1
考点 12 导数的应用
1．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函
数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函
数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.
2．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a,b)内：
（1）如果 ( ) 0f x ，函数 f (x)在这个区间内单调递增;
（2）如果 ( ) 0f x ，函数 f (x)在这个区间内单调递减;
（3）如果 ( )=0f x ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；
（2）在某个区间内， ( ) 0f x ( ( ) 0f x )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必
要条件.例如，函数 3( )f x x 在定义域 ( , ) 上是增函数，但 2( ) 3 0f x x .
（3）函数 f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( ) 0f x ( ( ) 0f x )在(a,b)内恒成立，且 ( )f x 在
(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有 ( ) 0f x ,不影响函数 f (x)在区间
内的单调性.-网
二、利用导数研究函数的极值和最值
1．函数的极值
一般地，对于函数 y=f (x)，
2
（1）若在点 x=a 处有 f ′(a)=0，且在点 x=a 附近的左侧 ( ) 0f ' x ，右侧 ( ) 0f ' x ，则称 x=a 为 f (x)的
极小值点， ( )f a 叫做函数 f (x)的极小值.
（2）若在点 x=b 处有 ( )f ' b =0，且在点 x=b 附近的左侧 ( ) 0f ' x ，右侧 ( ) 0f ' x ，则称 x=b 为 f (x)
的极大值点， ( )f b 叫做函数 f (x)的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我
们有如下结论：一般地，如果在区间[ , ]a b 上函数 y f x 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有
最大值与最小值.
设函数 f x 在[ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 内可导，求 f x 在[ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 f x 在 ( , )a b 内的极值；
（2）将函数 f x 的各极值与端点处的函数值 ( )f a ， ( )f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值.
3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[ , ]a b 的整体而言；
（2）在函数的定义区间[ , ]a b 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或
者没有）；
（3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数
最值问题的有力工具.
解决优化问题的基本思路是：
3
考向一 利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 ( ) 0f x
（ ( ) 0f x ）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求 f ′(x)；
（2）确认 f ′(x)在(a,b)内的符号；
（3）作出结论， ( ) 0f x 时为增函数， ( ) 0f x 时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义
域为实数集 R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定
义域内的不连续点和不可导点.
3．由函数 f x 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 0f x (或 0f x )( f x 在该区间的
任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值
范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 ( ) 0f x (或 ( ) 0f x )在该区间上存在解集，
这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知 f x 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f x 的单调区间，令 I 是其单
调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利
用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例 1 已知函数 ，其中 .
（1）函数 的图象能否与 轴相切?若能，求出实数 ，若不能，请说明理由；
（2）讨论函数 的单调性.
4
（2）由于 ，
当 时， ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
当 时，由 得 或 ，
①当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增；
②当 时， ， 单调递增；
③当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
综上，当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数；
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数；
当 时， 在 上是增函数；
当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数.
典例 2 设函数 2( ) e lnxf x a x .
5
（1）讨论 ( )f x 的导函数 ( )f x 的零点的个数；
（2）证明：当 0a 时， 2( ) 2 lnf x a a a
.
（2）由（1），可设 ( )f x¢ 在 (0 + )，¥ 上的唯一零点为 0x .
当 0(0 )x x,Î 时， ( ) 0f x¢ < ;当 0( + )x x ，违 时， ( ) 0f x¢ > .
故 ( )f x 在 0(0 )x, 上单调递减，在 0( + )x ，¥ 上单调递增，所以当 0x x= 时， ( )f x 取得最小值，最小值为
0( )f x .
由于 02
0
2e =0x a
x
- ，所以 02
0 0 0
0
2 2( )=e ln 2 ln 2 ln2
x af x a x ax a a ax a a
- = + + ³ + （当且仅当 0
0
22
a axx
= ，
即 0
1
2x 时，等号成立）.
故当 0a > 时， 2( ) 2 lnf x a a a
³ + .
1．已知函数
3
2e 23
x xf x a x x aR .
（1）当 1a 时，求 y f x 在 0x 处的切线方程；
（2）若函数 f x 在 1,1 上单调递减，求实数 a 的取值范围.
