考点 20 数列的概念与简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.
一、数列的相关概念
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项，排在第二
位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项．所以，数列的一般形式可以写
成 1 2 3, , , , , ,na a a aL L 简记为 na ．
2．数列与函数的关系
数列可以看成定义域为正整数集 *N (或它的有限子集 1,2,{ },n )的函数 na f n ，当自变量按照由小到
大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最
小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集 1,2,{ },n ）这一条件.
3．数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的
个数
有穷数列 项数有限的数列，如数列 1，2，3，4，5，7，8，9，10
无穷数列 项数无限的数列，如数列 1，2，3，4，…
按项的变 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，如数列 1，3，5，7，9，…
化趋势 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，如数列 10，9，8，7，6，5，…
常数列 各项都相等的数列，如数列 2，2，2，2，…
摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如 1，2，1，2
按项的有
界性
有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…
无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如 2，4，6，8，10，…
二、数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况．
（2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列 na 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做
这个数列的通项公式，即 ( )na f n ．学@科网
②递推公式：如果已知数列 na 的第一项(或前几项)，且任一项 na 与它的前一项 1na (或前几项)间的
关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相
应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点．
三、数列的前 n 项和与通项的关系
数列的前 n 项和通常用 nS 表示，记作 1 2n nS a a a ，则通项 1
1, 2n
n n
Sa S S n
．
若当 2n 时求出的 na 也适合 1n 时的情形，则用一个式子表示 na ，否则分段表示．
考向一 已知数列的前几项求通项公式
1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)
等方法．
具体策略：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用 ( )1 k 或 *1 1,( )k k N 处理．
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.
2．常见的数列的通项公式：
（1）数列 1，2，3，4，…的通项公式为 na n ；
（2）数列 2，4，6，8，…的通项公式为 2na n ；
（3）数列 1，4，9，16，…的通项公式为 2
na n ；
（4）数列 1，2，4，8，…的通项公式为 2n
na ；
（5）数列 1， 1
2
， 1
3
， 1
4
，…的通项公式为 1
na n
；
（6）数列 1
2
， 1
6
， 1
12
， 1
20
，…的通项公式为 1
( 1)na n n
．
3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变
化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．
典例 1 写出下面数列的一个通项公式.
（1）8,98,998,9998, …;
（2） 1
2 , 1
4 , 5
8
, 13
16 ,…;
（3）1,6,12,20,….
【解析】（1）各项分别加上 2,即得数列:10,100,1000,10000, …，
故数列的一个通项公式为 an=10n-2.
（2）各项的分母依次为:21,22,23,24, …，
容易看出第 2,3,4 项的分子比相应分母小 3,
再由各项的符号规律,把第 1 项变形为 1
2
，既符合符号变化的规律,也满足了分子与分母之间的关系,
故数列的一个通项公式为 2 31 2
n
n
n na .
（3）容易看出第 2,3,4 项满足规律:项的序号×(项的序号+1).
而第 1 项却不满足,因此考虑分段表示，
即数列的一个通项公式为
1, 1
1 , 2n
na n n n
.
典例 2 如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷
砖_______块．（用含 n 的代数式表示）
【答案】4n+8
【解析】根据题目给出的图，我们可以看出：
（1）图中有黑色瓷砖 12 块，我们把 12 可以改写为 3×4；
（2）图中有黑色瓷砖 16 块，我们把 16 可以改写为 4×4；
1．已知 *nN ，给出 4 个表达式：① 0,
1,n
na
n
为奇数
为偶数
，② ，③ ，④ .
其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
考向二 利用 na 与 nS 的关系求通项公式
已知 nS 求 na 的一般步骤：
（1）先利用 1 1a S 求出 1a ；
（2）用 1n 替换 nS 中的 n 得到一个新的关系，利用 1, 2n nn Sa S n 便可求出当 2n 时 na 的表达式；
（3）对 1n 时的结果进行检验，看是否符合 2n 时 na 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式
合写；如果不符合，则应该分 1n 与 2n 两段来写.
