考点 04 函数及其表示
（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数 映射
两个集合
A、B
设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系 f，使对于集
合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都
有唯一确定的数 f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系 f，使对于集合
A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有
唯一确定的元素 y 与之对应
名称
称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个
函数
称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个
映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意
一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值
叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
2．必记结论
(1)相等函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和
对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1
均表示相等函数.学！科网
(2)映射的个数
若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 mn 个．
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.
(4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0 且 a≠1)，y＝sinx，y＝cosx 的定义域均为 R.
(6)y＝logax(a>0 且 a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx 的定义域为 π{ | π , }2x x k k Z .
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不
注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数 y＝kx＋b(k 为常数且 k≠0)的值域为 R.
(2)反比例函数 ky x
(k 为常数且 k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数且 a≠0)，
当 a>0 时，二次函数的值域为
24[ , )4
ac b
a
；
当 a0，b>0)求最值．
若“和定”，则“积最大”，即已知 a＋b＝s，则 ab
2
2( )2 4
a b s ，ab 有最大值
2
4
s ，当 a＝b 时取等号；
若“积定”，则“和最小”，即已知 ab＝t，则 a b 2 2ab t ，a＋b 有最小值 2 t ，当 a＝b 时取等
号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．
9．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数 y＝f(x)可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a(y)x2＋b(y)x＋c(y)
＝0，则在 a(y)≠0 时，由于 x，y 为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取
值范围.
10．有界性法：
充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.
11．导数法：
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数
与极值、最值的关系求函数的值域.
典例 3 求下列函数的值域：
（1） 2 4 3, [ 1,1]y x x x ；
（2） 1 2y x x ；
（3）
2
( 1)1
xy xx
.
【答案】（1）[0，8]；（2） 1( , ]2
；（3）[4, ) .
【解析】（1） 2 24 3 ( 2) 1y x x x ，
∵ 1 ≤x≤1，∴ 3 ≤x−2≤ 1 ，
∴1≤(x−2)2≤9，则 0≤(x−2)2 1 ≤8．
故函数 2 4 3, [ 1,1]y x x x 的值域为[0，8]．
（2）f(x)的定义域为 1( , ]2
，
令
211 2 , ( 0)2
tt x x t ，得 21 1
2 2y t t ，
故 1( , ]2y .
（3）
2 2( 1) 2( 1) 1 11 2 41 1 1
x x xy xx x x
.当且仅当 x＝2 时“＝”成立.
故
2
( 1)1
xy xx
的值域为[4, ) .
3．已知函数 f(x)＝1
2(x－1)2＋1 的定义域与值域都是[1，b](b＞1)，则实数 b 的值为 ．
考向三 求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于 f(x)与 1( )f x
或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方
程求出 f(x).
典例 4 已知 ( 1) 2f x x x ，则 ( )f x
A． 2 1( 1)x x B． 2 1x
C． 2 1( 1)x x D． 2 1x
【答案】A
【名师点睛】在方法二中，用t 替换后，要注意t 的取值范围为 1t ，如果忽略了这一点，在求 ( )f x 时就
会出错.
4．已知 2( 1)f x x ，则 ( )f x 的表达式为
A． 2( ) 2 1f x x x B． 2( ) 2 1f x x x
C． 2( ) 2 1f x x x D． 2( ) 2 1f x x x
考向四 分段函数
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考
的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性
质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
5．求奇偶性、周期性：
利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.
典例 5 已知 2 , 0( ) ( 1), 0
x xf x f x x
，则 4( )3f ＋ 4( )3f 等于
A．－2 B．4
C．2 D．－4
【答案】B
【解析】∵ 4( )3f ＝8
3
， 4( )3f ＝ 1( )3f ＝f
2
3 ＝4
3
，∴ 4( )3f ＋ 4( )3f ＝4.故选 B．
【名师点睛】分段函数的应用：
设分段函数 1 1
2 2
( ),( ) ( ),
f x x If x f x x I
.
(1)已知 x0，求 f(x0)：
①判断 x0 的范围，即看 x0∈I1，还是 x0∈I2；
②代入相应解析式求解．
(2)已知 f(x0)＝a，求 x0：
①当 x0∈I1 时，由 f1(x0)＝a，求 x0；
②验证 x0 是否属于 I1，若是则留下，反之则舍去；
③当 x0∈I2 时，由 f2(x0)＝a，求 x0，判断是否属于 I2，方法同上；
④写出结论．学科！网
(3)解不等式 f(x)＞a：
1
1
( ) ( )
x If x a f x a
或 2
2 ( )
x I
f x a
.
5．已知函数 f(x)＝ 1 0
0x
x x
a x
,
, ，若 f(1)＝f(－1)，则实数 a 的值等于
A．1 B．2
C．3 D．4
典例 6 已知函数 2
e , 0
2 1, 0
x xf x
x x x
，若 1f a f a ，则实数 a 的取值范围是
A． 1, 2
B． 1 ,2
C． 10, 2
D． 1 ,12
【答案】A
【解析】函数 1e =( )e
x xf x 在 ,0 上为减函数，函数 2 2 1y x x 的图象开口向下，对称轴为
1x ，所以函数 2 2 1f x x x 在区间 0, 上为减函数，且 0 2e 0 2 0 1 .
