高考数学（理）考点一遍过考点59 坐标系与参数方程-之

1 1．坐标系 （1）理解坐标系的作用. （2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. （3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别， 能进行极坐标和直角坐标的互化. （4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解 用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. （5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法 相比较，了解它们的区别. 2．参数方程 （1）了解参数方程，了解参数的意义. （2）能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. （3）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. （4）了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 一、坐标系 1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O 叫做极点；自点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常 取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设 M 是平面上的任 一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的∠xOM 叫做点 M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)． 2 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设 M 是 平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 或 ρ2＝x2＋y2， tan θ＝y x(x≠0). 3．圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a：ρ＝2acosθ； (3)当圆心位于 π( , )2M a ，半径为 a：ρ＝2asinθ. 4．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0 和θ＝π－θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过 π( , )2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b. 二、参数方程 1.直线的参数方程 若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为 (t 为参数).这是直线的参数方程,其中 参数 t 有明显的几何意义. 2.圆的参数方程 3 若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程为 0≤θ≤2π. 3.椭圆的参数方程 若椭圆的中心不在原点,而在点 M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为 0≤t≤2π. 【解题必备】一、参数方程与普通方程的互化技巧 1.参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等, 其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧. 2.普通方程化为参数方程 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定 x,y 的值.一 般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数; 与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数. 二、直线与圆锥曲线的参数方程的应用规律 解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题,其一般思路为: 第一步,先把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程; 第二步,根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题. 另外,当直线经过点 P(x0,y0),且直线的倾斜角为α,求直线与圆锥曲线的交点弦长问题时,可以把直线的参数方 程设成 (t 为参数),交点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,计算时,把直线的参数方程代入圆锥曲线的 直角坐标方程,求出 t1+t2,t1·t2,得到|AB|=|t1-t2|= . 考向一 平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·x（λ>0） y′＝μ·y（μ>0） 的作用下，点 P(x，y)对应到点(λx， μy)，称φ为坐标系中的伸缩变换． 4 典例 1 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 2 1 4 x x y y     后，曲线C 变为曲线 2 24 116 x y   ，求曲线C 的标准方程及参数方程. 【答案】x2＋y2＝4， 2cos 2sin x y      （ 为参数） 【解析】设 M(x，y)是曲线 C 上任意一点，变换后的点为 M′(x′，y′)． 由 2 1 4 x x y y     且 M′(x′，y′)在曲线 2 16 x ＋4y′2＝1 上， 得 24 16 x ＋ 24 16 y ＝1， ∴x2＋y2＝4. 因此曲线 C 的标准方程为 x2＋y2＝4，参数方程为 2cos 2sin x y      （ 为参数） 【名师点睛】本题考查根据转移法求动点轨迹，考查基本分析求解能力，属基础题.先根据变换，结合转移 法确定曲线C 的标准方程，再根据三角函数平方关系得参数方程. 