6-1-2.还原问题（一）
教学目标
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用
倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以
新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的
叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲
模块一、计算中的还原问题
【例 1】 一个数的四分之一减去 5，结果等于 5，则这个数等于_____。
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第 3 题
【解析】方法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是10，所以这个数是10 4=40 。
方法二：令这个数为 x ,则 1 5 5
4
x ，所以 40x 。
【答案】 40
【例 2】 某数先加上 3，再乘以 3，然后除以 2，最后减去 2，结果是 10，问：原数是多少？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】分析时可以从最后的结果是 10 逐步倒着推。这个数没减去 2 时应该是多少？没除以 2 时应该是多
少？没乘以 3 时应该是多少？没加上 3 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减
去 2，此数是：10 2 12 ，如果没除以 2，此数是：12 2 24 ，如果没乘以 3，此数是：24 3 8 ，
如果没加上 3，此数是：8 3 5 ，综合算式 10 2 2 3 3 5 ，原数是 5.
【答案】 5
【巩固】 (2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上 6 ，然后乘以 6 ，再减去 6 ，
最后除以 6 ，所得的商还是 6 ，那么这个数是 。
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法
【解析】将最终结果进行逆推，得： 6 6 6 6 6 1（ ）
【答案】1
【巩固】 一个数减 16 加上 24，再除以 7 得 36，求这个数．你知道这个数是几吗?
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 36 7 24 16 244 .
【答案】 244
【巩固】 少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以 5，再减去 25，还剩 25，你算一
算，共采集了多少个树种子?
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 25 25 5 250（ ） (个)，即共采集了 250 个树种子.
【答案】 250
【例 3】 学学做了这样一道题：某数加上 10，乘以 10，减去 10，除以 10，其结果等于 10，求这个数．小
朋友，你知道答案吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】根据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果 10，应用逆推法，由结果 10，
根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
10 10 100 ，100 10 110 ，110 10 11 ，11 10 1 综合算式为：
10 10 10 10 10 100 10 10 10 110 10 10 11 10 1（ ） （ ） 所以这个数为 1.
解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆
运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，
这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．
【答案】1
【巩固】 学学做了这样一道题：一个数加上 3，减去 5，乘以 4，除以 6 得 16，求这个数．小朋友，你知道
答案吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】根据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果 16，应用逆推法，由结果 10，
根据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
综合算式为：16 6 4 5 3 96 4 5 3 24 5 3 29 3 26
【答案】 26
【巩固】 一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去 6 后，缩小 2倍，
再加上10后，扩大 2倍，恰好是100分”．小刚这次竞赛得了多少分？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】从最后一个条件“恰好是100分”向前推算．扩大 2倍是100分，没有扩大 2倍之前应是100 2 50
(分)，加上10后是 50 分，没有加上10前应是 50 10 40 (分)，缩小 2倍是 40分，那么没有缩小 2倍
前应是 40 2 80 (分)，减去 6 后是80 分，没有减去 6 前应是80 6 86 (分)．综合列式为：
(100 2 10) 2 6 40 2 6 86 (分)，所以，小刚这次竞赛得了86 分．
【答案】86
【例 4】 牛老师带着 37 名同学到野外春游．休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：
“我的年龄乘以 2，减去 16 后，再除以 2，加上 8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．”小朋
友们，你知道牛老师今年多少岁吗?
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法，我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即 38 倒着往前推．这个数没加上 8 时应是
多少？没除以 2 时应是多少？ 没减去 16 时应是多少？没乘以 2 时应是多少？
这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上 8 时应是： 38 8 30 ；没除以 2 时应是：
30 2 60 ； 没 减 去 16 时 应 是 ： 60 16 76 ； 没 乘 以 2 时 应 是 ： 76 2 38 ， 即
[ 38 8 2 16] 2 38（ ） (岁).