利用 1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n
求通项公式时，务必要注意 2n 这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这
两种情况能否整合在一起．
典例 3 在数列 中， ， ，数列 的前 项和 （ ， 为常数）.
（1）求实数 ， 的值；
（2）求数列 的通项公式.
【解析】（1）由题意得 ， ，
解方程组 ，得 ，
∴ ．
（2）由（1）得 ．
当 时， ，
又当 时， 不满足上式，
∴ ．
典例 4 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 1a ，
1
11 2n n
n nnS n S
， *n N ．
（1）求 2a 的值；
（2）求数列 na 的通项公式．
【解析】（1）∵ 1 1a ,
1
11 2n n
n nnS n S
,∴ 2 1
1 22 12S S ．
∴ 2 1 11 2 1 2 3S S a ，∴ 2 2 1 2a S a ．
而 1 1a 适合上式，
∴ na n ．
2．设数列 满足 .
（1）求 及 的通项公式;
（2）求数列
2 1
na
n
的前 项和.
考向三 由递推关系式求通项公式
递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难
度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解.
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：
（1） 1 ( )n na a f n ：常用累加法，即利用恒等式 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a 求通项
公式．
（2） 1 ( )n na f n a ：常用累乘法，即利用恒等式 32
1
1 2 1
n
n
n
a aaa a a a a
求通项公式．
（ 3 ） 1n na pa q （ 其 中 ,p q 为 常 数 ， 0,1p ）： 先 用 待 定 系 数 法 把 原 递 推 公 式 转 化 为
1 ( )n na k p a k ，其中
1
qk p
，进而转化为等比数列进行求解．
（4） 1
n
n na pa q ：两边同时除以 1nq ，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解；两边同时除
以 1np ，然后可转化为类型 1，利用累加法进行求解．
（5） 1n na pa qn t ：把原递推公式转化为 1 ( )n na xn y p a xn y ，解法同类型 3．
（6） 1
r
n na pa ：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解．
（7） 1
n
n
n
paa qa r ：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解．
（8） 1 ( )n na a f n ：易得 2 ( 1) ( )n na a f n f n ，然后分 n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
（9） 1 ( )n na a f n ：易得 2 ( 1)
( )
n
n
a f n
a f n
，然后分 n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．
典例 5 已知数列{an}中,a1=1,an=n(an+1-an)(n∈ *N ).求数列{an}的通项公式.
【解析】方法一(累乘法)
∵an=n(an+1-an),即 1 1n
n
a n
a n
,
∴ 2
1
2
1
a
a
, 3
2
3
2
a
a
, 4
3
4
3
a
a
,…,
1 1
n
n
a n
a n
(n≥2).
以上各式两边分别相乘,得
1
2 3 4
1 2 3 1
na n
a n
.
又 a1=1,∴an=n(n≥2).
∵a1=1 也适合上式,∴an=n.
方法二(迭代法)
由
1 1
n
n
a n
a n
知, 2
1
2
1
a
a
, 3
2
3
2
a
a
, 4
3
4
3
a
a
,…,
则 an=a1× ×…× =1× ×…× =n.
典例 6 在数列 na 中， 1 1a ， 1
11 1 2n
n na a nn
.
（1）设 n
n
ab n
，求数列 nb 的通项公式；
（2）求数列 na 的前 n 项和 nS .
【解析】（1）由已知有 1 21
nn na a
n n
，∴ 1 2n
n nb b ，
∴ 1
1 2 2n
n nb b n
，
∴ 1 1 2 3 2 2 1 1n n n n nb b b b b b b b b b 1 2 22 2 2 2 1n n
1 2 2 1 21 2
n
n n
，
又当 1n 时， 1 1 1b a ，满足上式．
∴ 2 1n
nb ( *nN ) ．学=科网
（2）由（1）知 2n
na n n ，
∴ 2 31 2 2 2 3 2 2 1 2 3n
nS n n ，
而 11 2 3 12n n n ，
令 2 31 2 2 2 3 2 2n
nT n ①，
∴ 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n
nT n ②，
①-②得
2 3 12 2 2 2 2n n
nT n
12 1 2
21 2
n
nn
12 1 2nn ．
∴ 12 1 2n
nT n ．
∴ 1 12 1 2 2
n
n
n nS n ．
3．在数列 中， ， ， ， 为常数， ．
（1）求 的值；
（2）设 ，求数列 的通项公式.
