6-1-2.还原问题（二）
教学目标
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用
倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以
新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的
叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
例题精讲
模块一、单个变量的还原问题
【例 1】 刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝．他第一口就喝了整瓶水的一半，第二
口又喝了剩下的 1
3
，第三口则喝了剩下的 1
4
，第四口再喝剩下的 1
5
，第五口喝了剩下的 1
6
．此时
瓶子里还剩 0.5 升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】最开始瓶子里有矿泉水： 1 1 1 1 10.5 1 1 1 1 1 32 3 4 5 6
（升）．
【答案】 3升
【例 2】 李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（ ）斗酒。
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级
【解析】 设李白壶中原有 x 斗酒，则三次经过店和花之后变为 0
2 [2 (2 1) 1] 1 0x
8 7 0x
7
8x
即壶中原有 7
8
斗酒.
【答案】 7
8
斗
【例 3】 有 60 名学生，男生、女生各 30 名，他们手拉手围成一个圆圈．如果让原本牵着手的男生和女生放
开手，可以分成 18 个小组．那么，如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了_ _个小
组．
【考点】单个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3 题
【解析】【解析】方法一：男生和女生放手分成18 个组，说明有男生被计算18 次，男生与男生放开手后分成的组数和
男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，
原来有男生 30 人，被计算30 2=60 （次），所以 60 18 2=21 （次）分成了 21 组。
方法二：60 名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有 60 对牵着的手，其中男生与女生牵手
的有18 对，假设男生与男生牵手的有 x 人，那么，参与围圈的男生一共有 2 18 2 9 x x 人，所
以 9 30 x ， 21x ．那么原来牵手的男生和男生放手，分成了 21 个小组．
【答案】 21 个小组
模块二、多个变量的还原问题
【例 4】 甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书 280 本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，
于是从甲调 14 本给乙，从乙调 15 本给丙，从丙调 17 本给丁，从丁调 18 本给甲。这时四个组的书
一样多。这说明甲组原来有书______ 本。
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】甲得到 4 本，乙失去 1 本，丙失去 2 本，丁失去 1 本后，四个人书一样多，为 280÷4=70，所以甲原
来有 70-4=66 本书
【答案】 66 本书
【例 5】 一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有 140 只沙袋．如果甲组先给乙组 5 只，乙
组又给甲组 8 只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为 140 只，所以这时
两组各有沙袋 70 只．解答时可以从 70 开始倒推．列表倒推如下：
解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所
以应从两组各有沙袋 70 只开始倒推．
【答案】甲 67 ，乙 73
【巩固】 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出
与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有 28 棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树 28 2 14 （棵），乙班有 28 14 42 （棵），如
果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树 42 2 21 （棵），甲班原有树14 21 35
（棵）．列表倒推如下:
【答案】甲班原有树 35 棵，乙班原有树 21 棵
【例 6】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和
乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次
又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好
都是 32 个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是
32 个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有 32 2 16 (个)棋子，而甲堆的棋子数是
32 16 48 (个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所
以，甲堆原有 44 个棋子；乙堆原有 20 个棋子．
采用列表法非常清楚．
【答案】甲乙两堆棋子原来各有 44 个和 20 个
【巩固】 有一个两层书架，一共摆放 224 本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现
有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整．若如此共进行了两轮
调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放________本书,下层书架原来摆放________本书．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3 年级，第 8 题，可逆思想方法
【解析】【解析】还原法
结果：上层 112 本；下层 112 本
上层 56 本；下层 168 本
上层 140 本；下层 84 本
上层 70 本；下层 154 本
上层 147 本；下层 77 本
【答案】上层147 本，下层 77 本
【例 7】 三人有不等的存款，只知如果甲给乙 40 元，乙再给丙 30 元，丙再给甲 20 元，给乙 70 元，这样三
人各有 240 元，三人原来各有存款多少元？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲： 240 40 20 260 （元）； 乙： 240 40 30 70 160 （元）；丙： 240 30 20 70 300 ．
【答案】甲 260 元， 乙160 元，丙300 元
【巩固】 小巧、小亚、小红共有 90 个玻璃球，小巧给小亚 6 个，小亚给小红 5 个，小红给小巧8个，他们的
玻璃球个数正好相等．小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了 2 个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是