【答案】 38 岁
【巩固】 小智问小康：“你今年几岁？”小康回答说：“用我的年龄数减去 8，乘以 7，加上 6，除以 5，正好
等于 4. 请你算一算，我今年几岁？”
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】分析时可以从最后的结果是 4 逐步倒着推。这个数没除以 5 时应该是多少？没没加上 6 时应该是多
少？没乘以 7 时应该是多少？没减去 8 时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。
如果没除以 5，此数是： 4 5 20
如果没加上 6，此数是： 20 6 14
如果没乘以 7，此数是：14 7 2
如果没减去 8，此数是： 2 8 10
综合算式： 4 5 6 7 8 10 （岁）
答：小康今年 10 岁。
【答案】10岁
【巩固】 在小新爷爷今年的年龄数减去 15后,除以 4,再减去 6之后,乘以 10,恰好是 100,问:小新爷爷今年多少
岁数?
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法， (100 10 6) 4 15 79 （岁）.
【答案】 79岁
【巩固】 学学和思思在游玩时，遇到一位小神仙，他们问这位神仙：“你一定不到 100 岁吧！”谁知这位神仙
摇摇头说：“你们算算吧！把我的年龄加上 75，再除以 5，然后减去 15，再乘以 10，恰好是 2000
岁．”小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】这就是一个还原问题，可以用倒推法解决．从结果“2000”逐步倒着推，没乘 10 时是多少？没减去 15
时是多少？没除以 5 时是多少？没加 75 时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了．
⑴ “乘以 10，恰好是 2000”，不乘 10 时，应该是： 2000 10 200
⑵ “减去 15”是 200，不减 15 时，应该是： 200 15 215
⑶ “除以 5”是 215，不除以 5，应该是： 215 5 1075
⑷现在的年龄加上 75 是 1075，如果不加 75，这个数是：1075 75 1000
也就是神仙现在的年龄是 1000 岁．
验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于 2000，如果等于 2000，则解题正确．
1000 75 1075 ，1075 5 215 ， 215 15 200 ， 200 10 2000 ．
【答案】 2000 岁
【例 5】 在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它除
以 2；如果输入的数是奇数，就把它加上 3．同样的运算这样进行了 3 次，得出结果为 27．原
来输入的数可能是 ．
【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，第七届，小数报
【解析】本题用倒推法解．最后结果是 27，上一步的结果是 54，再上一步的结果是 108 或 51，原来输入的
数是 216，105，102．思路如下：
216
108
105
54
27 102
51
48(
24( )
不合 意)
不合 意
【答案】 216 或105或102，答案不唯一
【例 6】 假设有一种计算器，它由 A、B、C、D 四种装置组成，将一个数输入一种装置后会自动输出
另一个数。各装置的运算程序如下： 装置 A：将输入的数加上 6之后输出；装置 B：将输入
的数除以 2 之后输出；装置 C：将输入的数减去 5 之后输出；装置 D：将输入的数乘以 3 之
后输出。这些装置可以连接，如在装置 A 后连接装置 B，就记作：A→B。例如：输人 1后，
经过 A→B，输出 3．5。(1)若经过 A→B→C→D，输出 120，则输入的数是多少?(2)若经过
B→D→A→C，输出 13，则输入的数是多少?
【考点】计算中的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第 16 题，可逆思想方法
【解析】方法一：逆向考虑。（1）输入到 D 的数为 120÷3=40，输入到 C 的数为 40+5=45，输入到 B 的数为
45×2=90，所以输入到 A 的数是 90-6=84。（2）输入到 C 的数是 13+5=18，输入到 A 的数是 18-6=12，
输入到 D 的数是 12÷3=4，所以输入到 B 的数是 4×2=8。
方法二：(1)设输入的数是 x，则( 6 5 3=120
2
x
解得，x=84。(2)设输入的数是 y，则 3 6 5=13
2
y
，
解得 y=8
【答案】（1）84 ；（2）8
【例 7】 哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的 6 错写成 9，减数个位上的 9 错写成 6，
最后所得的差是 577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】被减数十位上的 6 变成 9，使被减数增加 90 60 30 ，差也增加了 30；减数个位上的 9 错写成 6，
使减数减少了9 6 3 ，这样又使差增加了 3，这道题可以说成：正确的差加上 30 后又加上 3 得 577，
求正确的差．所以列式得： 577 9 6 90 60 544（ ）（ ） ．这题的正确答案应该是 544．
【答案】 544
【巩固】 小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的 9 看作 6 ，十位上的 6 看作 9 ，结果和是174，那么
正确的结果应该是多少呢？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数
(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：
①把个位上的 9 看作 6 ，这就相当于把正确答案减少了 9 6 3
②把十位上的 6 看作 9 ，这就相当于把正确答案增加了：10 9 6 30（ ）
这样原题就变成了“一个数减去 3，再加上 30 ，所得结果是174，求这个数．”我们只要把少加的加上，
多加的减去，就可以求出正确的结果：174 9 6 10 9 6 174 3 30 147（ ） （ ）
【答案】147
【巩固】 淘气在做一道减法时，把减数个位上的 9 看成了 3，把十位上的 4 看成了 7，得到的结果是 164，请
你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】164 (73 49) 188 或164 6 30 188 .