考向四 数列的性质
数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期
性等.
1．数列的周期性
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．数列的单调性
（1）数列单调性的判断方法：
①作差法： 1 0n na a 数列{ }na 是递增数列；
1 0n na a 数列{ }na 是递减数列；
1 0n na a 数列{ }na 是常数列．
②作商法：当 0na 时， 1 1n
n
a
a
数列{ }na 是递增数列；
1 1n
n
a
a
数列{ }na 是递减数列；
1 1n
n
a
a
数列{ }na 是常数列．
当 0na 时， 1 1n
n
a
a
数列{ }na 是递减数列；
1 1n
n
a
a
数列{ }na 是递增数列；
1 1n
n
a
a
数列{ }na 是常数列．
（2）数列单调性的应用：
①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．
②根据 1
1
k k
k k
a a
a a
可求数列中的最大项；根据 1
1
k k
k k
a a
a a
可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对
应的项的大小即可．
（3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法：
①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其
转化为最值问题处理；
②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数
的取值范围，但要注意数列通项中 n 的取值范围．
典例 7 已知数列{ }na ，其通项公式为 2 *3 ( )na n n n N ，判断数列{ }na 的单调性．
（注：这里要确定 na 的符号，否则无法判断 +1na 与 na 的大小）
方法三：令 23y x x ，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为 1 16x ，
则函数 23y x x 在 1( , )6
上单调递增，故数列{ }na 是递增数列．
典例 8 已知正项数列 的前 项和为 ，且 对任意 恒成立.
（1）证明： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）若 ，数列 是递增数列，求 的取值范围.
【解析】（1）由 ，
得 ，
两式相减得 .
又 ，所以 ，即 ，
当 时， ，得 ，也满足 ，
所以 .
（3）因为 ， ，所以 .
所以 对任意 恒成立，
所以 ，得 .
故 的取值范围是 ( 4, ) .
4．在数列 中, ,若 ,则 的值为
A． B．
C． D．
5．已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足： 1 1n na a S S .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 0na ，数列 2log 32
na
的前 n 项和为 nT ，试问当 n 为何值时， nT 最小？并求出最小值.
1．在数列 1,2, ,…中, 是这个数列的第
A．16 项 B．24 项
C．26 项 D．28 项
2．数列 1
3
, 1
3
, 5
27
, 7
81
,…的一个通项公式是
A．an=(-1)n+1 2 1
3
n
n
B．an=(-1)n 2 1
3
n
n
C．an=(-1)n+1 2 1
3n
n
D．an=(-1)n 2 1
3n
n
3．若数列 中, ,则 的值为
A． B．
C． D．
4．若数列 的前 项和 ,则它的通项公式是
A． B．
C． D．
5．如图，给出的 3 个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前 3 项，则这个数列的一个通项公式是
A． 2 1n B．3n
C．
2 2
2
n n D．
2 3 2
2
n n
6．在数列 中 = = 则 ＝
A． B．
C． D．
7．已知数列 的通项为 2 58n
na n
，则数列 的最大值为
A． 1
2 58
B． 7
107
C． 4
61 D．不存在
8．已知函数 =
6
3 3, 7
, 7x
a x x
a x
,若数列{ }满足 = ,且{ }是递增数列,则实数 a 的取值
范围是
A． B．
C． 9 ,34
D． 9 ,34
9．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学
问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第 n
个图形中有_________个正方形.
