跑的路程为 y ．根据题意可知乙
每分钟跑的路程为 4
5 x ．有：
1
19
4 1
5 5
x y
x y
，解得
8
57
5
57
x
y
．
所以甲的速度是丙的速度的 8 5 1.657 57
倍；
甲与乙相遇一次所用的时间为 8 8 4 231 ( ) 357 57 5 24
分钟．
【答案】甲的速度是丙的速度的1.6 倍；甲与乙相遇一次所用的时间为 23324
分钟
【例 14】甲、乙二人从相距 60 千米的两地同时出发，沿同一条公路相向而行， 6 小时后在途中相遇．如
果两人每小时所行走的路程各增加1千米，则相遇地点距前一次地点差1千米.求甲、乙两人的速
度．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲速为每小时 x 千米，乙速为每小时 y 千米.根据第一次相遇的条件，可知： 6 60x y ，则
10x y ，即甲、乙两人的速度和为10 千米/小时，所以第二次相遇两人的速度和为12 千米/小时.
第二次相遇时，甲走的路程可能比第一次少1千米或多1千米，即 (6 1)x 千米，或 (6 1)x 千米.
由此可列第二条方程： 5( 1) 6 1x x 或 5( 1) 6 1x x .因此可列的方程组有：
10
5( 1) 6 1
x y
x x
解得 6
4
x
y
，或 10
5( 1) 6 1
x y
x x
解得 4
6
x
y
.
所以甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为 6 千米/小时和 4 千米/小时．
【答案】甲、乙（或乙、甲）两人的速度分别为 6 千米/小时和 4 千米/小时
【例 15】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶 20 千米，
下坡时每小时行驶 35 千米．车从甲地开往乙地需 9 小时，从乙地到甲地需 7.5 小时，问：甲乙
两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，复赛
【解析】 (法 1)从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地
到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米，下坡路为 y 千米，依题意得：
920 35
1735 20 2
x y
x y
解得 140x ， 70y ，
所以甲、乙两地间的公路有140 70 210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路．
答：甲、乙两地间的公路有 210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路．
【答案】甲、乙两地间的公路有 210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路
【巩固】 从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路， C 村至 B 村为下坡路， A 村至 B 村的
总路程为 20 千米．某人骑自行车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了1小时 45
分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍．求 A 、
C 之间的路程及自行车上坡时的速度．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设 A 、C 之间的路程为 x 千米，自行车上坡速度为每小时 y 千米，则 C 、B 之间的路程为 (20 )x
千米，自行车下坡速度为每小时 2y 千米．依题意得：
20 22
20 312 4
x x
y y
x x
y y
，
两式相加，得： 20 20 32 12 4y y
，解得 8y ；代入得 12x ．
故 A 、C 之间的路程为12 千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．
【答案】 A 、 C 之间的路程为12 千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米
【巩固】 华医生下午 2 时离开诊所出诊，走了一段平路后爬上一个山坡，给病人看病用了半小时，然后
原路返回，下午 6 时回到诊所．医生走平路的速度是每小时 4 千米，上山的速度是每小时 3 千
米，下山的速度是每小时 6 千米，华医生这次出诊一共走了 千米．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】 2004 年，南京市，冬令营
【解析】设平路长 a 千米，山坡长 b 千米，则共走了 2( )a b 千米，根据题意，列方程
3.54 3 4 6
a b a b ，
1 ( ) 3.52 a b ，
2( ) 14a b ．
所以，华医生这次出诊一共走了 14 千米．
【答案】14
【例 16】小明从自己家到奶奶家时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从奶奶家回家时，前 1
3
时间
乘车，后 2
3
时间步行．结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多 2 小时．已知小明步行每小时
