小学奥数6-1-18 年龄问题（一）.教师版

6-1-8.年龄问题（一） 教学目标 1. 掌握用线段图法来分析题中的年龄关系. 2. 利用已经学习的和差、和倍、差倍的方法求解年龄问题． 知识精讲 知识点说明： 一、年龄问题变化关系的三个基本规律： 1. 两人年龄的倍数关系是变化的量. 2. 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； 3. 两个人之间的年龄差不变 二、年龄问题的解题要点是： 1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系． 2．关键：抓住“年龄差”不变． 3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式． 4．陷阱：求过去、现在、将来。 年龄问题变化关系的三个基本规律： 1．两人年龄的差是不变的量； 2.两个人的年龄增加量是不变的； 3．两人年龄的倍数关系是变化的量； 年龄问题的解题正确率保证：验算！ 例题精讲 年龄差不变 【例 1】小卉今年 6 岁，妈妈今年 36 岁，再过 6 年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】这道题有两种解答方法： 方法一：解答这道题，一般同学会想到，小卉今年 6 岁，再过 6 年 6 6 12  （岁）；妈妈今年 36 岁， 再过 6 年是（ 36 6 ）岁，也就是 42 岁，那时，妈妈比小卉大 42 12 30  （岁）． 方法二：聪明的同学会想，虽然小卉和妈妈的岁数都在不断变大，但她们两人相差的岁数永远不变．今 年妈妈比小卉大（ 36 6 ）岁，不管过多少年，妈妈比小卉都大这么多岁．通过比较第二种方法更 简便．列式： 36 6 30  （岁），再过 6 年，小卉读初中时，妈妈比小卉大 30 岁． 【答案】 30 岁 【例 2】爸爸妈妈现在的年龄和是 72 岁；五年后，爸爸比妈妈大 6 岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】五年后，爸爸比妈妈大 6 岁，即爸妈的年龄差是 6 岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的年 龄差仍然是 6 岁．这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是 72 岁，他们的年龄差是 6 岁，求 二人各是几岁”的和差问题． 爸爸的年龄： 72 6 2 39  （ ） (岁) 妈妈的年龄： 39 6 33  (岁) 【答案】爸爸 39 岁，妈妈 33 岁 【例 3】姐姐今年 13 岁，弟弟今年 9 岁，当姐弟俩岁数和是 40 岁时，两人各应该多少岁？ 40 岁 年龄差 若干年 9 岁 13 岁 弟弟 姐姐 【考点】年龄问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】用线段图显示数量关系，可以看出这道题实际上就是前面总结过的和差问题.姐弟俩的年龄差总是 13 9 4  （岁），不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是 4 岁，由图可见，如果从 40 岁中减去姐弟年 龄的差，再除以 2 就得到所求的弟弟的年龄，也就可以求出姐姐的年龄了. 弟弟的年龄： (40 4) 2 18   （岁），姐姐的年龄：18 4 22  （岁）． 【答案】弟弟年龄18 岁，姐姐 22 岁 【例 4】欢欢对乐乐说：“我比你大 8 岁，2 年后，我的年龄是你的年龄的 3 倍。”欢欢现在 岁？ 【考点】年龄问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】2 年后两人年龄差不变还是 8 岁，所以那时乐乐的年龄是 8÷2=4 岁，欢欢现在的年龄是 4+8-2=10 岁. 【答案】10 岁 【例 5】今年小宁 9 岁，妈妈 33 岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？ 【考点】年龄问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】今年小宁比妈妈小 33 9 24  （岁），那么小宁永远比妈妈小 24 岁．几年后小宁是妈妈岁数的一半 时，即妈妈年龄是小宁的 2 倍时，妈妈仍比小宁大 24 岁．这是个差倍问题．以小宁的年龄作为 1 倍 量，妈妈年龄是 2 倍量，所以妈妈比小宁大的岁数也是 1 倍量，即 1 倍量代表着 24 岁．所以小宁 24 岁时是妈妈年龄的一半，因此再过 24 9 15  （年）． 