考向二 利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号．
6
（2）求函数 f x 极值的方法：
①确定函数 f x 的定义域．
②求导函数 f x ．
③求方程 0f x 的根．
④检查 f x 在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 f x 在这个根处取
得极大值；如果左负右正，那么 f x 在这个根处取得极小值；如果 f x 在这个根的左、右两侧符号
不变，则 f x 在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 f x ，求方程 0f x 的根的情况，
得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.
2．求函数 f (x)在[a,b]上最值的方法
（1）若函数 f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与 f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数 f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数 f (x)在区间(a,b)上的极值，与 f (a)、f (b)比较，其中
最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数 f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值
也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，
根据要求得所求范围.一般地， ( )f x a 恒成立，只需 min( )f x a 即可； ( )f x a 恒成立，只需
max( )f x a 即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，
然后构建不等式求解.
7
典例 3 已知函数 21( ) e 2
xf x axx ．
（1）当 1a 时，试判断函数 ( )f x 的单调性；
（2）若 1 ea ，求证：函数 ( )f x 在[1, ) 上的最小值小于 1
2
．
（2）由（1）知 ( )f ' x 在[1, ) 上单调递增，
因为 1 ea ，所以 ( ) e 11 0f ' a ，
所以存在 (1, )t ，使得 ( ) 0f ' t ，即 e 0t t a ，即 eta t ，
所以函数 ( )f x 在[1, )t 上单调递减，在 ( , )t 上单调递增，所以当 [1, )x 时
2 2 2
min
1 1 1( ) ( ) e e ( e ) e (1 )2 2 2
t t t tf f t at t t t t tx t ，令 21( ) e (1 ) 2
xh x xx ， 1x ，
则 ( ) (1 e ) 0xh' x x 恒成立，
所以函数 ( )h x 在 (1, ) 上单调递减，所以 21 1( ) e(1 1) 12 2h x ，
所以 21 1e (1 ) 2 2
t t t ，即当 [1, )x 时 min
1( ) 2xf ，
故函数 ( )f x 在[1, ) 上的最小值小于 1
2
．
典例 4 已知函数 ， .
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点处的公共切线为 ，求 ， ， 的值；
（2）当 时，若 ， ，求 的取值范围.
8
【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为 ，
则 .
，则 ， ①；
，则 ， ②.
由②得 ，由①得 .
将 ， 代入 得 ，∴ ， .
（2）由 ，得 ，
即 在 上恒成立，
令 ，
则 ，
其中 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，∴ .
故 的取值范围是 .
2．已知函数 1lnf x a x x x
，其中 a 为实常数.
（1）若 1
2x 是 f x 的极大值点，求 f x 的极小值；
（2）若不等式 1lna x b xx
对任意 5 02 a ， 1 22 x 恒成立，求 的最小值.
考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变
化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与 x 轴的交点的横
9
坐标为函数的极值点.学！
典例 5 设函数 2( )f x ax bx c （ a ， b ， cR ），若函数 ( )exy f x 在 1x 处取得极值，则下列
图象不可能为 ( )y f x 的图象是
【答案】D
【解析】 2( )e ( )e e [ (2 ) ]x x xy f x f x ax a b x b c ，因为函数 ( )exy f x 在 1x 处取得极值，
所以 1x 是 2 (2 ) 0ax a b x b c 的一个根，整理可得 c a ，所以 2( )f x ax bx a ，对称轴为
, ( 1) 2 , (0)2
bx f a b f aa
.
对于 A,由图可得 0, (0) 0, ( 1) 0a f f ，适合题意；
对于 B,由图可得 0, (0) 0, ( 1) 0a f f ，适合题意；
对于 C,由图可得 0, (0) 0, 0 0, ( 1) 02
ba f x b fa
，适合题意；
对于 D,由图可得 0, (0) 0, 1 2 , ( 1) 02
ba f x b a fa
，不适合题意，故选 D.
3．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数
A．有极大值，没有最大值 B．没有极大值，没有最大值
C．有极大值，有最大值 D．没有极大值，有最大值
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考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大
值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.
用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几
何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量 x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要
注意自变量的取值范围．
典例 6 如图，点 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 为海岸线， ， ， 是以 为
圆心，半径为 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海岸的观光专线 CP PQ ，其中 为 上异于
的一点， 与 平行，设 .
