小学奥数6-1-23 鸡兔同笼问题（三）.教师版

6-1-9.鸡兔同笼问题（三） 教学目标 1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”. 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象． 知识精讲 一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书 中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若 干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双 脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由 94 只变成了 47 只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数 多1．因此，脚的总只数 47 与总头数35 的差，就是兔子的只数，即 47 35 12  （只）．显然，鸡的只数就是 35 12 23  （只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同 笼”问题的经典思路“假设法”． 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比 较，做差除二兔找到． 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的 2 倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的 2 倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等 专题中也都会接触到假设法 例题精讲 模块一、多个量的“鸡兔同笼”——鸡兔同笼问题 【例 1】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，共有腿 118 条，翅膀 20 对(蜘蛛 8 条腿；蜻蜓 6 条腿，两对翅 膀；蝉 6 条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是 6 条腿，只有蜘蛛 8 条腿.因此， 可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是 6 条腿，则总腿数为 6 18 108  (条)，所 差118 108 10  (条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有 (118 108) (8 6) 5    (只) 蜘蛛.这样剩下的18 5 13  (只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设 13 只都是蝉，则总翅膀 数1 13 13  (对)，比实际数少 20 13 7  (对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计 算所差，这样蜻蜓只数可求 7 (2 1) 7   (只). 【答案】 7 只 【巩固】 希望小学的生物标本室里有蜻蜓，蝉，蜘蛛共 11 只，它们共有 74 条腿，10 对翅膀，由图 7 知该标 本室里有 只蜘蛛。 图 7 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试，假设思想方法 【解析】这个题目就是有三种动物的鸡兔同笼问题，需先转化成两种动物。蜻蜓与蝉有共同的特征，所以我 们可以先把它们看成一种动物，取名叫蜻蝉。用假设法知：如果这11只全是蜻蝉，则应长腿：11 6 66  （只），比实际少了： 74 66 8  （只），用一只蜘蛛去换一只蜻蝉，则就多 2 只，要多 8 只则需要 蜘蛛8 2 4  （只）。 【答案】 4 只 【巩固】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头 26 个，脚 80 只，犄角 20 只．已知犀牛有 4 只脚、1 只犄角，羚 羊有 4 只脚，2 只犄角，孔雀有 2 只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀各有几只呢？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观察 一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是 4 只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀与这 两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开， 也就是说我们需要做两次“鸡兔同笼”． 假设 26 只都是孔雀，那么就有脚： 26 2 52  （只），比实际的少：80 52 28  （只），这说明孔雀 多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4 2 2  （只）．所 以，孔雀有 26 28 2 12   （只），犀牛和羚羊总共有 26 12 14  （只）． 假设 14 只都是犀牛，那么就有犄角：14 1 14  （只），比实际的少： 20 14 6  （只），这说明犀牛 多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：2 1 1  （只），所以，羚羊的只数： 6 1 6  （只），犀牛的只数：14 6 8  （只）． ［小结］这道题出现了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同笼” 问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物． 【答案】犀牛 8只，羚羊 6 只，孔雀12 只 模块二、多个量的“鸡兔同笼”——变例 【例 2】食品店上午卖出每千克为 20 元、25 元、30 元的 3 种糖果共 100 千克，共收入 2570 元．已知其中售 出每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元，那么，每千克 25 元的糖果售出了多少千克？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】每千克 25 元和每千克 30 元的糖果共收入了 1970 元，则每千克 20 元的收入： 2570 1970 600  元， 所以卖出：600 20 30  千克，所以卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共100 30 70  千克，相 当于将题目转换成：卖出每千克 25 元和每千克 30 克的糖果共 70 千克，收入 1970 元，问：每千克 25 元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题．