【答案】15 年 【例 6】今年，玲玲 8 岁，奶奶 60 岁，再过 年，奶奶的年龄是玲玲的 5 倍， 【考点】年龄问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 3 题 【解析】和差倍问题年龄差不变为 60 -8：52，若干年后奶奶的年龄是玲玲的 5 倍，那么玲玲年龄是 52÷4=13， 因此再过 13-8=5 年． 【答案】 5 年 【例 7】泡泡比毛毛小 7 岁，再过 4 年泡泡的年龄将是毛毛年龄的一半，他们今年的年龄总和是 岁。 【考点】年龄问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】 2007 年，武汉，明心奥数，挑战赛 【解析】再过 4 年毛毛年龄将是泡泡年龄的 2 倍，所以那时泡泡年龄为 7 岁，毛毛为 7 2 14  岁，他们今年的 年龄总和为 7 14 4 2 13    岁． 【答案】13 岁 【例 8】6 年前，母亲的年龄是儿子的 5 倍，6 年后母子年龄和是 78 岁．问：母亲今年多少岁? 【考点】年龄问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】6 年后母子年龄和是 78 岁，可以求出母子今年年龄和是 78－6×2＝66 (岁)．6 年前母子年龄和是 66 －6×2＝54(岁)．又根据 6 年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的 5 倍，可以求出 6 年前母亲年龄，再 求出母亲今年的年龄． 母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)， 母子 6 年前年龄和： 66－6×2＝54(岁)， 母亲 6 年前的年龄： 54÷ (5＋1)×5＝45(岁)， 母亲今年的年龄： 45＋6＝51(岁)． 【答案】 51岁 【例 9】父亲与两个儿子的年龄和为 84 岁，12 年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少 岁？ 【考点】年龄问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】三人现在的年龄和是 84 岁，12 年后的年龄和是84 12 3 120   （岁），那时父亲120 2 60  （岁）， 父亲现在 60 12 48  （岁）． 【答案】 48 岁 【例 10】 今年父亲的年龄是 48 岁，哥哥的年龄是弟弟的 2 倍．当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年 龄恰好等于兄弟俩年龄之和．请问：今年哥哥多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】今年弟弟的年龄为： 48 (2 1 1 1 1) 12      （岁）， 所以今年哥哥的年龄为12 2 24  （岁）． 【答案】 24 岁 【例 11】 李文今年 9 岁，爸爸妈妈的年龄和是81岁，问：多少年后他们仨的平均年龄是 40 岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】经过若干年后，他们仨人的年龄和是 40 3 120  (岁)，比现在三人的年龄和多：120 (9 81) 30   (岁)， 所以，要经过 30 3 10  (年) 【答案】10 年 【巩固】 小华今年 8岁，他和爸爸、妈妈三人年龄之和为81岁．若干年后，三人平均年龄是 34 岁．到那时， 小华的年龄是 岁． 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】湖北省，创新杯，决赛 【解析】三人平均年龄是 34 岁时，三人年龄总和为34 3 102  岁，比小华8岁时的年龄总和多了102 81 21  岁，每个人都长了 21 3 7  岁，若干年后，小华的年龄为8 7 15  岁． 【答案】15 岁 【例 12】 小英比小明小 3 岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过 15 年，他们的年龄和就等于老 师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】经过 15 年，小英和小明的年龄和比老师多增加 15 岁，所以老师今年年龄的一半是 15 岁，即小英和 小明今年的年龄和是 15 岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）. 【答案】 6 岁 【例 13】 ⑴今年，父亲年龄是女儿年龄的 4 倍，三年前父女年龄之和是 49 岁，问父亲现在 岁？