（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
（2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
（3）理解数形结合的思想.
（4）了解双曲线的简单应用.
一、双曲线的定义和标准方程
1．双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫
做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言： 1 2 1 22 0 2，MF MF a a F F .学科&网
（3）当 1 2 2MF MF a 时，曲线仅表示焦点 2F 所对应的双曲线的一支；
当 1 2 2MF MF a 时，曲线仅表示焦点 1F 所对应的双曲线的一支；
当 1 2| |2a F F 时，轨迹为分别以 F1，F2 为端点的两条射线；
当 1 2| |2a F F 时，动点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程有两种形式：
（1）焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(－c，0)，F2(c，0)，
焦距为 2c，且 2 2 2c a b ，如图 1 所示；
（2）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为
2 2
2 2 1y x
a b
(a＞0，b＞0)，焦点分别为 F1(0，－c)，F2(0，c)，
焦距为 2c，且 2 2 2c a b ，如图 2 所示．
图 1 图 2
注：双曲线方程中 a，b 的大小关系是不确定的，但必有 c＞a＞0，c＞b＞0．
3．必记结论
（1）焦点到渐近线的距离为 b.
（ 2 ） 与 双 曲 线
2 2
2 2 1x y
a b
(a ＞ 0 ， b ＞ 0) 有 共 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为
2 2
2 2 ( 0, 0, 0)x y a ba b
．
（3）若双曲线的渐近线方程为 ny xm
，则双曲线方程可设为
2 2
2 2 ( 0, 0, 0)x y m nm n
或
2 2 2 2 ( 0, 0, 0)mn x m y n ．
（4）与双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为
2 2
2 2 1( 0, 0,x y a ba k b k
2 2 )b k a ．
（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 2 2 1 0mx ny mn ．
（ 6 ） 与 椭 圆
2 2
2 2 1x y
a b
(a>b>0) 有 共 同 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为
2 2
2 2 1( 0,x y a ba b
2 2 )b a ．
二、双曲线的几何性质
1．双曲线的几何性质
标准方程
2 2
2 2 1x y
a b
(a＞0，b＞0)
2 2
2 2 1y x
a b
(a＞0，b＞0)
图形
范围 | |x a ， yR | |y a ， xR
对称性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点
焦点 左焦点 F1(－c，0)，右焦点 F2(c，0) 下焦点 F1(0，－c)，上焦点 F2(0，c)
顶点 1 2( ,0), ( ,0)A a A a 1 2(0, ), (0, )A a A a
轴
线段 A1A2 是双曲线的实轴，线段 B1B2 是双曲线的虚轴；
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线 by xa
ay xb
离心率 e 2
2
c ce a a
( 1)e
2．等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为 2 2 ( 0)x y ；
（2）渐近线方程为 y x ，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于 2a ，离心率 e 2 ．
考向一 双曲线的定义和标准方程
1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值
为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同
时注意定义的转化应用．
2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意 a、b、c 的关系易错易混.
典例 1 已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2=
A． 1
4 B． 3
5
C． 3
4 D． 4
5
【答案】C
∴cos∠F1PF2=
2 2 2
1 2 1 2
1 2
| | | |
2
PF PF F F
PF PF
=
32 8 16 3
42 4 2 2 2
.
典例 2 已知 F 为双曲线 的左焦点， 为 上的点．若 的长等于虚轴长的 2 倍，点
在线段 上，则 的周长为__________．
【答案】44
【解析】易知双曲线 的左焦点为 ，
点 是双曲线的右焦点，虚轴长为 ，学科&网
双曲线的图象如图：
1．若双曲线
2 2
4 12
x y =1 的左焦点为 F，点 P 是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|+|PA|的最小值是
________.
考向二 求双曲线的方程
求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y
轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的 2 2,a b 的值，最后写出双曲线
的标准方程.
在 求 双 曲 线 的 方 程 时 ， 若 不 知 道 焦 点 的 位 置 ， 则 进 行 讨 论 ， 或 可 直 接 设 双 曲 线 的 方 程 为
2 2 1( 0)Ax By AB .
