高考数学（理）考点一遍过考点23 等比数列及其前n项和-之

1 （1）理解等比数列的概念. （2）掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. （3）了解等比数列与指数函数的关系. 一、等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ( 0)q q  ，那么这个数列叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为 0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与 n 无关的常数. 2．等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，此时 2G ab ． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为 1a ，公比为 q 的等比数列的通项公式是 1 1 1( , 0)n na a q a q  ． 等比数列通项公式的变形： n m n ma a q  ． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列 na 的通项公式 1 1 n na a q  还可以改写为 1 n n aa qq   ，当 1q  且 1 0a  时， xy q 是指数函 数， 1 xay qq   是指数型函数，因此数列 na 的图象是函数 1 xay qq   的图象上一些孤立的点． ① 当 1 0 1 a q    或 1 0 0 1 a q     时， na 是递增数列； 2 ② 当 1 0 0 1 a q     或 1 0 1 a q    时， na 是递减数列； ③ 当 1q  时， na 为常数列 ( 0)na  ； ④ 当 0q  时， na 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 二、等比数列的前 n 项和公式 首项为 1a ，公比为 q 的等比数列 na 的前 n 项和的公式为 1 11 , 1 .(1 ) , 11 1 n n n na q S a a qa q qq q        （1）当公比 1q  时，因为 1 0a  ，所以 1nS na 是关于 n 的正比例函数，则数列 1 2 3, , , , ,nS S S SL L的 图象是正比例函数 1y a x 图象上的一群孤立的点． （2）当公比 1q  时，等比数列的前 n 项和公式是 1(1 ) 1 n n a qS q   ，即 1 1 n n aS qq    1 1 a q   ，设 1 1 am q   ， 则 上 式 可 写 成 n nS mq m   的 形 式 ， 则 数 列 1 2 3, , , , ,nS S S SL L 的 图 象 是 函 数 xy mq m   图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前 n 项和 nS 是一个关于 n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函 数的系数与常数项互为相反数． 三、等比数列及其前 n 项和的性质 若数列 na 是公比为 q 的等比数列，前 n 项和为 nS ，则有如下性质： （1）若 m n p q   ，则 m n p qa a a a ；若 2m n r  ，则 2 ( , )m n ra a a m n, p,q,r  *N ． 推广： 1 2 1 1 ;n n i n ia a a a a a    ① L L ② 若 m n t p q r     ，则 m n t p q ra a a a a a ． （2）若 , ,m n p 成等差数列，则 , ,m n pa a a 成等比数列． （3）数列 ( 0)na   仍是公比为 q 的等比数列； 数列 1{ } na 是公比为 1 q 的等比数列； 数列 | |na 是公比为| |q 的等比数列； 3 若数列 nb 是公比为 q' 的等比数列，则数列 n na b 是公比为 qq' 的等比数列． （4） 2 3, , , ,k k m k m k ma a a a   L 成等比数列，公比为 mq ． （5）连续相邻 k 项的和（或积）构成公比为 (kq 或 2 )kq 的等比数列． （6）当 1q  时， n m S n S m  ；当 1q   时， 1 1 n n m m S q S q   ． （7） m n n m m n n mS S q S S q S     ． （8）若项数为 2n ，则 S qS 偶 奇 ，若项数为 2 1n ，则 1S a qS  奇 偶 ． （9）当 1q   时，连续 m 项的和（如 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S  L）仍组成等比数列（公比为 mq ， 2m  ）．注 意：这里连续 m 项的和均非零． 考向一 等比数列的判定与证明 等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法： 1n n a qa   (q 为常数且 0)q   数列{ }na 是等比数列． （2）等比中项法： 2 1 2 ( , 0)n n n na a a n a    *N  数列{ }na 是等比数列． （3）通项公式法： ( 0, )n na tq tq n   *N  数列{ }na 是等比数列． （4）前 n 项和公式法：若数列的前 n 项和 n nS Aq A   ( 0, 0, 1)A q q   ，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意： （1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足  1 0n na qa q   的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要 1 0a  . 