小学奥数6-1-8 和倍问题（二）.教师版

6-1-5.和倍问题（二） 教学目标 1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 2. 掌握寻找和倍的方法解决问题． 知识点拨 知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题 规律，正确迅速地列式解答。 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数 就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求1份数： l 份数×(倍数－1)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 例题精讲 【例 1】一家三口人，三人年龄之和是 72 岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的 4 倍，三人各是多少岁？ 【考点】和倍问题 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】妈妈的年龄是孩子的 4 倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的 4 倍，把孩子的年龄作为1 倍数，已知三口人年龄和是 72 岁，那么孩子的年龄为： 72 (1 4 4 =8）   (岁)，妈妈的年龄是： 8 4 32  (岁)，爸爸和妈妈同岁为 32 岁． 【答案】孩子的年龄为 8岁，爸爸妈妈的年龄为 32 岁 【例 2】三只小猫去钓鱼，它们共钓上 36 条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼的条数的 5 倍，花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条。黑猫钓上 条鱼。 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题 【解析】白猫钓到 36÷（5+1）＝6 条，花猫和黑猫共钓 30 条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的 2 倍少 9 条，那么就比黑猫钓到的 2 倍多 3 条，黑猫钓到（30-3）÷3＝9 条 【答案】 9 【例 3】甲、乙、丙三人的年龄和为 30 岁，乙的年龄是甲、丙年龄和的一半．乙（ ）岁． 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛 【解析】由题意可知，甲丙的年龄和是乙的 2 倍，那么三人的年龄和就是乙的 3 倍，故乙的年龄为 30 3 10  岁。 【答案】10 岁 【例 4】红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票 56 张．其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒的 2 倍，蓝色纸盒里的彩 票是红色纸盒的 2 倍，红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票? 【考点】和倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】以黄色纸盒的彩票数为 1 倍数，红纸盒是这样的 2 倍，蓝纸盒是红纸盒的 2 倍，也就是黄纸盒的 4 倍，一共就是(1+2+4)倍，这样就能建立起彩票总数与总倍数之间的对应关系，从而求出黄纸盒里有 几张彩票．56÷(1+2+4)=8(张)……黄纸盒里的彩票数；8×2=16(张)……红纸盒里的彩票数 ； 16×2=32(张)……蓝纸盒里的彩票数。 【答案】黄纸盒里有8张，红纸盒里有16 张，蓝纸盒里有 32 张。 【例 5】在一道减法算式中，已知被减数、减数、差的和是 240 ，而减数是差的 5 倍．求差是多少？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】引导学生分析被减数、减数、差三者之间的关系， 并认识它们之间的转化． 我们先看下面一道简单的减法算式： 15 － 10 = 5 被减数 减数 差 被减数、减数、差这三个数有下面的关系： 被减数=差+减数，如15=5+10 这道题中，被减数、减数、差的和是15+5+10=30 ， 30 是被减数的 2 倍， 30 2 15  ，就得被减数，也就是 减数与差的和，这样题目就转化为：“已知减数与差的和 是15 ，减数是差的 2 倍”，按照和倍问题的解题方法，就可求出差是：15 (2 1) 5   ． 列式：减数与差的和是多少？ 240 2 120  差是多少？ 120 (5 1) 20   【答案】 20 【例 6】被除数、除数、商 3 个数的和是 212。已知商是 2，被除数和除数各是多少？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由商是 2，可得被除数与除数的和为：212-2=210；且被除数是除数的 2 倍。 把除数看着 1 份，两数和对应的份数是 3 份，除数为：210÷（2+1）=70； 被除数为：70×2=140。 【答案】被除数140 ，除数 70 【例 7】两个正整数相除，商是 7 ，余数是 5 ，如果被除数、除数都扩大到原来的 4 倍，那么被除数、除数、 商、余数的和等于1039 ．原来的被除数是 ，除数是 ． 