典例 2 将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. （1）求曲线 C 的方程； （2）设直线 l：2x＋y－2＝0 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程． 【答案】（1） 2 2 =14 yx  ；（2） 3= 4sin 2cos    . 【解析】（1）设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点(x，y)， 依题意，得 1 12 x x y y    . 由 x21＋y21＝1 得 2 2( ) 12 yx   ， 故曲线 C 的方程为 2 2 =14 yx  . 5 （2）由 2 2 14 2 2=0 yx x y       解得 1 0 x y    或 0 2 x y    . 不妨设 P1(1，0)，P2(0，2)， 则线段 P1P2 的中点坐标为 1( ,1)2 ， 所求直线斜率为 k＝1 2 ， 于是所求直线方程为 1 11 ( )2 2y x   ， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcosθ－4ρsinθ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为 3= 4sin 2cos    . 1．把曲线 1 2cos 2sin xC y      ： （ 为参数）上各点的横坐标压缩为原来的 1 4 ，纵坐标压缩为原来的 3 4 ，得到 的曲线 2C 为 A． 2 212 4 1x y  B． 2 2 44 13 yx   C． 2 2 13 yx   D． 2 23 4 4x y  考向二 极坐标和直角坐标的互化 1．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝ y x(x≠0)． 2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形， 并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧． 6 典例3 设点A的极坐标为 (2, )6  ，直线l过点A且与极轴所成的角为π 3 ，则直线l的极坐标方程为__________． 【答案】 cos( ) 16     【点评】在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不 唯一． 2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方 程为 2cos 2sin   ，它在点 π2 2, 4M      处的切线为直线 l. （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与 2 2 14 yx   的交点为 P1，P2，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 考向三 参数方程与普通方程的互化 1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取 值范围的影响． 7 典例 4 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C ： 2 2 21 2 x t y t       （t 是参数），曲线 2C ： 2 cos sin x y      （ 是 参数），若曲线 1C 与 2C 相交于 A，B 两个不同点，则|AB|=_______. 【答案】 4 2 3 【解析】曲线 C1： 2 2 21 2 x t y t       （t 是参数），转化为直角坐标方程为：x﹣y﹣1=0， 曲线 C2： 2 cos sin x y      （θ是参数），转化为直角坐标方程为： 2 2 12 x y  ， 建立方程组： 2 2 1 0 12 x y x y      ，得到：3x2﹣4x=0，解得：x=0 或 4 3 . 所以 A（0，﹣1），B（ 4 1,3 3 ），所以|AB|= 2 24 113 3            = 4 2 3 ． 故答案为 4 2 3 . 【名师点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间距离公式的应用，主要 考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．首先把方程转换为直角坐标方程，进一步利用方程组求 出 A、B 的坐标，再求出|AB|的长． 典例 5 已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，圆 C 的参数方程为 (θ为参数)． （1）求直线 l 和圆 C 的普通方程； （2）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）2x－y－2a＝0，x2＋y2＝16；（2）－2 5≤a≤2 5. 【解析】（1）直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0， 圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. （2）因为直线 l 与圆 C 有公共点， 8 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 | 2 | 4 5 ad   ， 解得－2 5≤a≤2 5. 3．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 1C 、 2C 的参数方程分别为 1C ： 2cos 3sin x y     (为参数）， 2C ： 1 cos sin x t y t       (t为参数）． （1）求曲线 1 2,C C 的普通方程； （2）已知点  1,0P ，若曲线 1C 与曲线 2C 交于 ,A B 两点，求 PA PB 的取值范围． 考向四 极坐标方程与参数方程的综合应用 参数方程与极坐标方程在高考中往往综合考查，各自的特征都较为突出，都是极坐标方程转化为直角坐标 方程、参数方程方程转化为普通方程，最后转化为平面几何知识进行解决. 典例 6 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos 3sin x y     ( 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 cos( ) 3 24     ． （1）求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）已知点 P 在曲线 1C 上，点 Q 在曲线 2C 上，求| |PQ 的最小值及此时点 P 的直角坐标． 