高考数学（理）考点一遍过考点05 函数的基本性质-之

1 考点 05 函数的基本性质 （1）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. （2）会运用函数图象理解和研究函数的性质. 一、函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数  f x 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任 意两个自变量的值 1x ， 2x 当 1 2x x 时，都有    1 2f x f x ， 那么就说函数  f x 在区间 D 上是增 函数 当 1 2x x 时，都有    1 2f x f x ， 那么就说函数  f x 在区间 D 上是减 函数 图象 描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设 1 2, [ , ]x x a b ， 1 2x x .若有    1 2 1 2( ) 0[ ]x x f x f x  或 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ，则 ( )f x 在闭区间[ ],a b 2 上是增函数；若有    1 2 1 2( ) 0[ ]x x f x f x   或 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x   ，则 ( )f x 在闭区间[ ],a b 上是减函数. 此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义 若函数  y f x 在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数  y f x 在这一区间上具有（严格的）单调性， 区间 D 叫做函数  f x 的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种 单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是 A ”与“函数在区间 B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然 B A . （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数 1y x  分别在(－∞，0)，(0， ＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函 数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．学科网 3．函数单调性的常用结论 （1）若    ,f x g x 均为区间 A 上的增(减)函数，则    f x g x 也是区间 A 上的增(减)函数； （2）若 0k  ，则  kf x 与  f x 的单调性相同；若 0k  ，则  kf x 与  f x 的单调性相反； （3）函数     0y f x f x  在公共定义域内与  y f x  ， 1 ( )y f x  的单调性相反； （4）函数     0y f x f x  在公共定义域内与 ( )y f x 的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ① 1y x x   的单调性：在 , 1  和 1, 上单调递增，在 1,0 和 0,1 上单调递减； ② by ax x   （ 0a  ， 0b  ）的单调性：在 , b a      和 ,b a     上单调递增，在 ,0b a      和 0, b a       上单调递减． 3 4．函数的最值 前提 设函数  y f x 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 条件 （1）对于任意的 x I ，都有  f x M ； （2）存在 0x I ，使得  0f x M （3）对于任意的 x I ，都有  f x M ； （4）存在 0x I ，使得  0f x M 结论 M 为最大值 M 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域 是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数  f x 的定义域内任意一个 x ，都有    f x f x  ，那么函数  f x 是偶函数 图象关于 y 轴 对称 奇函数 如果对于函数  f x 的定义域内任意一个 x ，都有    f x f x   ，那么函数  f x 是奇函数 图象关于原点 对称 判断 ( )f x 与  f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果   0( )f x f x   或 ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f xf x    ，则 函数  f x 为偶函数；如果   0( )f x f x   或 ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f xf x     ，则函数  f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x， x 也 在定义域内（即定义域关于原点对称）． 4 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2） ( )f x ， ( )g x 在它们的公共定义域上有下面的结论： ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ( ))f g x 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括 0 ，则  0 0f  ． （4）若函数  f x 是偶函数，则      f x f x f x   ． （5）定义在 ,  上的任意函数  f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数  y f x 的定义域关于原点对称，则    f x f x  为偶函数，    f x f x  为奇函数，    f x f x  为偶函数． （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数   x xf x a a  为偶函数，函数   x xf x a a  为奇函数． ②函数   2 2 1 1 x x x x x x a a af x a a a       （ 0a  且 1a  ）为奇函数． ③函数   1log 1a xf x x   （ 0a  且 1a  ）为奇函数． ④函数    2log 1af x x x   （ 0a  且 1a  ）为奇函数． 三、函数的周期性 1．周期函数 对于函数  y f x ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有    f x T f x  ， 5 那么就称函数  y f x 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数  f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做  f x 的最小正周期 （若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数  y f x ， 0x a R， . ①若 ( ) ( )f x a f x a  ，则函数的周期为 2a ； ②若  ( )f x a f x   ，则函数的周期为 2a ； ③若 1( ) ( )a xf x f  ，则函数的周期为 2a ； ④若 1( ) ( )f a xx f   ，则函数的周期为 2a ； ⑤函数  f x 关于直线 x a 与 x b 对称，那么函数  f x 的周期为 2 | |b a ； ⑥若函数  f x 关于点 ,0a 对称，又关于点 ,0b 对称，则函数  f x 的周期是 2 | |b a ； ⑦若函数  f x 关于直线 x a 对称，又关于点 ,0b 对称，则函数  f x 的周期是 4 | |b a ； ⑧若函数  f x 是偶函数，其图象关于直线 x a 对称，则其周期为 2a ； ⑨若函数  f x 是奇函数，其图象关于直线 x a 对称，则其周期为 4a . 考向一 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所 给抽象关系式的特点，对 1x 或 2x 进行适当变形，进而比较出  1f x 与  2f x 的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单 6 函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． （5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子 集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调 区间． 