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小机灵杯，数学竞赛，五年级，复赛 【解析】被除数、除数都扩大到原来的 4 倍，它们的商还是 7 、余数为 5 4 20  ，所以被除数与除数的和为 1039 20 7 1012   ，而此时被除数比除数的 7 倍大 20 ，所以除数为 (1012 20) (7 1) 124    ，所以 原来的除数为124 4 31  ，被除数原来为31 7 5 222   ． 【答案】被除数 222 ，除数31 【例 8】学校买来篮球、足球、排球共 49 个，其中篮球的个数是足球的 3倍．排球比足球多 4 个．问学校买 来的篮球、足球、排球各多少个？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】可引导学生，让他们自己画图来分析，强调和与对应的份数，教师辅导指正． 从线段图上可以看出，把足球的个数看作1份数，篮球的个数是 3份数，如果排球少买 4 个，也是 l 份 数，这时三种球一共( 49 4 )个，总份数是(1 3 1  )，就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球 的个数． 如果排球减少 4 个，三种球一共多少个？ 49 4 45  (个) 足球多少个？ 45 (1 3 1) 9    (个) 篮球多少个？ 9 3 27  (个) 排球多少个？ 9+4=13 (个) 【答案】足球 9 个，篮球 27 个，排球13 个。 【巩固】 一筐苹果、一筐梨、一筐香蕉共重112 千克．已知苹果的重量是梨的 3倍，香蕉的重量比梨少 3千克．一 筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】梨的重量是： (112 3) (1 1 3) 23     （千克） 苹果的重量是： 23 3 69  （千克） 香蕉的重量是： 23 3 20  （千克） 【答案】苹果 69 千克，梨 23 千克，香蕉 20 千克。 【巩固】 玩具厂生产红、黄、白气球共125 个，其中红气球的个数是黄气球的 3倍，白气球比黄气球少 25 个．问 三种气球各生产了多少个？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】黄气球： (125 25) (3 1 1) 30     （个）；红气球：30 3 90  （个）；白气球： 30 25 5  （个） 【答案】黄气球 30 个，红气球 90 个，白气球 5 个。 【例 9】小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13 只，比白鸡少18 只．白鸡的只数是黄鸡的 2 倍，白鸡、黄鸡、 黑鸡一共有多少只? 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴黄鸡多少只？ 18 (2 1) 18   (只) ⑵白鸡多少只？ 18 2 36  (只) ⑶黑鸡多少只？ 18 13 5  (只) ⑷白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？ 18 36 5 59   (只) 【答案】 59 只 【例 10】 商店运来橘子、苹果、香蕉共 53 千克，橘子的重量是苹果的 3 倍少 3 千克，香蕉的重量是苹果 的 2 倍多 2 千克，橘子重多少千克? 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】我们可以把苹果的重量看作 1 份，如下图： 如果橘子重量增加 3 千克，正好是苹果重量的 3 倍， 香蕉的重量减少 2 千克，正好是苹果重量的 2 倍， 这时三种水果的总重量变为：53＋3－2＝54(千克)， 正好是苹果重量的(1＋3＋2)倍， 苹果有 (53＋3－2)÷(1＋3＋2) ＝54÷6＝9(千克)，橘子有 9×3－3＝24(千克) . 【答案】 24 千克 【巩固】 果园里有桃树、梨树、苹果树共 552 棵.桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20 棵，求桃树、 梨树和苹果树各有多少棵？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】下图可以看出桃树比梨树的 2 倍多 12 棵，苹果树比梨树少 20 棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵 数为标准、作为 1 份数容易解答. 又知三种树的总数是 552 棵.如果给苹果树增加 20 棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少 12 棵，那么就相当于梨树的 2 倍了，而总棵树则变为 552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的 4 倍。 梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵），桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）， 苹果树的棵数： 140-20=120（棵），桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、140 棵和 120 棵。 【答案】桃树、梨树、苹果树分别是 292 棵、140 棵和 120 棵 【巩固】 某养殖厂养鸡、鸭、鹅共 1462 只，鸡的只数比鸭的 4 倍多 132 只，鹅的只数比鸭的 2 倍少 70 只．这 个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？ 