【答案】（1） 2 2 13 yx   ， 6 0x y   ；（2）最小值为 2 2 ，点 P 的直角坐标为 1 3( , )2 2 ． 【解析】（1）由 cos 3sin x y     可得 2 2( ) 1 3 yx   ，即 2 2 13 yx   ， 故曲线 1C 的普通方程为 2 2 13 yx   ， 9 由 cos( ) 3 24     可得 2 2cos sin 3 22 2      ，即 2 2 3 22 2x y  ，即 6 0x y   ， 故曲线 2C 的直角坐标方程为 6 0x y   ． （2）由题意，可设点 P 的直角坐标为 (cos , 3sin )  ， 因为曲线 2C 是直线， 所以| |PQ 的最小值即点 P 到直线 6 0x y   的距离的最小值， 易得点 P 到直线 6 0x y   的距离为 | cos 3sin 6 | 2 | sin( ) 3|62 d         ， 当且仅当 2 ( )3k k    Z 时， d 取得最小值，即| |PQ 取得最小值，最小值为 2 2 ，此时点 P 的直角 坐标为 1 3( , )2 2 ． 4．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 2cos 2sin (0 0 2π)      ，点 π1, 2M      ，以极点O 为原 点，以极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线 3 2: 11 2 x t l y t      (t 为参数)与曲线C 交于 ,A B 两 点. （1）若  ,P   为曲线C 上任意一点，求  的最大值，并求出此时点 P 的极坐标； （2）求 1 1 MA MB  的值. 1．若圆的方程为 1 2cos 3 2sin x y         （ 为参数），直线的方程为 2 1 6 1 x t y t      （t 为参数），则直线与圆的位置 关系是 10 A．相交而不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离 2．已知圆的极坐标方程为 4cos  ，圆心为C ，点 P 的极坐标为 π4, 3      ，则 CP  A． 4 3 B．4 C．2 D． 2 3 3．在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲 线 C 的极坐标方程为ρcos(θ－ π 3 )＝1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的交点，则 MN 的中点的极坐标 为 A． 31, 3       B． 2 3 π,3 6       C． 2 3 π 3 3       ， D． 2 32 3       ， 4．参数方程 t 为参数)所表示曲线的图象是 5．已知直线 (t 为参数)与曲线 交于 两点，则 A．1 B． C．2 D． 6．直线 ( 为参数)对应的普通方程是__________. 11 7．参数方程为 为参数)的曲线的焦点坐标为__________. 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线的参数方程为 35 5 43 5 x t y t        (t 为参数)，以O 为极点， x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，直线与圆 5  交于 B、C 两点，则线段 BC 中点的直角坐标为________. 9．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中，曲线 1 : 1C   ，直线 2 21 2: 21 2 x t C y t        （t 为参数）. （1）求曲线 1C 上的点到直线 2C 距离的最小值； （2）若把 1C 上各点的横坐标都伸长为原来的 2 倍，纵坐标伸长为原来的 3 倍，得到曲线 3C .设  1,1P  ， 直线 2C 与曲线 3C 交于 ,A B 两点，求 PA PB . 10．已知曲线 的参数方程为 为参数),以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 的极坐标方程为 直线 的直角坐标方程为 . 12 （1）求曲线 和直线 的极坐标方程; （2）已知直线 分别与曲线 、曲线 交于 （异于极点），若 的极径分别为 求 的值. 11．已知直线 l 的参数方程为 14 2 3 2 x t y t      （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos  ． （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程； （2）若直线  π 6   R 与曲线 C 交于点 A（不同于原点），与直线 l 交于点 B，求 AB 的值． 12．在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 为参数),以 为极点, 轴正半轴为极轴,建立极 坐标系,直线 的极坐标方程为 . 13 （1）若 ,求直线 交曲线 所得的弦长; （2）若 上的点到 的距离的最小值为 1,求 . 13．在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线 1C 的 极坐标方程为 sin 1    ，曲线 2C 的参数方程为 2cos 2 2sin x y        （ 为参数）. （1）求 1C 与 2C 交点的极坐标； （2）已知直线 : 2 0l x y   ，点 P 在曲线 2C 上，求点 P 到l 的距离的最大值. 14 14．在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 为参数),以原点为极点, 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,圆 的极坐标方程为 ,且直线 与圆 相交于不同的 两点. （1）求线段 垂直平分线 的极坐标方程; （2）若 ,求过点 与圆 相切的切线方程. 15．