小学奥数6-1-16 盈亏问题（二）.教师版

6-1-7.盈亏问题（二） 教学目标 1. 熟练掌握盈亏问题的本质. 2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题． 知识精讲 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称 之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也 就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式： (盈  亏)  两次分得之差  人数或单位数 (盈  盈)  两次分得之差  人数或单位数 (亏  亏)  两次分得之差  人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意：1.条件转换； 2.关系互换. 利用条件关系转换解盈亏问题——转化分配单位数（接受分配的人数） 【例 1】小鸣用 48 元钱按零售价买了若干练习本。如果按批发价购买，每本便宜 2 元，恰好多买 4 本。问： 零售价每本多少元? 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题 【解析】见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为黄色部分面积与绿色部分面积相等，所以黄色的宽 是绿色高的 2 倍，设批发价为 x 元（图中绿色长方形的高），则有：x×（2x＋4）＝48，即 x×（x＋ 2）＝24＝4×6＝4×（4＋2），所以，x＝4（元），零售价为 x＋2＝6（元） 【答案】 6 元 【例 2】春节前夕，一富翁想丐帮帮众施舍一笔钱财，一开始他准备给每人100 元，结果剩下 350 元，他决定 每人多给 20 元。这时从其它地方又闻讯赶来了 5 个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其它乞丐一样 多，富翁还需要再增加550 元。原有（ ）名乞丐。 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】如果不来这五个乞丐，富翁能剩下120 5 550 50   元。因此有  350 50 20 15   名乞丐。 【答案】15 名 【例 3】李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为 8 元和 10 元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比 买碧浪洗衣粉可多买 3 袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？ 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】（法 1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买 3 袋”，这三袋洗衣粉多花 8×3＝24（元）， 又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵 2 元， 所以要买碧浪洗衣粉袋数 24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是 10×12＝120（元）． （法 2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩 3×8＝24（元），根据普通 的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带的钱数 是：12×10＝120（元）． 【答案】120 元 【巩固】 奶糖每千克 24 元，水果糖每千克 18 元。买两种糖果花了同样多的钱，但水果糖比奶糖多 4 千克。 水果糖 千克，奶糖 千克。 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛 【解析】若水果糖少买 4 千克那么就和奶糖重量一样，能够剩下 4 18 72  元，因为两种水果花的钱一样，此 时奶糖比水果糖多用 72 元，因为奶糖比水果糖每千克多花 6 元，那么共买了奶糖 72 6 12  千克， 水果糖 16 千克。 【答案】水果糖16 千克，奶糖12 千克 【例 4】商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵 10 元，妈妈带的钱如果买 10 个玻璃杯还剩 6 元，如果买 5 个保温杯还缺 4 元，妈妈带了________钱。 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 2 题 【解析】 86 元。 5 个保温杯比 5 个玻璃杯多用 50 元，  50 10 5 8   元8 10 6 86   元 【答案】86 元 【例 5】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分 5 个，则余下 10 个。如全部分 给小班的小朋友，每人分到 8 个，则缺 2 个。已知大班比小班多 3 人，问：这筐苹果共有多少个？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。大班减少 3 人，则苹果又收回3 5 15  个苹果，人数一样， 根据盈亏问题公式，小班人数为： (15 10 2) (8 5) 9     人，苹果总数是8 9 2 70   个。 【答案】 70 个 【巩固】 六年级学生出去划船。老师算了一下，如果每船坐 6 人，那么还剩下 22 人没船坐。安排时发现有 3 条船坏了，于是改为每船坐 8 人，结果还剩下 6 人没地方坐，请问：一共有多少学生？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如果 3 条船没有坏，每船坐 8 人，那么多余了 8 3 6 18   个座位。根据盈亏问题公式，有船 (18 22) (8 6) 20    条，学生人数为 20 6 22 142   人。 【答案】142 人 【巩固】 幼儿园把一袋糖果分给小朋友。如果分给大班的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒。如果分给小班的小朋 友，每人 4 粒就余 4 粒。已知大班比小班少 2 个小朋友，这袋糖果共有 粒。 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛 【解析】如果大班增加 2 个小朋友，大、小班人数就相等了。变为“每人 5 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 粒”的 盈亏问题。小班有(16+4)÷(5-4)=20(人)。这袋糖果有：4×20+4=84(粒)。 【答案】84 粒 【例 6】幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人 5 粒就缺 6 粒．如果分给小班的小朋 友，每人 4 粒就余 4 粒．已知大班比小班少 2 个小朋友， 这袋糖果共有多少粒？