行 5 千米，乘车每小时行15 千米，那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，决赛
【解析】设小明家到奶奶家的路程为 x 千米，而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是 y 小时，那么根据
题意有：
1 1
2 2 25 15
1 215 53 3
x x
y
x y y
，解得： 150
18
x
y
答：小明从自己家到奶奶家的路程是150 千米．
【答案】小明从自己家到奶奶家的路程是150 千米
【例 17】(保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)米老鼠从 A 到 B ，唐老鸭从 B 到 A ，米老鼠与唐老鸭行走
速度之比是 6 5∶ ，如下图所示．
M 是 A 、 B 的中点，离 M 点 26 千米的 C 点有一个魔鬼，谁从它处经过就要减速 25%，离 M 点
4 千米的 D 点有一个仙人，谁从它处经过就能加速 25%．现在米老鼠与唐老鸭同时出发，同时到
达，那么 A 与 B 之间的距离是 千米．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】设 AM MB x ，米老鼠的行走速度为 6k ，则唐老鸭的行走速度为5k ( 0k )，如下图，则有米
老鼠从 A 到 B 需要时间
x
-
4
30
x
-
26
A
C
M
D
B
26 30 4
6 6 (1 25%) 6 (1 25%) (1 25%)
x x
k k k
1 1614 ( 4)6 15x xk
，
唐老鸭从 B 到 A 需要时间
4 30 26
5 5 (1 25%) 5 (1 25%) (1 25%)
x x
k k k
1 1620 ( 26)5 15x xk
．
因为米老鼠与唐老鸭用的时间相同，所以列方程
1 16 1 1614 ( 4) 20 ( 26)6 15 5 15x x x xk k
，
解得 46x ．
所以， A 、 B 两地相距 92 千米．
【答案】 A 、 B 两地相距 92 千米
【例 18】甲、乙两人分别从 A 、 B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点.如果甲速度不变，乙每
小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A 、 B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点10 千米．如
果乙速度不变，甲每小时多行 3千米，且甲、乙还从 A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E
距 C 点 5 千米.问：甲原来的速度是每小时多少千米？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，相遇点 D 距C 点10 千米，出发后 5 小时，甲到达 C ，乙到达
F ，因为乙每小时多行 4 千米，所以 4 5 20FC 千米，那么 10FD DC 千米，也就是说相
遇后相同的时间内甲、乙走的路程相同，也就是说原来甲比乙每小时多行 4 千米.
乙速度不变，甲每小时多行 3千米，相遇点 E 距 C 点 5 千米，出发后5 小时乙到达 C ，甲到达 G ,
因为甲每小时多行 3千米，所以 3 5 15GC 千米.那么 10GE 千米， 5EC 千米.所以
2EG EC ，即相遇后在相同的时间甲走的路程是乙的 2 倍，所以甲每小时多行 3 千米后，速度
是乙的两倍.
于是可列得方程组： 4
3 2
v v
v v
乙甲
乙甲
，解得 11
7
v
v
甲
乙
，所以甲原来每小时11千米.
【答案】甲原来每小时11千米
【例 19】甲、乙二人共存款100 元，如果甲取出 4
9
，乙取出 2
7
，那么两人存款还剩 60 元.问甲、乙二人各
有存款多少元？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲存款 x 元，乙存款 y 元，根据题目条件有两条等量关系,一是两人存款加起来等于100 元，二
是取钱后两人存款加起来有 60 元.由此可列得方程组:
100
4 2 100 609 7
x y
x y
方程组最终解得 72
28
x
y
,所以甲存款 72 元，乙存款 28 元．
【答案】甲存款 72 元，乙存款 28 元
【巩固】 甲、乙两个容器共有溶液 2600 克,从甲容器取出 1
4
的溶液，从乙容器取出 1
5
的溶液，结果两个容
器共剩下 2000 克.问：两个容器原来各有多少溶液？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲容器有溶液 x 克，乙容器有溶液 y 克，根据题目条件有两条等量关系,一是两容器溶液加起来
等于 2600 克，二是取溶液后两容器加起来有 2000 克.由此可列得方程组:
2600
1 11 1 20004 5
x y
x y
方程组最终解得 1600
1000
x
y
，所以甲容器中有溶液 1600 克，乙容器中有溶液 1000 克．
【答案】甲容器中有溶液 1600 克，乙容器中有溶液 1000 克
【例 20】某班有 45 名同学，其中有 6 名男生和女生的 1
7
参加了数学竞赛，剩下的男女生人数正好相等.