在平面直角坐标系中，将曲线 1C 向左平移 2 个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变， 纵坐标缩短为原来的 1 2 ，得到曲线 2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 1C 的极坐标方程为 4cos  ． （1）求曲线 2C 的参数方程； （2）已知点 M 在第一象限，四边形 MNPQ 是曲线 2C 的内接矩形，求内接矩形 MNPQ 周长的最大值， 并求周长最大时点 M 的坐标． 15 1．（2018 北京理）在极坐标系中，直线 cos sin ( 0)a a      与圆 =2cos  相切，则 a=__________． 2．（2018 天津理）已知圆 2 2 2 0x y x   的圆心为 C，直线 21 ,2 23 2 x t y t        (t 为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则 ABC△ 的面积为___________. 3．（2017 北京理）在极坐标系中，点 A 在圆 2 2 cos 4 sin 4 0        上，点 P 的坐标为（1,0）， 则|AP|的最小值为___________. 4．（2017 天津理）在极坐标系中，直线 4 cos( ) 1 06      与圆 2sin  的公共点的个数为 ___________． 5．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参考方程为 8 2 x t ty     ( t 为参数)，曲线 C 的参数 方程为 22 2 2 x s y s    ( s 为参数)．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线l 的距离的最小值． 16 6．（2017 新课标 II 卷理）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 1C 的极坐标方程为 cos 4   ． （1）M 为曲线 1C 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| | | | 16OM OP  ，求点 P 的轨迹 2C 的直角 坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 (2, )3  ，点 B 在曲线 2C 上，求 OAB△ 面积的最大值． 7．（2017 新课标 III 卷理）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 2+ , , x t y kt    （t 为参数），直线 l2 的 参数方程为 2 , , x m mmy k     （ 为参数）.设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C. （1）写出 C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设  3 : cos sin 2 0l      ，M 为 l3 与 C 的交点，求 M 的极径. 17 8．（2017 新课标 I 卷理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y      （θ为参数），直线 l 的参 数方程为 4 , 1 , x a t ty t      （ 为参数）. （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ，求 a. 9．（2018 江苏）在极坐标系中，直线 l 的方程为 πsin( ) 26    ，曲线 C 的方程为 4cos  ，求直线 l 被 曲线 C 截得的弦长． 10．（2018 新课标 I 卷理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的方程为 | | 2y k x  .以坐标原点为极点， x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 2 cos 3 0     . （1）求 2C 的直角坐标方程； （2）若 1C 与 2C 有且仅有三个公共点，求 1C 的方程. 18 11．（2018 新课标 II 卷理）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos 4sin x θ y θ    ， （θ 为参数），直线l 的 参数方程为 1 cos 2 sin x t α y t α      ， （ t 为参数）． （1）求 C 和l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线l 所得线段的中点坐标为 (1, 2) ，求 l 的斜率． 12．（2018 新课标 III 卷理）在平面直角坐标系 xOy 中， O⊙ 的参数方程为 cos sin x y      ，（ 为参数），过点  0 2， 且倾斜角为 的直线 l 与 O⊙ 交于 A B， 两点． （1）求 的取值范围； （2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程． 19 变式拓展 1．【答案】B 【名师点睛】本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为直角坐标方程，是基础题．根 据题意，写出曲线 C2 的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程． 2．【答案】（1） 2 2 0x y   ；（2） 3 4sin 2cos      . 【解析】（1）∵曲线 C 的极坐标方程为 2cos 2sin   ， ∴ 2 2cos 2 sin    ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 21 2y x ， ∴ y x  ， 又 π2 2, 4M      的直角坐标为（2，2）， ∴ 2| 2xk y   . ∴曲线 C 在点（2，2）处的切线方程为 2 2( 2)y x   ， 即直线 l 的直角坐标方程为 2 2 0x y   . （2） 2 2 1 014 0 22 2 0 y x xx y yx y              由 解得 或 20 不妨设 P1(1，0)，P2(0，-2)，则线段 P1P2 的中点坐标 1 ,-1 ,2      为 所求直线斜率为 k 1 ,2   于是所求直线方程为 y+1 1 1 ,2 2x      化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ+4ρsin θ=-3，即ρ 3 .4sin +2cos   【名师点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，涉及中点坐标的计算，导数的几何意义，即函 数在某点处的导数值即为在该点处的切线的斜率. （1）先将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再由导数的几何意义得到切线的斜率，根据点斜式 得到切线方程； （2）联立直线和椭圆得到两点坐标，再由中点坐标公式得到中点坐标 1 , 12     为 ，直线斜率为 k 1 ,2   进而得到直线方程. 