（1）证明：观光专线 CP PQ 的总长度随 的增大而减小；
（2）已知新建道路 的单位成本是翻新道路 CP 的单位成本的 2 倍.当 取何值时，观光专线 CP PQ 的修
建总成本最低？请说明理由.
【解析】（1）由题意， ，所以 π
3CP ，
又 ，
所以观光专线的总长度为 ， ，
因为当 时， ，
11
所以 在 上单调递减，
即观光专线 CP PQ 的总长度随 的增大而减小.
答：当 时，观光专线 CP PQ 的修建总成本最低.
4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为
V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元
/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000π元（π为圆周率）．
（1）将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．
1．已知函数 2e e ln e
xf x f x （e 是自然对数的底数），则 ( )f x 的极大值为
A．2e-1 B．
C．1 D．2ln2
12
2．已知函数 ，则 的单调递减区间为
A． B．
C． 和 D． 和
3．函数 在闭区间 上的最大值，最小值分别是
A． B．
C． D．
4．设定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则
A． B．
C． D．
5．若函数 在 上有最小值，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
6．已知函数
2 2 , 2e
2, 2
x
x x xf x
x x
，函数 有两个零点，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
7．已知函数 f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数 y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不
正确的序号是________．学！
①当 x＝ 时函数取得极小值； ②f(x)有两个极值点；
③当 x＝2 时函数取得极小值； ④当 x＝1 时函数取得极大值．
13
8．已知函数 ．若函数 在定义域内不是单调函数，则实数 的取值范围是
__________．
9 ． 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 则 当 时 ， 与 的 大 小 关 系 为
__________.(其中 为自然对数的底数)
10．用一张16cm 10cm 的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的
最大容积是_________ 3cm .
11．已知函数 3( )f x ax bx c 在 2x 处取得极值 16c .
（1）求 a、b 的值；
（2）若 ( )f x 有极大值 28，求 ( )f x 在[ 3,3] 上的最小值.
12．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池 ABCD 及其矩形附属设施 EFGH，并将剩余
空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为 O，半径为 R，矩形的一边 AB 在直径
上，点 C、D、G、H 在圆周上，E、F 在边 CD 上，且 π
3BOG ，设 BOC .
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为 f ，求 f 的表达式；
（2）当 cos 为何值时，能符合园林局的要求？
14
13．设函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
14．设 .
（1） 在 上单调，求 的取值范围；
（2）已知 在 处取得极小值，求 的取值范围.
15．已知函数 ．
（1）若曲线 的切线 经过点 ，求 的方程；
（2）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
1．（2017 新课标全国Ⅱ理科）若 2x 是函数 2 1( ) ( 1)e xf x x ax 的极值点，则 ( )f x 的极小值为
A． 1 B． 32e
C． 35e D．1
2．（2017 浙江）函数 y=f(x)的导函数 ( )y f x 的图象如图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是
15
3．（2017 新课标全国Ⅲ理科）已知函数 2 1 1( ) 2 (e e )x xf x x x a 有唯一零点，则 a=
A． 1
2
B． 1
3
C． 1
2
D．1
4．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知函数 2sin sin2f x x x ，则 f x 的最小值是_____________．
5．（2017 浙江）已知函数 f(x)=（x– 2 1x ） e x （ 1
2x ）．
（1）求 f(x)的导函数；
（2）求 f(x)在区间 1[ + )2
， 上的取值范围．
6．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知函数 1( ) lnf x x a xx
．
（1）讨论 ( )f x 的单调性；
（2）若 ( )f x 存在两个极值点 1 2,x x ，证明： 1 2
1 2
2f x f x ax x
．
7．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知函数 22 ln 1 2f x x ax x x ．
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（1）若 0a ，证明：当 1 0x 时， 0f x ；当 0x 时， 0f x ；
（2）若 0x 是 f x 的极大值点，求 a ．
8．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知函数 2( ) exf x ax ．
（1）若 1a ，证明：当 0x 时， ( ) 1f x ；
（2）若 ( )f x 在 (0, ) 只有一个零点，求 a ．
9．（2018 江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN （P 为此圆弧的中点）
和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个
温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 CDP△ ，要求 ,A B 均在线段 MN
上， ,C D 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ．
（1）用 分别表示矩形 ABCD 和 CDP△ 的面积，并确定 sin 的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4 3∶ ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
17
变式拓展
1．【解析】（1） 1a ，
3
2e 23
x xf x x x ， 2e 2 2xf x x x ， 0 1k f .