问：这个班有多少名男生？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设有 x 名男生和 y 名女生，那么根据题目条件有两条等量关系：一是原来男女生人数和为 45 人，
二是剩下的男女生人数相等，由此可列得方程组：
45
16 1 7
x y
x y
该方程组解得 24
21
x
y
，所以这个班有 24 名男生．
【答案】这个班有 24 名男生
【巩固】 甲、乙两班人数都是 44 人，两班各有一些同学参加了数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是
乙班未参加人数的 1
3
，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的 1
4
，那么共有多少人未参加数
学小组？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲、乙两班参加数学小组的人数分别为 x 人、y 人，未参加人数分别为 44 x 人、 44 y 人，
由题设已知条件可以得到：
1 (44 )3
1 (44 )4
x y
x y
，解之得 12
8
x
y
所以未参加兴趣小组的人数 44 44 68x y 人．
【答案】未参加兴趣小组的人数 68 人
【例 21】一群小朋友去春游，男孩戴小黄帽，女孩戴小红帽．在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多 5 顶；
在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的 2 倍．问：男孩、女孩各有多少人？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设男孩有 x 人，女孩有 y 人．根据条件可列方程： ( 1) 5
2( 1)
x y
x y
由第一条方程可以得到 6x y ，
代入第二条方程得到 6 2( 1)y y .解得 8y ，再代入第一条方程．方程解得 14
8
x
y
.所以男孩
有14 人，女孩有8人．
【答案】男孩有14 人，女孩有8人
【巩固】 有大小两盘苹果，如果从大盘中拿出一个苹果放在小盘里，两盘苹果一样多；如果从小盘里拿
出一个苹果放在大盘里，大盘苹果的个数是小盘苹果数的 3倍.大、小两盘苹果原来各有多少个？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设原来大盘有苹果 x 个，小盘有苹果 y 个.那么可列方程组：
1 1
1 3 1
x y
x y
，方程组解得 5
3
x
y
，
所以大盘原来有苹果 5 个，小盘原来有苹果 3个．
【答案】大盘原来有苹果 5 个，小盘原来有苹果 3个
【巩固】 教室里有若干学生，走了10 名女生后，男生是女生人数的 2 倍，又走了 9 名男生后，女生是男
生人数的 5 倍。问：最初有多少名女生？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设原来男生人数为 x ，女生人数为 y ，那么根据题目条件有以下数量关系：
2( 10)
5( 9) ( 10)
x y
x y
方程组化简为： 10
15
x
y
，所以最初有15 名女生．
【答案】以最初有15 名女生
【例 22】一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊
与母羊的只数比是 9 : 7 ；过了一会儿跑走的公羊又回到羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又
数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是 7 :5 ．这群羊原来有多少只？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设原来公羊有 x 只，母羊有 y 只，那么根据题目条件有以下数量关系：
1 : 9:7
: 1 7 :5
x y
x y
，根据
有关比例性质，方程组可化简为： 28
21
x
y
，所以这群羊原来有 28 21 49 只.