典例 1 已知数列 na 满足  *2n nS a n n  N . 4 （1）证明： 1na  是等比数列； （2）求  * 1 3 5 2 1na a a a n   N . 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 32 3 5 3 n n   . 【名师点睛】本题考查了数列中递推公式的应用，通过构造数列证明等比数列，分项求和等知识点.形如 1n na a    （ 1  ），在构造数列时，可在等式两边同时加上 1    构成等比数列. （1）利用递推公式可以得到 1nS  的表达式，两个式子相减即可得到 na 与 1na  的表达式；构造数列{ 1na  }， 即可证明{ 1na  }为等比数列. 学@ （2）利用{ 1na  }为等比数列，可求得{ na }的通项公式；将{ na }分为等比数列和等差数列两个部分分别求 和，再相加即可得出奇数项的和. 1．数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知  1 1 21, 1,2,3,n n na a S nn     . （1）试写出 2 2 3, ,a S a ； 5 （2）设 n n Sb n  ，求证：数列 nb 是等比数列； （3）求出数列 na 的前 n 项和 nS 及数列 na 的通项公式. 考向二 等比数列的基本运算 等比数列基本量的计算是解等比数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形 式呈现，有时也会出现在解答题的第（1）问中，属基础题. （1）等比数列的基本运算方法： ①等比数列由首项 1a 与公比 q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕 1a 与 q 进行． ②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出 1a 与 q ，对于 1, , , ,n na a q n S 五个基本 量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”． （2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法： ①方程思想．等比数列的通项公式和前 n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通 过列方程(组)求出关键量 1a 和 q，问题可迎刃而解． ②分类讨论思想．等比数列的前 n 项和公式为 1 11 , 1 (1 ) , 11 1 n n n na q S a a qa q qq q ì =ïï= í -- =ï - -ïî  ，所以当公比未知或是代数 式时，要对公比分 1q = 和 1q  进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视． ③整体思想．应用等比数列前 n 项和公式时，常把 nq ， 1 1 a q 当成整体求解. 典例 2 已知 na 是等比数列，且 2 6 3a a  ， 6 10 12a a  ，则 8 12a a 等于 A．12 2 B．24 C． 24 2 D．48 【答案】B 【解析】由题意知 4 4 46 10 2 6 2 6 2 6 12 43 a a a q a q qa a a a       ，则 2 2q  ， 所以  2 2 2 8 12 6 10 6 10 2 12 24a a a q a q q a a        ，故选 B． 6 典例 3 各项都是正数的等比数列 na 中， 2a ， 3 1 2 a ， 1a 成等差数列，则 3 4 4 5 + + a a a a 的值为 A． 5+1 2 B． 5 1 2  C． 1 5 2  D． 5+1 2 或 1 5 2  【答案】B 【名师点睛】该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性 质等，注意题中的隐含条件. 2．已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 3 5 2a a  ， 2 4 5 4a a  ，则 n n S a  A． 14n B． 4 1n  C． 12n D． 2 1n  考向三 求解等比数列的通项及前 n 项和 1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用 1 1 n na a q  求解．但在某些情况下，利用等比 数列通项公式的变形 n m n ma a q  可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项 方法为： （1）通项法．设数列的通项公式 1 1 n na a q  来求解； （2）对称设元法：若所给等比数列的项数为 2 ( )n n *Î N 且各项符号相同，则这个数列可设为 2 1n a q - ，…， 3 a q ， ,a aqq ， 3aq ，…， 2 1naq - ； 7 若所给等比数列的项数为 2 1( )n n *+ Î N ，则这个数列可设为 1n a q - ，…， , ,a a aqq ，…， 1naq - . 2．