【答案】188
【巩固】 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的 5 看作 9，把十位上的 8 看作 3，结果所得的和是 123．正
确的答案是多少？
【考点】计算中的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】倒推法，把个位上的 5 看作 9，相当于把正确的和多算了 4，求正确的和，应把 4 减去；把十位上的
8 看作 3，相当于把正确的和少算了 50，求正确的和，应把 50 加上去．所以正确的和是：
123 50 4 169 .即：123 (80 30) (9 5) 169 .
【答案】169
模块二、单个变量的还原问题
【例 8】 一只猴吃 63只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，则 _________
天后桃子被吃完。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】通过画表格的方式,可知答案是 6.
【答案】 6 天
【例 9】 乒乓球从高空落下，到达地面后弹起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球从 8 米的高度落下，
那么弹起后再落下，则弹起第_______次时它的弹起高度不足 1米。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，三年级，初赛，可逆思想方法
【解析】弹起第一次时变为 4 米，弹起第二次时变为 2 米，弹起第三次时变化为 1 米，第 4 次弹起时不足 1
米，所以弹起第 4 次时不足 1 米。
【答案】 4次
【例 10】李奶奶卖一筐鸡蛋，第一位客人买走了一半少 2个，第二位客人又买走了剩下的一半多 2个，第三
位客人把剩下的 5个鸡蛋全部买走了．老婆婆的篮子里原来有 个鸡蛋．
【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，1 年级，第 12 题，可逆思想方法
【解析】用倒堆的方法，第二位客人没有买走之前共有 7 7 14 （个），第一位客人没买走之前就是14 2 12
（个），12 12 24 （个）．
数学方法倒退法
【答案】 24个
【巩固】 小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又 10页，第二天看了余下的一半又 10页，第三天看
了 10页正好看完。这本故事书共有 页。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试，第 13 题，可逆思想方法
【解析】第三天看的 10 页等于第一天看了余下的一半少 10 页，所以第一天看了余下了（10+10）×2=40 页，
所以原来有（40+10）×2=100 页.
【答案】100页
【例 11】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多 2 米，第二次用去余下
的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最后还剩 9 米，那么这根绳子原来有多少米呢？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】根据题意，画图倒推分析：
还剩
9米用去15米
第三次
15 9 24 (米)
一半
10米
剩下24米用去
第二次
24 10 2 28（ ） (米)
剩下
28米
第一次
2米一半
用去
28 2 2 60（ ） (米)
所以，这根绳子全长 60 米．
【答案】 60米
【巩固】 一个人沿着公园马路走了全长的一半后，又走了剩下路程的一班，还剩下 1 千米，问：公园马路全
长多少千米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】如图：
采取倒推的方法，1 千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是1 2 2 （千
米）。而第一次剩下的路程 2 千米又是全程长的一半，所以全程长为 2 2 4 （千米）。
答：公园马路全长为 4 千米。
【答案】 4千米
【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3米，第二次用去余下的一半少 10米，第三次用去 15米，最
后还剩 7米。这捆电线原来有多少米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】为了帮助同学们分析数量关系，可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：
（1） 7 15 10 12 （米），就是第一次用去后余下的一半。
（2）12 2 24 （米），就是余下的电线长度。
（3） 24 3 27 （米），就是全长的一半。
（4） 27 2 54 （米），就是原来电线的长度。
综合列式计算： 7 15 10 2 3 2 (12 2 3) 2 27 2 54 （米）
答：这捆电线原来有 54 米。
【答案】 54 米
【巩固】 甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又 10个，第二天又加工了剩下的一半又 10个，
还剩下 25个没有加工，问：这批零件有多少个？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】如右图所示，按照图与题目的条件，
可以有如下算式：25 10 35 （个），35 2 70 （个），70 10 80 （个），80 2 160 （个）
列综合算式： (25 10) 2 10 2 160 ，答：这批零件共有 160 个。
【答案】160个
【巩固】 食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少 28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下
122千克．这批大米共有多少千克？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】列式为： [ 122 8 2 28] 2 200 2 400（ ） (千克)
【答案】 400 千克
【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多 2 个，第二天又偷吃了剩下的一
半多 2 个，这时还剩 1 个，问：树上原来有多少个桃子？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 2 [ 1 2 2 2] 16（ ） (个).