【答案】这群羊原来有 49 只
【巩固】 口袋中有若干红色和白色的球．若取走一个红球，则口袋中的红球占 2
7
；若取出的不是一个红
球而是两个白球，则口袋中的白球占 2
3 .原来口袋中白球比红球多多少个？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设原来红球数为 x ，白球数为 y ，那么根据题目条件有以下数量关系：
21 17
22 23
x x y
y x y
方程组解得 9
20
x
y
，原来口袋中白球比红球多 20 9 11 个．
【答案】原来口袋中白球比红球多11个
【例 23】甲、乙两种商品的原来价格比是 7 :3 ．如果它们的价格各自上涨 70 元，它们的价格比变为
7 : 4．求甲乙两种商品的原价各是多少元？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法1：设甲乙两种商品原来价格分别为 7x 元， 3x 元，根据涨价后价格比为 7 : 4 ，列方程得
(7 70) :(3 70) 7 : 4x x ，解得 30x ，原来两种商品的原价各是 7 30 210 元， 3 30 90 元
方法 2 ：设甲乙两种商品原价各是 x 元, y 元，依题意列方程组得
7
3
70 7
70 4
x
y
x
y
解得 210
90
x
y
甲乙两种商品原价各是 210 元,90 元
方法 3：由于原来两种商品相差 7 3 4 份，涨价后相差 7 4 3 份，由于涨价钱数相同，所以应
涨[3,4] 12 份，所以原来两种商品的价格比 7 3:3 3 21:9 ，涨价后价格比 7 4: 4 4 28:16 ，
所以价格涨了 7 份，恰是 70 元，所以1份是10 元，所以原来两种商品的价格各是为 210 元，90 元
【答案】原来两种商品的价格各是为 210 元， 90 元
【巩固】 兄弟两人每月收入比 4 :3 ，支出钱数比18:13 ，他们每月都节余 360 元，求兄弟两人月收入各多
少？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方 法 1 : 设 兄 弟 两 人 每 月 收 入 分 别 为 4x 元 ， 3x 元 ， 根 据 支 出 钱 数 比 18:13 列 方 程 得
(4 360) :(3 360) 18:13x x ， 解 得 900x ， 所 以 兄 弟 两 人 收 入 各 是 4 900 3600 元 ，
3 900 2700 元
方法 2 ：设兄弟两人月收入各是 x 元， y 元根据两个比例列方程得 : 4:3
( 360) :( 360) 18:13
x y
x y
解
得 3600
2700
x
y
所以兄弟两人收入各是 3600 元， 2700 元
方法 3：由于兄弟结余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差为 4 3 1 份，支出差为
18 13 5 份，所以收入差应为和支出差应为 5 份，所以兄弟收入比为 4 5:3 5 20:15 ，所以结
余应为 20 18 15 13 2 份对应 360 元，所以 1 份就是 180 元，所以兄弟两人月收入各是
180 20 3600 元，180 15 2700 元
【答案】兄弟两人月收入各是 3600 元，180 15 2700 元
【例 24】小明用 8 个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图
案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是 2 cm 的正方形小洞．求小长方形的长和
宽？
乙
甲
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由甲图可以看出小长方形的长加上小正方形的边长等于小长方形的两个宽，由乙图可以看出小长
方形的 3个长等于小长方形的 5 个宽，所以设小长方形的长为 x cm ,宽为 y cm ，依题意列方程
得 2 2
3 5
x y
x y
，解得 10
6
x
y
【答案】长10 厘米，宽 6 厘米
【例 25】如图，图中 5 、8和10 分别代表包含该数字的三个三角形的面积．试问：包含 X 这个字母的四
边形面积是多少？
X
8
10
5
b
a
X
8
10
5
【考点】列方程组解应用题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如图，设虚线把四边形 X 分成面积为 a 、b 的两个三角形.利用同高的两个三角形面积之比等于相
应底边之比，可得：5 5 10
8a a b
（可化简为 2 8a b ）和 8 8 10
5b a b
（可化简为5 4 20b a ），
由这两条方程构成方程组：
2 8
5 4 20
a b
b a
，方程组可解得： 10
12
a
b
，
所以四边形 X 的面积为10 12 22
【答案】四边形 X 的面积为 22
【例 26】图中的三角形都是等边三角形，三角形 A 的边长是 24.7 ，三角形 B 的边长是 26 ．问：所夹三角
形 C 的边长是多少?