【考点】差倍问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】我们把鸭的只数看作 1 份，鸡的只数看作 4 份，鹅的只数看作 2 份，鸡、鸭、鹅的总只数就相当于 鸭的：1 4 +2 7  (份)．而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：1462 132 70 1400   (只)．用总只数除 以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数． 鸭的只数： (1462 132 70) (1 4 2) 1400 7 200        (只)； 鸡的只数： 200 4 132 800 132 932     (只)； 鹅的只数： 200 2 70 400 70 330     (只)． 【答案】鸭 200 只，鸡 932 只，鹅330 只 【例 11】 有 100 块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了 3 块，乙比丙多分了 5 块，三位小朋友各 分得多少块糖? 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】此题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了 3 块，乙比丙多分了 5 块，从线段图上可以清 楚地看出： 甲比丙多分了 3＋5＝8(块)．如果甲少拿 7 块，乙少拿 5 块，那么糖的总数就要减少 8＋5＝13(块)， 总共就是 100－13＝87(块)．87 块相当于丙所有的糖块数的 3 倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖 块的数量．丙：[100－(3＋5)－5]÷3＝29(块)；乙：29＋5＝34(块)；甲：34＋3＝37(块)。 【答案】甲 37 块，乙 34 块，丙 29 块。 【例 12】 王奶奶家养了鸡、鸭、鹅共 250 只，其中鸭比鹅的 2 倍少 10 只，鸡比鸭的 3 倍多 20 只。王奶 奶养了__________只鸡，_________只鸭，___________只鹅。 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题 【解析】鹅比鸭的一半多5只，所以如果将多出少的去掉和补上一共有250-20-5=225，所以鸭有225÷（3+1+0.5） =50 只，鸡有 50÷2+5=30 只，鹅有 50×3+20=170 只. 【答案】鸡 30 只，鸭 50 只，鹅170 只 【例 13】 甲、乙、丙三个小朋友共有 73 块巧克力，如果丙吃掉 3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如 果乙给甲 2 块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的 2 倍，丙原有 块巧克力． 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】IMC，国际数学邀请赛，新加坡，四年级，复赛 【解析】方法一：由题意可知，丙比乙多3块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多5 块，此时乙的巧克 力数为 (73 5) (1 1 2) 17     （块），丙原有17 2 3 22   （块）。 方法二：如果丙吃掉3块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多3块；如果乙给甲 2 块糖，那么 甲的糖就是乙的糖的 2 倍，即甲的糖加 2 是乙的糖减 2 后的 2 倍，说明甲的糖是丙的糖的 2 倍少 2 2 2 6   块．所以，乙有 (73 3 6) (1 1 2) 19      块糖，丙19 3=22 （块） 【答案】 22 块 【例 14】 甲、乙、丙 3 数之和是 183，乙比丙的 2 倍少 4，甲比丙的 3 倍多 7，求甲、乙、丙三数各 是多少？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】我们把丙数看作一份，画出线段图如下： 假如我们给乙数添上 4 凑成 2 份，甲数减去 7 凑成 3 份，则这时候三个数的总和为： 183+4-7=180，和对应的份数为：1+2+3=6。所以，一份数即丙数为：180÷6=30； 乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。 【答案】甲 97 ，乙 56 ，丙 30 【例 15】 甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为 1999，已知甲校学生人数的 2 倍，乙校学生人数减 3、丙校学生人数加 4 都是相等的。问：甲、乙、丙各校学生人数是多少? 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】(1999－3＋4)÷(1＋2＋2)＝400， 400×2＋3＝803，400×2－4＝796，甲、乙、丙三校的人数分别为 400，803，796。 【答案】甲、乙、丙三校的人数分别为 400，803，796。 【例 16】 549 是甲、乙、丙、丁 4 个数的和.如果甲数加上 2，乙数减少 2，丙数乘以 2，丁数除以 2 以后，则 4 个数相等.求 4 个数各是多少？ 【考点】和倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】下图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以 2 和丁数除以 2 相等，也就是丙数的 2 倍和丁数的一半相等， 即丁数相当于丙数的 4 倍.