90 3 30 （个），所以小巧原来有 30 2 28 （个），小亚原来有30 1 29 （个），小红原来有30 3 33
（个）．
【答案】所以小巧原来有 28 个，小亚原来有 29 个，小红原来有 33 个．
【例 8】 三棵树上共有 36 只鸟，有 4 只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有 8 只鸟从第二棵树上飞到第三
棵树上，有 10 只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各
有几只鸟?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是 36 3 12 （只），第一棵树上的鸟，
先是飞了 4 只到第二棵树上，然后又有 10 只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了 6 只，这样比较就
能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了 4 只，然后又有飞走了 8 只，现在和原
来比少了 4 只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了 8 只，然后
又飞走了 10 只，现在和原来比少了 1 只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一
样多的：36 3 12 （只），第一棵树上的小鸟只数：12 10 4 6 （只）或 12 (10 4) 6 （只），
第二棵树上的小鸟只数：12 8 4 16 （只）或12 (8 4) 16 （只），第三棵树上的小鸟只数：
12 10 8 14 （只）或12 (10 8) 14 （只）原来第一棵树上有 6 只小鸟，第二棵树上有 16 只小鸟，
第三棵树上有 14 只小鸟．
【答案】原来第一棵树上有 6 只小鸟，第二棵树上有 16 只小鸟，第三棵树上有 14 只小鸟
【巩固】 三棵树上共有 27 只鸟，从第一棵飞到第二棵 2 只，从第二棵飞到第三棵 3 只，从第三棵飞到第一
棵 4 只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】三棵树上的鸟同样多的只数： 27 3 9 （只），第一棵数上鸟的只数：9 4 2 7 （只），第二棵数
上鸟的只数：9 2 3 10 （只），第三棵数上鸟的只数：9 3 4 10 （只），第一棵数上有 7 只鸟，
第二棵数上有 10 只鸟，第三棵数上有 10 只鸟．
【答案】第一棵数上有 7 只鸟，第二棵数上有 10 只鸟，第三棵数上有 10 只鸟
【巩固】 3 个笼子里共养了 78 只鹦鹉，如果从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里，再从第 2 个笼子里
取出 6 只放到第 3 个笼子里，那么 3 个笼子里的鹦鹉一样多．求 3 个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】3 个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78 只的总数始终不变．变化后“3 个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出
现在每个笼里的是 78 3 26 （只）．根据“从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里”，可以知道
第 1 个笼子里原来养了 26 8 34 （只）；再根据“从第 2 个笼子里取出 6 只放到第 3 个笼子里”，得
出第 2 个笼子里有： 26 6 8 24 （只），第 3 个笼子里原有 26 6 20 （只）．
【答案】第 1 个笼子里原来养了 34 只，第 2 个笼子里有 24 只，第 3 个笼子里原有 20 只。
【巩固】 3 个笼子里共养了 36 只兔子，如果从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里，再从第 2 个笼子里
取出 6 只放到第 3 个笼子里，那么 3 个笼子里的兔子一样多．求 3 个笼子里原来各养了多少只兔子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】3 个笼子里的兔子不管怎样取，36 只的总数始终不变．变化后“3 个笼子里的兔子一样多”，可以求出
现在每个笼里的兔子是 36 3 12 （只）．根据“从第 1 个笼子里取出 8 只放到第 2 个笼子里”，可以
知道第 1 个笼子里原来养了12 8 20 （只）；再根据“从第 2 个笼子里取出 6 只放到第 3 个笼子里”，
所以第 3 个笼子里原有：12 6 6 （只），第 2 个笼子里原有： 36 20 6 10 (只)．
【答案】第 1 个笼子里原来养了 20 只，第 2 个笼子里原有10 只，第 3 个笼子里原有 6 只。
【例 9】 张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物 200 本，为了广泛阅读，张给王 13 本，王给李 18 本，李
给赵 16 本，赵给张 2 本．这时 4 个人的本数相等．他们原来各有多少本？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物 200 本，经过互相交换后，这 200 本书的总
数没有变化，仍然是 200 本．后来这 4 个人的本数相等时，每个人的本数是 200 4 50 (本)．
用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果 50 本开始，把给出的本数加上，收进的本
数减去，就得到各人原有课外读物的本数．
⑴张原有读物的本数： 50 13 2 61 (本)
⑵王原有读物的本数： 50 18 13 55 (本)
⑶李原有读物的本数： 50 16 18 48 (本)
⑷赵原有读物的本数： 50 2 16 36 (本)
【答案】张原有读物 61本，王原有读物 55 本，李原有读物 48 本，赵原有读物36 本。
【例 10】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调 35 人支援第三队，又抽调剩下
的一半支援第四队，后来又调进 8 人，这时第一队还有 30 人，求第一队原有多少人？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有 30 人”，可知不调进8人有30 8 22 (人)．由“又抽调剩
下的一半支援第四队”后还有 22 人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有 22 2 44 (人)；由“抽
调 35 人支援第三队”后还有 44 人，可知之前有 44 35 79 (人)；由“从第一队抽调一半人支援第二队”
后还有 79 人，可知第一队原有 79 2 158 (人)．
列式为：[(30 8) 2 35] 2 79 2 158 (人)
还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
【答案】158 人
【例 11】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的 9 倍多 4800 千米，土星直径除以 24 等于水星直径，
水星直径加上 2000 千米是火星直径，火星直径除以 2 减去 500 千米等于月亮的直径，月亮直径是
3000 千米.”请你算一算，地球的直径是多少？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先求土星直径：[(3000 500) 2 2000] 24 120000 (千米)
再求地球直径： (120000 4800) 9 12800 (千米)，即：地球的直径是 12800 千米.