女 儿现在 岁? ⑵妈妈今年 40 岁，恰好是小红年龄的 4 倍； 年后妈妈的年龄是小红的 2 倍? ⑶陈老师今年 34 岁，她的学生小光、小亮、小聪的年龄分别是 9、10、11 岁． 年后，这三个 学生年龄的和才同陈老师的年龄相等? 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】北京市，迎春杯 【解析】⑴三年前父女之和是 49 岁，现在父女年龄和是 49 3 2 55   岁 女儿： 55 (1 4) 11   ，爸爸：11 4=44 ⑵ a .今年妈妈比小红大 40 40 4 30   (岁) b .当妈妈的年龄是小红的 2 倍时，妈妈年龄是 30 (2 1) 2 60    (岁) c .多少年后妈妈的年龄是小红的 2 倍? 60 40 20  (年) ⑶小光、小亮、小聪的年龄和比陈老师的年龄小 34 9 10 11 4    (岁) 每过一年，陈老师增 1 岁，而三个学生共增1 3 3  (岁)，增长的岁数差为 3 1 2  (岁)．几年后，老 师年龄和她的三个学生年龄和相等呢?4÷2=2(年) 综合算式： (34 9 10 11) (3 1) 2      (年) 【答案】⑴女儿： 55 (1 4) 11   ，爸爸：11 4=44 ⑵ 20 年 ⑶ 2 年 【例 14】 爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是 64 岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的 3 倍时，妹妹是 9 岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的 2 倍时，爸爸是 34 岁．现在三个人的年龄各是多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】（法 1）操作分析法．①妹妹 9 岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的 3 倍，如果妹妹再增加 25 岁，妹妹便 是 34 岁．此时，哥哥和爸爸也都增加 25 岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去 50 岁； ②当哥哥的年龄是妹妹年龄的 2 倍时，爸爸是 34 岁，假设此时妹妹是 x 岁，则哥哥是 2x 岁．则妹 妹到 34 岁时，爸爸是 34 34 68x x    岁，哥哥是 2 34 34x x x    岁． 根据①的分析，妹妹 34 岁时爸爸年龄是哥哥年龄的 3 倍减去 50 岁，有： 34 3 50 68x x     ．可 以得到 4x  ．则此时妹妹 4 岁，哥哥是8岁，爸爸是34 岁． ③此时三人的年龄和为 4 8 34 46   ，而三人现在的年龄和为 64 岁，所以还要过 (64 46) 3 6   岁．则现在妹妹是 4 6 10  岁，哥哥是8 6 14  岁，爸爸是34 6 40  岁． （法 2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差 为 x 岁，哥哥和妹妹的年龄差为 y 岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的 3 倍时，哥哥年龄为  3 1 2 xx    岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的 2 倍时，妹妹的年龄为 y 岁，根据题目给出的条件有以下等量关系： 92 34 x y y y x        ，这个二元一次方程组的解为 26 4 x y    ． 如果现在妹妹的年龄为 z 岁，那么有 4 4 26 64z z z      ．解得 10z  ，所以现在妹妹 10 岁，哥 哥和爸爸的年龄分别是 14 岁和 40 岁． 【答案】妹妹 10 岁，哥哥和爸爸的年龄分别是 14 岁和 40 岁 【例 15】 甲乙丙三人现在岁数的和是 113 岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁，当乙的岁数 是丙的岁数的一半时，甲是 17 岁，那么乙现在是多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是 a 岁，乙就是 2 a（ ）岁，丙 38 岁；当甲 17 岁的时候， 注意到甲乙的年龄差不变，都是 a，所以乙是 17+a 岁，那么丙是乙的 2 倍，就是 2 17 a （ ），再根 据甲丙的年龄差可以得到： 38 2 17 17a a    （ ） ，由此可以得到 a 是等于 7 的，所以在某一年， 甲 7 岁，乙 14 岁，丙 38 岁，和是 7 14 38 59   （岁）， 113 59 3 18  （ ） ，再过 18 年后，三人年 龄和是 113 岁，所以乙今年的年龄是14 18 32  （岁）． 