考点 15 三角恒等变换
1．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公
式，了解它们的内在联系.
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要
求记忆）.
一、两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1） ( )C ： cos( ) cos cos sin sin
（2） ( )C ： cos( ) cos cos sin sin
（3） ( )S ：sin( ) sin cos cos sin
（4） ( )S ：sin( ) sin cos cos sin
（5） ( )T ： tan( ) tan tan π( , , π, )1 tan tan 2 k k
Z
（6） ( )T ： tan( ) tan tan π( , , π, )1 tan tan 2 k k
Z
2．二倍角公式
（1） 2S ：sin 2 2sin cos
（2） 2C ： cos2 2 2 2 2cos sin 1 2sin 2cos 1
（3） 2T ： tan 2 2
2tan π π π( π , )1 tan 2 2 4
kk k Z且
3．公式的常用变形
（1） tan tan tan( )(1 tan tan ) ； tan tan tan tantan tan 1 1tan( ) tan( )
（2）降幂公式： 2 1 cos2sin 2
； 2 1 cos2cos 2
； 1sin cos sin 22
（3）升幂公式： 21 cos2 2cos ； 21 cos2 2sin ； 21 sin 2 (sin cos ) ；
21 sin 2 (sin cos )
（4）辅助角公式： sin cosa x b x 2 2 sin( )a b x ，其中
2 2 2 2
cos ,sina b
a b a b
，
tan b
a
二、简单的三角恒等变换
1．半角公式
（1）sin 2
1 cos
2
（2） cos 2
1 cos
2
（3） tan 2
1 cos sin 1 cos
1 cos 1 cos sin
【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：
2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）
（1）积化和差公式：
1cos cos [cos( ) cos( )]2
；
1sin sin [cos( ) cos( )]2
；
1sin cos [sin( ) sin( )]2
；
1cos sin [sin( ) sin( )]2
.
（2）和差化积公式：
sin sin 2sin cos2 2
；
sin sin 2cos sin2 2
；
cos cos 2cos cos2 2
；
cos cos 2sin sin2 2
.
考向一 三角函数式的化简
1．化简原则
（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；
（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
2．化简要求
（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
（2）式子中的分母尽量不含根号.学+科网
3．化简方法
（1）切化弦；
（2）异名化同名；
（3）异角化同角；
（4）降幂或升幂．
典例 1 化简： .
【解析】原式
.
【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，
切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
(3)在化简时要注意角的取值范围.
1． 2 2cos8 2 1 sin8 的化简结果为________．
考向二 三角函数的求值问题
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊
角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊
角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是 π(0, )2
，则选正、余弦皆可；若角的范
围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为 π π( , )2 2
，则选正弦较好.
4．常见的角的变换
（1）已知角表示未知角
例如： ， 2 ,2 ，
(2 ) ， (2 ) ，
2 2
，
2 2
.
（2）互余与互补关系
例如： π 3π( ) ( ) π4 4
， π π π( ) ( )3 6 2
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.
典例 2 求下列各式的值：
（1）cos π
8 +cos 3π
8 -2sin π
4 cos π
8 ;
（2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.
【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如
和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.
2．
o o
o
2cos55 3sin5
cos5
的值为__________．
典例 3 已知 tan(α−β)= ,tan β=− ,且α,β∈(0,π),则 2α−β=
A． π
4 B． π
4
C． 3π
4
D． π
4
或 3π
4
【答案】C
【解析】因为 tan 2(α−β)=
2
2
122tan 42
11 tan 31 ( )2
,
所以 tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=
4 1
tan2 tan 3 7
4 11 tan2 tan 1 3 7
=1.
又 tan α=tan[(α−β)+β]=
1 1
tan tan 12 7
1 11 tan tan 31 2 7
,
又α∈(0,π),所以 0
微信/支付宝扫码支付