【答案】12800 千米
【例 12】有 18 块砖，哥哥和弟弟争着去搬．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟搬得太多，
就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少 2 块，
从弟弟那儿拿走一半多 2 块，结果是爸爸比哥哥多搬了 3 块，哥哥比弟弟多搬了 3 块．问最初弟弟
准备搬多少块?
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖．如果爸爸给弟弟 3块，那么 3 个人搬的砖数就一
样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了18 3 6 (块)，弟弟搬了 6 3 3 (块)，爸爸搬了
6 3 9 (块)．爸爸从弟弟处搬了一半多 2 块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是
3 2 2 10（ ） (块)，哥哥的砖数是18 10 8 (块)；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下
的砖数一样，是 8 块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是8 2 16 (块)，那时，弟弟的砖数
是18 16 2 (块)；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是 2 块．所以，哥
哥从弟弟处搬之前，弟弟处的砖数是 2 2 4 (块)，那时，哥哥的砖数是18 4 14 (块)．所以，最初，
弟弟准备搬 4 块砖．即：
⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：18 3 6 (块)，爸爸： 6 3 9 (块)，弟弟：
6 3 3 (块)
⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥： 6 2 2 8（ ） (块)，
弟弟： 3 2 2 10（ ） (块)
⑶弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：8 2 16 (块)，弟弟：18 16 2 (块)
⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟： 2 2 4 (块)，哥哥：18 4 14 (块)
【答案】 4 块
【巩固】 有砖 26 块，兄弟二人争着去挑．弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了．哥哥看弟弟挑的太多，
就抢过一半．弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半．哥哥不服，弟弟只好给哥哥 5 块，这时哥哥比弟
弟多挑 2 块．问最初弟弟准备挑多少块？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是 26 2 2 14（ ） （块），弟弟是 26 14 12 （块），然后来
还原：⑴ 哥哥还给弟弟 5 块：哥哥是14 5 9 （块），弟弟是12 5 17 （块）；⑵ 弟弟把抢走的一
半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9 9 18 （块），弟弟是17 9 8
（块）；⑶ 哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8 8 16 （块）．
【答案】16 块
【例 13】口渴的三个和尚分别捧着一个水罐．最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝．于是，老和
尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、
小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚．就这样，三人轮流谦让
了一阵．结果太阳落山时，老和尚的水罐里有 10 升水，小和尚的水罐则装着 20 升水．请问：最初
大和尚的水罐里有多少升水？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水
了．于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水 10、0、20 升．列表分析如下：
回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态．又因为已知最初老
和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同．所以大和尚的水罐里最初有 10 升水．
【答案】10 升
【例 14】兄弟三人分 24 个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的
一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔
子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由于总共有 24 个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有 24 3 8 (个)桔子.由此列
表逆推如下表：
由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子 13，7，4 个，现在的年龄依次为 16，10，7 岁.
逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以 2；另两人各增加拿出桔子的人拿出
桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半
【答案】三个人的年龄依次为 16，10，7 岁
【例 15】甲、乙、丙 3 人共有 192 张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么
多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙 3 人邮票数相同，甲、乙、丙原
来各有多少张？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲、乙、丙原共有 192 张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票 192 张，而且三人邮票数相
同，即 3 人各有邮票：192 3 64 （张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交
换前甲有邮票 64 2 32 （张），丙有邮票： 64 32 96 （张），依此类推，就可以推出答案了．最
后相等时各有192 3 64 （张），列表倒推如下：
【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为88 ， 56 ， 48 张
【巩固】 有甲、乙、丙三堆苹果共 96 个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从
乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放
入甲堆中，这时三堆苹果数相等．原来甲堆有 个苹果，乙堆有 个苹果，丙对有
个苹果．
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，2 年级，第 12 题，可逆思想方法
【解析】如下表：
【答案】甲 44 ，乙 28 ，丙 24
【例 16】 、 、 、 、 、 、A B C D E F G 七个人都各有一些珠子。从 A 开始依序进行以下操作，每次都分给其他六
个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当 G 操作后，每个人手中都恰好各有 256 颗珠
子，请问 D 原先有多少颗珠子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，2008 年，台湾，小学数学竞赛
【解析】本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、
于是 D 之前的珠子个数是114 颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化
一下求解过程，因为最终结果 D 有 256 颗珠子，所以在 G 操作之前，D 的珠子个数应该减半为128 颗，
在 F 操作前应该再减半为 64 颗，在 E 操作前应该再减半到32 颗，在 D 操作前，其余所有人的珠子
应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是 (256 7 32) 2 880 ，
这些都是 D 分给他们的，所以在 D 操作前，D 应该有880 32 912 颗珠子，于是在 C 操作前，D 的
珠子应该减半到 912 2 456 ，于是在 B 操作前，D 的珠子数应该减半到 456 2 228 ，于是在 A 操
作前， D 的珠子数目应该减半到 228 2 114 颗。也就是说 D 之前的珠子数目是114 颗。
【答案】114 颗
【例 17】一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这
两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增
加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三
个班的图书数目都是 48 本．求三个班原来各有图书多少本？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一
个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是 48 本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三
个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加
一倍才是 48 本，因此增加前各应有 24 本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余
各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：
【答案】三个班原来各有图书 78 本， 42 本， 24 本
【巩固】 3 个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌．第一局，甲输给了乙和丙，
使他们每人的钱数都翻了一番．第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍．第
三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍．结果，这 3 位探险家每人都赢了两局而
输掉了一局，最后 3 人手中的钱是完全一样的．细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了 100
元．你能推算出来甲、乙、丙 3 人刚开始各有多少钱吗？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】假设最后每个人手中的钱是 8 份，三人总共 24 份，利用倒推法．
从开始到最后甲的份数少了 13 8（ ） 份，说明每份是100 13 8 20（ ） 元．
所以刚开始时，甲有13 20 260 (元)，乙有 4 20 80 (元)，丙有 7 20 140 (元)．
【答案】刚开始时甲有 260 元，乙有80 元，丙有140 元．
【巩固】 A、B、C 三个油桶各盛油若干千克．第一次把 A 桶的一部分油倒入 B、C 两桶，使 B、C 两桶内的
油分别增加到原来的 2 倍；第二次从 B 桶把油倒入 C、A 两桶，使 C、A 两桶内的油分别增加到第
二次倒之前桶内油的 2 倍；第三次从 C 桶把油倒入 A、B 两桶，使 A、B 两桶内的油分别增加到第
三次到之前桶内油的 2 倍，这样，各桶的油都为 16 千克．问 A、B、C 三个油桶原来各有油多少千
克？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报
【解析】用“倒推法”列出下表，从表中可以看出：原来 A 桶有油 26 千克，B 桶有油 14 千克，C 桶有油 8 千
克．
【答案】原来 A 桶有油 26 千克，B 桶有油 14 千克，C 桶有油 8 千克．
【巩固】 乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些，
使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍．现在三人的糖豆
一样多．如果开始时甲有 51 粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】先假设后来三个人都是 4 份，还原后得到甲、乙、丙分别是 3 份，5 份，4 份，实际上甲原来有 51