当 1q  时，若已知 1, ,a q n ，则用 1(1 ) 1 n n a qS q -= - 求解较方便；若已知 1, , na q a ，则用 1 1 n n a a qS q -= - 求 解较方便. 学# 3．（1）形如 1 ( 1, 0)n na pa q p pq     的递推关系式， ① 利用待定系数法可化为 1na   ( )1 1n q qp ap p    ，当 1 01 qa p   时，数列{ }1n qa p   是等比数列； ② 由 1n na pa q   ， 1 ( 2)n na pa q n   ，两式相减，得 1 1( )n n n na a p a a    ，当 2 1 0a a  时，数列 1{ }n na a  是公比为 p 的等比数列． （2）形如 +1 ( , 0)n n na ca d c d cd    的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以 两边同时除以 1nd  ，进而化归为等比数列． 典例 4 若等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 4 2 S S  5，则 8 4 S S 等于 A．5 B．16 C．17 D．25 【答案】C 【解析】当公比 1q  时， 4 2 2 5S S   ，故公比不为 1， 当公比 1q  时，     4 1 24 2 2 1 1 1 1 5 1 1 a q S q qS a q q        ，∴ 2 4q  ，∴     8 1 48 4 4 1 1 1 1 17 1 1 a q S q qS a q q        ，故选 C. 【名师点睛】本题重点考查了等比数列的前 n 项和，注意对公比 q 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意 首项与公比均不为零.解决本题时，对公比 q 进行分类讨论，利用前 n 项和公式及条件，求出 2 4q  ，从而 得到结果. 8 典例 5 已知等比数列 na 的各项均为正数，且 2 6a  ， 3 4 72a a  . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nb 满足：  * n nb a n n  N ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 【答案】（1） 1 *2 3 ( )n na n   N ；（2） 2 3 1 2 n n n  . 3．设等比数列{ na }的各项都为正数，数列{ nb }满足 2 1 2 1n n nb a a   ，且 1 24, 64b b  . （1）求数列{ na }的通项； （2）求数列{ nb }的前 n 项和 Tn. 考向四 等比数列的性质的应用 等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或 填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前 n 项和公式的变形 应用等. 注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q， 则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 9 （2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设 而不求思想的运用. 典例 6 在等比数列 na 中， 3 15,a a 是方程 2 6 8 0x x   的根，则 1 17 9 a a a  A． 2 2 B．2 C．1 D． 2 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知 2 1 17 3 15 9 98 2 2a a a a a a     ，故 1 17 9 8 2 2 2 2 a a a   ，故选 A. 典例 7 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 10 20S  ， 20 =60S ，则 30S  _______． 【答案】140 【解析】方法 1：由 10 20S  ， 20 =60S ，易得公比 1q   ， 根据等比数列前 n 项和的性质，可得 0 20 10 10 1 1 S q S q   ，即 0 10 10 60 1 120 1 q qq    ，解得 10 2q  ， 又 30 30 10 10 1 1 S q S q   ，所以 3 30 1 2 =720 1 2 S   ， 30 140S  ． 方法 2：根据等比数列前 n 项和的性质，可得 10 20 10 10S S q S  ，即 1060 20 20q  ，解得 10 2q  ， 所以 10 30 10 20 20 2 60 140S S q S      ． 方法 3：根据等比数列前 n 项和的性质，可知 10S ， 20 10S S ， 30 20S S 成等比数列， 则 2 20 10 10 30 20( ) ( )S S S S S   ，即 2 30(60 20) 20( 60)S   ，解得 30 140S  ． 4．已知各项均为正数的等比数列 na 中, 1 2 3 2a a a   , 5 6 7 32a a a   ,则 4 5 6a a a  等于 A． 4 B．8 C．16 D． 24 10 考向五 数列的新定义问题 数列新定义问题能充分考查对信息的阅读、提取及转化能力，综合性强，难度较高，在实际问题中往往需 要对题目进行阅读，再借助定义进行转化即可进行求解．