0 1f ， y f x 在 0x 处的切线方程为 1 0y x ，即 1 0x y .
（2） 2e 2 2xf x a x x ，
f x 在 1,1 上单调递减， 2e 2 2 0xf x a x x 在 1,1 上恒成立，即
2 2 2
ex
x xa
在 1,1 上恒成立，记
2 2 2
ex
x xg x ，
2
0ex
xg x 恒成立，且显然 g x 不是常数函数， g x 在 1,1 上单调递减，
min
51 eg x g ， 5
ea ，
实数 a 的取值范围是 5
ea .
（2）不等式 即为 ，
所以 .
18
①若 ，则 ， .
当 ， 时取等号；
②若 ，则 ， .
由（1）可知 在 上为减函数.
所以当 时， .
因为 ，所以 .
于是 .
3．【答案】A
【解析】由题意，函数 的图象可知，
当 时，函数 先增后减；当 时，函数 先减后增，
所以函数 有极大值，没有最大值，故选 A．
（2）因为 V(r)＝ π
5
(300r－4r3)，故 V′(r)＝ π
5
(300－12r2)．
令 0V r ，解得 r1＝5，r2＝－5(因为 r2＝－5 不在定义域内，舍去)．
当 r∈(0,5)时， 0V r ，故 V(r)在(0,5)上为增函数；
当 r∈(5,5 3 )时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5,5 3 )上为减函数．
由此可知， V r 在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8.
即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
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考点冲关
1．【答案】D
【解析】 2e e 2e e1 1 1, e , ee e e e
f ff x f fx
Q ，
2 1
ef x x
，令 ( ) 0,f x 得 2ex ，
故 的极大值为 2e 2ln2e 2 2ln2f ，选 D．
2．【答案】C
【解析】由题得 ，解不等式 得 x＜e.
∵x＞0，x≠1，∴0＜x＜1 和 1＜x＜e.∴函数 的单调递减区间为 和 .
3．【答案】D
【解析】由 ，得 x=±1，当 1x 时， ( ) 0f x ；当 1 1x 时， ( ) 0f x ，
当 x＞1 时， ( ) 0f x ，故 的极小值、极大值分别为 ( 1) 3f ， (1) 1f ，而 ( 3) 17f ，
(0) 1f ，故函数 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是 3、-17.
4．【答案】A
【解析】由定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则 ，即 ，
设 ，则 ，所以函数 在 上为单调递增函数，
则 ，即 ，所以 ，故选 A．
5．【答案】A
【解析】∵函数 ，∴
2 2
e 2 e e 1
2 2
x x xx xf x
x x
，
当 时， ，即函数 在 上为减函数；
当 时， ，即函数 在 上为增函数.
∴ .
20
∵函数 在 上有最小值，∴ .故选 A．
6．【答案】C
【解析】当 时，设 ，则 ，
易知当 时， ，即 是减函数，∴ 时， ，
又 时， 且 ，而 时， 是增函数， ．
有两个零点，即 的图象与直线 有两个交点，所以 ，故选 C．
7．【答案】①
【解析】由图可知 1 为极大值点，2 是极小值点，故②③④正确，①错.
9．【答案】
【解析】由题得 ，即 ，所以函数 在 R 上单调递减，
因为 m>0,所以 ，故填 .
10．【答案】144
【解析】设剪下的四个正方形的边长为 x ，则经过折叠以后，糊成的长方体形纸盒是一个底面是长为
16 2x ，宽为10 2x 的长方形，其面积为 16 2 10 2x x ，长方体的高为 x ，体积为
3 216 2 10 2 4 52 160 0 5V x x x x x x x , 2012 2 3V x x
，由 ' 0,V 得函
数 3 24 52 160 0 5V x x x x 在 0,2 上单调递增，由 ' 0,V 得函数
21
3 24 52 160 0 5V x x x x 在 2,5 上单调递减，所以这个纸盒的最大容积是
3
max 2 144cmV x V .
