小学奥数6-1-20 年龄问题（三）.教师版

6-1-8.年龄问题（三） 教学目标 1. 掌握用线段图法来分析题中的年龄关系. 2. 利用已经学习的和差、和倍、差倍的方法求解年龄问题． 知识精讲 知识点说明： 一、年龄问题变化关系的三个基本规律： 1. 两人年龄的倍数关系是变化的量. 2. 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； 3. 两个人之间的年龄差不变 二、年龄问题的解题要点是： 1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系． 2．关键：抓住“年龄差”不变． 3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式． 4．陷阱：求过去、现在、将来。 年龄问题变化关系的三个基本规律： 1．两人年龄的差是不变的量； 2.两个人的年龄增加量是不变的； 3．两人年龄的倍数关系是变化的量；年龄问题的解题正确率保证：验算！ 例题精讲 年龄与和差倍分问题综合 【例 1】王刚、李强和小莉、小芳是两对夫妻，四人的年龄和为 132，丈夫都比妻子大 5岁，李强比小芳大 6 岁．小莉（ ）岁． 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】通过丈夫都比妻子大 5岁，李强比小芳大 6岁．知道李强和小莉才是夫妻，那么小莉比李强小 5岁， 王刚和小芳是夫妻，小芳比李强小 6岁，小芳又比王刚小 5 岁，可见王刚比李强小 1 岁，画图如下： 我们可以先求出李强的年龄：（132+1+6+5）÷4=36（岁），那么小莉的年龄是：36-5=31（岁）。 【答案】小莉 31岁。 【例 2】一家三口人，三人年龄之和是 72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的 4倍，三人各是多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】妈妈的年龄是孩子的 4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的 4倍，把孩子的年龄作为 1倍数，已知三口人年龄和是 72岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4）=8（岁），妈妈的年龄是： 8×4=32（岁），爸爸和妈妈同岁为 32岁. 【答案】孩子8岁，爸爸妈妈 32岁 【例 3】父子年龄之和是 45岁，再过 5年，父亲的年龄正好是儿子的 4倍，父子今年各多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】再过5年，父子俩一共长了10岁，那时他们的年龄之和是 45 10=55 (岁)，由于父亲的年龄是儿子的 4倍，因而 55岁相当于儿子年龄的 4 1=5 倍，可以先求出儿子 5年后的年龄，再求出他们父子今年 的年龄． 5年后的年龄和为： 45 5 2 55   (岁)； 5年后儿子的年龄： 55 4 1 11  （ ） (岁) 儿子今年的年龄：11 5 6  (岁)，父亲今年的年龄： 45 6 39  (岁) 【答案】儿子 6岁，父亲 39岁 【巩固】 父子年龄之和是 60岁，8年前父亲的年龄正好是儿子的 3倍，问父子今年各多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】由已知条件可以得出，8年前父子年龄之和是 60 8 2 44   (岁)，又知道8年前父亲的年龄正好是儿 子的 3倍，由此可得： 儿子： 60 8 2 3 1 8 19     （ ）（ ） (岁)；父亲： 60 19 41  (岁) 【答案】父亲 41岁，儿子19岁 【例 4】王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是 20岁，李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是 18岁．王老师今年 32岁，李老师今年多少岁? 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】王老师比李老师大 20 3 18 3 6    (岁)．故李老师今年的年龄为 32 6 26  (岁)． 【答案】 26岁 【例 5】小明与爸爸的年龄和是 53岁，小明年龄的 4倍比爸爸的年龄多 2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少 2，根据和倍关系： 小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁）， 爸爸的年龄是：53－11＝42（岁）， 小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）． 【答案】31岁 【例 6】我们每次过生日都要吃蛋糕，一般蛋糕上面都要插蜡烛，而且蜡烛数目恰好等于他生日那天的年龄. 小明每年过生日都要吃蛋糕，今天又是小明的生日，从出生到今天，他的生日蛋糕共有 24根蜡烛， 则小明今天过的是____________________岁生日． 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4年级，第 2题 【解析】1 2 3 4 5 6 21      ，1 2 3 4 5 6 7 28       ，无法达到 24。所以小明不是每年都能过生日， 只有二月 29日会使得他每四年过一次生日。24 4 6  ，6 1 2 3   ，小明过得是 4岁、8岁、12岁 生日。所以小明今天过的是12岁生日。 【答案】12岁。 【例 7】甲、乙、丙三人平均年龄为 42岁，若将甲的岁数增加 7，乙的岁数扩大 2倍，丙的岁数缩小 2倍， 则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。 甲增加 7岁后，三人总年龄是 42 3 7 133   岁，并且这时丙是甲的 2倍，甲是乙的 2倍，丙是乙的 4 倍，所以这时乙的年龄是 42 3 7 1 2 3 19     （ ）（ ） (岁)，所以丙的年龄是19 4 76  (岁) 【答案】 76岁 【例 8】甲的年龄比乙的年龄的 4倍少 3，甲在 3年后的年龄等于乙 9年后的年龄，问甲、乙现在各几岁？ 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】甲在 3年后的年龄等于乙 9年后的年龄，也就是甲在 3年后的年龄比乙在 3 年后的年龄多 6岁，即 甲、乙两人年龄差为 6岁．