粒， 51 3 17 ，那么我们可以把 1 份看成 17 粒，所以乙最开始有糖豆17 5 85 （粒）．
【答案】85 粒
【巩固】 甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各
增加了 1 倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了 1 倍；丙把自己的
铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了 1 倍，这时三人铜板数都是 8 枚，原来每人
各有几枚？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】甲 13 枚，乙 7 枚，丙 4 枚．
【答案】甲 13 枚，乙 7 枚，丙 4 枚
【例 18】三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原
来的 2 倍与 3 倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加到
3 倍与 2 倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到 2 倍，
这时三个容器中的水都为 96 毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】可以列一个表，使每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填法见下面
的解答。
先在第一行填上三个 96，第二行的前 2 个数是96 2 48 ，第 3 个数是 96 3 48 2 192 ，第三
行的第 1 个数是 48 3 16 ，第 3 个数是196 2 96 ，第 2 个数是 48 48 16 192 96 176 ，
第四行第 2 个数是176 2 88 ，第 3 个数是96 3 32 ，
第 1 个数是 16 176 88 96 32 168 ，三个容器原来有水 168 毫升、88 毫升、32 毫升。
【答案】三个容器原来分别有水 168 毫升、88 毫升、32 毫升
【例 19】某工厂有 A 、B 、C 、D 、E 五个车间，人数各不相等．由于工作需要，把 B 车间工人的 1
2
调入 A
车间，C 车间工人的 1
3
调入 B 车间，D 车间工人的 1
4
调入 C 车间，E 车间工人的 1
6
调入 D 车间．现
在五个车间都是 30 人．原来每个车间各有多少人？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】采用倒推法，列表如下
所以原来 A 、 B 、 C 、 D 、 E 车间分别有 11、38、33、32、36 个工人．解这种还原问题的关键是
从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减
为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数
学中常用的思维方法．
【答案】原来 A 、 B 、 C 、 D 、 E 车间分别有 11、38、33、32、36 个工人
【例 20】老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均
数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，
且所有写过的数都是整数．请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】由于最后写到黑板上的数是其前两个数的平均数，且黑板上最后留下的这三个数之和为 159，所以
写到黑板上的最后一个数是159 (2 1) 53 ．
假设剩下的两个数中靠前的一个是 A ，靠后的一个是106 A，那么可以依次推出：
第 7 个被擦掉的数是 2(106 ) 212 3 A A A ，
第 6 个被擦掉的数是 2 (212 3 ) 5 212 A A A ，
类似地，可以求出第 5、4、3、2 个被擦掉的数分别为 636 11 A 、21 1060A 、2332 43 A 、85 4452A ，
最先被擦掉的数是 2008 (2332 43 ) (85 4452) 4128 42 A A A ，
由题意，以上这些数均为正整数．
由 2332 43 0 A 及 A 为整数可以推出 54≤A ，
由85 4452 0 A 及 A 为整数可以推出 53≥A ，
另一方面，如果 53A ，有 2332 43 85 4452 53 A A ，与条件中最初三个整数不同这一条件矛盾，
所以应该有 54A ．
此时最开始写在黑板上的第一个数为 4128 42 1860 A ．
【答案】1860
【例 21】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，
再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢?根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知
解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子?再根据提问“原来至少有多
少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子．
采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理．
【答案】 40 枚
【巩固】 有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们三等分后还剩 2 个；然后再取
其中两份，将这两份三等分后还剩 2 个．问：这筐苹果至少有几个？
【考点】多个变量的还原问题 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】方法一：如果增加 4 个苹果，那么第一次恰好三等分(每份多出 2 个)；第二次取出其中 2 份(总共多出
4 个)，也恰好三等分(每份又多出 2 个)；最后取 2 份(共多出 4 个)，也恰好三等分．而且最后一次分
总数一定是偶数，因为是取 2 份来分的，所以每份也是偶数，且比原来每份多 2 个，所以现在每份
至少是 4 个．从而上一次每份为 4 3 2 6 (个)，再上次每份为 6 3 2 9 (个)，那么开始时共有
9 3 27 (个)苹果，但是我们假设增加了 4 个，所以这筐苹果至少有 27 4 23 (个)．列表法是还原
问题的一个基本方法，教师可以再用列表法重新理一下题目。
方法二：从最后的状态往前还原，假设最后一次三等分后，每一份的个数为 x 个，那么最后一次三等
分之前的苹果个数是 3 2x 个，这些苹果是第二次三等分中的两份，所以其中每一份的个数是 3 2
2
x
个，这个数应该是一个整数；第二次三等分前，苹果的个数是 3 23 22
x 个，同样的这些苹果是
第一次三等分中的两份，所以每一份的个数为 3 3 2 4
4
x 个，这个数也应该是一个整数；所以这筐
苹果的总数为 3 3 2 43 24
x 个．显然 x 越小，这筐苹果的个数最少，但是有 3 2
2
x 和
3 3 2 4
4
x 是整数的约束条件．满足这两个约束条件的 x 必须被 4 除余 2，所以满足该条件的 x 的
最小值为 2，代入得到这筐苹果最少有 23 个．
【答案】 23 个
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