乙减 2 之后是丙的 2 倍，甲加上 2 之后也是丙的 2 倍.根据这些倍数关系， 可以先求出丙数，以丙数为一份量，再分别求出其他各数。 丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61，甲数是：61×2-2=120，乙数是：61×2＋2=124 丁数是：61×4=244，验算：120+124＋61+244=549120＋2=122 124-2=12261×2＝122 244÷2＝122 【答案】甲120 ，乙124 ，丙 61，丁 224 【例 17】 四年级有甲、乙、丙、丁四个班．不算甲班，其余三个班的总人数是 131 人；不算丁班，其余 三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人．问：这四个班共有 多少人？ 【考点】和倍问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】由题意，乙、丙、丁三个班总人数为 131 人，甲、乙、丙三个班总人数为 134 人，于是可以看出， 甲班比丁班多 3 个人．又因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少 1 人，也就是说乙、丙 两班总人数是丁班的 2 倍还多 2 人．从而可以求出丁班的人数为： (131 2) 3 43   （人）． 因此这四个班的总人数为134 43 177  （人）． 【答案】177 人 【例 18】 有几个同学想称一下体重，可是秤的秤砣不齐，只能称 50 千克以上的重量，他们只好每人都和 其他人合称一次，共得到以下 10 个数据（单位：千克）：75、78、79、80、81、82、83、84、86、 88．问：⑴有几名同学？⑵他们的重量各是多少千克？ 【考点】和倍问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】⑴首先 2 5 5 4 2 10   C ，也就是说 5 个同学两两合称才恰好需要称 10 次，所以有 5 个同学． ⑵设这 5 个同学的体重从小到大依次为 A 、 B 、C 、 D 、 E ． 则有 75 A B ， 78 A C ， 88 D E ， 86 C E ；  75 78 79 80 81 82 83 84 86 88 4 204               A B C D E ． 则 204 75 88 41   C 千克； 78 41 37  A 千克； 86 41 45  E 千克； 75 37 38  B 千克； 88 45 43  D 千克． 即他们的体重分别为 37 千克、38 千克、41 千克、43 千克、45 千克． 【关键词】5 名同学，体重分别为 37 千克、38 千克、41 千克、43 千克、45 千克 【例 19】 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有 3 张．相同颜色的卡片上写相同的自 然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数．老师把这12 张卡片发给 6 名同学，每人得到两张颜色不 同的卡片．然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和．六名同学交上来的答案分别 为：92，125，133，147，158，191．老师看完 6 名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了．问： 四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？ 【考点】和倍问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，初赛 【解析】根据题意可知，6 名同学每人都得到给定的 4 个数中的某 2 个，而从 4 个数中选取 2 个不同的数共 有 2 4 6C 种不同的方法．而 6 名同学所给的 6 个答案中只有 1 个错误，有 5 个是正确的，而且这 5 个正确的答案互不相同，所以这 5 名同学所拿到的两个数也互不相同．而总共只有 6 种不同情况， 所以给出错误答案的那名同学所拿到的两个数与其他 5 名同学所拿到的两个数的情况也都不相 同．那么本题相当于：有四个数 a 、b 、c 、d (   a b c d )，每次从中取出两个数，计算它们的和， 得到六个和：92，125，133，147，158，191，其中只有一个是错误的，求 a 的值． 由取法可知，得到的六个和可以两两匹配，即 a b 与 c d ， a c 与 b d ， a d 与 b c ，互相匹 配的两个和的和是相等的，都等于   a b c d ．而题中的 6 个数中， 92 191 125 158 283    ，可 见 283   a b c d ，那么六个和数中 133 和 147 都可能是错误的． 如果 147 是错误的，那么 133 是正确的，另一个正确的和数为 283 133 150  ，根据 a 、b 、c 、d 的 大小顺序，可得 92 a b ， 191 c d ， 125 a c ， 158 b d ，而 a d 与 b c 分别为 133 和 150．再 由 158 92 250     a b b d 得 250 2  a d b ，所以 a d 是偶数，那么 150 a d ，得 50b ， 进而得 92 50 42  a ．即四种颜色卡片上所写各数中最小数是 42． 如果 133 是错误的，那么 147 是正确的，同样分析可知，此时四种颜色卡片上所写各数中最小数是 35． 【关键词】 35