【答案】 32 岁 【巩固】 甲、乙、丙三人现在的年龄和是 50 岁，当甲的年龄是乙的年龄的一半时丙 26 岁，当乙的年龄是丙 的年龄的一半时甲 5 岁．现在甲、乙、丙各几岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】假设甲、乙、丙现在的年龄分别为 x 岁、 y 岁、 z 岁，根据题意有： 50 26 5 x y z y x z x z y x y              ，解得 8 15 27 x y z      ． 故现在甲、乙、丙分别为8岁、15岁、27岁． 【答案】甲、乙、丙分别为 8 岁、15 岁、27 岁 【巩固】 甲、乙、丙三人现在的年龄之和是 113 岁。当乙的年龄是丙的年龄的一半时，甲的年龄是 17 岁， 那么乙现在的年龄是 岁。 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，二试，第 10 题 【解析】设乙的年龄是丙年龄一半时是 x 岁，那时丙为 2x 岁。距今年 y 年。 则：17 2 113     y x y x y ， 得到 3 3 96 x y ，故 32 x y 。 乙现在的年龄恰好是 x y 岁，所以乙现在 32 岁。 【答案】 32 岁 【例 16】 当王力的年龄像李彤现在这么大时，刘强的年龄比王力和李彤他们现在的年龄之和小 7 岁．当 刘强像王力现在这么大时，王力的年龄是 ______ 岁． 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】由题意知， 刘强的年龄加上李 彤与王力的年龄差 ，等于王力与李彤 的年龄和减去 7 ，即   7刘 李 王 王 李     ，化为 7刘 王 王   ．当刘强像王力这么大时，即刘强的年龄减少  7王- 岁，此时王力的年龄是  7 7王 王   岁． 【答案】 7 岁 【例 17】 学而思学校张老师和刘备、张飞、关羽三个学生，现在张老师的年龄刚好是这三个学生的年龄 和；9 年后，张老师年龄为刘备、张飞两个学生的年龄和；又 3 年后，张老师年龄为刘备、关羽两 个学生的年龄和；再 3 年后，张老师年龄为张飞、关羽两个学生的年龄和．求现在各人的年龄． 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】张老师  刘备  张飞  关羽，张老师 9  刘备 9  张飞 9 ，比较一下这两个条件，很快得到关羽的 年龄是 9 岁；同理可以得到张飞是 9 3 12  （岁），刘备是 9 3 3 15   （岁），张老师是9 12 15 36   （岁）． 【答案】关羽 9 岁，张飞12 岁，刘备15 岁，张老师36 岁 【例 18】 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2 倍时，丙是 22 岁；当乙的年龄是丙的 2 倍时，甲是 31 岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】当甲 31 岁时，乙是丙年龄的 2 倍．设这是丙年龄是 a 岁，则乙年龄是 2a 岁，乙、丙年龄的差为 a ．丙 22 岁时，乙的年龄为 22 a（ ）岁，正好等于甲、乙年龄之差 31 2a（ ），即 22 31 2a a   ，得 3a  ， 也就是说，甲与丙的年龄差是 31 3 28  （岁）．因此，当甲 60 岁时，丙是 60 28 32  （岁）． 【答案】32 岁 【巩固】 甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是 64 岁，甲 21 岁时，乙17 岁；今年甲18 岁，丙的年龄是丁的 3 倍．问丁今年的年龄？ 【考点】年龄问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由“甲 21 岁时，乙17 岁”可以推知甲比乙大 21 17 4  岁，因此当甲18 岁时，乙就是18 4 14  岁．由 于甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是 64 岁，甲 18 岁，乙 14 岁，故丙和丁的年龄和就是 64 14 18 32   (岁)．因为丙的年龄是丁的 3倍，剩下的问题是个和倍问题．以丁的年龄作为1倍量， 丙的年龄就是 3倍量，从而两个人的年龄和 32 岁，就是 4 倍量，因此1倍量的大小即丁的年龄是： 32 4 8  (岁)． 【答案】8 岁