学￥# 3．【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ； 1x  ；（2） 3,4 . （2）将 2C ： 1 cos sin x t y t       (t为参数）代入 1C ： 2 2 14 3 x y  ， 化简整理得： 2 2sin 3 6 cos 9 0t t     ， 设 A B、 两点对应的参数分别为 1 2t t、 ， 则  2 236cos 36 sin 3 144 0       恒成立， 1 2 1 22 2 6cos 9,sin 3 sin 3t t t t        ，  2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 124 sin 3PA PB t t t t t t t t            ， 21  2sin 0,1  ，  3,4PA PB   . 【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化及直线参数方程参数几何意义的应用，属于基 础题. （1）由 2 2sin cos 1   ，消参即可得普通方程； （2）由直线的参数方程与椭圆方程联立，利用直线参数的几何意义，可知 1 2 1 2PA PB t t t t     ， 从而得解. 4．【答案】（1）  取得最大值 2 2 ， π2 2, 4      ；（2） 7 . 【名师点睛】本题考查直线的参数方程、点与圆的极坐标方程和直角坐标方程的转化以及消去参数方程 中的参数的几何意义.把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法； ③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 cos  和 sin  换成 y 和 22 x 即可. 学@# （1）曲线C 的扱坐标方程化为 π2 2sin 4       ，由三角函数的有界性可得当 π 4   时，  取得最 大值 2 2 ，从而得 P 的极坐标； （2）由 2cos 2sin    ，得 2 2 cos 2 sin      ，利用互化公式可得直角坐标方程. 将 3 2: 11 2 x t l y t      为参数）代入 2 2 2 2 0x y x y    ，并整理得： 2 3 1 0t t   ，利用根与系数的关系， 根据直线参数方程的几何意义可得结果. 考点冲关 1．【答案】A 【解析】根据题意，圆的参数方程为 1 2cos 3 2sin x y         （ 为参数），则圆的普通方程为    2 21 3 4x y    ，其圆心坐标为 1,3 ，半径为 2. 直线的方程为 2 1 6 1 x t y t      （t 为参数），则直线的普通方程为  1 3 1y x   ，即 3 2 0y x   ，∴圆 心 1,3 不在直线 3 2 0y x   上. ∵圆心 1,3 到直线 3 2 0y x   的距离为  3 3 1 2 2 10 251 9 d         ，∴直线 2 1 6 1 x t y t      （t 为 参数）与圆 1 2cos 3 2sin x y         （ 为参数）相交. 故选 A. 【名师点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆 的参数方程变形为普通方程.根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线 上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心 1,3 到直线 3 2 0y x   的距离 2d  ，得到直线与圆 的位置关系为相交． 23 2．【答案】D 【名师点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题．分别化为直角坐标方程，利用两点之间的距离公式即可得出． 3．【答案】B 【解析】由 πcos 13       可得： 1 3cos sin 12 2      ， 曲线C 的直角坐标方程为 1 3 12 2x y  ，即 3 2 0x y   ， 故点 M N、 在平面直角坐标系的坐标为  2 32 0 0 3       ， ， ， ， 点 P 坐标为 31 3       ， ，则极坐标为 2 3 π 3 6P       ， . 故选 B. 【名师点睛】本题主要考查了平面直角坐标与极坐标之间的转化，只要掌握转化方法然后就可以计算出 答案，较为基础.先求出曲线C 的平面直角坐标系的方程，求出 M N、 中点在平面直角坐标系的坐标， 然后再求出其极坐标. 4．【答案】D 【解析】因为 ，所以 ,当 时，y=0，排除 C；由 ,所以 ,当 时， ;当 时， , ,故排除 A、B. 故答案为 D． 5．【答案】C 6．【答案】 学￥% 24 【解析】削去参数 ,可得 ;即直线对应的普通方程是 . 7．【答案】 【解析】由题意，消去参数 t 可得 ,则抛物线 的焦点坐标为(1,0). 8．【答案】 44 33,25 25      【解析】直线的参数方程为 35 5 43 5 x t y t        (t 为参数)，转化为普通方程为： 11 4 3 3y x  ， 圆 5  转化为普通方程为： 2 2 25x y  ， 将直线方程代入圆的方程中，整理得 225 88 104 0x x   ， 设交点为   1 1 2 2, , ,x y x y ，中点坐标为 0 0,x y ，则 1 2 0 88 4425 2 2 25 x xx    ，  1 2 1 2 0 1 2 11 4 11 4 11 2 333 3 3 3 2 2 3 3 25 x xy yy x x         ， 则线段 BC 中点的直角坐标为 44 33,25 25      . 