所以函数 f x 在 , 上为减函数.由 1f a f a 得 1a a ，解得 1
2a .故选 A．
【思路点拨】判断分段函数 2
e , 0
2 1, 0
x xf x
x x x
两段的单调性，当 0x 时， 1e =( )e
x xf x 为
指数函数，可判断函数 1e =( )e
x xf x 在 ,0 上为减函数；第二段函数 2 2 1y x x 的图象开口
向下，对称轴为 1x ，可得函数 2 2 1f x x x 在区间 0, 上为减函数. 0x 时，两段函数值
相等.进而得函数 f x 在 , 上为减函数.根据单调性将不等式 1f a f a 变为 1a a ，从
而解得 1
2a 即可
【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；
（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“ f ”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.
6．已知函数
2 1, 0( )
cos , 0
x xf x
x x
，则下列结论正确的是
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
1．函数 2
1 ln 2 1
4
f x x
x
的定义域为
A． 1 ,22
B． 1 ,22
C． 1 ,22
D． 1 ,22
2．设函数
4
2
2 , 4
log 1 , 4
x xf x
x x
，若 1
8f a ，则 a
A．1 B．
8
1 1
2
C．3 D．1 或
8
1 1
2
3．如图为函数 y f x 的图象，则该函数可能为
A． sinxy x
B． cosxy x
C． sinxy x
D． sinxy x
4．若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)＝ 2
ln
f x
x
的定义域是
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
5．已知函数 2 4 , ,5f x x x x m 的值域是 5,4 ，则实数 m 的取值范围是
A． , 1 B． 1,2
C． 1,2 D． 2,5
6．已知函数 f x 满足 1 1 2 0f f x x xx x
，则 2f
A． 7
2
B． 9
2
C． 7
2
D． 9
2
7．已知 sin π1
xf x xx
，记 x 表示不超过 x 的最大整数，如 π 3, e 3 ，则
2y f x f x 的值域为
A． 1 B． 1 2，
C． 01， D． 01,2，
8．函数 4 4xf x 的值域为__________．学科！网
9．已知函数 ( 0)f x ax b a , 4 3f f x x ，则 2f __________．
10．设函数
2 , 0,
, 0,
x xf x
x x
则使得 f x f x 成立的 x 的取值范围是__________．
1．（2018 年高考新课标 I 卷文科）设函数 2 0
1 0
x xf x
x
，
，
，则满足 1 2f x f x 的 x 的取值范围
是
A． 1 ， B． 0 ，
C． 1 0 ， D． 0，
2．（2017 年高考山东卷文科）设
,0 1
2 1 , 1
x xf x
x x
,若 1f a f a ,则 1f a
A．2 B．4
C．6 D．8
3．（2017 年高考天津卷文科）已知函数
| | 2, 1,
( ) 2 , 1.
x x
f x
x xx
设 a R ，若关于 x 的不等式 ( ) | |2
xf x a
在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是
A．[ 2,2] B．[ 2 3,2]
C．[ 2,2 3] D．[ 2 3,2 3]
4．（2016 年高考新课标Ⅱ卷文科）下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同
的是
A．y=x B．y=lgx
C．y=2x D． 1y
x
5．（2018 年高考江苏卷）函数 2log 1f x x 的定义域为________．
6．（2018 年高考新课标 I 卷文科）已知函数 2
2logf x x a ，若 3 1f ，则 a ________．
7．（2018 年高考浙江卷）已知λ∈R，函数 f(x)= 2
4,
4 3,
x x
x x x
，当λ=2 时，不等式 f(x)0 时，f(x)>1，x≤0 时，－1≤f(x)≤1，所以函数 f(x)的值域为[－1，＋∞)．
方法二：也可画出函数 f(x)的图象，由函数图象可排除 A、B、C，同时能求出函数 f(x)的值域．
考点冲关
1．【答案】D
【解析】要使函数 2
1 ln 2 1
4
f x x
x
有意义，需满足
24 0
2 1 0
x
x
，解得 1 22 x ，即函
数 2
1 ln 2 1
4
f x x
x
的定义域为 1 ,22
，故选 D．
2．【答案】A
【解析】当 4a 时， 4 312 28
a ， 4 3a ，得 1a ，
当 4a 时， 2
1log 1 8a ，得
1
82 1a
，这与 4a 矛盾，故此种情况下无解，
由上知 1a ，故选 A．
【名师点睛】该题考查的是分段函数中已知函数值求自变量的问题，在解题的过程中，需要时刻关注自
变量的取值范围，在明显感觉解是不符合要求时可以不解确切值，只说无解即可.
3．【答案】B
【解析】由图可知， πx 时， 0y ，而 A，C，D 此时对应的函数值 0y ，故选 B.
【名师点睛】识图常用的方法：
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析
解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．【答案】D
【解析】∵f(x)的定义域为[0,2]，∴要使 f(2x)有意义，必有 0≤2x≤2，∴0≤x≤1，∴要使 g(x)有意义，应有
0 1
ln 0
x
x
，∴0
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