【答案】16个
【例 12】盒子里有若干个球。小明每次拿出盒中的一半再放回一个球。这样共操作了 7 次，袋中还有 3个球。
袋中原有（ ）个球。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】倒退法：如，第 7 次操作前，还剩 3 1 2 4 个球。
【答案】 4个球
【例 13】有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放入微生物，再把容器封住，每过一
个夜晚，容器里的微生物就会增加一倍，但是，若在白天揭开盖子，容器内的微生物就会正好减
少 16个。小丽在实验的当天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二、三、四天斗开封看了看，
到第五天，当她又启封查看时，惊讶地发现微生物都没了。请问：小丽开始往容器里放了 个微
生物？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 15 题
【解析】还原倒推：0←16←8←24←12←28←14←30←15 所以原来容器内放了 15 个微生物.
【答案】15个
【例 14】小丽用 4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二
次剩下的钱的一半多 1元，最后还剩 4元，问：小丽原有多少钱？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是 4 1 5 （元），第二次剩下5 2 10 （元），第一次剩下10 2 20
（元），原来有 20 4 24 （元）。列综合算式： 4 1 2 2 4 24
答：小丽原有 24 元。
【答案】 24元
【巩固】 有一筐苹果，甲取出一半又 1个；乙取出余下的一半又 1个；丙取出再余下的一半又 1个，这时筐
里只剩下 1个苹果。这筐苹果共值 6元 6角，问每个苹果平均值多少钱？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
从上面的线段图可以看出：
最后剩下的 1 个再加上丙取出的 1 个就是再余下的一半，即 2 个是再余下的一半，因此，再余下的
就是 2 2 4 （个）；4 个再加上乙取出的 1 个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是5 2 10
（个）；10 个再加上甲取出的 1 个就是全筐的一半，所以，全筐苹果的总数是11 2 22 （个）。22
个 苹果 共 值 6 元 6 角 ，于 是 可 求出 每 个苹 果 平 均值 多 少钱 ？ 先 求有 多 少个 苹 果 ：
2 1 2 22（1+1） 2+1 （个）再求每个苹果平均值多少钱： 66 22 3 （角），每个苹果平均
值 3 角钱。
【答案】 3角
【例 15】思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下 8
米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】根据题意，画出线段图，倒推分析．
剩下
8米剪去一半
第二次 8 2 16 (米)
剩下
16米剪去一半
第一次 16 2 32 (米)
所以这段五彩布原来长 32 米．
【答案】 32 米
【巩固】 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少 12 克．第二天运出剩下的一半少 12 克，
结果窝里还剩下 43 克．问蚂蚁家原有食物多少克?
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出 12 克，就是剩下的一半，所以第
一天运出后，剩下的一半重量是 43 12 31 (克)；这样，第一天运出后剩下的重 31 2 62 (克).那么
同理，一半的重量是 62 12 50 (克)，原有食物 50 2 100 (克).即
[ 43 12 2 12] 2 100（ ） (克).