典例 3 已知双曲线 与双曲线 的焦点重合， 的方程为 ，若 的一条渐近线的倾斜角是 的
一条渐近线的倾斜角的 倍，则 的方程为__________________.
【答案】
2
2 13
yx
典例 4 如图,已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的
轨迹方程.
2．已知 1 2,F F 分别是双曲线 E：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0, 0)a b 的左、右焦点，P 是双曲线上一点， 2F 到左顶点
的距离等于它到渐近线距离的 2 倍.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当 1 2 60F PF 时， 1 2PF F△ 的面积为 48 3 ，求此双曲线的方程.
考向三 双曲线的渐近线
对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：
（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定 a,b 的关系，结合已知条件可解.
典例 5 已知 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0, 0)a b 的左、右焦点， 1F 的坐标为 7,0 ，若
双曲线的右支上有一点 P ，且满足 1 2 4PF PF ，则该双曲线的渐近线方程为
A． 3
2y x B． 2 3
2y x
C． 3
4y x D． 4
3y x
【答案】A
【解析】∵ 1F 的坐标为（ ，0），∴c= ，
∵双曲线的右支上有一点 P，满足 1 2 4PF PF ，
∴2a=4，即 a=2，
则 b2=c2﹣a2=7﹣4=3，即 b= ，
则双曲线的渐近线方程为 3
2y x ，故选 A.学科&网
典例 6 如图,已知 F1、F2 分别为双曲线 C:
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点,P 为第一象限内一点,且
满足|F2P|=a,( + )· =0,线段 F2P 与双曲线 C 交于点 Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线 C 的渐近线方程为
A．y=± 5
5
x B．y=± 1
2 x
C．y=± 3
2
x D．y=± 3
3
x
【答案】B
在 1 2△FQF 中,由余弦定理得,
2 2 2
2 2 2
1 2 2 1
1 2
1 2 2
112 ( ) ( )| | | | | 5 5cos 4
|
2 2 2 5
a acF F F Q FQ aF F Q a cF F F Q c
,整
理可得 4c2=5a2,学科&网
所以 = = -1= ,
故双曲线 C 的渐近线方程为 y=± 1
2 x.
3．已知双曲线 ：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
，过左焦点 的直线切圆 于点 ，交双曲线 的右支
于点 ，若 ，则双曲线 的渐近线方程为
A． B．
C． 1
2y x D． 3
2y x
考向四 双曲线的离心率
1.求双曲线的离心率一般有两种方法：
（1）由条件寻找 ,a c 满足的等式或不等式，一般利用双曲线中 a b c， ， 的关系 2 2 2c a b 将双曲线的离
心率公式变形，即
2
2 2
2
11
1
c be a a b
c
，注意区分双曲线中 a b c， ， 的关系与椭圆中 a b c， ， 的关
系，在椭圆中 2 2 2a b c ，而在双曲线中 2 2 2c a b .
（2）根据条件列含 ,a c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式 ce a
转化为含 e 或 2e 的方程，求解可得，
注意根据双曲线离心率的范围 1( )e , 对解进行取舍.
2.求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合 2 2 2c a b 和 ce a
，得到关于 e 的不等式，求解即
得.注意区分双曲线离心率的范围 1( )e , ，椭圆离心率的范围 )1(0e ， .另外，在建立关于 e 的不等式时，
注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
典例 7 设 F1、F2 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点.若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90°,
且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于
A． 5
2
B． 10
2
C． 15
2
D． 5
【答案】B
【解析】由 1 2
1 2
2
3
AF AF a
AF AF
⇒
,
由∠F1AF2=90°,得 2 2 2
1 2 1 2AF AF F F ,
即(3a)2+a2=(2c)2,
得 e= 10
2
,选 B.