C
B
A
y
x
4
3
2
1
C
B
A
【考点】列方程组解应用题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，总决赛
【解析】如图，设相应的三角形的边长是 x 和 y ，则可知：
标号为1的三角形的边长是： 26 x
标号为 4 的三角形的边长是： x y
标号为 3的三角形的边长是： 2y x y y x
最小的三角形的边长是： 26 2 26x x x ；
标号为 2 的三角形的边长是：
2 2 26 2 26y x x y x 或 26 2 26 52 3x x x
所以， 24.7
2 39
x y
y x
解上述方程， 14.3
10.4
x
y
，可以得到三角形 C 的边长是15.6 ．
【答案】三角形 C 的边长是15.6
【例 27】甲、乙、丙三个人玩三张牌，这三张牌分别写着不同的自然数，洗牌后发给每人一张，按每人
所拿的自然数得分，重复玩了 3次后，甲共得19 分，乙和丙各得13 分，那么这三张牌上写的数
是哪三个数？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】三张牌上的三个数之和是 19 13 13 3 15 ．
因为 3不能整除13 和19 ，所以甲、乙、丙谁也不可能三次拿到同一张牌，，又因为谁也没有拿到
三张牌各1次，所以三人都是拿了某张牌两次、另一张牌一次．设三张牌从大到小写的数依次为 a 、
b 、c .由乙、丙各得13 分，推知乙、丙的三张牌是 c 、c 、a 和b 、b 、c .则甲的三张牌是 a 、a 、
b .
19 1
13 2
13 3
a a b
b b c
c c a
由 2 1 2 得 4 25a c .
由 2 4 3 得 9 63a ，从而 7a 4 .
将 7a 代入 1 、 3 得 5b ， 3c .
所以，三张牌从大到小写的数依次是 7 ， 5 ， 3.
【答案】三张牌从大到小写的数依次是 7 ， 5 ， 3
【例 28】三张卡片上分另标有 p 、q 、r 数码(整数)且 0 p q r ，游戏时将三张卡片随意分发给 A 、B 、
C 三个人，每人各一张，根据每个人得到卡片上的数码数分别给他们记分，如此重复游戏若干
轮，结果 A 、 B 、三人得分总数分别为 20、10、9．已知 B 在最后一轮的得分是 r ，那么
⑴ 在第一轮得分是 q ；
⑵ p 、 q 、 r 分别是 、 、 ．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】陈省身杯
【解析】三人总分为 20 10 9 39 1 39 3 13 ．
如果游戏进行了 39 或 13 轮，则 1p q r 或 3，与 0 p q r 矛盾；如果游戏只进行了 1 轮，
则 20r ，被 A 得到，与“ B 在最后一轮的得分是 r ”矛盾．所以游戏进行了 3 轮，且
13p q r ．
⑴因为 B 共得 10 分，且最后一次得 r 分，所以前两次都得 p 分，否则三次至少得 13 分．因为C
三次总分比 B 少，所以 C 没得过 r 分，前两次都得 q 分，即第一轮得 q 分的是C ．
⑵假设C 三次都得 q ，由 B 得 10p p r 和 A 得 20r r p ，解得 10r ， 0p ，与 0p 矛
盾，所以 C 前两次得 q ，最后一次得 p ．
由
2 9,
2 10,
2 20,
p q
p r
r q
解得 1p ， 4q ， 8r ．
【答案】⑴第一轮得 q 分的是 C ⑵ 1p ， 4q ， 8r
【例 29】某校五年级共有 110 人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加
语言语小组的有 52 人，只参加语文小组的有 16 人；参加英语小组的有 61 人，只参加英语小组
的有 15 人；参加数学小组的有 63 人，只参加数学小组的有 21 人．那么三组都参加的有 人．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】全国小学数学奥林匹克
【解析】如图，由题设条件知，
52 16 36A B D ，
61 15 46A C D ，
数学
英语
语文
16
15
21
D
C
B
A
63 21 42B C D ，
三式相加得
2 ( ) 124A B C D D ．
又 110 (16 15 21) 58A B C D ，代入上式得 8D ．
即三组都参加的有 8 人．
【答案】三组都参加的有 8 人
【巩固】 有甲、乙、丙、丁 4 个人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为 29 ，23 ，21 和
17 ，这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲、乙、丙、丁 4 个人的年龄分别为 a b c d、 、 、 ，那么有：
293
233
213
173
a b c d
b c d a
a c d b
a b d c
把四个式子加起来得到： 45 (1)a b c d
再将上面方程组里面的每个式子 3 后与 1（ ）式相减分别得到：
12a ， 9b ， 3c ， 21d ，所以年龄最大与最小的差值为 21 3 18 岁
答：这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是18 岁．
