高考数学（理）考点一遍过考点20 平面向量的数量积及向量的应用-之

考点 20 平面向量的数量积及向量的应用 1．平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2．向量的应用 （1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. （2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 一、平面向量的数量积 1．平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量 ,a b ，我们把数量| || | cosa b 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b ,即  a b | || | cosa b ，其中θ是 a 与b 的夹角.学+科网 【注】零向量与任一向量的数量积为 0. （2）投影的概念 设非零向量 a 与 b 的夹角是θ，则| | cosa (| | cosb )叫做向量 a 在 b 方向上( b 在 a 方向上)的投影. 如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 a 与 b 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 a 在b 方向上的投 影的情形，其中 1OB  | | cosa ，它的意义是，向量 a 在向量 b 方向上的投影长是向量 1OB  的长度. （3）数量积的几何意义 由向量投影的定义，我们可以得到 a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度| |a 与 b 在a 方向上的投 影| | cosb 的乘积. 2．平面向量数量积的运算律 已知向量 , ,a b c 和实数  ,则 ①交换律：   a b b a ； ②数乘结合律： ( ) ( )   a b a b = ( )a b ； ③分配律： ( )    a b c = a c b c . 二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y a b ， 是 a 与 b 的夹角. （1）数量积：  a b 1 2 1 2| || | cos x x y y  a b . （2）模： 2 2 1 1| | x y   a a a . （3）夹角： cos | || |   a b a b 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x y y x y x y     . （4）垂直与平行： 0    a b a b 1 2 1 2 0x x y y  ；a∥b ⇔ a·b=±|a||b|. 【注】当 a 与 b 同向时, | || | a b a b ； 当 a 与 b 反向时,  a b | || | a b . （5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立) ⇔ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 21 2| |x x y y x y x y     . 三、平面向量的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 已知 1 1 2 2( , ), ( , )x y x y a b . （1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：   ∥a b a b 1 2 2 1x y x y 0( )  0b （2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂 直的条件： 0    a b a b 1 2 1 2x x y y 0 （其中 ,a b 为非零向量） （3）求夹角问题，若向量 a 与 b 的夹角为 ，利用夹角公式： cos  | || | a b a b  1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x y y x y x y     （其中 ,a b 为非零向量） （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模： | |a 1 1 2 2x y ， 或| | | |AB AB  2 2 3 4 3 4( ) ( )x x y y   （其中 ,A B 两点的坐标分别为 3 3 4 4( , ),( , )x y x y ） （5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直 角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题. 2．向量在物理中常见的应用 （1）向量与力、速度、加速度及位移 力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算. （2）向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W  | | | | cos (    F s F s 为 F 和 s 的夹角).学科！网 考向一 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的类型及求法： (1)平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式  a b | || | cosa b ；二是坐标公式  a b 1 2 1 2x x y y . (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 典例 1 若向量 与向量 共线,则 A． B． C． 9 2  D． 17 2  【答案】D 典例 2 已知向量 1, a b a 与 b 的夹角为 ，则 2  a b a __________． 【答案】 【解析】由向量 1, a b a 与 b 的夹角为 ， 得  222 2 2 cos45 1 2          a b a a a b a a b . 1．在平行四边形 中， 4DA DC   ，则 BA AD   __________． 考向二 平面向量数量积的应用 平面向量数量积主要有两个应用： (1)求夹角的大小：若 a，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得 cos  | || | a b a b (夹角公式)，所以平 面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题． (2)确定夹角的范围：数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量 的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. 