考点 01 集 合
1．集合的含义与表示
（1）了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
（3）能使用韦恩（Ve nn ） 图表达集合的关系及运算.
一、集合的基本概念
1．元素与集合的关系： a A
a A
属于，记为
不属于，记为 .
2．集合中元素的特征：
确定性
一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的
元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合
互异性
集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．这
个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素
无序性
集合与其中元素的排列顺序无关，如 a，b，c 组成的集合与 b，c，a 组成的集合是相同
的集合．这个特性通常被用来判断两个集合的关系
3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作.
4．常用数集及其记法：
集合
非负整数集
(自然数集)
正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N N 或 +N Z Q R C
注意：实数集 R 不能表示为{x|x 为所有实数}或{ R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.
5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.
二、集合间的基本关系
表示
关系
自然语言 符号语言 图示
基
本
基本
关系
子集
集合 A 中任意一个元
素都是集合 B 的元素
A B （或
B A ）
真子集
集合 A 是集合 B 的子
集，且集合 B 中至少有
一个元素不在集合 A
中
A B （或
B A ）
相等
集合 A，B 中元素相同
或集合 A，B 互为子集 A B
空集
空集是任何集合的子集，是任
何非空集合的真子集
A ，
( )B B
必记结论：（1）若集合 A 中含有 n 个元素，则有 2n 个子集，有 2 1n 个非空子集，有 2 1n 个真子集，有 2 2n
个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即 ,A B B C A C .
注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，
否则会造成漏解.
三、集合的基本运算
1．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn 图
交集
由属于集合 A 且属于
集合 B 的所有元素组
成的集合
{ | }A B x x A x B 且
并集
由所有属于集合 A 或
属于集合 B 的元素组
成的集合
| }{A B x x A x B 或
补集
由全集 U 中不属于集
合 A 的所有元素组成
的集合
{ | }U A x x U x A 且ð
2．集合运算的相关结论
交集 A B A A B B A A A A A B B A
并集 A B A A B B A A A A A A B B A
补集 ( )U U A A UU ð U U ð ( )U A A ð ( )U A A Uð
3．必记结论
( .)U U UA B A B A A B B A B A B
考向一 集合的基本概念
解决集合概念问题的一般思路：
（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，
然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：
集合 { 0| }x f x { 0| }x f x { | }x y f x { | }y y f x {( , ) | }yx y f x
集合的
意义
方程 0f x
的解集
不等式
0f x 的
解集
函数 y f x
的定义域
函数 y f x
的值域
函数 y f x 图象
上的点集
（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的
互异性.
典例 1 已知集合 1, 1A ， 1,0, 1B ，则集合 | , C a b a A b B ＝ 中元素的个数为
A． 2 B．3
C．4 D．5
【答案】D
【名师点睛】在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入
点；另一方面，在解答完毕时，注意检验集合的元素是否满足互异性，以确保答案正确．
1．已知集合 ，若 ，则非零实数 的值是_________．
考向二 集合间的基本关系
集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问
题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：（1）求子集的个数；（2）由集合间的关系求
参数的取值范围.
典例 2 已知集合 22{ | 0}, { | , }2
xA x B y y x x Ax
Z ，则集合 B 的子集的个数为
A． 7 B．8
C．15 D．16
【答案】B
【解析】集合 2{ | 0}2
xA x x
Z 1,0,1,2 ， 2{ | , }B y y x x A 0,1,4 ，故集合 B 的子集的
个数为 32 8 .故选 B.
【名师点睛】求集合的子集(真子集)个数问题，当集合的元素个数较少时，也可以利用枚举法解决，枚举法
不失为求集合的子集(真子集)个数的好方法，使用时应做到不重不漏．
2．已知集合 1,0,A a ， 0,B a .若 B A ,则实数 a 的值为__________．
考向三 集合的基本运算
有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难
度一般不大，常见的类型有：
（1）有限集（数集）间集合的运算
求解时，可以用定义法和 Venn 图法，在应用 Venn 图时，注意全集内的元素要不重不漏.
（2）无限集间集合的运算
常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.
（3）用德·摩根公式法求解集合间的运算
对于有 ( ) ( )U UA B 和 ( ) ( )U UA B 的情况，可以直接应用德·摩根公式 ( ) ( ) ( )U U UA B A B 和
( ) ( ) ( )U U UA B A B 进行运算.