【答案】这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是18 岁
模块二、设而不求
【例 30】 10 位小学生的平均身高是1.5 米，其中有些低于1.5 米的，他们的平均身高是1.2 米；另一些高
于1.5 米的，平均身高是1.7 米，那么最多有________位同学的身高恰好是1.5 米．
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设身高低于1.5 米的有 x 人，身高高于1.5 米的有 y 人，则：
1.2 1.7 1.5( )x y x y ，得 3 2x y ，所以 x 最小为 2 ， y 最小为3，身高恰好是1.5 米的同学最多
有10 (2 3) 5 人．
【答案】身高恰好是1.5 米的同学最多有 5 人
【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头， 29 个小和尚每天共
吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头．问：庙里至少有多少个和尚？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设庙里有 7x 个大和尚， 29y 个小和尚，则共吃 41 11x y 个馒头．由“平均每个和尚每天恰好吃
一个馒头”，可列方程：7 29 41 11x y x y ，化简为17 9x y ．当 9x ， 17y 时和尚最少，有
7 9 29 17 556 (个)和尚．
【答案】至少有 556 个和尚
【巩固】 在一次团体知识竞赛中，某学校的平均分是 88 分，其中女生的平均成绩比男生高10% ，而男生
的人数比女生多10% ．问男、女生的平均成绩各是多少分？
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设男生的平均成绩为 x 分，女生的人数为 y 人，根据题意可知女生的平均成绩为 (1 10%) 1.1x x
分，男生的人数为 (1 10%) 1.1y y 分，则： 1.1 1.1 88 ( 1.1 )x y x y y y ，解得 84x ，所以
男生的平均成绩为 84 分，女生的平均成绩为84 1.1 92.4 分．
【答案】男生的平均成绩为 84 分，女生的平均成绩为 92.4 分
【例 31】某次演讲比赛，原定一等奖10 人，二等奖 20 人，现将一等奖中的最后 4 人调整为二等奖，这样
得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了 3分，那么原来一等奖平
均分比二等奖平均分多多少分？
【考点】列方程组解应用题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】设原来一等奖的平均分为 x 分，二等奖的平均分为 y 分，得：
10 (10 4) ( 3) (20 4)( 1) 20x x y y
4 18 4 24x y
4 4 42x y
10.5x y ，
即原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5 分．
【答案】原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5 分
【例 32】有两个学生参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分的整数．他们又参加了
第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分．求第 5 次测验两人的得分．(每次测验满
分为 100 分)
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设某一学生前 4 次的平均分为 x 分，第 5 次的得分为 y 分，则其 5 次总分为 4 90 5 450x y ，
于是 450 4y x ．显然 90 100y ，故 90 450 4 100x ，解得87.5 90x ．
由于 x 为整数，可能为 88 和 89，而且这两个学生前 4 次的平均分不同，所以他们前 4 次的平均
分分别为 88 分和 89 分，那么他们第 5 次的得分分别为：450 88 4 98 分；450 89 4 94 分．
【答案】第 5 次的得分分别为： 98 分； 94 分
【例 33】购买 3 斤苹果，2 斤桔子需要 6.90 元；购买 8 斤苹果，9 斤桔子需要 22.80 元，那么苹果、桔子
各买 1 斤需要 元.
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，1 试，六年级
【解析】假设购买 1 斤苹果、桔子分别需要 x 元、 y 元，则：
3 2 6.9
8 9 22.8
x y
x y
，
两式相加得11 11 29.7x y ，即 2.7x y 。
所以各买 1 斤需要 2.7 元。
点评：从上面的过程可以看出，本题可以直接采用算术解法：买3 8 11 斤苹果和 2 9 11 斤苹
果，须 6.90 22.80 29.7 元，所以各买 1 斤需要 29.7 11 2.7 元.
