小学奥数6-1-12 差倍问题（三）.教师版

6-1-6.差倍问题（三） 教学目标 1. 掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题. 2. 熟练应用通过图示来表示数量关系． 知识精讲 差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题． 差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般 情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到 1 倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对 应，相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数) 1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。 例题精讲 模块一、年龄与差倍问题 【例 1】 爸爸妈妈现在的年龄和是 72 岁；五年后，爸爸比妈妈大 6 岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】五年后，爸爸比妈妈大 6 岁，即爸妈的年龄差是 6 岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的年 龄差仍然是 6 岁．这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是 72 岁，他们的年龄差是 6 岁，求 二人各是几岁”的和差问题． 爸爸的年龄： 72 6 2 39（ ）   (岁) 妈妈的年龄： 39 6 33  (岁) 【答案】爸爸 39 ，妈妈33 岁 【巩固】 爸爸妈妈现在的年龄和是 72 岁；六年后，爸爸比妈妈大 4 岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 【考点】差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】六年后，爸比妈大 4 岁，即爸妈的年龄差是 4 岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然 是 4 岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是 72 岁，他们的年龄差是 4 岁，求二人各是 几岁”的和差问题．爸爸年龄： (72 4) 2 38   （岁），妈妈的年龄： 38 4 34  （岁） 所以，爸爸的年龄是 38 岁，妈妈的年龄是 34 岁. 【答案】爸爸 38 岁，妈妈 34 岁 【例 2】 爸爸今年 38 岁，佳佳今年 2 岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的 5 倍？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】父女年龄差是：38 2 36  （岁），这个数量是不会变化的，这一点很关键.当父亲的年龄恰好是女儿 年龄的 5 倍时，父亲仍比女儿大 36 岁，这 36 岁是父亲比女儿多的 5 1 4  倍所对应的年龄. (38 2) (5 1) 9    （岁）， 9 2 7  （年），即 7 年后，父亲的年龄是佳佳的 5 倍 【答案】 7 年后 【例 3】 姐姐今年 13 岁，弟弟今年 9 岁，几年后姐弟俩岁数和是 40 岁？姐姐到时多少岁了？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由题意，姐弟俩今年的年龄和是13 9 22  （岁），用几年后姐弟俩的岁数和 40 岁减去今年姐弟俩的 年龄和 22 岁，就得到姐弟俩经过的年数和，即为 40 22 18  （年），最后再除以 2，就求出姐弟俩 每人经过的年数.经过的年数都是：18 2 9  （年）．可以求出姐姐的年龄是13 9 22  40 岁 年龄差 若干年 9 岁 13 岁 弟弟 姐姐 用线段图显示数量关系.姐弟俩的年龄差总是13 9 4  （岁），不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是 4 岁，由图可见，如果从 40 岁中减去姐弟年龄的差，再除以 2 就得到所求的弟弟的年龄，也就可以求 出姐姐的年龄了.弟弟的年龄： (40 4) 2 18   （岁），姐姐的年龄：18 4 22  （岁）． 【答案】 9 年后姐弟两个的岁数和是 40 岁，姐姐到时 22 岁。 【例 4】 兄弟俩今年的年龄和是 30 岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半．问： 哥哥今年几岁？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设他们的年龄差是 1 份，由“哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半”可知 弟弟的年龄是 2 份，哥哥的年龄是 3 份，所以每一份是 30 (2 3) 6   (岁)，那么哥哥的年龄是 6 3 18  (岁)． 