【答案】100克
【巩固】 一捆电线，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去余下的一半少 10 米，第三次用去 15 米，最
后还剩 7 米，这捆电线原有多少米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由逆推法知，第二次用完还剩下15+7 22 (米)，第一次用完还剩下 (22 10) 2 24 (米)，原来电线
长 (24 3) 2 54 (米)， (15 7 10) 2 3 2 54 (米).
【答案】 54 米
【例 16】工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多 6 米，第二天修了余下的一半少 20米，第三天修
了 30 米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长 米。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，2008 年，陈省身杯
【解析】如图1所示，先根据线段图理清数量关系，可得全长为： 14 30 20 2 6 2 108 （米）。
【答案】108米
【巩固】 修建一条下水道，第一周修了全长的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了
30 米，最后还剩18 米，这条下水道长多少米？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】如下图，从图中可知 30 18 12 36 是第一周修后余下的一半，36 2 12 84 米是下水道全长的一
半．
列式为： [ 30 18 12 2 12] 2 84 2 168（ ） (米)，所以，这条下水道长168米．画图法的关键：
标好有倍数关系的位置。
【答案】168米
【例 17】货场原有煤若干吨。第一次运出原有煤的一半，第二次运进 450吨，第三次又运出现有煤的
一半又 50吨，结果剩余煤的 2倍是 1200吨。货场原有煤多少吨？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图 4，然后再分析。
结合上面的线段图，用倒推法进行分析，题中的数量关系就可以跃然纸上，使学生们一目了然。
根据“剩余煤的 2 倍是 1200 吨”，就可以求剩余煤的吨数；根据“第三次运出现有煤的一半又 50
吨”和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，进而可求出现有煤的吨数；用现有煤
的吨数减去第二次运进的 450 吨，就可以求出原有煤的一半是多少，最后再求出原有煤多少吨。
（1）剩余煤的吨数是：1200 2 600 （吨）
（2）现有煤的一半是：600 50 650 （吨）
（3）现有煤的吨数是：650 2 1300 （吨）
（4）原有煤的一半是：1300 450 850 （吨）
（5）原有煤的吨数是：850 2 1700 （吨）
答：货场原来有煤 1700 吨。
【答案】1700 吨
【例 18】从前，有一位樵夫，整天幻想着遇见神仙，求得一种不花气力就能发财的窍门．一天，有一位
老人突然来到樵夫面前，对他说：“你不是想见到神仙吗？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天
柴，累的要死要活，才卖的这么几个钱．您老人家神通广大，恳求您指点，使我可以不费力气
就能得到钱吧！”老人指着东边的一座石头桥说：“好吧！从现在开始，你只要从那座桥上每走一
个来回，口袋里的钱都会增长一倍，但是每次回来都要付给我 24 个钱作为报酬．”樵夫高兴的在
桥上走了一个来回，他数一数口袋里的钱，果然增长了一倍．他拿出 24 个钱交给神仙，然后又
向桥上走去，等到他第三次回来，把 24 个钱交给神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一个钱都没有
了．正当他焦急不安的时候，神仙按原数把钱留下飘然而去，并留下一句话：“年轻人，不劳而
获可不行啊！”故事读完了，小朋友们，你能不能算出，樵夫原来有多少钱呢？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】这个故事里包含的算题是：樵夫每次在桥上走一个来回，口袋里面的钱会增长 1 倍，樵夫第三次回
来，交付 24 个钱给神仙后，他的口袋里就一无所有了．问樵夫原来有多少钱？我们可以倒着想，最
后樵夫从桥上回来后，口袋里面只有 24 个钱，第二次交给神仙后有 24 2 12 （个）钱，从桥上回
来后有：12 24 36 （个）钱，也就是第一次交给神仙后还剩： 36 2 18 （个）钱，第一次从桥
上回来后有：18 24 42 （个）钱，所以樵夫一开始有： 42 2 21 （个）钱．
【答案】 21个
【巩固】 有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走
过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我 32个铜板．”财
迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老
人 32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后 32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：
财迷身上原有多少个铜板？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】第五次回来时有 32 个铜板，表明第五次走时有 16 个铜板（因为走到桥对面钱数要增加一倍），又表
明第四次回来时有 48 个铜板（因为要给老人 32 个铜板）……依次类推即可．推算过程可列表如下：
所以原来有 31个铜板．
【答案】 31个
【巩固】 某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞
到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，