典例 1 下列有关函数单调性的说法，不正确的是 A．若 f(x)为增函数，g(x)为增函数，则 f(x)＋g(x)为增函数 B．若 f(x)为减函数，g(x)为减函数，则 f(x)＋g(x)为减函数 C．若 f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(x)＋g(x)为增函数 D．若 f(x)为减函数，g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为减函数 【答案】C 【解析】∵f(x)为增函数，g(x)为减函数，∴f(x)＋g(x)的增减性不确定． 例如 f(x)＝x＋2 为 R 上的增函数，当 g(x)＝－1 2x 时，则 f(x)＋g(x)＝1 2x＋2 为增函数；当 g(x)＝－3x，则 f(x) ＋g(x)＝－2x＋2 在 R 上为减函数，∴不能确定．故选 C. 典例 2 已知函数   2 1 1 x xf x m    xR ，且   73 9f  . （1）判断函数  y f x 在 R 上的单调性，并用定义法证明； （2）若  1 21f fx      ，求 x 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 3|1 2x x     . 【解析】（1）由已知得 3 3 2 1 7 1 9m   ， 3 8m  ， ∴ 2m  . 7 ∴   2 1 2 1 x xf x   2 1 2 2 1 x x    21 2 1x   . 任取 1 2,x x R ，且 1 2x x ， 则     2 12 1 2 21 12 1 2 1x xf x f x          1 2 2 2 2 1 2 1x x        2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 x x x x     ， ∵   1 22 1 0, 2 1 0x x    ， ∴  1 22 1 2 1 0x x   ， 又∵ 2 1x x ， ∴ 2 12 2x x ， ∴ 2 12 2 0x x  ， ∴      2 1 1 2 2 2 2 0 2 1 2 1 x x x x     ，即    2 1 0f x f x  ，即    2 1f x f x ， ∴函数  y f x 在 R 上为单调增函数. （2）∵  1 21f fx      ，且由（1）知函数  y f x 在 R 上为单调增函数， ∴ 1 2,1x  即 3 2 01 x x   ，化简得 31 2x  ， ∴ x 的取值范围为 3|1 2x x     （不写集合形式不扣分）. 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由   73 9f  ，代入 解析式即可得 2m  ，进而得   2 1 2 1xf x    ，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数  y f x 在 R 上为单调增函数，所以得 1 21x  ，求解不等式即可. 用定义法证明函数的单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变 形，一定要化为几个因式乘积的形式. 1．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 8 A． 2 xy  B． 3y x C． sin xy x  D．    lg 2 lg 2y x x    考向二 函数单调性的应用 函数单调性的应用主要有： （1）由 1 2,x x 的大小关系可以判断  1f x 与  2f x 的大小关系，也可以由  1f x 与  2f x 的大小关系判断 出 1 2,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化 到同一个单调区间上进行比较. （2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值． （3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的 单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性 外，还要注意衔接点的取值． （4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为      f g x f h x 的形式，然 后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意  g x 与  h x 的取值应在外层函数 的定义域内． 典例 3 定义在 R 上的函数  f x 满足：对任意的 1x ，  2 0,x   （ 1 2x x ），有    2 1 2 1 0f x f x x x   ， 则 A．      3 2 4f f f  B．      1 2 3f f f  C．      2 1 3f f f   D．      3 1 0f f f  【答案】D 【解析】因为对任意的 1x ，  2 0,x   （ 1 2x x ），有    2 1 2 1 0f x f x x x   ，所以函数  f x 在 0, 上 是减函数，因为 0 1 3  ，所以      3 1 0f f f  ，故选 D． 9 典例 4 已知函数  f x 的定义域是 (0, ) ，且满足      f xy f x f y  ， 1( ) 12f  ，如果对于 0 x y  ，都有    f x f y ． （1）求  1f 的值； （2）解不等式 ( ) (3 2)f x f x   . 【解析】（1）令 1x y  ，则      1 1 1f f f  ，  1 0f  . （2）解法一：由题意知  f x 为 (0, ) 上的减函数，且 0 3 0 x x      ，即 0x  . ∵      f xy f x f y  ， , 0,( )x y   且 1( ) 12f  ， ∴ ( ) (3 2)f x f x   可化为 3 2 1( ) ( ) ( )2f x f x f    ，即 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 02 23f x f xf f    ＝      3 31 ( ) ( ) 1 ( ) 12 2 2 2 x x x xf f f f f f         ， 则 3 1 0 2 2 x x x       ，解得 1 0x   . ∴不等式 ( ) (3 2)f x f x   的解集为 0{ | }1x x  ． 解法二：由      1( )21 2 2 1fff f    ， ∴      4 2 2 2f f f    ， ∴  ( ) ( )3 4f x f x f   ，即  3 ] 4[ ( )f x x f  ， 则 0 3 0 (3 ) 4 x x x x        ，解得 1 0x   . ∴不等式 ( ) (3 2)f x f x   的解集为 0{ | }1x x  ． 2．设函数   2 6 2f x x x     ，则不等式    2 3 1f x f  成立的 x 的取值范围是 A． 1,2 B．   ,1 2,  10 C． ,2 D． 2, 考向三 函数最值的求解 1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[ ]a b， 上是增 函数，则  f x 在[ ]a b， 上的最小值为  f a ，最大值为  f b ；若函数在闭区间[ ]a b， 上是减函数，则  f x 在[ ]a b， 上的最小值为  f b ，最大值为  f a . 2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值. 3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的 最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函 数的最小值. 4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法. 典例 5 已知函数   2 1f x x x   ，若在区间 1,1 上，不等式   2f x x m  恒成立，则实数 m 的取值 范围是 ． 【答案】  , 1  【解析】要使在区间 1,1 上，不等式   2f x x m  恒成立，只需   22 3 1m f x x x x     恒成立， 设   2 3 1g x x x   ，只需 m 小于  g x 在区间 1,1 上的最小值， 因 为   2 2 3 53 1 2 4g x x x x         ， 所 以 当 1x  时 ，     2 min 1 1 3 1 1 1g x g       ， 所 以 1m   ，所以实数 m 的取值范围是  , 1  . 典例 6 已知函数   2 2 3f x x x   ，若 x∈[t，t＋2]，求函数 f(x)的最值． 【解析】易知函数   2 2 3f x x x   的图象的对称轴为直线 x＝1， （1）当 1≥t＋2，即 1t   时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3. （2）当 2 2 t t  ≤1