10．若数列 na 满足 2,1
1
81 aaa
n
n ，则 1a ___________．
11．已知数列 的前 项和为 ,且 =
2 13
n ，则 ．
12．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数 n(n≥1)，都有 2
na n n 恒成立，则实数λ的取值范围为
__________. 学科#网
13 ． 已 知 首 项 为 2 的 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ， 若 数 列 满 足
*
1
13 2 12n nn
nb a n
N ，则数列 中最大项的值为__________．
14．已知数列{an}的通项公式为 an=3n2-28n.
(1)写出数列的第 4 项和第 6 项;
(2)-49 是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68 是否为该数列的一项呢?
15．已知数列{an}的通项公式 an=n2-7n-8.
（1）数列中有多少项为负数?
（2）数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项.
16．已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 *2 1n nS a n N ．
（1）求 1a ， 2a ， 3a 的值；
（2）已知数列 nb 满足 1 2b ， 1n n nb a b ，求数列 nb 的通项公式．
17．已知数列 na 满足 1
1
2a ，其前 n 项和 2
n nS n a ，求其通项公式 na ．
18．设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 .
1．（2015 江苏）数列 满足 且 ,则数列 1
na
的前 10 项和为 .
2．（2017 新课标全国Ⅲ文科节选）设数列{ }na 满足 1 23 (2 1) 2na a n a n ，求{ }na 的通项公式.
3．（2018 新课标全国Ⅰ文科）已知数列 na 满足 1 1a ， 1 2 1n nna n a ，设 n
n
ab n
．
（1）求 1 2 3b b b， ， ；
（2）判断数列 nb 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 na 的通项公式．
变式拓展
1．【答案】A
【解析】①②③逐一写出为 0，1，0，1，0，1，0，1，…，④逐一写出为 ，不满
足，故选 A.
2．【解析】（1）令 ，则 .
令 ，则 ，
故 .
，①
时， ，②
① ②得： .
又 时， 满足上式，
.
3．【解析】（1）将 代入 ，得 ，
由 ， ，得 ．
（2）由 ，得 ，
即 ．
当 时，
1
1
1 113 3 1 1
1 2 2 31 3
n
n
，
因为 ，所以 ．
因为 也适合上式，
所以 ．
4．【答案】B
【解析】由题意得 , , , , ,所以数列 是周期为 4
的周期数列，所以 .选 B．
5．【解析】（1）由已知 1 1n na a S S ，可得
当 1n 时， 2
1 1 1a a a ，可解得 1 0a 或 1 2a ，
当 2n 时，由已知可得 1 1 1 1n na a S S ，
两式相减得 1 1n n na a a a .
若 1 0a ，则 0na ，此时数列 na 的通项公式为 0na .
若 1 2a ，则 12 n n na a a ，化简得 12n na a ，
即此时数列 na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
故 2n
na .
综上所述，数列 na 的通项公式为 0na 或 2n
na .
考点冲关
1．【答案】C
【解析】数列 1,2, ,…可化为 , ,…,则
由 ,解得
3．【答案】C
【解析】因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,即奇数项、
偶数项构成的数列均为常数列,又 ,所以
4．【答案】B
【解析】当 时， ，当 n=1 时， ，满足上式，
所以数列的通项公式为 .故选 B．
5．【答案】D
【解析】由题意知 1 1n na a n ，根据累加法得 1 2 1 1( ) ( 3) 3 4 5n n na a a a a a
1n ＝
2 3 2
2
n n ，故选 D.
6．【答案】A
【解析】因为 = = 所以
所以 = = = .
7．【答案】C
【解析】 2 58n
na n
= 1 1
58 2 58n n
，但 ，则 1
2 58
取不到，又 7 2
7
7 58a = 7
107
，
8 2
8
8 58a = 4
61
，a7＜a8，∴数列{an}的最大项为 a8
4
61
．故选 C．
8．【答案】B
【解析】因为{ }是递增数列,所以函数 单调递增.当 时, = 单调递增,可得 ,
解得 ;当 时, = 单调递增,可得 ，所以 .而{ } 是递增数列,所以
= ，解得 ，所以 2 3a ,即实数 a 的取值范围是 .故选 B.