使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了 3 个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是 64 枚一元的硬
币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】已知这个人和钱箱里最后都有 64 元，采用倒推法解题，列表如下：
所以最开始这个人身上有 43 元，箱子里有 85 元．
【答案】85 元
【例 19】学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1 天能长到 20 厘米，聪明的小朋友，你知
道小虫长到 5 厘米时需要多少小时吗？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的 2 倍，第三个小时的身长是第二个
小时的 2 倍，第四个小时的身长是第三个小时的 2 倍，……1 天是 24 个小时，从 24 小时能长到 20
厘米开始，往前倒推，当长到 20 2 10 (厘米)时，就是第 23 个小时，以此倒推．
(方法一)用倒推法解： 20 2 2 5 (厘米)， 24 1 1 22 (小时)
(方法二)用列表倒推法解：
【答案】 22小时
【例 20】桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半
个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有 100 个桃了.那么园中原有多
少桃？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】第三群猴没吃，相应有桃： (100 0.5) 2 201 (个)
第二群猴没吃，相应有桃： (201 0.5) 2 403 (个)
第一群猴没吃，相应有桃(即桃园中原有桃)： (403 0.5) 2 807 (个)
【答案】807 个
【巩固】 山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多 2 个，第二天又偷吃了剩下的一
半多 2 个，这时还剩 1 个，问：树上原来有多少个桃子？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 2 [ 1 2 2 2] 16（ ） (个).
【答案】16个
【巩固】 某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水
果同样多，已知原有的水果 800千克，求原有的蔬菜多少千克？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】可逐步算出：运进水果 800 2 400 （千克），现有水果 800 400 1200 （千克），原有蔬菜
1200 2 2400 （千克）。
【答案】 2400 千克
【例 21】玩具店的玩具每卖出一半，就补充 20个，到第十次卖出一半后恰好余下 20个，则玩具店原有玩具
___个。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 4 题，可逆思想方法
【解析】20×2=40，40÷2+20=40，所以前 9 次每次都剩 40 个，原有也是 40 个。
【答案】 40个
【巩固】 牧羊人赶一群羊过 10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上 3只，最后清查
还剩 6只。这群羊在过河前共有 只。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，二试，第 6 题
【解析】用还原法，过第 10 条河之前，有（6-3）×2＝6 只，因此他过每一条河之前都有 6 只羊，最初也共有
6 只。
【答案】 6 只
【巩固】 牧羊人赶一群羊过 10条河，每过一条河时都有三分之一的羊掉人河中，每次他都捞上 3只，最后
清查还剩 9只。这群羊在过河前共有________只。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第 4 题
【解析】采用逆推的方法，最后剩的 9 只羊中有 3 只是上一次捞上来的，有 6 只是上次没有掉入河中的，也
就是上次全部羊的
2
3
，那么可知前一次过河前羊的数量也是 9 只，同理可得最初羊的总数也是 9.
【答案】 9 只
【例 22】甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着
了。甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成 3 份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着
其中的一份鱼回家了。乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成 3 份，发现还多一条，也将多
的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均分成 3 份，
这时也多一条鱼。这三个人至少钓到__________条鱼。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，一试，第 12 题
【解析】根据题意画图分析如下：
当 1a 时， 2 3 1 7⇒ b b ，无法被 2 整除
当 2a 时， 3 1 7 a ，无法被 2 整除
当 3a 时， 3 1 2 5 b a ， 3 1 2 8 c b ∴ 三人至少钓得 3 8 1 25 条
【答案】 25条
【巩固】 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又
一枚；剩下的再四等分又剩一枚.问：原来至少有多少枚棋子？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为 1 枚.由此逆推，得到第三次分之前有1 4 1 5 (枚)，
第二次分之前有 5 4+1 21 (枚)，第一次分之前有 21 4+1=85 (枚).所以原来至少有 85 枚棋子.
【答案】85 枚
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