【答案】各买 1 斤需要 2.7 元
【例 34】有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3件、乙 7 件、丙1件，共需 20 元；若购甲 4 件、乙10 件、丙1
件，共需 27 元；则购买甲、乙、丙各1件，共需要 元。
【考点】列方程组解应用题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】陈省身杯
【解析】设甲、乙、丙的单价分别为 x ， y ， z ，则 3 7 20 (1)
4 10 27 (2)
x y z
x y z
，
由 (1) 3 (2) 2 得 3 20 2 27 6x y z ，即各买一件需要 6 元。
点评：本题实际上是三元一次方程，但整体代入消元的思想与二元一次方程是相同的。
【答案】各买一件需要 6 元
【例 35】假设五家共用一井取水，甲用绳 2 根不够，差乙家绳子1根；乙用绳 3根不够，差丙家绳子1根；
丙用绳子 4 根不够。差丁家绳子1根；丁用绳子 5 根不够，差戊家绳子1根；戊用绳 6 根不够，
差甲家绳子1根．如果各得所差的绳子1根，都能到达井深．问井深，绳长各是多少？（井深为
小于1000 的整数）
【考点】列方程组解应用题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】依次设甲、乙、丙、丁、戊家绳长为 A 、 B 、C 、 D 、 E ，井深 k ，则可列出方程组如下：
2
3
4
5
6
A B k
B C k
C D k
D E k
E A k
这个方程组不是二元一次方程组，但是解方程组的思想方法与二元一次方程组相同，依次迭代
2B k A ， 3 6 2C k B A k ， 4 9 24D k C k A ， 5 120 44E k D A k ，
代入最后一个式子， 6 120 44A k A k ，即 721 265A k ，所以 265A ， 721k ．
于是， 191B ， 148C ， 129D ， 76E ．
【答案】井深 721 ，甲家绳长 265 ，乙家绳长191 ，丙家绳长148 ，丁家绳长129 ，戊家绳长 76
【例 36】在同一路线上有 4 个人:第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘助力车，第四个人骑
自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的12 时追上乘助力车的，14 时遇到骑自行车的，而与
开摩托车的相遇是16 时．开摩托车的遇到乘助力车的是17 时，并在18 时追上骑自行车的，问
骑自行车的几时遇见乘助力车的？
【考点】列方程组解应用题 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】12 时以前的位置关系对于这个问题的解决不起任何作用，所以我们从12 时开始考虑．
设汽车、摩托车、助力车、自行车的速度分别为 a 、 b 、 c 、 d ，设在12 时骑自行车的与坐
汽车的距离为 x ，骑自行车的与开摩托车的之间的距离为 y ．
有
2 ...........(1)
4 .....(2)
5 .(3)
6 ..........(4)
x a d
x y a b
x y b c
y b d
(1) 2 (3) 2 (2) (4) 得到 3 10x c d ，即 10
3x c d
设骑自行车的在 t 时遇见骑助力车的，则
12x t c d ，即 1012 3t ，所以 115 3t ．
所以骑自行车的在15 时 20 分遇见骑助力车的．
【答案】骑自行车的在15 时 20 分遇见骑助力车的
【例 37】河水是流动的，在 Q 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 P 到 Q ，然后穿过湖到 R ，
共用 3小时．若他由 R 到 Q 再到 P ，共需 6 小时．如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，
那么从 P 到 Q 再到 R 需 5
2
小时．问在这样的条件下，从 R 到 Q 再到 P 需几小时？
【考点】列方程组解应用题 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】设游泳者的速度为1，水速为 y ， PQ a ， QR b ，则有：
3 11
5 21 2
6 31
a by
a b
y
a by
且有1 y 、1 y 、 y 均不为 0 ．
1 2 得 1
1 2
by
y
，即 1 42
yb y
3 1 得 2
2 31
ay
y
，即
23 1
52
y
a y
由 2 、 4 、 5 得： 5 11 4 32 2
yy a b yy
，即 5 4 3y y ．
于是， 1
2y ．由 2 得： 5 1 1512 2 4a b
．
15 1 1511 4 2 2
a b
y
小时．
即题中所述情况下从 R 到Q 再到 P 需 15
2
小时．
【答案】从 R 到Q 再到 P 需 15
2
小时
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