甲的年龄比乙的年龄的 4 倍少 3，即“甲的年龄+3”就是乙年龄的 4 倍， 刚才已经得到甲、乙两人年龄之差为 6岁，所以“甲的年龄+3”与乙年龄之差为 6 3 9  ，问题就转化 为“差倍问题”了．乙年龄为： (9 3 3) (4 1) 3     （岁），甲年龄为： 3 4 3 9   （岁）． 【答案】甲年龄为9岁，乙年龄为 3岁 【例 9】今年，祖父的年龄是小明的年龄的 6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的 5倍，又过几年以后， 祖父的年龄将是小明的年龄的 4倍，求：祖父今年是多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】祖父的年龄比小明的年龄大，两人的年龄差是不变的.因为今年祖父的年龄是小明的年龄的 6倍，所 以年龄差是小明年龄的 5倍，从而是年年差是 5的倍数，同理，由“几年后，祖父的年龄是小明的年 龄的 5倍”，“又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的 4倍”，知道年龄差是 4、3的倍数，所以， 年龄差是 5 4 3 60   的倍数.而 60的倍数是：60，120，…，合理的选择是 60，今年小明的年龄是 60 5 12  (岁)，祖父的年龄是12 6 72  (岁). 【答案】 72岁 【例 10】 梁老师问陈老师有多少子女，她说：“现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的 6倍；两年前，我 们的年龄和是子女年龄和的 10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的 3倍．”问陈老师有多少 子女． 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】2年前，年龄差是子女年龄和的 10-1=9 倍；今年，年龄差是子女年龄和的 6-1=5 倍；6年后，年龄 差是子女年龄和的 3-1=2 倍．这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是 9，5， 2倍数，至少是 90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是 2个．最好的方法就是先假设陈老 师有 1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是 3个子女． 【答案】3个 【例 11】 同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄。这个小故事说的就是一个记者千 方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄。影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于 是就对记者说：“我 5年后岁数的5倍，减去我 5年前岁数的 5倍，正好是我现在的年龄。”记者想了 半天，还是没有想出来影星的年龄。同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？ 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】可以假设影星现在的年龄是 a 岁，那么她 5年前、 5年后的年龄分别是  5 5a  岁和  5 5a  岁。两 者相差    5 5 5 5 50a a    （岁），所以这个影星今年的年龄是 50岁。 同学们可以考虑一下，自己5年后比 5年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈5年后又比5年前的 年龄大多少岁呢？我们会发现，都是10岁。所以，这个影星今年的年龄是  5 5 5 50   （岁）。 【答案】50岁 【巩固】 一位美妇，人到中年，很不愿提起自己的年龄，但她又从不愿说谎。一天，有人问及她的年龄，她 只好实话实说：“我 4年后的年龄的 6倍减去我 3年前的年龄的 6倍，就是我现在的年龄。”这位妇 人今年________岁。 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛 【解析】根据差不变的原理，4 年后的年龄：现在年龄+4 岁，3年前的年龄：现在年龄  3 岁，两个年龄做差 的六倍为：(4+3)×6  42(岁)，所以她现在年龄是 42 岁。 【答案】 42岁 【例 12】 3年前姐姐与妹妹的年龄比为 5 : 2， 2年后姐姐和妹妹的年龄比为10 : 7 ，问姐姐和妹妹的年龄 差为 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】这样年龄差为 3份，从3年前到 2年后是 5年，恰好对应 5份，所以姐姐和妹妹的年龄差为 3岁 【答案】3岁 【巩固】 今年，小军和小勇的年龄的比是 3：5，两年后，两人的年龄的比是 2：3，那么，小军今年 岁， 小勇今年 岁。 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第 11题 【解析】两年后，两人的年龄比试 2：3，也即 4：6，跟现在的年龄比 3：5相比正好每个人都增加了 1份， 说明 1份正好是 2年，所以，小军今年是 2×3=6（岁），小勇今年是 2×5=10（岁）。另本题还可以方 程解。 【答案】 6岁 【例 13】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年（1995年）多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】设小明出生那年是 19ab 年，则 1 9 95 10a b a b      ，从而有 11 2 85a b  ．若 8a  ，则 11 2 85a b ＞ ；若 6a  ，则 11 2 66 2 9 84a b     ．所以必有 7a  ， 4b  ．小明今年是 1 9 7 4 21    或1995 1974 21  （岁）． 【答案】 21岁 【例 14】 小明爷爷的年龄是一个二位数，将此二位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道 他们年龄之差是小明年龄的 4倍，求小明的年龄。 