11．【解析】（1）因为 3( )f x ax bx c ，所以 2( ) 3f x ax b .
由于 ( )f x 在点 2x 处取得极值 16c ，故有 (2) 0
(2) 16
f
f c
，即 12 0
8 2 16
a b
a b c c
，化简得
12 0
4 8
a b
a b
，解得 1
12
a
b
.
（2）由（1）知 3( ) 12f x x x c ， 2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x .
令 ( ) 0f x ，得 1 22, 2x x .
当 ( , 2)x 时， ( ) 0f x ，故 ( )f x 在 ( , 2) 上为增函数；
当 ( 2,2)x 时， ( ) 0f x ，故 ( )f x 在 ( 2,2) 上为减函数；
当 (2, )x 时， ( ) 0f x ，故 ( )f x 在 (2, ) 上为增函数.
由此可知 ( )f x 在 1 2x 处取得极大值 ( 2) 16f c ， ( )f x 在 2 2x 处取得极小值 (2) 16f c .
由题设条件知16 28c ，得 12c ，
此时 ( 3) 9 21, (3) 9 3, (2) 16 4f c f c f c ，
因此 ( )f x 在[ 3,3] 上的最小值为 (2) 4f .
12．【解析】（1）由题意， 2 cosAB R ， sinBC R ，且 HOG△ 为等边三角形，
所以， HG R ， 3 sin2EH R R ，
3= 2 cos sin sin2ABCD EFGHf S S R R R R R
2 3(2sin cos sin + 2R ）， π0 3
， ．
（2）要符合园林局的要求，只要 f 最小，
由（1）知， 2 2 2 2 2(2cos 2sin cos = 4cos cos 2f R R ） ，
22
令 0f ，即 24cos cos 2=0 ，解得 1+ 33cos = 8
或 1 33cos = 8
（舍去），
令 0 0
1+ 33 πcos = , 0,8 3
.
当 00, （ ）时， ' 0,f f 是单调减函数，当 0
π
3
（ ， ）时， 0,f f 是单调增函数，
所以当 0= 时， f 取得最小值.
故当 满足 1+ 33cos = 8
时，符合园林局要求.
13．【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
当 时， ， 函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间
上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上
单调递增.
（2）若 ，且 在区间 上恒成立，等价于在区间 上 .由（1）中的讨论，
知
当 时， ，函数 在区间 上单调递减， ,
即 ，从而得 ；
当 时 ， ， 函 数 在 区 间 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 上 单 调 递 增 ，
，
23
即只需 ，即 ，
由于 ，从而得 .
综上， 的取值范围为 .
（2）由（1）知，
① ， 在 上单调递增，∴ 时， ， 单调递减， 时， ，
单调递增，∴ 在 处取得极小值，符合题意；
② 时， ，又 在 上单调递增，∴ 时， ，∴ 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 在 处取得极小值，符合题意；
③ 时， ， 在 上单调递增，∴在 上单调递减，又 ，
∴ 时， ， 单调递减，不合题意；
④ 时， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，∴ 在 处取得极大值，不符合题意.
综上所述，可得 .
15．【解析】（1）设切点为 ，因为 ，所以 .
24
由斜率知： ，即 ，可得 ，
即 ，所以 或 .
当 时， ，切线 的方程为 ，即 ；
当 时， ，切线 的方程为 ，即 .
综上所述，所求切线 的方程为 或 .