【答案】18 岁 【例 5】 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的 3 倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现 在的年龄和为 30 岁．问：哥哥现在多少岁？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设弟弟当年年龄是 1 份，那么哥哥现在的年龄就是 3 份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄 相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟 弟现在年龄(哥哥当年年龄)就刚好是 2 份，那么兄弟现在的年龄和是 3 2 5  份，一份就是 30 5 6  (岁)，哥哥现在是 6 3 18  (岁)． 【答案】18 岁 【例 6】 妈妈的年龄是小红的 5 倍，奶奶的年龄比小红大 9 倍，已知奶奶比妈妈大 35 岁，求三人年龄各多 少岁？ 【考点】差倍问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】根据题意作图如下： 奶奶的年龄比小红大 9 倍，妈妈的年龄是小红的 5 倍，那么，妈妈的年龄比小红大（5-1）倍，奶奶 的年龄比妈妈大（9-4）倍，把小红的年龄看作一倍数，则小红的年龄为：35÷（9-4）=7（岁），妈 妈的年龄是：7×5=35（岁），奶奶的年龄是：35+35=70（岁） 【答案】小红 7 岁，妈妈年级 35 岁，奶奶年龄 70 岁 【例 7】 新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微.老将说：“我比你大 10 岁.”新手说：“上次你比我大一倍.”运 动会四年开一次，两人年龄各几岁？ 【考点】差倍问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】我们把这个问题译成常见应用题表述形式为：今年，老运动员年龄比新运动员大 10 岁；四年前，老 运动员年龄比新运动员大一倍.新、老运动员今年各几岁？大家还记得年龄问题的基本关系吗？ 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄；几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差 那么上面的这道题解法是：新运动员：10 (2 1) 4 14    （岁），老运动员：14 10 24  （岁）． 【答案】新运动员14 岁，老运动员 24 岁 模块二、多个量的差倍问题 【例 8】 有 40 个连续的自然数，其中最大的数是最小的数的 4 倍，那么最大的数与最小的数之和 是 。 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 5 题 【解析】最大的数是最小的数的 4 倍，那么两数之差就是最小数的 3 倍。最大数与最小数的差是 39，所以最 小数是 39÷3＝13，最大数是 13×4＝52，两数之和是 65 【答案】 65 【例 9】 老师买了同样多的田格本、横线本和练习本．他发给每个同学 1 个田格本、3 个横线本和 5 个练习 本．这时横线本还剩 24 个，那么田格本和练习本共剩了 个． 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，2 题 【解析】【解析】田格本和练习本的本数之和为横线本的本数的两倍，每次分发的田格本和练习本的本数之和也为横 线本的本数的两倍，所以剩下的田格本和练习本的本数之和也为横线本的本数的两倍．即剩下的田 格本和练习本的本数之和为 24 2 48  本． 另解：设老师原来买了各种本子各 x 本，分发了 a 个人后，剩下的三种本子的本数分别有 x a ， 3x a ， 5x a ，田格本和练习本共剩了 2 6x a ，因为 3 24 x a ，所以  2 6 2 3 48   x a x a ． 【答案】 48 个 【例 10】红星学校花坛放有红黄蓝三种颜色的花，已知蓝花比红花多 20 盆；黄花比红花的 4 倍多 30 盆， 又是蓝花数量的 3 倍，则有________盆黄花。 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,5 年级,第 4 题 【解析】设红花是 3 份，黄花是 12 份多 30，是蓝花的 3 倍，所以蓝花就是 4 份多 10，蓝花比红花多 20，那 么 1 份就是 10，红花 30 盆，黄花 150 盆，蓝花 50 盆。 【答案】150 盆 【例 11】小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多 13 只，比白鸡少 18 只，白鸡的只数是黄鸡 2 倍，白鸡、黄鸡、 黑鸡一共多少只？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】以黄鸡的只数为标准，画图如下： 白鸡的只数是黄鸡的 2 倍，所以黄鸡：18÷（2－1）＝18（只），白鸡：18×2＝36（只）， 黑鸡：18－13＝5（只），三种鸡共有：18+36+5＝59（只） 【答案】 59 只 【例 12】小明、小红、小玲共有 73 块糖．