对于此类问题，应先弄清问题的本质，然后根据 等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决． 典例 8 若数列{ }nA 满足 2 1n nA A  ，则称数列{ }nA 为“平方递推数列”．已知数列{ }na 中， 1 9a  ，点 1( , )n na a  在函数 2( ) 2f x x x  的图象上，其中 n 为正整数． （1）证明：数列{ +1}na 是“平方递推数列”，且数列{lg( +1)}na 为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前 n 项之积为 nT ，求 lg nT ； （3）在（2）的条件下，记 lg lg( +1) n n n Tb a  ，设数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ，求使 4032nS  成立的 n 的最小 值． 【答案】（1）见解析；（2） 2 1n  ；（3） 2017 ． （2）由（1）知 1 1 1 1lg( 1) lg( +1) 2 2n n na a        ， 则 1 2 1 2 1 (1 2 )lg lg[( 1)( 1) ( 1)] lg( 1) lg( 1) lg( 1) 2 1.1 2 n n n n nT a a a a a a                 （3）由（2）知 1 1 lg 2 1 12 ( )lg( +1) 2 2 n nn n n n Tb a       ， 1 11 122 2 21 21 2 n n nS n n         ， 又 4032nS  ， 所以 1 12 2 40322nn    ，即 1 20172nn   ， 又 10 12n  ， 11 所以 min 2017n  ， 故使 4032nS  成立的 n 的最小值为 2017 ． 5．在数列  na 中， 2 1n na   ，一个 7 行 8 列的数表中，第 i 行第 j 列的元素为 ij i j i jc a a a a     1,2, ,7 1,2, ,8i j  ； ，则该数表中所有不相等元素之和为 A． 162 10 B． 162 10 C． 162 18 D． 162 13 1．设 nS 是等比数列 na 的前 n 项和, 3 3 3 9,2 2a S  ,则公比 q  A． 1 2 B． 1 2  C．1 或 1 2  D．1 或 1 2 2．已知 na 为等比数列， 4 7 5 62, 8a a a a    ，则 1 10a a  A．7 B．5 C． 5 D． 7 3．已知等比数列 na 中, 1a ， 25a 为方程 2 5 4 0x x   的两根，则 3 13 23a a a 的值为 A．16 B．8 C． 64 D． 16 4．等比数列 na 中， 4 52, 5a a  ，则数列 lg na 的前 8 项和等于 A．6 B．5 C．4 D．3 5．等比数列的前 n 项和、前 2n 项和、前 3n项和分别为 A ， B ，C ，则 A． A B C  B． 2B AC 12 C． 3A B C B   D．  2 2A B A B C   6．已知等差数列 na 的公差为 2 ，若 1a ， 3a ， 4a 成等比数列，则 2a 等于 A．9 B．3 C． 3 D． 6 7．设    4 6 8 10 2 102 2 2 2 2 nf n n      N ，则  f n 等于 A．  16 4 13 n  B．  116 4 13 n  C．  316 4 13 n  D．  416 4 13 n  8．已知各项均不为 0 的等差数列 na 满足 2 7 3 11 02 aa a   ，数列 nb 为等比数列，且 7 7b a ，则 1 13b b  A．4 B．8 C．16 D．25 9．已知等比数列 na 的公比为 q ，前 n 项和是 nS ，则“ 0q  ”是“ 2016 2018 20172S S S  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．《张丘建算经》中有如下叙述：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何．”其大 意为：“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7 天，共走了 700 里，问最后一天行走的距离是多少？”依据上述记载，计算第 7 天行走的距离大约是 （结果采用四舍五入，保留整数） A．10里 B．8 里 C．6 里 D． 4 里 11．设 nS 是等比数列 na 的前 n 项和， 0na  ，若 6 32 5S S  ，则 9 6S S 的最小值为 A． 1 4 B． 1 2 C．20 D． 5 4 12．若数列 na 的前 n 项和 nS 满足  3 12n nS a   *nN ，则 4a 的值为__________. 13．已知数列 na n 是等比数列，且 1 29, 36a a  ，则 na  ________________． 14．若数列 na 的前 n 项和 nS 满足 2n nS a n  . 13 （1）求证：数列 1na  是等比数列； （2）设  2log 1n nb a  ，求数列 1 1 n nb b        的前 n 项和 nT . 15．已知公比为整数的正项等比数列 na 满足： 3 1 24a a  ， 10 1 9 3a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）令  1n nb n a  ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 14 1．