典例 3 非零向量 ,a b 满足:  , 0    a b a a a b ,则 a b 与 b 夹角的大小为 A．135° B．120° C．60° D．45° 【答案】A 【解析】因为   0  a a b ，所以 2 0  a a b ， 因为  a a b ，所以 2 2 22   a a a b b ， 整理可得 2 2 b a b ，所以有 2b a ， 设 a b 与 b 的夹角为 ， 则有   2 2 2 2 2 2cos 22           a b b a b b a a a b b a b a ， 又因为  0 ,180    ，所以 ，故选 A． 2．已知向量 ( 2, 1), ( ,1)   a b ,且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 . 考向三 平面向量的模及其应用 平面向量的模及其应用的类型与解题策略： (1)求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式 2| |  a a a a ，或坐标公式 2 2| | x y a 的应用， 另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． (2)求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法： ①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围； ②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． (3)由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. 典例 4 已知平面向量 a ， b 的夹角为 π 3 ，且 1a ， 1b ，则 2 a b __________． 【答案】 3．已知 ， .当 最小时， ___________. 考向四 平面向量的应用 1．向量与平面几何综合问题的解法与步骤： (1)向量与平面几何综合问题的解法 ①坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算 和向量运算，从而使问题得到解决． ②基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解． 【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底． (2)用向量解决平面几何问题的步骤 ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.学科网 2．利用向量求解三角函数问题的一般思路： (1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式．利用同角三角函数关系式及三 角函数中常用公式求解． (2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角． (3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题 转化为三角函数问题． (4)解三角形．利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利用内角和定理 或正、余弦定理解决问题. 3．用向量法解决物理问题的步骤如下： (1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； (2)建立以向量为主体的数学模型； (3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型； (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题. 4．常见的向量表示形式： (1)重心．若点 G 是 ABC△ 的重心，则GA GB GC   0    或 1 ( )3PG PA PB PC =     (其中 P 为平面 内任意一点)．反之，若GA GB GC   0    ，则点 G 是 ABC△ 的重心． (2)垂心．若 H 是 ABC△ 的垂心，则 HA HB HB HC HC HA          .反之，若 HA HB HB HC       HC HA  ，则点 H 是 ABC△ 的垂心． (3)内心．若点 I 是 ABC△ 的内心，则| | | | | |BC IA CA IB AB IC      0       .反之，若| | | |BC IA CA     | |IB AB IC   0    ，则点 I 是 ABC△ 的内心． (4)外心．若点 O 是 ABC△ 的外心，则 ( ) ( ) ( ) 0OA OB BA OB OC CB OC OA AC                 或 | | | | | |OA OB OC    .反之，若| | | | | |OA OB OC    ，则点 O 是 ABC△ 的外心. 典例 5 等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为 A． 4 5  B． 3 5  C． 4 5 D． 3 5 【答案】A 【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设 (2 ,0), (0,2 )A a B a ，则 ( ,0), (0, )F a E a ， ∴ ( 2 , ), ( , 2 )AE a a BF a a     . 设向量 ,AE BF   的夹角为 ， 则 2 2 ( 2 , ) ( , 2 ) 4 4cos 5 5| | | | 5 5 AE BF a a a a a aAE BF a a                 . 【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为 x 轴和 y 轴，分别 设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹 角的余弦值. 4．在 ABC△ 中， 且 ，设 是平面 上的一点，则 的最小值是 __________． 典例 6 已知  2cos ,2sinx xa ， π πsin ,cos6 6x x               b ，函数   cos ,f x  a b . （Ⅰ）求函数 的零点； （Ⅱ）若锐角 ABC△ 的三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 ,求 b c a  的取值范围. 【解析】（Ⅰ）由条件可知: π π π2cos sin 2sin cos 2sin 26 6 6x x x x x                        a b ， ∴   π2sin 2 π6cos , sin 22 6 x f x x              a ba b a b . 