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如果大班增加 2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人 5 粒缺 16 粒，每人 4 粒多 4 粒” 的 盈亏问题．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．这袋糖果有 4×20＋4＝84(粒)． 【答案】84 粒 【例 7】四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13 千克，还差 4 元；如 果买奶糖15 千克，则还剩 2 元．已知每千克芒果比奶糖贵 2 元，那么，辅导员老师带了 元钱． 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】这笔钱买13 千克芒果还差 4 元，若把这13 千克芒果换成奶糖就会多出13 2 26  元，所以这笔钱买13 千克奶糖会多出 26 4 22  元．而这笔钱买15 千克奶糖会多出 2 元，所以每千克奶糖的价格为： (22 2) (15 13) 10    （元）．辅导老师共带了10 15 2 152   元． 【答案】152 元 【巩固】 小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买 10 千克牛肉则还差 6 元，若买 12 千克猪肉则还剩 4 元．已知每 千克牛肉比猪肉贵 3 元，问：小明妈妈带了多少钱？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】因为“每千克牛肉比猪肉贵 3 元”，所以同样买 10 千克猪肉的话，就剩了 3×10－6＝24（元），这样 化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带的钱数是： 12×10＋4＝124（元）． 【答案】124 元 【巩固】 食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉 18 千克，则差 4 元；如果买猪肉 20 千克，则多 2 元.已知牛肉、猪肉每千克差价 8 角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】这笔钱买18 千克牛肉还差 4 元，若把这18 千克牛肉换成猪肉就会多出18 0.8 14.4  元，所以这笔钱 买18 千克猪肉会多出14.4 4 10.4  元．而这笔钱买 20 千克猪肉会多出 2 元，所以每千克猪肉的价格 为： (10.4 2) (20 18) 4.2    （元）．牛肉价格为： 4.2 0.8=5 （元）． 【答案】牛肉 5 元，猪肉 4.2 元 【例 8】小红去买水果．如果买 5 千克苹果则少 4 元；如果买 6 千克梨则少 3 元．已知苹果比梨每 500 克贵 5 角 5 分，那么小红买水果共带了 元． 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初试，3 题 【解析】【解析】这是一道盈亏问题,先要统一标准.由"苹果比梨每 500 克贵 5 角 5 分"可知,苹果比梨每千克多 11 角,则 "买 6 千克梨则少 3 元"换成"买 6 千克苹果则少 30+6×11=96 角"由盈亏公式可得苹果的价钱为:（96-40） ÷（6-5）=56 角,则共带了 5×56-40=240 角=24 元 【答案】 24 元 【例 9】养猪专业户王大伯说：“如果卖掉 75 头猪，那么饲料可维持 20 天，如果买进 100 头猪，那么饲料只 能维持 15 天。”问：王大伯一共养了多少头猪？ 【考点】盈亏问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 11 题 【解析】方法一：本题属于盈亏问题，    75 20 100 15 20 15 =600     （头） 方法二：设王大伯一共养了 x 头猪，20（x－75）=15(x+100) ，x=600(头)，王大伯一共养了 600 头 猪。 【答案】 600 头 【例 10】 有一些糖，每人分 5 块则多10 块，如果现有人数增加到原有人数的1.5 倍，那么每人 4 块就少两 块，这些糖共有多少块？ 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】第一次每人分 5 块，第二次每人分 4 块，可以认为原有的人每人拿出 5 4 1  块糖分给新增加的人， 而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到 2 块糖果，这些人每人还差 4 2 2  块， 一共差了10 2 12  块，所以新增加了12 2 6  人，原有 6 2 12  人．糖果数为：12 5 10 70   (块)． 【答案】糖果 70 块 【巩固】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人 5 个还多余 10 个羽毛球，如果人数增加到 3 倍，那么每 人分 2 个羽毛球还缺少 8 个，问有羽毛球多少个？ 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】考虑人数增加 3 倍后，相当于按原人数每人给 2×3＝6（个），每人给 5 个与给 6 个，总数相差 10＋8 ＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），羽毛球总数是 5×18＋10＝100（个）． 【答案】100 个 【巩固】 3 月 12 日植树节，四年级一班同学去植树，如果其中 3 人各植树 2 棵，其余每人植树 6 棵，就恰好 植完所有的树苗，如果人数增加到原来的 2 倍，则每人植树 2 棵还有 8 棵树没人植，请问，共有 名学生参加植树，共植树 棵． 【考点】盈亏问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 13 题 【解析】人数增加两倍，每人植树 2 棵，相当于人数不变，每人植树 4 棵，这样差 8 棵种完每人种 6 棵的多 种 3 4 12  棵。    12 8 6 4 10    名学生植树 7 6 3 2 48    棵 【答案】 48 棵 【例 11】 卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分 5 个还多余 10 棵竹子，如 果大熊猫数增加到 3 倍还少 5 只，那么每只大熊猫分 2 棵竹子还缺少 8 棵竹子，问有大熊猫多少只， 竹子多少棵？ 【考点】盈亏问题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】使同学们感到困难的是条件“3 倍还少 5 只大熊猫”．先要转化这一条件，假设还有 10 棵竹子， 10 2 5  ，就可以多有 5 个大熊猫，把“少 5 只大熊猫”这一条件暂时搁置一边，只考虑 3 倍大熊猫 数，也相当于按原大熊猫数每只大熊猫给 2 3 6  (棵)竹子，每只大熊猫给 5 棵与给 6 棵，总数相差 10 10 8 28   (棵)，所以原有大熊猫数 28 (6 5) 28   (只)，竹子总数是 5 28 10 150   (棵)． 【答案】大熊猫 28 只，竹子150 棵