典例 8 已知 F1、F2 分别为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 P，使
得
2
2
1
| |PF
PF =8a,则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】(1,3]
4．已知点 P 为双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
右支上一点，点 1 2,F F 分别为双曲线的左、右焦点，点 I 是
1 2PF F△ 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有
1 2 1 2
1
3IPF IPF IF FS S S △ △ △ 成立，则双曲线离心率的取
值范围是
A． 1,2 B． 1,2
C． 0,3 D． 1,3
5．已知 1F 、 2F 分别是双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的左、右焦点，点 P 在双曲线上，若 1 2 0PF PF ，
1 2PF F△ 的面积为9 ，且 7a b ，则该双曲线的离心率为______________.
1．在平面直角坐标系中,F1(-2,0),F2(2,0),动点 P 满足||PF1|-|PF2||=3,则动点 P 的集合是
A．两条射线 B．以 F1,F2 为焦点的双曲线
C．以 F1,F2 为焦点的双曲线的一支 D．不存在
2．方程
2 2
12 3
x y
m m
表示双曲线的一个充分不必要条件是
A． B．
C． D．
3．双曲线
2
2 13
yx 的渐近线方程为
A． B．
C． 1
3y x D． 3
3y x
4．已知双曲线 的右焦点在直线 上，则实数 的值为
A． B．
C． D．
5．若双曲线
2 2
2 1 016
x y aa
的离心率为 5
3
，则该双曲线的焦距为
A．10 B． 6
C．8 D．5
6．已知点 1 2,F F 分别为双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且
满足 2 1 2 1 2, 120PF F F F F P ，则双曲线的离心率为
A． 3 1
2
B． 5 1
2
C． 3 D． 5
7．设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 ，满足
，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
8．设 、 分别是双曲线 C： 的左、右焦点，点 在双曲线 C 的右支上，且 ，则
A． B．
C． D．
9．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左焦点为 F，离心率为 ，若经过 和 两点的直线平行于
双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． 2 2 1x y B．
2 2
12 2
x y
C．
2 2
14 4
x y D．
2 2
18 8
x y
10．已知方程
2 2
1x y
a b
和 1x y
a b
(其中 ab≠0 且 a≠b),则它们所表示的曲线可能是
11．设 ， 是离心率为 5 的双曲线 的两个焦点，是双曲线上的一点，且 ，则
的面积等于
A． B．
C．24 D．48
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还
提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设 、 分别是双曲线
， 的左、右焦点， 是该双曲线右支上的一点，若 分别是 的
“勾”“股”，且 ，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
13．已知 O 是坐标原点，双曲线
2
2 1( 1)x y aa
与椭圆
2
2 1( 1)2
x y aa
的一个交点为 P，点
，则 的面积为
A． B．
C． D．
14．过点 且和双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程为__________．
15．设 分别是双曲线 的左、右焦点， 为左顶点，点 为双曲线 右支上一
点， ， ， ， 为坐标原点，则 __________．
16．已知离心率 5
2e 的双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的右焦点为 ， 为坐标原点，以 为直径的
圆与双曲线 的一条渐近线相交于 两点.若 AOF△ 的面积为 1，则实数 的值为___________.
17．已知点 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左，右焦点，过 1F 且垂直于 x 轴的直线与双曲
线交于 ,A B 两点，若 2ABF△ 是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是________________．
18．已知 是双曲线
2
2: 14
yC x 的右焦点, 的右支上一点 到一条渐近线的距离为 2,在另一条渐近线上有
一点 满足 ,则 ___________.
19．若双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率为 ，双曲线
2 2
2 2 1x y
b a
的离心率为 ，则 的最小值为
___________.
20．已知 F1、F2 分别是双曲线 的左、右焦点，且双曲线 C 的实轴长为 6，离心率为
．
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）设点 P 是双曲线 C 上任意一点，且|PF1|=10，求|PF2|．
21．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 ， 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点 在第一象限且是渐近线上的点，当 时，求点 的坐标．
22．已知双曲线
2
2: 4
xC y = ,P 是 C 上的任意一点.
(1)求证:点 P 到 C 的两条渐近线的距离之积是一个常数;
(2)设点 A 的坐标为 ,求 的最小值.
23．已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在坐标轴上，离心率 e= ，且过点(4, ).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: .