【名师点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，以 及一元二次方程根和系数关系的应用.参数方程转化为直角坐标方程，常用方法有代入法、加减（或乘除） 消元法、三角代换法等，极坐标方程转化为直角坐标方程，常通过转化公式直接代入，或先将已知式子 变形，如两边同时平方或同时乘以  ，再代入公式.本题将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方 程转化为普通方程，再求解. 9．【答案】（1） 2 1 ；（2） 12 2 7 . 25 所以 2 2 3 : 14 3 x yC    ， 将 2 21 2: 21 2 x t C y t        （t 为参数）和 2 2 3 : 14 3 x yC    联立，得 27 2 2 10 0t t   . 所以 1 2 1 2 2 2 10,7 7t t t t    因为 1 2 0t t  ， 所以  2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 24 7PA PB t t t t t t t t         . 【思路点拨】（1）由极坐标和直角坐标的转化，参数方程和直角坐标的转化关系，可求出结果，然后再 根据直线和圆的位置关系，即可求出结果； （2）由题意得伸缩变换为 2 3 x x y y     ，得到 3C ，联立 2C 的参数方程和 3C 的直角坐标方程得 27 2 2 10 0t t   .因为 1 2 0t t  ，所以 1 2 1 2PA PB t t t t     ，利用根与系数的关系即可求出 结果. 26 10．【答案】（1） 为参数), ；（2）3. 学@# 【解析】（1）曲线 的参数方程为 为参数), ∴ . 11．【答案】（1） 2 2 2 0x y x   ， 3 cos sin 4 3     ；（2）3 3 . 【解析】（1）∵ 2cos  ， ∴ 2 2 cos   ， 27 ∴ 3 3AB  ． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题． （1）先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程 C，将直线参数方程化为普通方程，再化为 极坐标方程； （2）将 π 6   分别代入直线 l 和曲线 C 的极坐标方程求出 A，B 到原点的距离，作差得出|AB|． 12．【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）曲线 的普通方程为 . 当 时,直线 的普通方程为 . 设圆心到直线 的距离为 ,则 . 从而直线 交曲线 所得的弦长为 . （2）直线 的普通方程为 . 28 则圆心到直线 的距离 . 所以由题意知 ,所以 . 13．【答案】（1） 1C 与 2C 交点的极坐标为 11π2, 6      与 72, π6      ；（2）点 P 到l 的距离的最大值为 2 2 2 . 【思路点拨】（1）将曲线 1C ， 2C 的方程分别化为直角坐标方程和普通方程，用解方程组得到两曲线的 交点，再化为极坐标方程． 学￥% （2）先求出圆心到直线的距离，再根据几何图形求解． 14．【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】（1）消去参数 ,得直线 的普通方程为 ,斜率为 1, 所以直线 的斜率为 . 因为圆 的极坐标方程可化为 , 所以将 代入上述方程, 29 15．【答案】（1） 2cos sin x y      ；（2） 4 5 ， 4 5 5,5 5M       . 【解析】（1）由 4cos  得 2 4 cos   ， 将 2 2 2 cos x y x         代入，整理得曲线 1C 的普通方程为 2 22 4x y   ， 设曲线 1C 上的点为 ', 'x y ，变换后的点为 ,x y ， 由题可知坐标变换为 = ' 2 1 '2 x x y y   ，即 '= 2 ' 2 x x y y    ， 代入曲线 1C 的普通方程，整理得曲线 2C 的普通方程为 2 2 14 x y  ， 30 【名师点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法，考查运用动点参数法 求解问题，考查运算求解能力和数形结合思想，考查函数与方程思想. #￥网 （1）先将曲线 1C 化为普通方程，再根据坐标变换规律，即可求得曲线 2C 的普通方程和参数方程； （2）根据题意，设点   π2cos ,sin 0 2M    （ ），则 8cos 4sinl    ，利用辅助角公式化简周长l 的解析式，即可求出最大值及其对应的点 M 的坐标. 直通高考 1．【答案】1 2 【解析】因为 2 2 2 , cos , sinx y x y        ， 由 cos sin ( 0)a a      ，得 ( 0)x y a a   ， 由 =2cos  ，得 2 =2 cos   ，即 2 2 =2x y x ，即 2 21 1x y   ， ∵直线与圆相切，∴ 1 1 1 2 0 1 2. 2 a a a a         ， ， ， 【名师点睛】根据 2 2 2 , cos , sinx y x y        将直线与圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再 31 根据圆心到直线的距离等于半径解出 a. (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式 cosx   及 siny   直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 2cos , sin ,     的形式，进行整体代换.其中 方程的两边同乘以(或同除以)  及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解， 因此应注意对变形过程的检验. 2．【答案】 1 2 【名师点睛】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积 即可.处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含 有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 3．