假设全是每千克 25 元的，    1970 25 70 30 25 =44    （千克），所以 30 元的是 44 千克，所以 25 元的有：70 44=26 （千克） 关键：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型。即：抓住转化后的“头”与“脚”。 【答案】 26 千克 【巩固】 08 年春，我国南方遭受到重大雪灾，实验小学三年级一班的 42 名同学给南方的灾区捐款 450 元。 其中有12 名同学每人捐 5 元，其他同学捐10 元或 20 元，则捐10 元的有 名，捐 20 元的有 名。 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3 年级，第 8 题，假设思想方法 【解析】【解析】由题意，42 12=30 （名）同学捐10 元或 20 元，一共捐了 450 12 5 390   （元），那么捐 20 元的同 学有： (390 10 30) (20 10) 9     （人），捐10 元的有： 30 9 21  （名）。 【答案】 21 名 【例 3】某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共 400 张，甲类票 50 元／张，乙类票 40 元/张，丙类票 30 元/张，共收入 15500 元，其中乙类、丙类门票张数相同．则甲类、乙类、丙类门票分别售出多 少张? 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 14 题 【解析】鸡兔同笼问题，乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为 35 元／张的同一类门票．容易得到甲 类门票售出 ( ) ( )400 50 400 15500 50 35 100- ´ - ¸ - = 张，乙类、丙类各售出(400 -100)÷2=150 张． 【答案】甲门票售出100 张，乙和丙售出150 张 【例 4】有红、黄、绿 3种颜色的卡片共有100 张，其中红色卡片的两面上分别写有1和 2 ，黄色卡片的两面 上分别写着1和 3，绿色卡片的两面上分别写着 2 和 3．现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写 有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为 234 ．若把所有卡片正反面翻转一 下，各卡片所显示的数字之和则变成123 ．问黄色卡片有多少张？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是 3，红色卡片上是 2 ．如果全部是红色卡片，那么数字之和为： 2 100 200  ，比实际的少： 234 200 34  ．每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会增加： 3 2 1  ．那么，黄色和绿色卡片之和： 34 1 34  （张），红色卡片有：100 34 66  （张）． 翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是 2 ．红色卡片有 66 张，剩下的绿色和黄色卡片 上的数字之和为：123 1 66 57   ．如果34 张卡片都是黄色的，那么这 34 张卡片上的数字之和为： 1 34 34  ，比实际的少：57 34 23  ．每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：2 1 1  ，所以， 绿色卡片有： 23 1 23  （张），黄色卡片有：34 23 11  （张）． 【答案】11张 【例 5】商店出售大,中,小气球,大球每个 3 元,中球每个 1.5 元,小球每个 1 元.张老师用 120 元共买了 55 个球, 其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是 3 的整数倍. 我们设想买中球,小球钱中各出 3 元.就可买 2 个中球,3 个小球.因此,可以把这两种球看作一种, 每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可买 10 个中球,15 个小球. 【答案】大球 30 个，中球10 个。小球15 个 【例 6】从甲地至乙地全长 45 千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时 3 千米,平路上速度 是每小时 5 千米,下坡速度是每小时 6 千米.从甲地到乙地,李强行走了 10 小时;从乙地到甲地, 李强行走了 11 小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】把来回路程 45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下 坡合并成"一种"路程,根据例 15,平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼 " 问 题 . 头 数 10+11=21, 总 脚 数 90, 鸡 , 兔 脚 数 分 别 是 4 和 5. 因 此 平 路 所 用 时 间 是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是 6÷2=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用了 10-3=7(小时)行走路程是 45-5×3=30(千米). 又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行 走的时间是(6×7-30)÷(6-3)=4(小时). 行走路程是 3×4=12(千米). 下坡行走的时间是 7-4=3(小 时).行走路程是 6×3=18(千米). 【答案】上坡12 千米，平路15 千米，下坡18 千米. 【例 7】在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共 22 道．选择题和填空题每题 4 分，解答题每题10 分．这次考试总分是100 分，其中选择题和解答题的分值比填空题多 4 分，这次考试有多少道选择 题？多少道填空题？多少道解答题？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，希望杯 【解析】选择题和填空题的分值一样，可以归为一类。如果这次考试的 22 道题全是解答题，则总分应是： 22 10 220  (分)，但实际总分是100 分，所以选择题和填空题共有： 220 100 10 4 20（ ）（ ）    (道)， 解答题有： 22 20 2  (道)．选择题比填空题少： 2 10 4 16   (分)，选择题有： 100 2 10 16 2 4 8（ ）      (道)，填空题有： 20 8 12  (道)． 