（2017 新课标全国 II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点 点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中 的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 2．（2017 江苏）等比数列{ }na 的各项均为实数，其前 n 项和为 nS ，已知 3 6 7 63 4 4S S , ，则 8a  ________． 3．（2017 新课标全国Ⅲ理科）设等比数列 na 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a4 =___________． 4．（2018 新课标全国 I 理科）记 nS 为数列 na 的前 n 项和，若 2 1n nS a  ，则 6S  _________． 变式拓展 1．【答案】（1） 2 2 33, 4, 8a S a   ；（2）证明见解析；（3）  1 *2n nS n n  N ；   21 2n na n    . 15 【点睛】本题为数列常见考题，属于高考高频考点，常涉及： ①利用递推公式，已知数列的前几项利用赋值法求出后面； ②对递推关系式变形，证明某数列为等比（差）数列； ③根据所证明的数列成等比（差）数列，求出第 n 项； ④已知数列的前 n 项和，求第 n 项.这些都是数列常规问题，考查面较大. 对于本题，当数列提供 na 与 nS 之间的递推关系时，借助首项的值，利用赋值法，可求出第二项及以后 的项，并求出前几项的和，证明某数列是等比数列，就是证明第 n+1 项与第 n 项的比是一个常数，这个 分析给证明提供一个暗示，有了证明的目标，从递推关系式向着这个目标进行等价变形，就可得出所要 证明的式子，达到证明的目的；利用所证明的等比数列求出通项公式得出 nS ，进而求出通项 na . 2．【答案】D 16 【名师点睛】该题考查的是有关等比数列的问题，涉及的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的 通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.对于本题，设出等比数列的公 比为 q ，利用等比数列的性质，根据已知等式求出 q 的值，进而求出 1a 的值，表示出 nS 与 na ，即可求 出结果. 学#@ 3．【答案】（1） 12n na  ；（2）  4 16 115 n nT   . 【解析】（1）因为{ na }为等比数列， 所以由 2 1 2 1n n nb a a   可得 2 2n nb a ， 由 1 24, 64b b  可得 2 2 2 44, 64a a  ， 因为 na >0, 所以 2 42, 8a a  ，可得 1 1, 2a q 公比 ， 所以 12n na  . （2）因为  22 12 n nb  = 2 14 n ， 所以数列{ nb }为等比数列，且首项为 4，公比为 16， 从而    4 1 16 4 16 11 16 15 n n nT     . 4．【答案】C 【解析】因为等比数列 na 中， 1 2 3 2a a a   , 5 6 7 32a a a   ，所以由等比数列的性质可知 1 2 3 3 4 5 5 6 7, ,a a a a a a a a a 成等比数列，所以    2 3 4 5 1 2 3 5 6 7 64a a a a a a a a a  ，因为等比数列 na 中各项 均为正数，所以 3 4 5 8a a a  ，因为 3 4 5a a a ， 4 5 6a a a ， 5 6 7a a a 成等比数列，所以 17     2 4 5 6 3 4 5 5 6 7 256a a a a a a a a a  ，可得 4 5 6 16a a a  . 故选 C． 【名师点睛】本题主要考查等比数列中连续三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数 列的性质的合理运用.由等比数列的性质求得 3 4 5 8a a a  ，再由等比数列的性质可得     2 4 5 6 3 4 5 5 6 7 256a a a a a a a a a  ，从而可得结果. 5．【答案】C 【解析】该数表中的第 i 行第 j 列的元素 ·ij i j i jc a a a a   （2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1， 2，…，7；j=1，2，…，8），其数据如下表所示： i j 1 2 3 4 5 6 7 8 1 22﹣1 23﹣1 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 2 23﹣1 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 3 24﹣1 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 29﹣1 4 25﹣1 26﹣1 27﹣1 28﹣1 29﹣1 210﹣1 5 26﹣1 27﹣1 28﹣1 29﹣1 210﹣1 211﹣1 6 27﹣1 28﹣1 29﹣1 210﹣1 211﹣1 7 28﹣1 29﹣1 210﹣1 211﹣1 由表可知，该数表中所有不相等元素之和为 22﹣1+23﹣1++ 152 1 =  144 1 2 1 2   −14= 162 18 . 故答案为 C. 【名师点睛】（1）本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力.