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 9题 【解析】设爷爷的年龄是 1Oa＋b，其中 a、b 都是数字，则爸爸的年龄是 1Ob＋a，年龄差是：(10a＋b)－(10b ＋a)＝9×(a－b)；这差是 4的倍数，所以 a－b 是 4的倍数，但 a≤9，而根据常识，小明爸爸的年龄 不可能是十几岁，因此 b≥2，a－b≤7，从而，必有 a－b＝4.小明的年龄是 9×(a－b)÷4＝9(岁)。 【答案】 9岁 【例 15】 已知小明的爸爸和妈妈的年龄不同，且相差不超过 10岁。如果去年，今年和明年，爸爸和妈妈 的年龄都是小明年龄的整数倍，那么小明今年__________岁。 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 15题 【解析】爸爸、妈妈、小明三人的年龄在去年、今年和明年各是 3个连续自然数，爸爸、妈妈的年龄差不超 过 10岁，且均为小明年龄的倍数，则小明年龄只能是 2岁（去年、今年依次为 1、2、3岁），否则 10龄 龄 龄   小明去年年 ，今年年 ，明年年 ，例如： [2 3 4] 12 10，，   ，则小明父母年龄不可能相差 在 10岁以内可构造出满足题意的解，如：爸爸：37,38,39；妈妈：31,32,33；小明：1，2，3；∴小 明今年 2岁。 【答案】 2岁 【例 16】 小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道 他们的年龄的差是小明年龄的 4倍，求小明的年龄． 【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】假设爷爷的年龄是10a b ，其中 a、b 都是数字，则爸爸的年龄是10b a ，年龄差是 10a b （ ） 10 9b a a b   （ ） （ ）．这差是 4的倍数，所以 a b 是 4的倍数，但 9a  ，而根据常识，小明爸爸的 年龄不可能是十几岁，因此 2b  ， 7a b  ，从而必有 4a b  ． 小明的年龄是 9 4 9a b   （ ） （岁）． 【答案】9岁 【例 17】 一位一百多岁的老寿星（2001年时），公元 2x 年时年龄为 x 岁，此老寿星 2001年是多少？ 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学奥林匹克，决赛 【解析】 2001年，老寿星100多岁，说明出生年份是18 年．在此后的某一年，他的年龄为 x 岁，而那一 年恰是公元 2x 年．平方大于1800而小于 2001的数在 40与 45之间，这就大大缩小了思考范围，再 通过检验就可确定 x ，进而确定老寿星的出生年份及 2001年的岁数． 由于 240 1600 ， 245 2025 ，所以 x 应在 41～ 44之间． 而 241 1681 ， 242 1764 ， 243 1849 ， 244 1936 ，所以 x 显然不等于 41、 42． 若 43x  ，即1849年时 43岁，则出生于1806年， 2001年195岁； 若 44x  ，即1936年时 44岁，出生于1892年， 2001年109岁． 可知比较合乎实际的答案是老寿星 2001年109岁． 【答案】109岁 【例 18】 三个人的年龄和是 75岁，最大的人比其它两个人的年龄和还要大 15岁，最小的人是 12岁，问 三个人的年龄各是多少？ 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】已知“最大的人比其它两个人的年龄和还要大 15岁”，把“其它两个人的年龄和”看成一个数，还知道 三个人年龄和是75岁，这便是转化成一个典型的和差问题，最大的人的年龄是：(75 15) 2 45   (岁)， 其它两人的年龄和是： (75 15) 2 30   (岁)，已知最小的年龄是 12 岁，所以剩下的一人年龄为： 30 12 18  (岁)． 【答案】最大 45 (岁)，最小的是 12岁，中间的是18岁 【例 19】 四个人年龄之和是87岁，最小的一个12岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大 7 岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？ 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】最小的一个与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大 7岁．最小的一个与最大的人年龄之和看 成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数．问题就转化为两个数的和是87，差是 7．这是一 个典型的和差同题．因此最小的一个与最大的人年龄之和是： 87 7 2 47  （ ） (岁)．最小的12岁， 因此最大的年龄为： 47 12 35  (岁) 【答案】35岁 【例 20】 五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大 6岁，已知他们的平均年龄为85岁， 其中年龄最大的一位老人的年龄是多少岁？ 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】如果最小的比85只小1岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于85岁，而最大的比85大 6 1 5  岁， 这样平均年龄必超过85岁；如果最小的比85小 2岁，那么可能还有一人比85小1岁，但最大的比85 大 6 2 4  岁，而 4 1 2  ，从而平均年龄仍超过85岁；如果最小的比85小 3岁，那么最大的比85大 6 3 3  岁，两人的平均年龄正好是85岁，其他三人如果年龄是84、85、86 (或83、85、87 )，那 么五人平均年龄正好是85岁；如果最小的比85小 4岁或小5岁，类似前面的分析可知，这时平均年 龄必小于85岁．因此 ，最大的年龄一定是85 3 88  岁． 【答案】88岁 【例 21】 今年儿子的年龄是父亲年龄的 1 4 ,15年后,儿子的年龄是父亲年龄的 5 11 。今年儿子______岁。 【考点】年龄问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 10题 【解析】今年儿子的年龄相当于父子年龄差的 1 1 4 1 3   ，15 年后今年儿子的年龄相当于父子年龄差的 5 5 11 5 6   ，所以 15年相当于父子年龄差的 5 1 1 6 3 2   ，年龄差为 115 30 2   岁.今年儿子 30 3 10  岁. 【答案】10岁