如果小玲吃掉 3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给 小明 2 块糖，那么小明的糖就是小红的糖的 2 倍．问小红有多少块糖？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】如果小玲吃掉 3块，那么小红与小玲的糖就一样多，说明小玲比小红多 3块；如果小红给小明 2 块糖， 那么小明的糖就是小红的糖的 2 倍，即小明的糖加 2 是小红的糖减 2 后的 2 倍，说明小明的糖是小红 的糖的 2 倍少 2 2 2 6   块．所以，小红有 (73 3 6) (1 1 2) 19      块糖． 【答案】19 块糖 【例 13】红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生 162 人．如果从甲班转出 2 个人到乙班，则甲、 乙两班人数相同．如果这时再从丙班转出 3 个人到乙班，则乙、丙两班人数相同．请问：甲班原来 有多少人？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由题意，现在的甲班比乙班多 2 2 4  （人），丙班比乙班多 3 2 2 8   （人），即丙班比甲班还多 8 4 4  （人）．所以甲班人数为： (162 4 4) (1 1 1) 54      （人）． 【答案】 54 人 【例 14】甲、乙、丙三数的和是 78，甲比乙的 2 倍多 4，乙比丙的 3 倍少 2．求这三个数． 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这道题里出现了 3 个数，首先要确定把哪个数看作“1 倍数”．把丙数看作“1 倍数”算起来更简便．这 样，乙数就是“3 倍少 2”．甲数是“乙数的 2 倍多 4”，可转化为：甲数是丙数的(3 倍 2)  2 4 6  倍， 这三个数的和就相当于丙数的 6 倍+(3 倍-2)+1 倍=10 倍-2． (78 2) (6 3 1) 8     ……丙 8 3 2 22   ……乙 22 2 4 48    ……甲 【答案】甲 48 ，乙 22 ，丙 8 【例 15】甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999 ，已知甲校学生人数的 2 倍，乙校学生人数减 3，丙校 学生人数加 4 都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？ 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】甲校学生人数为： (1999 3 4) (1 2 2) 400      （人），乙校学生人数为： 400 2 3 803   （人）， 丙校学生人数为： 400 2 4 796   （人）．甲、乙、丙三校的人数分别为 400 ，803 ， 796 ． 【答案】甲、乙、丙三校的人数分别为 400 ，803 ， 796 【例 16】幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友 2 块巧克力，7 块奶糖和 8 块 水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩 15 块，而巧克力恰好是奶糖的 3 倍．那么共有_____________ 个小朋友． 【考点】差倍问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，10 题 【解析】【解析】画线段图分析，由题意知： 8 份 7 份 2 份 15 水果糖 奶糖 巧克力 从奶糖的 7 份中取 2 份，那么剩下的 5 份就和上面的 2 小段相等．如图： 2 小段 5 份 15 水果糖 奶糖 巧克力 那么 2 小段和 5 份都看成 10 份量，那么总量就相当于 19 份量，水果糖中原有的 8 份就是现在的 16 份，则剩下的 15 块水果糖就占有 3 份，则 1 份就是 5 块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：16 5 80  （块），小朋友的人数是：80 8 10  （人）． 【答案】10 【例 17】王宇玩射击气球的游戏，游戏有两关，两关气球数量相同。若王宇第一关射中的气球数比没射中 的气球数的 4 倍多 2 个；第二关射中的气球数比第一关增加了 8 个，正好是没射中的气球数的 6 倍，则游戏中每一关有气球__________个。 【考点】差倍问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 14 题 【解析】方法一：设每一关有气球 x 个，第一关射中 a 个     4 2 147 8 6 8 ⇒          a x a x a x a ，有气球 147 个。 方法二：第一次没有射中的气球数是1倍量，那么射中的是 4 倍多 2 个；第二次射中数增加8个，那 么射中的数是 4 倍多10 个，没有射中的是1倍少8个。此时“ 4 倍多10 个”是“1倍少8个”的 6 倍， 则：    4 8 10 6 4 21     ，是少8个后的1倍量，所以原来每关有气球数为：    21 8 4 1 2 147     （个）。 【答案】147 个球