高考数学（理）考点一遍过考点50 随机事件的概率-之

1 （1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. （2）了解两个互斥事件的概率加法公式. 一、随机事件及其概率 1．事件的分类 2．频率与概率 （1）事件的频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 An 为事件 A 出现的频数,称事件 A 出现的比例 ( ) A n nf A n  为事件 A 出现的频率. （2）事件的概率：对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 ( )nf A 随着试验次数的增加稳定在某 个常数上，把这个常数记作 ( )P A ，称为事件 A 的概率，因此可以用 ( )nf A 来估计概率 ( )P A . 注意：频率是事件 A 发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存 在的,与试验做没做、做多少次完全无关. 2 二、事件间的关系及运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生， 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包 含于事件 B) B ⊇ A(或 A ⊆ B) 相等关系 若 B ⊇ A 且 A ⊇ B，则事件 A 与事件 B 相 等 A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事 件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) A∪B(或 A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事 件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) A∩B(或 A·B) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件，则称事件 A 与事 件 B 互斥 =A B  对立事件 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事 件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事 件 =A B  且 =A B U 注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事 件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事 件未必是对立事件. 3 三、概率的基本性质 1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在 0~1 之间,从而任何事件的概率都在 0~1 之间, 即 0 ( ) 1P A  .必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0. 2．当事件 A 与事件 B 互斥时, ( ) ( ) ( )P A B P A P B  ，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多 个 结 果 且 各 个 结 果 彼 此 互 斥 时 ， 要 用 到 概 率 加 法 公 式 的 推 广 ， 即      1 2 1 2( )n nP A A A P A P A P A      . 3 ． 若 事 件 A 与 事 件 B 互 为 对 立 事 件 , 则 A B 为 必 然 事 件 , 1( )P A B  . 再 由 加 法 公 式 得     1P A P B  . 考向一 由频率估计随机事件的概率 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现 一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率. 典例 1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查, 检查结果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 m 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 m n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位) 【解析】(1)依据公式 f= m n ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. 4 (2)由(1)知，抽取的球数 n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数 0.950 的附 近摆动， 所以质量检查为优等品的概率约为 0.950. 典例 2 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查,调查结 果如下: 所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择 L1 的人数 6 12 18 12 12 选择 L2 的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站, 试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 学@# 5 B1,B2 分别表示乙选择 L1,L2 时,在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. 1．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出 1 个该产品获利润 5 元， 未售出的产品，每个亏损 3 元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图如图所示.该同学 为这个开学季购进了 160 个该产品，以 ，单位:个)表示这个开学季内的市场需求量. （1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量 的中位数; （2）根据直方图估计利润不少于 640 元的概率. 考向二 事件间的关系及运算 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事 件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断. 具体应用时，可把所有试验结果写出来， 看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系． 典例 3 判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由. 已知某医疗诊所的急诊室有 3 名男医生和 2 名女医生,从中任选 2 名去参加医德培训,其中 (1)“恰有 1 名男医生”和“恰有 2 名男医生”; 6 (2)“至少有 1 名男医生”和“至少有 1 名女医生”; (3)“至少有 1 名男医生”和“全是男医生”; (4)“至少有 1 名男医生”和“全是女医生”. 2．从一批产品中取出三件产品，设 ， ， ，则下列结论不正确的是 A． 与 互斥且为对立事件 B． 与 为对立事件 C． 与 存在着包含关系 D． 与 不是互斥事件 考向三 概率加法公式的应用 概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用 Venn 图或列出全部 的试验结果进行分析． 求复杂事件的概率通常有两种方法： 7 （1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件； （2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可 考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率. 典例 4 某花店每天以每枝 6 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 12 元的价格出售.如果当天卖不 完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. （1）若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. （2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (i)假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的平均数; (ii)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不 少于 92 元的概率. 学#￥ 所以这 100 天的日利润的平均数为 1 (66 10 78 20 90 16 102 54) 91.68100          . (ii)当天利润不少于 92 元即 12n-102 92 ,即 n 17 , 所以所求概率 P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54. 典例 5 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示: 年降水量(mm) [100,150) [150,200) [200,250) [250,300] 8 概率 0.10 0.25 0.20 0.12 （1）求年降水量在[200,300]内的概率; （2）求年降水量在[100,250)内的概率. 3．在一次学业水平测试中，小明成绩在 60~80 分的概率为 0.5，成绩在 60 分以下的概率为 0.3，若规定考 试成绩在 80 分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为 A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.8 4．近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别 设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生 活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 9 其他垃圾 20 20 60 （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率; （2）试估计生活垃圾投放错误的概率. 1．事件分为必然事件、随机事件和不可能事件，其中随机事件 发生的概率的范围是 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是 A．某人打靶，射击 10 次，击中 7 次，那么此人中靶的概率为 0.7 B．一位同学做掷硬币试验，掷 6 次，一定有 3 次“正面朝上” C．某地发行福利彩票，回报率为 ，有人花了 100 元钱买彩票，一定会有 47 元的回报 D．概率等于 1 的事件不一定为必然事件 3．同时掷 2 枚硬币，那么互为对立事件的是 A．恰有 1 枚正面和恰有 2 枚正面 B．至少有 1 枚正面和恰有 1 枚正面 C．至少有 2 枚正面和恰有 1 枚正面 D．最多有 1 枚正面和恰有 2 枚正面 4．口袋中装有一些大小相同的红球和黑球,从中取出 2 个球.两个球都是红球的概率是 2 5 ,都是黑球的概率是 1 15 ,则取出的 2 个球中恰好一个红球一个黑球的概率是 A． 7 15 B． 8 15 C． 3 5 D．14 15 5．在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，已知事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10 , 那么概率是 7 10 的事件是 A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 6．设事件 A,B,已知 P(A)= 1 5 ,P(B)= 1 3 ,P(A∪B)= 8 15 ,则 A,B 之间的关系一定为 10 A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 7．在一次随机试验中，三个事件 的概率分别是 0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是 ① 与 是互斥事件，也是对立事件；② 是必然事件； ③ ；④ . A．0 B．1 C．2 D．3 8．指出下列事件哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机事件? (1)函数 f(x)=x2-2x+1 的图象关于直线 x=1 对称; (2)直线 y=kx+6 是定义在 R 上的增函数; (3)若|a+b|=|a|+|b|,则 a,b 同号. 9．经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多有 2 人排队等候的概率是多少? (2)至少有 3 人排队等候的概率是多少? 11 10．在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有 12 张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种. 从中任取一张，不中奖的概率为 1 2 ，中二等奖或三等奖的概率是 5 12 . （1）求任取一张，中一等奖的概率； （2）若中一等奖或二等奖的概率是 1 4 ，求任取一张，中三等奖的概率. 11．减轻雾霾的“雾炮”机的工作原理与建筑工地上常用高压水枪除尘的原理差不多，某公司为测试他们生产 的“雾炮”的降尘作用，经过 100 次测试得到了某“雾炮”降尘率的频数分布表： （1）估计降尘率在10% 以下的概率； （2）若降尘率达到18% 以上，则认定雾炮除尘有效，请根据以上数估计该雾炮的除尘有效的概率. 12 12．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关, 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,甲品牌车保修期为 3 年,乙品牌车保修期为 2 年,现从该厂已售出 的两种品牌轿车中分别随机抽取 50 辆,统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障 的时间 x(年) 0