（2）由 得 ，代入整理得 ，
设 ，
则 ，
由题意得函数 有两个零点．
①当 时， ，此时 只有一个零点．
②当 时，由 得 ，由 得 ，即 在 上为减函数，在 上为
增函数，而 ，所以 在 上有唯一的零点，且该零点在 上．
若 ，则 ，取 ，
则 ，
所以 在 上有唯一零点，且该零点在 上；
若 ，则 ，所以 在 上有唯一零点，
所以 时， 有两个零点．
③当 时，由 ，得 或 ，
若 ，则 ，所以 至多有一个零点．
若 ，则 ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，在
25
上单调递减，
又 ，所以 至多有一个零点．
若 ，则 ，易知 在 上单调递增，在 和 上单调
递减，又 ，所以 至多有一个零点．
综上所述， 的取值范围为 ．
直通高考
1．【答案】A
【解析】由题可得 1 2 1 2 1( ) (2 )e ( 1)e [ ( 2) 1]ex x xf x x a x ax x a x a ，
因为 ( 2) 0f ，所以 1a ， 2 1( ) ( 1)e xf x x x ，故 2 1( ) ( 2)e xf x x x ，
令 ( ) 0f x ，解得 2x 或 1x ，
所以 ( )f x 在 ( , 2),(1, ) 上单调递增，在 ( 2,1) 上单调递减，
所以 ( )f x 的极小值为 1 1( ) (1 1 1)e 11f ，故选 A．
【名师点睛】（1）可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f ′(x0)＝0，且在 x0 左侧与右侧 f ′(x)
的符号不同；（2）若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增
或减的函数没有极值．
2．【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且 0x 位于增区间内，因此选 D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与 x 轴的交点为 0x ，且图象在
0x 两侧附近连续分布于 x 轴上下方，则 0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，
由导函数 ( )f' x 的正负，得出原函数 ( )f x 的单调区间．
3．【答案】C
【解析】函数 ( )f x 的零点满足 2 1 12 e ex xx x a ，
设 1 1e ex xg x ，则
2 1
1 1 1
1 1
1 e 1e e e e e
x
x x x
x xg x
，
26
当 0g x 时， 1x ；当 1x 时， 0g x ，函数 g x 单调递减；
当 1x 时， 0g x ，函数 g x 单调递增，
当 1x 时，函数 g x 取得最小值，为 1 2g .
设 2 2h x x x ，当 1x 时，函数 h x 取得最小值，为 1 ，
若 0a ，函数 h x 与函数 ag x 没有交点；
若 0a ，当 1 1ag h 时，函数 h x 和 ag x 有一个交点，
即 2 1a ，解得 1
2a .故选 C.
【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数
的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样
会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
4．【答案】
【解析】 ，所以当 时函数单
调递减，当 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为 5π π2 π ,2 π3 3k k k Z ，函数
的递增区间为 π π2 π ,2 π3 3k k k Z ，所以当 π2 π ,3x k k Z 时，函数 取得最小值，此时
，所以 ，故答案是 .
【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函
数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，
进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
5．【解析】（1）因为 1( 2 1) 1
2 1
x x '
x
， (e ) ex x' ，
所以 1( ) (1 )e ( 2 1)e
2 1
x xf' x x x
x
(1 )( 2 1 2)e 1( )22 1
xx x x
x
．
（2）由 (1 )( 2 1 2)e( ) 0
2 1
xx xf' x
x
，解得 1x 或 5
2x ．
27
因为
x 1
2
（ 1
2
，1） 1 （1， 5
2
） 5
2
（ 5
2
， ）
f x – 0 + 0 –
f（x）
1
21 e2
0
5
21 e2
又 21( ) ( 2 1 1) e 02
xf x x ，
所以 f（x）在区间 1[ , )2
上的取值范围是
1
21[0, e ]2
．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数
单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出 ( )f' x ，由 ( )f' x 的正负，得出函数 ( )f x 的单调区间；（二）
函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数 ( )f x 的
极值或最值．
6．【解析】（1） ( )f x 的定义域为 (0, ) ，
2
2 2
1 1( ) 1 a x axf x x x x
.
（i）若 2a ，则 ( ) 0f x ，当且仅当 2a ， 1x 时 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0, ) 单调递减.
（ii）若 2a ，令 ( ) 0f x 得，
2 4
2
a ax 或
2 4
2
a ax .
当
2 24 4(0, ) ( , )2 2
a a a ax U 时， ( ) 0f x ；
当
2 24 4( , )2 2
a a a ax 时， ( ) 0f x .所以 ( )f x 在
2 24 4(0, ),( , )2 2
a a a a 单
调递减，在
2 24 4( , )2 2
a a a a 单调递增.
（2）由（1）知， ( )f x 存在两个极值点当且仅当 2a .
由于 ( )f x 的两个极值点 1 2,x x 满足 2 1 0x ax ，所以 1 2 1x x ，不妨设 1 2x x ，则 2 1x .由于
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1
f x f x x x x x xa a ax x x x x x x x xx
，
28
所以 1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x ax x
等价于 2 2
2
1 2ln 0x xx
.