（2）解答本题时， 要注意审题，本题求的是“所有不相等．．．元素的和”. 考点冲关 1．【答案】C 18 【解析】由已知 3 3 3 1 2 3 3 2 a aS a a a a q q       ，所以 2 3 1 1 912 2q q       ，解得 1q  或 1 2q   ，故 选 C． 2．【答案】D 【名师点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略： ①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素 1a 和 q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解． ②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． ③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解． ④化基本量求和．直接将基本量代入前 n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解． 3．【答案】B 【解析】因为 1a ， 25a 为方程 2 5 4 0x x   的两根，所以 1 25 4a a  ,且 1 25 05a a   , 因此 13 0a  ， 13 1 25 3 13 23 1 25 132, 4 2 8a a a a a a a a a       ， 故选 B． 【名师点睛】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p ＋q，则 am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． @网 4．【答案】C 【解析】由等比数列的性质知  4 4 1 2 3 8 4 5 10a a a a a a  ，所以 1 2 8lg lg lga a a     4 1 2 8lg lg10 4a a a   ．故选 C. 5．【答案】D 【解析】由等比数列的性质可知，等比数列的第一个 n 项和，第二个 n 项和，第三个 n 项和仍然构成等 比数列，则有 , ,A B A C B  构成等比数列，    2B A A C B    ，即 2 22B AB A AC AB    ，  2 2A B A B C    ，故选 D． 【名师点睛】本题考查了等比数列的性质以及等比数列前 n 项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题 19 的能力，是基础题.解本题时，由等比数列的性质，可知其第一个 n 项和，第二个 n 项和，第三个 n 项和 仍然构成等比数列，化简即可得结果. 8．【答案】C 【解析】∵等差数列 na 中 2 7 3 11 02 aa a   ，∴  2 7 3 11 72 4a a a a   ，又 7 0a  ，∴ 7 4a  ， ∴ 7 4b  ．∴在等比数列 nb 中， 2 1 13 7 16b b b   ．故选 C． 【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列中项的下标和的性质，即若 m n p q    *, , ,m n p qN ， 则等差数列中有 m n p qa a a a   ，等比数列中有 m n p qa a a a ．利用数列这个性质解题，可简化运算、 提高解题的效率．解本题时，先根据等差数列下标和的性质求出 7a ，进而得到 7b ，再根据等比数列下标 和的性质求 1 13b b 即可． 9．【答案】D 【解析】由 2016 2018 20172S S S  得 2018 2017a a ，∴ 2017 2016 1 1a q a q ，∴  2016 1 1 0a q q   ，解得 1 0, 1a q  或 1 0, 1a q  ．∴“ 2016 2018 20172S S S  ”等价于“ 1 0, 1a q  或 1 0, 1a q  ”．故“ 0q  ” 是“ 2016 2018 20172S S S  ”的既不充分也不必要条件．故选 D． 【名师点睛】先求出“ 2016 2018 20172S S S  ”的等价条件，再根据题意作出判断．等比数列的单调性除了 和公比 q 有关外，还与数列的首项 1a 有关．当 1 0, 1a q  或 1 0,0 1a q   时，数列为递增数列；当 1 0,0 1a q   或 1 0, 1a q  时，数列为递减数列． 20 10．【答案】C 【解析】记该匹马每天行走的距离成等比数列{ }na ，其公比为 1 2 ，前 7 项的和为 700，此问题可以转 化为求数列{ }na 的第 7 项， 1 7 11 700,1 21 2 a       6 1 7 1 64 700 1 700, 6127 2 127a a a         ，故选 C． 11．【答案】C 【名师点睛】本题考查了等比数列的前 项和公式，利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式 求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正，即首先要判断参数是否为正； 二定，即其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等，即最后一定要验证等号能 否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 解本题时，利用等比数列的前 n 项和公式求出 9 6S S ，由数列的单调性可得 1q  ，根据基本不等式的 性质求解即可. 