【答案】选择题8题，填空题12 题，解答题 2 题 【例 8】某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖 1000 元,二等奖 250 元,三等奖 50 元.共有 100 人 中奖,奖金总额为 9500 元.问二等奖有多少名？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人） 1000/50=20，也 就是说：把 20 个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5， 也就是说：把 5 个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：5-1=4（人）。 因为多出 的是 90 人，而：90=19*2+4*13. 即：要使总人数为 100，只需要把 20*2=40 个三等奖换成 2 个一等 奖，把 5*13=65 个三等奖换成 13 个二等奖就可以了。 所以，二等奖有 13 个人。 【答案】13 人 【巩固】 有 50 位同学前往参观,乘电车前往每人 1.2 元,乘小巴前往每人 4 元,乘地下铁路前往每人 6 元.这些同 学共用了车费 110 元,问其中乘小巴的同学有多少位？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】由于总钱数 110 元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍. 如果 有 30 人乘电车, 110-1.2×30=74(元). 还余下 50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有 40 人乘电车 110-1.2×40=62(元). 还余下 50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了.30 至 40 之间,只有 35 是 5 的整数倍. 现在又可以转化成"鸡兔同笼"了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11. 【答案】11 【例 9】学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共 232 支,共花了 300 元.其中铅笔数量 是圆珠笔的 4 倍.已知铅笔每支 0.60 元,圆珠笔每支 2.7 元,钢笔每支 6.3 元.问三种笔各有多少 支 ？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 从条件"铅笔数量是圆珠笔的 4 倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组, 这一组的笔,每支价格算作 (0.60×4+2.7)÷5=1.02(元). 现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种笔. 用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支). 铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支). 其中圆珠笔 220÷(4+1)=44(支). 铅笔 220-44=176(支). 【答案】钢笔12 支，圆珠笔 44 支，铅笔176 支 【例 10】 某次考试有 52 人参加，共考 5 道题，每题做错人数的统计表如下图． 还知道每人都至少做对 1 道题，做对 1 道题的有 7 人，5 道题全对的有 6 人，做对 2 道题和 3 道题 的人数一样多．那么做对 4 道题的人数是多少？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】总共答对了：52 5 4 6 10 20 30 190（ ）       道题，做对 2、3、4 道题的人总共有：52 7 6 39   人，这 39 人总共答对了：190 7 1 5 6 153     道题．可假设做对 2 道题的有 1 人，假设出错量： [2 1 3 1 39 2 4 153] 4 2 2 3 0（ ） （ ）            ，所以假设正确，对二、三道题的各 1 人，对 4 道题 的 37 人．难点：给的是做错题的表，而条件给的是做对的条件。 【答案】 37 人 【巩固】 某次数学考试考五道题,全班 52 人参加,共做对 181 道题,已知每人至少做对 1 道题,做对 1 道的有 7 人,5 道全对的有 6 人,做对 2 道和 3 道的人数一样多,那么做对 4 道的人数有多少人？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】对 2 道,3 道,4 道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对 181-1×7-5×6=144(道). 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人((2+3)÷2=2.5).这样 兔 脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对 4 道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人). 【答案】 31人 【例 1】 （2009“数学解题能力展示"读者评选活动三年级初赛 11 题）一些奇异的动物在草坪上聚会. 有独 脚兽（1 个头、1 只脚）、双头龙（2 个头、4 只脚）、三脚猫（1 个头、3 只脚）和四脚蛇（1 个头、 4 只脚）. 如果草坪上的动物共有 58 个头、160 只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙数量的 2 倍. 那么，有_____________只独脚兽参加聚会. 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，迎春杯，整体法 【解析】【解析】方法一：列表分析奇异动物的头和脚如下： 因为四脚蛇恰好是双头龙数量的 2 倍，所以可以将两只双头龙和一个四脚蛇打捆，这样每捆三个动 物，4 个头 12 只脚，恰好是四个三脚猫，这样本题就可以看成是两类动物： 一类是 1 个头 1 只脚， 一类是 1 个头 3 只脚， 两类动物共计 58 个头,160 脚，假设法独角兽只数为：    58 3 160 3 1 =7    （只） 方法二：设独脚兽有 x 只，双头龙为 y 只，三脚猫有 z 只，则四脚蛇为 2y 只.根据题意，有 2 2 58 4 3 8 160 x y z y x y z y          ，即 4 58 12 3 160 x y z x y z        ，故 4 58 12 3 160 y z x y z x        ，则 (58 ) 3 160x x    ，得 7x  ，即独脚兽有 7 只.