典例 3 已知集合 , ,则 P Q R ð
A． B．
C． D．
【答案】C
【名师点睛】对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其
中参数的取值范围时，要注意单独考查等号能否取到．
3．设集合 ，集合 ，则
A． B．
C． D．
4．设集合 ,已知 ,那么 的取值范围是
A． B．
C． D．
考向四 与集合有关的创新题目
与集合有关的创新题目是近几年高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上
定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧
扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程
之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、
运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性
质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
典例 4 设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 ,a b S ，有 ab S ，则称 S 关于数的乘法是封闭的．若 ,T V
是 Z 的两个不相交的非空子集，T V Z ，且 , ,a b c T ，有 abc T ； , ,x y z V ，有 xyz V ，则
下列结论恒成立的是
A． ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的 B． ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C． ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的 D． ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的
【答案】A
【解析】取 { | 0, }T x x x Z且 ， { | 0, } {0}V x x x Z 且 ，可得 T 关于乘法不封闭，V 关于乘法
封闭，
又取 { }T 奇数 ， ={ }V 偶数 ，可得 T,V 关于乘法均封闭，故排除 B，C，D，选 A．
1．已知集合 | 1A x x ，则下列选项正确的是
A． 0 A B． 0 A
C． A D． 0 A
2．已知单元素集合 2| 2 1 0A x x a x ，则 a
A．0 B．-4
C．-4 或 1 D．-4 或 0
3．已知集合 ,则 M Nð =
A． B．
C． D．
4．已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
5．已知集合 ,若 ,则实数 的值为
A． B．
C． D．
6．已知全集 ，集合 1{ | ,0 1}M y y xx
， ，则下图中阴影部分所表示的集
合为
A． B．
C． D．
7．已知集合 ， ，则满足条件的集合 的个数有
A．2 个 B．3 个
C．4 个 D．5 个
8．设集合 ， ，则下列关系正确的是
A． B．
C． A BR R D． B ARð
9．已知集合 4,5,6P ， 1,2,3Q ，定义 , ,P Q x x p q p P q Q ，则集合 P Q 的所
有非空真子集的个数为
A．32 B．31
C．30 D．以上都不对
10．设集合 ， ，则 的真子集的个数为
A．3 B．4
C．7 D．8
11．设集合 ， 其中 ，若 ，则实数 _______．
12．若集合 ， ， ，则 的取值范围是_______．
13．已知集合{ , , } {0,1,2}a b c ，且下列三个关系：① 2a ；② 2b ；③ 0c 有且只有一个正确，则
100 10a b c 等于________.
14．已知集合 ，集合 ，集合 ，若 A B C ，则实数 m
的取值范围是_______.
1．（2018 浙江）已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 =U Að
A． B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．（2018 新课标全国Ⅰ文科）已知集合 0 2A ， ， 2 1 0 1 2B ， ， ， ， ，则 A B
A． 0 2， B． 1 2，
C． 0 D． 2 1 0 1 2 ， ， ， ，
3．（2018 新课标全国Ⅲ文科）已知集合 { | 1 0}A x x ， {0,1,2}B ，则 A B
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
4．（2018 天津文科）设集合 {1,2,3,4}A ， { 1,0,2,3}B ， { | 1 2}C x x R ，则 ( )A B C
A．{ 1,1} B．{0,1}
C．{ 1,0,1} D．{2,3,4}
5．（2017 新课标全国Ⅰ文科）已知集合 A= | 2x x ，B= |3 2 0x x ，则
A．A B= 3| 2x x B．A B
C．A B 3| 2x x D．A B=R
6．（2017 新课标全国Ⅱ文科）设集合 {1,2,3}, {2,3,4}A B ，则 A B
A． 1 2 3,4，， B． 1 2 3，，
C． 2 3 4，， D． 13 4，，
7．（2017 北京文科）已知全集U R ，集合 { | 2 2}A x x x 或 ，则 U A ð
A． ( 2,2) B． ( , 2) (2, )
C．[ 2,2] D． ( , 2] [2, )
变式拓展
1．【答案】
【解析】若 则 此时集合 B 不符合元素的互异性，故 若 则 符合题
意；若 则 不符合题意.故答案为 2.
2．【答案】1
【解析】∵ B A ，∴ a A ，∴ a a ，解得 1a 或 0a （舍去）．
3．【答案】C
【解析】由题得 A={x|x≤3}，B={x|x
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