故函数 的零点满足 πsin 2 06x     , 由 π2 π,6x k k   Z ，解得 π π 2 12 kx   , k Z ． （Ⅱ）由正弦定理得 sin sin sin b c B C a A   ①. 由（Ⅰ）知   πsin 2 6f x x     ， 而 ，得 πsin 2 16A     ， ∴ π π2 2 π ,6 2A k k    Z ， 又  0,πA ，得 π 3A  . ∵ πA B C   ， 2π 3C B  ，代入①化简得： 2π π3 3sin sin 3sinsin cos π3 62 2 2sinsin sin sin 6 B B BB Bb c Ba A A A                     ， 又在锐角 ABC△ 中，有 π0 2B  ， 又 2π π0 3 2C B    ， π π 6 2B  ，∴ π π 2π 3 6 3B   ， 则有 3 πsin 12 6B      ，即： . 【名师点睛】利用向量的共线与垂直和数量积之间的关系建立三角方程或三角函数式，从而解决三角函数 中的求值、求角或求最值等问题是高考考查的热点. 5．G 是 ABC△ 的重心，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 3 3aGA bGB cGC   0    ，则角 A= A．90° B．60° C．45° D．30° 典例 7 一质点受到平面上的三个力 F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知 F1、F2 成 60° 角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为________． 【答案】 2 7 【解析】由题意知 F3=−(F1＋F2)，∴|F3|=|F1＋F2|， ∴|F3|2=|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos60°=28， ∴|F3|= 2 7 . 6．在水流速度为 4 km/h 的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8 km/h 的速度航行，则船自身航行 的速度大小为____________ km/h . 1．已知向量 ， ，且 ，则 A． B． C． D． 2．已知向量 ， ，则 A． B． C． D． 3．已知共点力 F1=(lg 2，lg 2)，F2=(lg 5，lg 2)作用在物体 M 上，产生位移 s=(2lg 5,1)，则共点力对物体做 的功 W 为 A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2 4．设向量 ， 满足 且 ，则向量 在向量 方向的投影为 A．-2 B．-1 C．1 D．2 5．已知向量 与 的夹角为 ， ，若 ，且 ，则实数 的值为 A． B． C． D． 6． ABC△ 中，设 , ,AB BC CA    c a b ，若   0   c c a b ，则 ABC△ 是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定其形状 7．已知向量 ,则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的 A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知 ABC△ 中， ， ， ， 为线段 上任意一点，则 的取值范围是 A． B． C． D． 9．已知 是 ABC△ 内部一点， ， 且 ，则 OBC△ 的面积为 A． B． C． D． 10．平面直角坐标系 中， ,i j 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，向量 2a i ，  b i j ，则以 下说法正确的是 A． a b B．  a b b C． 1 a b D． ∥a b 11．已知 1 2,e e 是互相垂直的单位向量,向量 1 23 a e e , 1 2 b e e ,则  a b __________． 12．平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 __________． 13．如图，在矩形 ABCD 中， 2AB  ， 2BC  ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边CD 上，且 2DF FC  ， 则 AE BF  的值是 ． A B C E FD 14 ． 设 向 量 (cos ,sin ), (cos ,sin )    a b ， 其 中 0 π    ， 若 | 2 | | 2 |  a b a b ， 则    . 15．已知向量 与 的夹角为 ，且 ， .若 ，且 ,则实数 的值为 __________． 1．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知向量 a ， b 满足| | 1a ， 1  a b ，则 (2 )  a a b A．4 B．3 C．2 D．0 2．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 2 3 的直线与 C 交于 M，N 两点，则 FM FN  = A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2018浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 π 3 ，向量b满足b2−4e·b+3=0， 则|a−b|的最小值是 A． 3 −1 B． 3 +1 C．2 D．2− 3 4．（2017 新课标全国Ⅱ理科）已知 ABC△ 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ( )PA PB PC    的最小值是 A． 2 B． 3 2  C． 4 3  D． 1 5．（2017 北京理科）设 m,n 为非零向量，则“存在负数  ，使得 m n ”是“ 00,且 ,所以 “ ”是“ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选 C． 8．【答案】D 【解析】由题意知∠ABC=90°，则以 为坐标原点， 为 轴、 为 轴建立平面直角坐标系，则 , 易知直线 ，设 , 所以 ， 故选 D． 9．【答案】A 【解析】由 可知点 O 是 ABC△ 的重心， 1 3OBC ABCS S△ △ ， 又 ，所以 ，则 1 3OBC ABCS S△ △ = ，选 A． 11．【答案】2 【解析】由题得 1 2 1 2) )(3 ( 3 0 0 1 2         a b e e e e . 12．【答案】 【解析】由 ，得 ， 又 ，且向量 的夹角为 ， ， . 13．