小学奥数6-1-4 还原问题（二）.学生版

6-1-2.还原问题（二） 教学目标 本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用 倒推法解决问题． 1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题． 2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题． 3. 培养学生“倒推”的思想． 知识点拨 一、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以 新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题． 还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的 叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推． 二、解还原问题的方法 在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反． 方法：倒推法。 口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数． 关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变 减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号. 例题精讲 模块一、单个变量的还原问题 【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二 口又喝了剩下的 1 3 ，第三口则喝了剩下的 1 4 ，第四口再喝剩下的 1 5 ，第五口喝了剩下的 1 6 ．此时 瓶子里还剩 0.5 升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？ 【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ ）斗酒。 【例 3】 有 60 名学生，男生、女生各 30 名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放 开手，可以分成 18 个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小 组． 模块二、多个变量的还原问题 【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书 280 本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护， 于是从甲调 14 本给乙，从乙调 15 本给丙，从丙调 17 本给丁，从丁调 18 本给甲。这时四个组的书 一样多。这说明甲组原来有书______ 本。 【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有 140 只沙袋．如果甲组先给乙组 5 只，乙 组又给甲组 8 只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只? 【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出 与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有 28 棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和 乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次 又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好 都是 32 个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？ 【巩固】 有一个两层书架，一共摆放 224 本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现 有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮 调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书． 【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙 40 元，乙再给丙 30 元，丙再给甲 20 元，给乙 70 元，这样三 人各有 240 元，三人原来各有存款多少元？ 【巩固】 小巧、小亚、小红共有 90 个玻璃球，小巧给小亚 6 个，小亚给小红 5 个，小红给小巧8个，他们的 玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？ 【例 8】 三棵树上共有 36 只鸟，有 4 只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有 8 只鸟从第二棵树上飞到第三 棵树上，有 10 只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各 有几只鸟? 【巩固】 三棵树上共有 27 只鸟，从第一棵飞到第二棵 2 只，从第二棵飞到第三棵 3 只，从第三棵飞到第一 棵 4 只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？ 【巩固】 3 个笼子里共养了 78 只鹦鹉，如果从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里，再从第 2 个笼子里 取出 6 只放到第 3 个笼子里，那么 3 个笼子里的鹦鹉一样多．求 3 个笼子里原来各养了多少只鹦鹉? 【巩固】 3 个笼子里共养了 36 只兔子，如果从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里，再从第 2 个笼子里 取出 6 只放到第 3 个笼子里，那么 3 个笼子里的兔子一样多．求 3 个笼子里原来各养了多少只兔子？ 【例 9】 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物 200 本，为了广泛阅读，张给王 13 本，王给李 18 本，李 给赵 16 本，赵给张 2 本．这时 4 个人的本数相等．他们原来各有多少本？ 【例 10】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调 35 人支援第三队，又抽调剩下 的一半支援第四队，后来又调进 8 人，这时第一队还有 30 人，求第一队原有多少人？ 【例 11】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的 9 倍多 4800 千米，土星直径除以 24 等于水星直径， 水星直径加上 2000 千米是火星直径，火星直径除以 2 减去 500 千米等于月亮的直径，月亮直径是 3000 千米.”请你算一算，地球的直径是多少？ 【例 12】有 18 块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬得太多， 就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少 2 块， 从弟弟那儿拿走一半多 2 块，结果是爸爸比哥哥多搬了 3 块，哥哥比弟弟多搬了 3 块．问最初弟弟 准备搬多少块? 【巩固】 有砖 26 块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太多， 就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥 5 块，这时哥哥比弟 弟多挑 2 块．问最初弟弟准备挑多少块？ 【例 13】口渴的三个和尚分别捧着一个水罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，老和 尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、 小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让 了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有 10 升水，小和尚的水罐则装着 20 升水．请问：最初 大和尚的水罐里有多少升水？ 【例 14】兄弟三人分 24 个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的 一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔 子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？ 【例 15】甲、乙、丙 3 人共有 192 张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么 多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙 3 人邮票数相同，甲、乙、丙原 来各有多少张？ 【巩固】 有甲、乙、丙三堆苹果共 96 个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从 乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放 入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有 个苹果，乙堆有 个苹果，丙对有 个苹果． 【例 16】 、 、 、 、 、 、A B C D E F G 七个人都各有一些珠子。从 A 开始依序进行以下操作，每次都分给其他六 个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当 G 操作后，每个人手中都恰好各有 256 颗珠 子，请问 D 原先有多少颗珠子？ 【例 17】一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这 两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增 加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三 个班的图书数目都是 48 本．求三个班原来各有图书多少本？ 【巩固】 3 个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙， 使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第 三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这 3 位探险家每人都赢了两局而 输掉了一局，最后 3 人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了 100 元．你能推算出来甲、乙、丙 3 人刚开始各有多少钱吗？ 【巩固】 A、B、C 三个油桶各盛油若干千克．第一次把 A 桶的一部分油倒入 B、C 两桶，使 B、C 两桶内的 油分别增加到原来的 2 倍；第二次从 B 桶把油倒入 C、A 两桶，使 C、A 两桶内的油分别增加到第 二次倒之前桶内油的 2 倍；第三次从 C 桶把油倒入 A、B 两桶，使 A、B 两桶内的油分别增加到第 三次到之前桶内油的 2 倍，这样，各桶的油都为 16 千克．问 A、B、C 三个油桶原来各有油多少千 克？ 【巩固】 乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些， 使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆 一样多．如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？ 【巩固】 甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各 增加了 1 倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了 1 倍；丙把自己的 铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了 1 倍，这时三人铜板数都是 8 枚，原来每人 各有几枚？ 【例 18】三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原 来的 2 倍与 3 倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到 3 倍与 2 倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到 2 倍， 这时三个容器中的水都为 96 毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？ 【例 19】某工厂有 A 、B 、C 、D 、E 五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把 B 车间工人的 1 2 调入 A 车间，C 车间工人的 1 3 调入 B 车间，D 车间工人的 1 4 调入 C 车间，E 车间工人的 1 6 调入 D 车间．现 在五个车间都是 30 人．原来每个车间各有多少人？ 【例 20】老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均 数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008， 且所有写过的数都是整数．请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？ 【例 21】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚， 再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？ 【巩固】 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩 2 个；然后再取 其中两份，将这两份三等分后还剩 2 个．问：这筐苹果至少有几个？