【答案】1 【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为 2 2 2 4 4 0x y x y     ，整理为   2 21 2 1x y    ， 圆心为  1,2C ，点 P 是圆外一点，所以 AP 的最小值就是 2 1 1PC r    . 【名师点睛】（1）熟练运用互化公式： 2 2 2 , sin , cosx y y x        将极坐标化为直角坐标； （2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可 转化为在直角坐标系的情境下进行． 4．【答案】2 【解析】直线为 2 3 2 1 0x y   ，圆为 2 2( 1) 1x y   ，因为圆心（1,1）到直线 2 3 2 1 0x y   的距离 3 14d   ，所以有两个交点． 32 【名师点睛】先利用公式 2 2 2cos , sin ,x y x y        把极坐标方程化为直角坐标方程，再联 立方程组根据判别式判断出交点的个数，或利用几何法进行判断．坐标系与参数方程为选修课程，要 求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换． 学￥% 5．【答案】 4 5 5 ． 【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法； （2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响． 6．【答案】（1）   2 22 4 0x y x    ；（2） 2 3 ． 【解析】（1）设 P 的极坐标为 ( , )  ( 0)  ，M 的极坐标为 1( , )  1( 0)  ， 由题设知 cosOP OM =  1 4= , = ． 由 16OM OP  得 2C 的极坐标方程 cos  4 ( 0)  ． 因此 2C 的直角坐标方程为   2 22 4 0x y x    ． （2）设点 B 的极坐标为   , 0B B    ，由题设知 2, 4cosBOA    ，于是 OAB△ 的面积 S  1 3sin 4cos | sin( ) | 2 | sin(2 ) | 2 3.2 3 3 2BOA AOB               当 12    时，S 取得最大值 2 3 ， 33 所以 OAB△ 面积的最大值为 2 3 ． 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、 距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接 利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程． 7．【答案】（1）  2 2 4 0x y y   ；（2） 5 . 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距 离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利 用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 8．【答案】（1） (3,0) ， 21 24( , )25 25  ；（2） 8a  或 16a   . 【解析】（1）曲线C 的普通方程为 2 2 19 x y  . 当 1a   时，直线l 的普通方程为 4 3 0x y   . 34 【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在 极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方 程，参数方程化为普通方程来解决. 学￥% 9．【答案】 2 3 ． 【解析】本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 因为曲线 C 的极坐标方程为 =4cos  ， 所以曲线 C 的圆心为（2，0），直径为 4 的圆． 因为直线 l 的极坐标方程为 πsin( ) 26    ， 则直线 l 过 A（4，0），倾斜角为 π 6 ， 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点． 设另一个交点为 B，则∠OAB= π 6 ． 连结 OB，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π 2 ， 35 所以 π4cos 2 36AB   ． 因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3 ． 10．【答案】（1） 2 2( 1) 4x y   ；（2） 4 | | 23y x   ． 11．【答案】（1）见解析；（2）−2. 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为 2 2 14 16 x y  ． 当 cos 0  时，l 的直角坐标方程为 tan 2 tany x     ， 36 当 cos 0  时，l 的直角坐标方程为 1x  ． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0t t       ．① 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点 (1,2) 在C 内， 所以①有两个解，设为 1t ， 2t ，则 1 2 0t t  ． 又由①得 1 2 2 4(2cos sin ) 1 3cost t        ， 故 2cos sin 0   ， 于是直线l 的斜率 tan 2k    ． 12．【答案】（1） ( , )4 4   ；（2） 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y         ( 为参数， 4 4    ) ． 【解析】（1） O 的直角坐标方程为 2 2 1x y  ． 于是 2 2 sinA Bt t   ， 2 sinPt  ． 又点 P 的坐标 ( , )x y 满足 cos , 2 sin . P P x t y t       37 所以点 P 的轨迹的参数方程是 2 sin 2 ,2 2 2 cos22 2 x y         ( 为参数， 4 4    ) ．