9．【答案】 1
2
n n
【解析】设数列为 ，由图知， 所以由此猜想：
11 2 3 2n
n na n
,故填 1
2
n n
.学科网
10．【答案】 1
2
【解析】由已知得
1
11n
n
a a
， 8 2a ，所以 7
8
1 11 2a a
， 6
7
11 1a a
， 5
6
11 2a a
，
4
5
1 11 2a a
， 3
4
11 1a a
， 2
3
11 2a a
， 1
2
1 11 2a a
．
11．【答案】 1
5 , 13
1 2 , 23 3
n
n
n
【解析】n=1 时,
时,
11 2
3 3
n ,
所以 1
5 , 13
1 2 , 23 3
n
n
n
.
12．【答案】(-3,+∞)
【解析】由{an}为递增数列,得 an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0 恒成立,即λ>-2n-1 在 n≥1 时恒成
立,令 f(n)=-2n-1,n∈ *N ,则 f(n)max=-3.
只需λ>f(n)max=-3 即可.故实数λ的取值范围为(-3,+∞).
13．【答案】43
∴数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，
∴ ， ，
∴ ，
又∵二次函数开口向下，对称轴为 ，
∴当 时， 最大，最大值为 43，故答案为 43.
14．【解析】(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.
(2)令 3n2-28n=-49,解得 n=7 或 n= (舍去),
∴n=7,即-49 是该数列的第 7 项.
令 3n2-28n=68,解得 n= 或 n=-2.
∵
∉
N*,-2
∉
N*,
∴68 不是该数列的项.
16．【解析】（1） 1 1a ， 2 2a ， 3 4a .
（2）因为 *2 1n nS a n N ，所以，当 2n 时，有 1 12 1n nS a ，
则 12 2 2n n na a a n ，即 12n na a 2 .n
所以 na 是以1为首项， 2 为公比的等比数列，
所以 12n
na .
因为 1n n nb a b ，所以 1
1 2n
n nb b
.
则 0
2 1 2b b ，
1
3 2 2b b ，
.
2
1 2n
n nb b
，
以上 1n 个式子相加得： 1
1
1 1 2
1 2
n
nb b
，
又因为 1 2b ，所以 1 *2 1n
nb n N .
17．【解析】因为 2
n nS n a ①，所以 2
1 1( 1) ( 1, )n nS n a n n *N ②，
① ② 得 2 2
1= ( 1)n n na n a n a ，
即
1
1( 1, )1
n
n
a n n na n
*N ．
故 2
1
a
a
3
2
a
a
4
3
a
a
L
1
n
n
a
a
1 2 3 4 2 1
3 4 5 6 1
n n
n n
L ，即 1
2
1
na
a n n
，
又 1
1 ,2a 所以 na
1
1n n ( 1, )n n *N ，
当 n=1 时， 1
1 1
1 1 1 2a
成立，
所以
1 ( )1na nn n
*N ．
18．【解析】（1）∵点 , nSn n
在函数 的图象上，
，
∴ .
当 ，
经检验：n=1 时满足上式，
.
（2）易知 1
3 3 1 1 1
6 5 6 1 2 6 5 6 1n
n n
b a a n n n n
，
则
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 7 7 13 13 19 6 5 6 1n n
1 112 6 1n
3
6 1
n
n
.
直通高考
1．【答案】 20
11
【解析】因为 且 ，所以
,则
1 1 12 1na n n
,
所以数列 的前 10 项和为 1 1 1 1 1 202 1 2 22 2 3 10 11 11
.
3．【解析】（1）由条件可得 an+1= 2( 1)
n
n an
．
将 n=1 代入得，a2=4a1，
而 a1=1，所以，a2=4．
将 n=2 代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而 b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
由条件可得 1 2
1
n na a
n n
，即 bn+1=2bn，
又 b1=1，所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
（3）由（2）可得 12nna
n
，所以 an=n·2n-1．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根
据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是
等比数列，根据等比数列通项公式求得数列 的通项公式，借助于 的通项公式求得数列 的通项
公式，从而求得最后的结果.
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