12．【答案】−81 【解析】  3 12n nS a   *nN ，当 1n  时， 1 3a   ， 当 2n  时，  1 1 3 2n n n n na S S a a     ，即 1 3n n a a   ，   na 是以首项为−3，公比为 3 的等比数列， 3n na   . 4 81a   . 故答案为−81. 【名师点睛】掌握 na 与 nS 的关系，利用 na 与 nS 的关系式求出 na 的通项公式即可得到答案. 21 13．【答案】 2 2nn  【名师点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式的求法，灵活运用公式进行变形求解，属于中档 题.解本题时，根据数列 na n 是等比数列，将 1 9a  、 2 36a  分别代入，可以得到数列 na n 的公比 2q  ，从而求得通项公式 na . 14．【答案】（1）见解析；（2） 1 n n  . 【解析】（1）当 1n  时， 1 1 12 1a S a   ，计算得出 1 1a   ， 当 1n  时，根据题意得，  1 12 1n nS a n    ， 所以    1 1 12 2 1 2 2 1n n n n n nS S a n a n a a             ，即 12 1n na a   .  11 2 1n na a     ，即 1 1 21 n n a a    ， 数列 1na  是首项为−2，公比为 2 的等比数列. （2）由（1）知，   11 2 2 2n n na       ， 1 2n na   ，  2 2log 1 log 2n n nb a n     ，  1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n      ， 则 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n nT n n n n                            . 【名师点睛】本题考查了等比数列的证明，数列求和的常用方法；数列求和的常用方法有：分组求和， 用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起； 裂项相消法主要用于分式型的通项. @网 22 15．【答案】（1） 3n na  ；（2）   11 2 1 3 34 n nS n      . 【名师点睛】该问题属于数列的综合问题，属于常考的题型，第一问考查的是有关等比数列的性质以 及数列通项公式的求解问题，根据等比数列的通项公式以及性质，结合题中的条件，转化为关于首项 和公比的等量关系式，从而求得结果；第二问是典型的数列求和问题——错位相减法，在求解的过程 中，一定要注意最后一项应该是减号，以及最后求和的时候要看清项数. 直通高考 1．【答案】B 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型， 判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题， 23 所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果 放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论． 2．【答案】32 【解析】当 1q  时，显然不符合题意； 当 1q  时， 3 1 6 1 (1 ) 7 1 4 (1 ) 63 1 4 a q q a q q        ，解得 1 1 4 2 a q     ，则 7 8 1 2 324a    ． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化 为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种 数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在 应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时， 经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 3．【答案】 8 【解析】设等比数列 na 的公比为 q ，很明显 1q   ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组： 1 2 1 2 1 3 1 (1 ) 1 (1 ) 3 a a a q a a a q            ① ② ，由 ② ① 可得： 2q   ，代入①可得 1 1a  ，由等比数列的通项公式可得 3 4 1 8a a q   ． 【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握 等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前 n 项和公式时，应该要分 类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 4．【答案】 63 【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往 后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令 1n  ， 求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向 24 即可得结果.