24．已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 2 24 9 36x y 有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若点 M 在双曲线上, 1 2,F F 是双曲线的左、右焦点，且 1 2 6 3MF MF ，试判断 1 2MF F△ 的形
状.
1．（2018 浙江）双曲线
2
2 13
x y 的焦点坐标是
A．(− 2 ，0)，( 2 ，0)
B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，− 2 )，(0， 2 )
D．(0，−2)，(0，2)
2．（2017 新课标全国 II 文科）若 1a ，则双曲线
2
2
2 1x ya
的离心率的取值范围是
A． ( 2, ) B． ( 2,2)
C． (1, 2) D． (1,2)
3．（2018 新课标全国Ⅱ文科）双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 3 ，则其渐近线方程为
A． 2y x B． 3y x
C． 2
2y x D． 3
2y x
4．（2018 新课标全国Ⅲ文科）已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的离心率为 2 ，则点 (4,0) 到C 的
渐近线的距离为
A． 2 B． 2
C． 3 2
2
D． 2 2
5．（2017 新课标全国 I 文科）已知 F 是双曲线 C： 13
2
2 yx 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂
直，点 A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为
A． 1
3 B． 1 2
C． 2 3 D． 3 2
6．（2018 天津文科）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率为 2 ，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与
双曲线交于 A ， B 两点．设 A ， B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 1d 和 2d ，且 1 2 6d d ，则
双曲线的方程为
A．
2 2
13 9
x y B．
2 2
19 3
x y
C．
2 2
14 12
x y D．
2 2
112 4
x y
7．（2016 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2 2
17 3
x y 的焦距是_______________．
8．（2018 北京文科）若双曲线
2 2
2 1( 0)4
x y aa
的离心率为 5
2
，则 a ________________．
9 ． （ 2017 新 课 标 全 国 III 文 科 ） 双 曲 线
2 2
2 19
x y
a
（ a>0 ） 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 3
5y x ， 则
a=_______________．
10．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2
2 13
x y 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ，
Q ，其焦点是 1 2,F F ，则四边形 1 2F PF Q 的面积是_______________．
11．（2018 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右焦点 ( ,0)F c 到一条渐
近线的距离为 3
2 c ，则其离心率的值是________________．
12．（2017 山东文科）在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b
， 的右支与焦点为 F 的抛
物线 2 2 ( 0)x py p 交于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_______________．
13．（2016 浙江文科）设双曲线 x2–
2
3
y =1 的左、右焦点分别为 F1，F2.若点 P 在双曲线上，且△ F1PF2 为
锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是_______________．
变式拓展
1．【答案】9
2．【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为 0bx ay ，所以点 2F 到渐近线的距离为
2 2
0bc b
b a
（其中
c 是双曲线的半焦距），
由题意知 2c a b ，学科&网
又因为 2 2 2a b c ，解得 4
3b a ，
故所求双曲线的渐近线方程是 4 3 0x y .
3．【答案】B
【解析】连接 ,
由 知 为 的中点，
又 为 的中点，
所以 ,且 ,
因为点 为切点，所以 ， ，
又因为 在双曲线的右支上，
所以 ，即 ，
在 中， ，
则 ，则 ，
可得双曲线 的渐近线方程为 ，故选 B．
4．【答案】D
【解析】设 1 2PF F△ 的内切圆半径为 r ，如图，
5．【答案】 5
4
【解析】设 1 2,PF m PF n ，
1 2 0PF PF ， 1 2PF F△ 的面积为9 ，
1 92 mn ，即 18mn .
在 1 2Rt PF F△ 中，根据勾股定理得 2 2 24m n c ，
2 2 2 22 4 36m n m n mn c ，
结合双曲线的定义，得 2 24m n a ，
2 24 36 4c a ，化简整理得 2 2 9c a ，
即 2 9b ，可得 3b ，
结合 7a b 得 4a ，
2 2 5c a b ，
该双曲线的离心率为 5
4
ce a
.
故答案为 5
4 .学科.网
考点冲关
1．【答案】B
【解析】|F1F2|=4,||PF1|-|PF2||=3
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