设函数 1( ) 2lng x x xx
，由（1）知， ( )g x 在 (0, ) 单调递减，又 (1) 0g ，从而当 (1, )x
时， ( ) 0g x .
所以 2 2
2
1 2ln 0x xx
，即 1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x ax x
.
（2）（i）若 0a ，由（1）知，当 0x 时， ( ) (2 )ln(1 ) 2 0 (0)f x x x x f ，这与 0x 是 ( )f x
的极大值点矛盾.
（ii）若 0a ，设函数 2 2
( ) 2( ) ln(1 )2 2
f x xh x xx ax x ax
.
由于当 1| | min{1, }| |x a
时， 22 0x ax ，故 ( )h x 与 ( )f x 符号相同.
又 (0) (0) 0h f ，故 0x 是 ( )f x 的极大值点当且仅当 0x 是 ( )h x 的极大值点.
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2(2 ) 2 (1 2 ) ( 4 6 1)( ) 1 (2 ) ( 1)( 2)
x ax x ax x a x ax ah x x x ax x ax x
.
如果 6 1 0a ，则当 6 10 4
ax a
，且 1| | min{1, }| |x a
时， ( ) 0h x ，故 0x 不是 ( )h x 的极
大值点.
如果 6 1 0a ，则 2 2 4 6 1 0a x ax a 存在根 1 0x ，故当 1( ,0)x x ，且 1| | min{1, }| |x a
时，
29
( ) 0h x ，所以 0x 不是 ( )h x 的极大值点.
如果 6 1 0a ，则
3
2 2
( 24)( ) ( 1)( 6 12)
x xh x x x x
.则当 ( 1,0)x 时， ( ) 0h x ；当 (0,1)x 时，
( ) 0h x .所以 0x 是 ( )h x 的极大值点，从而 0x 是 ( )f x 的极大值点
综上， 1
6a .学！
8．【解析】（1）当 1a 时， ( ) 1f x 等价于 2( 1)e 1 0xx ．
设函数 2( ) ( 1)e 1xg x x ，则 2 2( ) ( 2 1)e ( 1) ex xg' x x x x ．
当 1x 时， ( ) 0g' x ，所以 ( )g x 在 (0, ) 单调递减．
而 (0) 0g ，故当 0x 时， ( ) 0g x ，即 ( ) 1f x ．
（2）设函数 2( ) 1 e xh x ax ．
( )f x 在 (0, ) 只有一个零点当且仅当 ( )h x 在 (0, ) 只有一个零点．
（i）当 0a 时， ( ) 0h x ， ( )h x 没有零点；
（ii）当 0a 时， ( ) ( 2)e xh' x ax x ．
当 (0,2)x 时， ( ) 0h' x ；当 (2, )x 时， ( ) 0h' x ．
所以 ( )h x 在 (0,2) 单调递减，在 (2, ) 单调递增．
故 2
4(2) 1 e
ah 是 ( )h x 在[0, ) 的最小值．
①若 (2) 0h ，即
2e
4a ， ( )h x 在 (0, ) 没有零点；
②若 (2) 0h ，即
2e
4a ， ( )h x 在 (0, ) 只有一个零点；
③若 (2) 0h ，即
2e
4a ，由于 (0) 1h ，所以 ( )h x 在 (0,2) 有一个零点，
由（1）知，当 0x 时， 2ex x ，所以
3 3 3
4 2 2 4
16 16 16 1(4 ) 1 1 1 1 0e (e ) (2 )a a
a a ah a a a
．
故 ( )h x 在 (2,4 )a 有一个零点，因此 ( )h x 在 (0, ) 有两个零点．
30
综上， ( )f x 在 (0, ) 只有一个零点时，
2e
4a ．
令∠GOK=θ0，则 sinθ0= 1
4
，θ0∈（0， π
6
）．
当θ∈[θ0， π
2
）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，
所以 sinθ的取值范围是[ 1
4
，1）．
答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ
的取值范围是[ 1
4
，1）．
令 ( )=0f ′ ，得θ= π
6
，
当θ∈（θ0， π
6
）时， ( )>0f ′ ，所以 f（θ）为增函数；
31
当θ∈（ π
6
， π
2
）时， ( )
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