【答案】 3 4 【解析】以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系，则  0 0A ， ，  2,1E ，  2 0B ， ， 2 2,23F      ，∴  2,1AE  ， 1 2,23BF       ， ∴ 2 423 3AE BF      . 15．【答案】12 7 【解析】由题意可得 ，即 ， 整理得 ， 因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ， 所以 ，解得 12 7   . 直通高考 1．【答案】B 【解析】因为    2 22 2 2 | | 1 2 1 3          a a b a a b a 所以选 B. 2．【答案】D 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为 ，与抛物线方程联立   2 2 23 4 y x y x      ， 消元整理得： ，解得 ， 又 ，所以 ， 从而可以求得 ，故选 D. 3．【答案】A 【解析】设 ，则由 得 ， 由 b2−4e·b+3=0 得 因此|a−b|的最小值为圆心 到直线 的距离 2 3 = 32 减去半径 1，为 选 A. 4．【答案】B 【解析】如图，以 BC 为 x 轴， BC 的垂直平分线 DA 为 y 轴， D 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则 (0, 3)A ， ( 1,0)B  ， (1,0)C ， 设 ( , )P x y ， 所 以 ( , 3 )PA x y   ， ( 1 , )PB x y    ， (1 , )PC x y   ， 所以 ( 2 , 2 )PB PC x y     ， 2 2( ) 2 2 ( 3 ) 2 2(PA PB PC x y y x y          23 3 3)2 2 2    ， 当 3(0, )2P 时，所求的最小值为 3 2  ，故选 B． 【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路： ①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形 的特征直接进行判断； ②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程 有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 6．【答案】A 【解析】因为向量 1 3( , )2 2BA  uur , 3 1( , ),2 2BC  uuur 所以 1 3 3 1 2 2 2 2cos 1 1| || | BA BCABC BA BC           3 2  ，所以 30ABC  ，故选 A． 【名师点睛】（1）平面向量 a 与 b 的数量积为 || | cos|  ＝a b a b ，其中 是 a 与 b 的夹角，要注意夹角的 定义和它的取值范围： 0 180   ； （2）由向量的数量积的性质知| |= ·a a a ， ·cos | || |   a b a b ， · 0  ＝a b a b ，因此，利用平面向量的 数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 7．【答案】 2 3 【解析】方法一： 2 2 2| 2 | | | 4 4 | | 4 4 2 1 cos60 4 12           a b a a b b ， 所以| 2 | 12 2 3  a b . 方法二：利用如下图形，可以判断出 2a b 的模长是以 2 为边长，一夹角为 60°的菱形的对角线的长度， 则为 2 3 . 【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的 知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类 问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 8．【答案】 3 11 【解析】由题可得 1 23 2 cos60 3, 3 3AB AC AD AB AC            ， 则 1 2( )3 3AD AE AB AC      2 1 2 3( ) 3 4 9 3 43 3 3 3 11AC AB                 ． 【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用 向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中 ,AB AC   已知模和夹角，作为基底易于计算数量积． 9．【答案】 3 3 【名师点睛】（1）平面向量 a 与 b 的数量积为 | || | cos a b a b ，其中 是a 与 b 的夹角，要注意夹角 的定义和它的取值范围： 0 180    . （2）由向量的数量积的性质有| | a a a ，cos | || |   a b a b ， 0   a b a b ，因此，利用平面向量 的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． （3）本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立关于  的方程求解. 10．【答案】4， 2 5 【解析】设向量 ,a b的夹角为 ，则 2 21 2 2 1 2 cos 5 4cos         a b ， 2 21 2 2 1 2 cos 5 4cos         a b ， 则 5 4cos 5 4cos       a b a b ， 令 5 4cos 5 4cosy      ，则  2 210 2 25 16cos 16,20y     ， 据此可得：   max min20 2 5, 16 4         a b a b a b a b ， 即   a b a b 的最小值是 4，最大值是 2 5 ． 【名师点睛】本题通过设向量 ,a b的夹角为 ，结合模长公式，可得 5 4cos     a b a b 5 4cos ，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理 能力有一定的要求． 11．【答案】 2 【解析】由 2 2 2| | | | | |  a b a b ，得 0 a b ，即 a b ， 所以 1 1 2 0m    ，解得 2m   . 【名师点睛】全国卷中的向量大多以客观题的形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式, 又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若    1 1 2 2, , ,x y x y a b ,则 1 2 1 2x x y y  a b .